1-2数值计算的误差

从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
道这类误差的界。
一、误差来源的类型 2.模型误差
连长对排长 : 根据营长的命令，明晚 8点，非凡的哈雷彗星将 身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一 个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
排长对班长 : 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现， 这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿 上野战服到操场上去。
班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76 岁哈雷将军将 在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过 操场前往礼堂。
五、有效数字-----数值近似中相对误差的一种实用刻画
当数值x有很多位数字时，常按照“四舍五入”原则 取前几位数字作为x的近似值。我们来考虑“四舍五入” 近似法的相对误差。
简例：设 x = π= 3.1415926··· 取x1*= 3作为π的近似值，则
0.1415 1 | e | 100 3 2
故绝对误差限为
f ( x *1 , x *2 ) f ( x *1 , x *2 ) ( y*) ( x *1 ) ( x *2 ) x1 x 2
与前面类似的推导可得多元函数的误差 估计
e( y*) y * y
f ( x *1 , x *2 ,, x *n ) e( x *1 ) x1 f ( x *1 , x *2 ,, x *n ) e ( x *n ) x n
| e( x1 ) | | e( x2 ) |
即 ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) 则相对误差限
r ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
x1 x2
加法的所有误差估计公式：
e( x1 x2 ) e( x1 ) e( x2 )
一般地： 设
x 1.2
x*= 1.2
nn1
n 10 p
10 的近似值为：
p
p为整数。我们易得上述“四舍五入”近似法的相对误差限 ：
n 其中1 0， n n +1
n+1 4 n+1 5
x * x x*
1 101 n. 2
例：π1*= 3，π2*= 3.14，π3*= 3.140, π4*= 3.141, π5*= 3.149 作为π的近似值，则有 效数字分别有多少位？ 答：1，3，3, 3, 3(相对误差为0.0023…)
（参见书p6?!）
例：精确数有多少位有效数字？ 答：无穷多位有效数字
有效数字的性质 有效数字的位数可刻画近似 数的精确度。有效数字越多，则 相对误差越小。
因为 e( y*) f ( x*)e( x*)
x* er ( y*) f ( x*) er ( x*) f ( x*)
故相应的误差限估算如下
( y*) f ( x*) ( x*)
x* r ( y*) f ( x*) r ( x*) f ( x*)
(2)二元函数的函数值计算误差估计 问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值 为x1*, x2* ，则y的误差如何计算？ 解 e ( y*) y * y * * f ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) df ( x *1 , x *2 )
x3 x5 x7 sin x x , x 3! 5! 7!
但在计算机中计算时，常用前几项来 代替，即抛弃了无穷级数的后段，这样就 产生了截断误差。
当|x|很小时，常用x代替sinx，其截 断误差大约为 x 3/6。
4.舍入误差
由于计算机字长有限，原始数据的输 入及浮点数运算过程中都有可能产生误 差，这样产生的误差称为舍入误差
定义
若有一个适当小的正数 ，使
*
| e( x*) || x * x | *
则
* 称为近似值 x* 的绝对误差限。
有时用 x x * 表示近似值x*的 精度或准确值的所在范围。
注：在实际问题中，绝对误差和绝对误差 限一般是有量纲的。
例如，测得某物体的长度为5m，其误 差限为0.01m
数x* 的末位的半个单 位（四舍五入）
也有把x表成形如： x 0.12 nn1 10 p ，其结果是一致的。
定义： 若用某数 x* 近似 x，对尽量大的n满足上面的 误差要求时，称用 x* 近似 x具有“ n 位有效数字”.
注1 直观地，按四舍五入近似法知：近似值x*的相 对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位 非零数字一共有n位，称近似值x*有n位有效数字， 或说x*精确到该位。 (不建议使用此说法)
(1) r
取 x2* = 3.14 作为π的近似值，则
|e
( 2) r
0.00159 1 2 | 10 3.14 2
0.00000734 1 4 | 10 3.1416 2
取 x3* = 3.1416作为π的近似值，则
|e
( 3) r
它们的相对误差都不超过所保留的末位数字位的 半个单位（四舍五入）。
f ( x *1 , x *2 ) f ( x *1 , x *2 ) e( x *1 ) e ( x *2 ) x1 x 2
f ( x , x ) f ( x , x ) 1 2 1 2 e ( y *) 由于 e( x1 ) e ( x2 ) x1 x 2 f ( x *1 , x *2 ) f ( x *1 , x *2 ) e( x *1 ) e ( x *2 ) x1 x 2
n
f ( x *1 , x *2 ,, x *n ) e ( x *i ) x
2. 加减乘除运算的估计误差 （注意：下列公式均省略了“*”） (1)加法运算：
e( x1 x2 ) e( x1 ) e( x2 )
而 | e( x1 x2 ) || e( x1 ) e( x2 ) |
四、相对误差和相对误差限
思考题： 设有两个温度计，其一测量
1000℃ 时的绝对误差限为 5℃ ，而另一个 测量100℃时的绝对误差限为5℃。 问：哪一个温度计更精确？
答：虽然两者绝对误差限的数值相同，
但第一种温度计更为精确。
决定一个量的近似值的精确度除了 要看绝对误差的大小外，还要考虑到 该量本身的大小。
机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
在数值分析课程中，主要研究
截断误差 舍入误差
统称计算误差
二、误差分析的重要性
观察如下两个方程组
x1 x2 2 x1 0.9999 x2 1.9999 x1 x2 2 x1 0.9999 x2 2.0001
定义 绝对误差与准确值之比
e ( x*) x * x e er ( x*) ,x0 x x
* r
称为x*的相对误差（relative error）
注 (1)相对误差是个无量纲量,对近似问题，可
用于刻画近似精确度；值小者精度高。
(2)由于准确值x未知，故实际问题中， 当| 较小时，常取 e| r ( x*)
e ( x*) er ( x*) x*
定义 若指定一个适当小的正数 ， 使 r ( x*) | e( x*) | | er ( x*) | r ( x*) | x| 则称 r ( x*) 为近似值 x*的相对误差限 当|er ( x*)|较小时，可用下式计算 ( x*) r ( x*) |x |
而 | e( x1 x2 ) || e( x1 ) e( x2 ) |
| e( x1 ) | | e( x2 ) |
故
ε( x1 x2 ) ≤ = ε( x1 ) + ε( x2 )
注2 对于x的任一近似值x*，只要其相对误差限满足 定义中的误差要求，均称近似值x*有n位有效数字。
A mathematician, a physicist, and an engineer were traveling through Scotland when they saw a black sheep through the window of the train. "Aha," says the engineer, "I see that Scottish sheep are black."