线性代数 同济大学课件 第一章

a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
为三阶行列式, 记作
a11 a12 a 21 a 22 a 31
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a13 a 23 a 33
9
a 32
对角线法则：
a11
a12
a13 a 23 a 33
a 21 a 22 a 31 a 32
a11a22 a33 a12a23 a31 a13a21a32
a11a 23 a 34 a 42
a11a 23 a 32 a 44
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例2： 计算四阶行列式
a 0 D 0 g 0 c e 0 0 d f 0 b 0 0 h
D = acfh + bdeg – adeh – bcfg
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重要结论： (1) 上三角形行列式
a11 a1n a11 a1n a11 a1n bi1 c i1 bin c in bi1 bin c i1 c in a n1 a nn a n1 a nn a n1 a nn
1 0 11 1 2 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1
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标准次序：标号由小到大的排列。
定义2：在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。
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一个排列的逆序数的计算方法： 设 p1 p2 „ pn 是 1，2，„，n 的一个排列， 用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为 t = t 1 + t2 + „ + t n
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§2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。
把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 3×2×1 = 6
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12
例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 = 6种，即 P3 = 3×2×1 = 6 一般地，Pn= n· (n-1)· 3· 1= n! „· 2·
4
称 a11a 22 a12 a 21为二阶行列式，记作
(1,2) 元素
a11
a12
行标
列标
a21 a22
也称为方程组的系数行列式。
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5
对角线法则:
主对角线 副对角线
a11
a12
a 21 a 22
a11a22 a12a 21
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3 x1 2 x2 12 例. 解方程组 2 x1 x2 1
1 1 1 0 0 5
2 3
0 2 4 3 0 1 3 0
1 1 0 1 1 5 2 0
r2 r4

1 1 1 0 1 3
2 0 r3 2r2
0 2 4 3 0 0 5 3
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0 0 10 3 0 0 5 3
38
1 1 r3 r4 0 1
1 5
称 DT 为 D 的转置行列式。 D 经过“行列互换”变为 DT
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性质1：行列式与它的转置行列式相等。
1 2 3 1 1 0 1 2 0 1 1
1 0
0 1
3 1 1
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证明：设
a11 a12 a1n
b11 b12 b1n
a21 a22 a2 n T b21 b22 b2 n D D an1 an 2 ann bn1 bn 2 bnn
2 1 1 1 0 r4 2r3 0 1 5
2 0
0 0 5 3 0 0 10 3
0 0 5 3 0 0 0 9
45
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D
3 5
1 1 2 1 3 4 c1 c4 1 1 3 3
2 0 1 5

2 4
1 1 3 1 3 5 1 3 2 1
(1) a1 j1 a2 j2 anjn
t
(1) ai11ai2 2 ain n
t
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§5 行列式的性质
a11 a12 a1n
a11
a 21 a n1
a 21 a 22 a2 n a12 a 22 a n 2 T 设D 则 D a n1 a n 2 a nn a1n a 2 n a nn
解： D 3 2 3 ( 4) 7 0 2 1
12 2 D1 14 1 1
3 12 D2 21 2 1
D2 21 D1 14 3 x1 2 , x2 D 7 D 7
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2. 三阶行列式 类似地，讨论三元线性方程组
D T ( 1) t b1 j1 b2 j2 bnj n
( 1) t a j1 1a j2 2 a jn n D
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则 bij a ji ( i , j 1,2, , n ) 由行列式定义
性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。 互换 s、t 两行： rs rt 互换 s、t 两列： c s ct “运算性质”
第一章
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行列式
1
§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式
二元线性方程组
a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
(1) ( 2)
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2
用消元法
( 1) a 22 ( 2) a12
得
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 a21 x1 a22 x2 b2
1
a 2 p2 a npn 的和
a 2 p2 a npn
( 1) a
t
1 p1
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a 21 a n1
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a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
19
例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。
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(3) 对角行列式
a11 D a22 ann
a11a 22 a nn
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(4) 副对角行列式
a1n D an1 a2 , n a1 n a2 ,n1 an1
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行列式的等价定义
a11 a21 an1 a12 a1 n a22 a2 n an 2 ann
2 0
3 1 1
0 1
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性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。
2 4 6 1 2 3 1 r1 ( 2 ) 1 0 1 ( 2 ) 1 0 1 0 1 2 3 1 2 3
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性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。
当 a11a22 a12 a21 0 时，方程组有唯一解
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 , x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
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记 a11 a12 a11a 22 a12 a 21 则有
a11 D 0 0
a12 a1 n a22 a2 n 0 ann
a11a 22 a nn
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22
(2) 下三角形行列式
a11 D a21 an1
0

0 0
a22
a11a 22 a nn
an 2 ann
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a 21 a 22
b1a 22 a12 b2
b1 b2
a12 a 22
a12
, a11b2 b1a 21
a11
b1
a 21 b2
.
1 b1 于是 x1 D b2
其中 D a11 a12
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1 a11 b1 , x2 a 22 D a 21 b2
a 21 a 22
1 2 3 0 1 1 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 3
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推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为 0 。
1 2 3 1 2 3 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 2 3 1 2 3
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性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。
1 0 3 5
c2 3c1 c3 5c1 c4 3c1

11 16 10 3 19 24 18 5 5 0 10 0
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5 0
2 1

1 4 10 3 1 12 18 5 0 0 0 0 5 0 2 1
40

4 1 10 3 12 1 18 5 0 0 0 0 5 0 2 1
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