第74炼利用几何关系求解圆锥曲线问题

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圆锥曲线几何关系代数化

圆锥曲线几何关系代数化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，它们是一类通过平面上一点与一个定点之间的距离与一个定直线上的定点之间的距离的比值不变的曲线。

常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在这些曲线中，存在许多有趣的几何关系，而这些几何关系可以通过代数的方法来求解和证明。

首先介绍一下圆锥曲线的基本性质。

以椭圆为例，椭圆定义为平面上满足一定条件的点的集合，比如所有与给定直线的距离之和等于常数的点构成的集合。

根据定义，我们可以轻松地证明椭圆的中点具有对称性，椭圆上两点之间的连线和椭圆上切线的交点构成的线都经过椭圆的焦点等等。

这些性质虽然可以通过几何的方法证明，但是用代数方法更为方便。

为了代数化椭圆的几何关系，我们可以引入平面直角坐标系。

假设椭圆的方程为\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]，其中$a$和$b$为椭圆的半长轴和半短轴。

我们可以将椭圆上的点表示为$P(x,y)$，利用坐标代入椭圆方程即可得到关于$x$和$y$的方程。

利用这个方程我们可以求出椭圆上点的对称性、切线方程、焦点位置等等。

还可以用代数的方法来解决椭圆的焦点和直角坐标系之间的几何关系。

假设椭圆的焦点和直角坐标系的关系有如下式子：\[ F_1(-\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \]\[ F_2(\sqrt{a^2 - b^2}, 0) \]将这两个点代入椭圆方程中，即可证明这两个点在椭圆上。

又由于椭圆的焦点定义为到焦点的距离与到直系质保持恒定，可以得到椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于常数，这也就是椭圆的定义。

同样道理，对于双曲线和抛物线，我们也可以借助代数方法来求解几何关系。

双曲线可以表示为\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]，我们可以通过这个方程来证明双曲线的渐近线方程、焦点位置等等。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

下面将就几种常见的解决圆锥曲线问题的方法进行探讨。

一、几何法
对于一些简单的圆锥曲线问题，可以直接利用几何关系解决。

已知一个椭圆的焦点和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。

可以通过对称关系把问题转化为确定这个点关于焦点和对称轴的对称点在椭圆上的位置，然后再通过对称关系确定原点的位置。

二、代数法
代数法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法，主要是通过代数方程进行推导和计算。

已知一个椭圆的方程和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。

可以将已知点的坐标代入椭圆的方程，得到一个含有未知数的代数方程，然后通过求解这个代数方程确定未知数的值，从而确定这个点在椭圆上的位置。

解决圆锥曲线问题可以采用多种方法，包括几何法、代数法、参数法和几何与代数相结合法。

根据具体问题的特点和要求选择适当的方法，可以使解决问题更加简单、直观和高效。

对于复杂的问题，可能需要综合运用多种方法，甚至借助计算机辅助求解。

只有不断学习和实践，才能更好地掌握解决圆锥曲线问题的方法，提高解题能力。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法解决圆锥曲线问题在数学领域中是一个重要的课题，涉及到许多不同的方法和技巧。

圆锥曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等，它们在几何学和代数学中都具有重要的地位，因此解决圆锥曲线问题的方法也显得尤为重要。

在本文中，将会介绍一些解决圆锥曲线问题的常见方法，并且深入讨论它们的一些特点和应用。

1. 解析几何方法解析几何方法是解决圆锥曲线问题的一种常见方法。

通过坐标系和代数方法来描述和分析圆锥曲线的特性和性质，这种方法在解决几何问题时非常有用。

一般情况下，利用解析几何方法可以将圆锥曲线的方程化简为一般形式，然后通过对方程的解析分析来得到曲线的性质和特点。

在解析几何方法中，常用的手段包括曲线的参数方程、焦点、准线、曲率等，通过这些参数来描述圆锥曲线的形状和性质。

解析几何方法还可以通过坐标变换，将圆锥曲线的方程转化为简单的形式，从而更加容易地进行分析和计算。

在解析几何方法中，一些常见的技巧包括拟合直线、圆的切线方程、曲线的渐近线等，这些方法都是解决圆锥曲线问题的重要手段。

2. 计算方法计算方法是解决圆锥曲线问题的另一种重要方法。

通过数值计算和求解，可以得到曲线的交点、切线、凹凸点等重要信息，从而帮助我们更好地理解和分析圆锥曲线的性质。

在计算方法中，常用的手段包括牛顿迭代法、二分法、拉格朗日乘数法等，这些方法可以帮助我们求解参数方程、方程组，从而得到圆锥曲线的一些重要特征。

几何方法在解决圆锥曲线问题中也具有重要的地位。

通过几何方法，我们可以直观地理解和分析圆锥曲线的形状和性质，这对于我们理解和应用圆锥曲线都非常有帮助。

在几何方法中，常用的手段包括图形的平移、旋转、缩放等，这些方法可以帮助我们更加直观地理解曲线的性质和特点。

几何方法还可以通过投影、相似性等方式，来研究和分析圆锥曲线的性质。

通过几何方法，我们可以得到曲线的对称性、轴对称性、中轴线等重要信息，这些信息对于我们理解和应用圆锥曲线都非常有帮助。

圆锥曲线求解技巧

圆锥曲线求解技巧圆锥曲线是数学中重要的一个分支，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。

它们都具有各自独特的性质和方程形式。

在求解圆锥曲线的问题时，有一些常见的技巧和方法可以帮助我们简化计算和理解问题。

下面是一些圆锥曲线求解技巧的介绍。

1. 几何特征：首先，了解每种圆锥曲线的几何特征是非常重要的。

圆是所有圆锥曲线中最简单的一种，其方程形式为x²+ y²= r²，其中r是圆的半径。

椭圆具有中心点和两个焦点，其方程形式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b是椭圆在x轴和y轴上的半径。

抛物线则有焦点和直线的焦点形式，其方程形式为y²= 4ax或x²= 4ay，其中a是抛物线的焦距。

双曲线也有焦点和直线的形式，其方程形式为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(y - k)²/b² - (x - h)²/a² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b 是双曲线在x轴和y轴上的半径。

2. 参数化表示：参数化是一种将一个曲线表示为参数的函数的方法。

通过引入新的参数，我们可以简化对曲线的表示和求解。

例如，对于椭圆，我们可以引入参数化坐标x = a cosθ和y = b sinθ，其中a和b是椭圆的半径。

这样，我们可以将椭圆的方程简化为极坐标形式r = a(1 - e²)/(1 + e cosθ)，其中e是椭圆的离心率。

同样地，对于抛物线，我们可以引入参数化坐标x = at²和y = 2at。

通过参数化，我们可以更容易地计算和理解曲线的性质。

3. 极坐标表示：极坐标是一种将点表示为距离和角度的方式。

对于圆锥曲线，极坐标表示是很有用的，特别是当涉及到对称性和角度的问题时。

圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题

圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的重要概念之一，在几何学和代数学领域都有广泛的应用。

通过直角坐标系解析法，我们可以用简洁而准确的方式解决与圆锥曲线相关的问题。

本文将介绍圆锥曲线的基本知识，并以解析法为重点，总结圆锥曲线解题的技巧与方法。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面与圆锥相交而形成的曲线。

常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在直角坐标系中有各自的特点和方程。

1. 椭圆椭圆是圆锥和平面相交所形成的曲线。

在直角坐标系中，椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆长轴的一半长度，b为椭圆短轴的一半长度。

2. 双曲线双曲线同样是由圆锥和平面相交所形成的曲线。

在直角坐标系中，双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为双曲线长轴的一半长度，b为双曲线短轴的一半长度。

3. 抛物线抛物线是由圆锥和平面相交所形成的曲线。

在直角坐标系中，抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，决定了抛物线的形状和位置。

二、通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题的技巧与方法通过直角坐标系解析法，我们可以通过曲线的方程和几何特征来解决与圆锥曲线相关的问题。

以下是一些解题的常用技巧与方法：1. 求解曲线的方程通过已知的几何信息，我们可以得到曲线的方程。

根据曲线的类型，选择合适的标准方程，并通过已知点或其他条件来确定方程中的参数。

2. 求解曲线的焦点和准线对于椭圆和双曲线，焦点和准线是重要的几何特征。

通过方程中的参数，我们可以计算焦点和准线的坐标。

3. 求解曲线的顶点和开口方向抛物线的顶点和开口方向也是重要的几何特征。

利用几何法巧解圆锥曲线问题

理，找到两个变量之间的关系，从而求出圆锥曲线
的离心率。
五、利用相似三角形例 5.已知曲线 C：y2=4x
P1 y H I P
的焦点为 F，过点 F 的直线
l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，且FP +2FQ = 0，试求吟OPQ
F
O
x
的面积。
Q1
Q
解析：如图 5，过点 P
向抛物线的准线作垂线，垂
线的定义、几何性质、特征量与之有机结合，寻找
到问题解决的突破口，从而达到求解问题的目的。
（作者单位：长沙市明德中学）
2018·5C·47
|F1C·| |F2C|=（c+a）（c-a）=b2。
上述问题的解答利用了“经过圆外一点作圆
的两条切线，那么它们的切线长相等”这一性质，
找到了点 C 的坐标和点 P 所满足的几何条件，从而使问题顺利解决。
四、利用勾股定理
例 4. 如图 4，F 是
双曲线 C:
x2 a2
-
y2 b2
=1
（a ＞0，b ＞0）的右焦
图5
足为 P1，过点 Q 向抛物线的准线作垂线，垂足为 Q1，过点 Q 向 PP1 作垂线，垂足为 H，过点 F 向 PP1 作垂线，垂足为I。设|QF|=t，则|PF|=2t，|PQ|=3t，
|PH|=t，|PI |=2t-2，由吟QPH
吟FPI
可得
|PQ| |QH |
=
|PF| |PI|
，即
3t 2t
1 2
|F1F2|=c 。又
|OM
|逸0，所以
|OM | 的取值范围是[0，c）。
2018·5C·46
解题教学

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

解决圆锥曲线问题的方法有很多种，本文将从几何、代数和解析几何三个角度进行深入探讨，希望能够为读者提供一些启发和帮助。

一、几何方法1. 利用焦点性质椭圆和双曲线的焦点性质是非常重要的，利用焦点性质可以简化问题的求解过程。

在求解椭圆的焦点时，我们可以利用椭圆的定义式和焦距的定义式进行计算，从而求得椭圆的焦点坐标。

对于双曲线也是一样的道理，只不过其定义式和焦距定义式稍有不同而已。

2. 利用直线方程通过直线的方程式可以求解圆锥曲线的焦点、渐近线等特性。

对于椭圆和双曲线来说，它们都有两条渐近线，我们可以通过计算其中一条渐近线的方程来得到其斜率和截距，然后再进行求解另一条渐近线的方程，从而得到全部的渐近线方程。

3. 利用对称性圆锥曲线具有一定的对称性，例如抛物线具有对称轴的对称性，利用这种对称性可以简化问题的求解。

在求解抛物线的焦点时，我们可以利用抛物线的对称性进行求解，这样可以减少计算的复杂度。

二、代数方法1. 利用方程组通过建立方程组，可以求解圆锥曲线的各种特性。

在求解椭圆的焦点时，我们可以建立一个包含椭圆方程和焦距定义的方程组，然后通过对这个方程组进行求解，从而得到椭圆的焦点坐标。

2. 利用参数方程对于双曲线和抛物线来说，我们可以利用参数方程进行求解。

通过引入参数，可以将原本复杂的曲线方程化简为一组简单的函数方程，从而简化问题的求解过程。

3. 利用极坐标方程极坐标方程是一种非常有效的求解圆锥曲线问题的方法。

通过将曲线用极坐标方程表示，可以将原本复杂的曲线问题转化为极坐标函数的求解问题，这样就可以简化问题的求解过程。

三、解析几何方法1. 利用向量向量是解析几何中一个非常重要的工具，通过引入向量，可以简化圆锥曲线的求解过程。

在求解椭圆的焦点时，我们可以引入椭圆的向心度和离心率的概念，然后利用向量的性质进行求解。

高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧

高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。

熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。

求的最小值。

解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。

二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。

熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。

解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。

解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。

例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题

例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题圆锥曲线是一类重要的几何图形，它在数学与物理学等领域中都有着广泛的应用。

在实际问题中，常常需要进行圆锥曲线综合问题的求解，这时候便需要巧妙地运用数学思想来解决问题。

一、如何求解圆锥曲线的椭圆形状对于一个圆锥曲线，其椭圆形状可以通过椭圆长轴和短轴来描述。

我们可以通过将圆锥曲线投影到一个平面上，然后利用比例关系来求解长轴和短轴。

具体地，我们可以将圆锥曲线投影到它的母线上，这样投影出来的结果就是一条直线。

然后我们再将这条直线与圆锥曲线的顶点连线作为直径画一个圆，这个圆就是圆锥曲线的外接圆。

接下来我们就可以利用外接圆的性质来求解圆锥曲线的椭圆形状了。

我们可以将外接圆的直径作为椭圆的长轴，在外接圆上选择任意一点作为椭圆的中心点，然后测量圆心到外接圆任意一点的距离，这个距离就是椭圆短轴的一半。

圆锥曲线的拱形高度是指圆锥曲线沿过顶直线方向的高度，它在许多实际问题中都有着重要的应用。

我们可以利用圆锥曲线的几何性质来求解拱形高度。

对于圆锥曲线，其侧棱与过顶直线的夹角是一定的。

我们可以利用这个性质来求解拱形高度。

具体来说，我们可以在圆锥曲线的底面上，沿着过顶直线方向选择一个点，然后将这个点向上连接圆锥曲线的顶点，这样画出来的就是一个圆锥。

然后我们可以利用圆锥的相似性质来求解拱形高度。

具体来说，我们可以求出圆锥的高，然后利用圆锥的相似三角形来求解圆锥曲线的拱形高度。

这个方法虽然需要较为繁琐的计算，但是它可以较为准确地求解圆锥曲线的拱形高度。

对于一个圆锥曲线，我们可以将它分成很多小的曲面，然后对每个小的曲面进行面积计算，最后将所有小的曲面的面积相加即可得到圆锥曲线的表面积。

繁琐的计算虽然需要一定程度的耐心，但是有时候也能解决一些复杂的实际问题，计算结束后我们可以得到圆锥曲线的表面积，这对于许多实际问题的求解都有着很大的帮助。

综上所述，巧用数学思想可以帮助我们有效地解决圆锥曲线综合问题。

圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题

圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学和物理学领域。

而在解决圆锥曲线问题中，焦点定理是一种常用的解题技巧。

本文将介绍焦点定理的定义，详细说明焦点与直线的距离关系，并用实例说明如何利用这个关系解决圆锥曲线问题。

一、焦点定理的定义焦点定理是圆锥曲线研究中的一个重要定理，用来描述焦点与直线之间的距离关系。

根据焦点定理，对于给定的焦点和一条直线，如果该直线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离比相等，那么这条直线必定是圆锥曲线的一条切线。

二、焦点与直线的距离关系在圆锥曲线问题中，焦点与直线之间的距离关系可以通过几何方法求解。

首先，我们假设给定的焦点为F，直线为l，圆锥曲线为C。

根据焦点定理的定义，我们可以得出以下结论：1. 对于焦点F和直线l上的任意一点P，如果焦点F到点P的距离PF与直线l的距离d的比等于一个常数e，即PF/d = e，那么直线l必定是圆锥曲线C的一条切线。

2. 如果e = 1，那么直线l与圆锥曲线C的交点个数为1，即直线l 与圆锥曲线C相切。

3. 如果e > 1，那么直线l与圆锥曲线C没有交点，即直线l与圆锥曲线C没有交点。

4. 如果e < 1，那么直线l与圆锥曲线C有两个交点，即直线l与圆锥曲线C相交于两个点。

三、利用焦点定理解决圆锥曲线问题的实例为了更好地理解焦点定理的应用，我们来看一个具体的例子。

假设有一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦点在椭圆的纵轴上，离中心点的距离为c。

现在我们想要求解椭圆上到直线y = mx + n的距离为d的点的坐标。

我们可以根据焦点定理来解决这个问题。

首先，我们知道椭圆的焦点到直线的距离为d，也就是PF/d = e。

根据椭圆的性质，椭圆上的任意一点与焦点之间的距离满足焦距定理，即PF = 2a - c。

将这两个条件带入PF/d = e中，我们可以得到(2a - c)/d = e。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
一、几何方法
1. 求解圆锥曲线方程
求解圆锥曲线方程是解决圆锥曲线问题的基础。

在已知圆锥曲线焦点、直线方程等条
件下，可以通过求解圆锥曲线标准方程来解决问题。

2. 利用焦点性质
圆锥曲线的焦点是曲线的一个重要属性。

在一些问题中，可以利用焦点性质解决问题。

比如，已知椭圆的一个焦点和对应的直线方程，求另一个焦点的坐标。

二、代数方法
解方程是代数解决圆锥曲线问题的一种常见方法。

利用圆锥曲线方程，我们可以列出
一系列方程。

根据问题的条件，我们可以通过解方程来求解circumstances answers。

2. 矩阵法
矩阵法是一种较为高级和复杂的代数方法，它利用矩阵的运算来解决问题。

对于一个
标准的圆锥曲线方程，可以将它转化为矩阵形式，从而通过矩阵的运算，快速求得问题的
答案。

3. 极坐标法
极坐标法是解决圆锥曲线问题的另一种代数方法。

将圆锥曲线表示为极坐标方程，我
们可以通过极坐标方程的性质快速求解问题。

总之，圆锥曲线问题的解决方法多种多样，既有基于几何的方法，也有基于代数的方法。

不同的问题需要根据不同的条件选择不同的方法，从而得到最优的解决方案。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题是高中数学中比较重要的一种问题。

解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和技巧。

本文将从几种不同的角度介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。

一、代数法代数法是解决圆锥曲线问题较为基础的一种方法。

对于给定的圆锥曲线，我们可以采用代数方式将其表示出来，然后通过对代数式进行化简、拆分等运算来求解问题。

以椭圆为例，设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

若已知椭圆的长半轴和短半轴分别为5和3，求椭圆的周长和面积。

解题思路：首先，根据椭圆的方程，可以得到：周长：$C=4aE(\frac{b^2}{a^2})$面积：$S=\pi ab$其中，E是椭圆的第二类完全椭圆积分。

代入已知数据，可以得到：周长：$C=4\times 5E(\frac{9}{25})\approx 20.0124$面积：$S=\pi\times 5\times 3\approx 47.1239$二、几何法解题思路：首先，根据双曲线的性质，可以得到：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$其次，根据题意，双曲线的长轴长度为6，所以有：$2a=6$即：$a=3$又因为焦点为(-3,0)，(3,0)，所以有：$2c=6$即：$c=3$将已知数据代入公式，可以得到：$b^2=c^2-a^2=9-9=0$所以：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+0}=1$三、投影法以抛物线为例，设抛物线的方程为：$y^2=4px$其中，p为抛物线焦点到抛物线的顶点的距离。

若已知抛物线焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，求抛物线的焦距和面积。

其次，根据题意，抛物线的焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，所以有：$p=2$四、向量法以圆为例，设圆的方程为：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$其中，(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。

微专题几何关系巧解圆锥曲线问题学生版

专题几何关系巧解圆锥曲线问题解决圆锥曲线中的范围、最值问题一般有三种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解；三是通过建立不等式、解不等式求解.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用几何关系解答圆锥曲线的综合问题，特别是最值（范围）问题的常见解法. 1、利用几何关系求最值的一般思路:（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值.所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上.（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置. 2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移.（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化. （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中，，所以时，最小（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为解：，则若最小，则只需最小即可，所以点为过作垂线的垂足时，最小，过作圆的切线，则切线长最短4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为① 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直C P P MNAB =AB d CPP d CP ≤d CP =AB NC l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM PM =PM CP P C l CP ∴P PM ()222210x y a b a b+=>>a c +a c -22b a（2）双曲线：设双曲线方程为① 焦半径：焦半径的最小值为，无最大值② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（3）抛物线：设抛物线方程为① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为【经典例题】例1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在抛物线C 上，且2AF =，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，则PA PO +的最小值为（）. AB．C．D．例2．（2020·北京海淀·人大附中高三三模）点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3y x 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（）A．322B ．22C ．3212+ D ．22+例3．（2020·湖北东西湖·武汉为明学校高三三模）已知F 是抛物线24y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线交抛物线于,A B （A 点在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（） A ．9 B ．3 C ．2D例4．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（） A ．2B ．1:2C ．D ．1:3例5．（2020·山东省平邑县第一中学高三三模）已知O 为坐标原点，双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞()222210,0x y a b a b-=>>a c -22b a22y px =2p 2p的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若0AB OB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（） A．3BCD ．2例6．（2020·湖南益阳·高三三模）过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（） A ．43B ．34C ．4D ．54例7．（2020·梅河口市第五中学高三三模）设抛物线24y x =的焦点为F，过点)M的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，3BF =，则BCF △与ACF 面积的比BCF ACFS S=（）A ．34B ．45C ．56D ．67例8．（2020·安徽高三三模）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C x y =交于A 、B 两点，直线:22m y kx +＝与抛物线2:8D x y =交于M 、N 两点，若对于任意k ∈R 时，AB MN λ-为定值，则实数λ的值为（）. A ．12 B ．8 C ．4 D ．2【精选精练】1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2020·全国高三三模）已知椭圆2212516x y +=，()3,0A ，()2,1B -，点M 是椭圆上的一动点，则MA MB+的最小值为（）A ．6B ．10C ．11D ．12-3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）设双曲线C ：22218x y b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上，若点2F 在线段MN 的中垂线上，则MN =（）A ．B ．8C ．D ．44．（2020·湖北武汉·高三三模）已知过抛物线C ：24y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．（2020·贵州贵阳·高三三模）已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 是坐标原点.过F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，并交y 轴于点Q .若3OQ OP =，则C 的离心率为( )A ．4B C D6．（2020·福建高三三模）已知椭圆22:11612x y C +=，圆22:320A x y x y +--+=，P ，Q 分別为椭圆C和圆A 上的点，(2,0)F -，则||||PQ PF +的最小值为( )A ．42-B ．8-C ．4D ．87．（2020·湖南益阳·高三三模）如图，已知1F ，2F 为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（22AF BF >），若1212==4AF AF AF AF +-，124AF BF S =，则2tan BAF ∠=（）A ．14B ．13C ．2D ．28．（2020·佛山市顺德区容山中学高三三模）已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B两点，点M 为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（） A ．(3，5)B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]9．（2020·四川仁寿一中高三三模）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若2=BM BA ，则||AB 的值等于（）A ．34p B ．2p C ．3pD ．94p 10．（2020·陕西新城·西安中学高三三模）如图，()1,0F c -，()2,0F c 分别为双曲线Γ：22221x y a b-=（a ，0b >）的左､右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆()222x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A ､B 两点（A ､B 位于线段1F P 上），若132F A AB =且12BP AB =，则双曲线Γ的离心率为（）A B C D ．411．（2020·广东深圳·高三三模）已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PF 的中点，连接OM ，则∥OMQ 的最小面积为（）A ．1B C ．2D ．412．（2020·芜湖县第一中学高三三模）已知椭圆221:184x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()22:20C y px p =>的准线l 过点1F ，设P 是直线l 与椭圆1C 的交点，Q 是线段2PF 与抛物线2C 的一个交点，则2QF =（）A ．(123-B ．(124-C D ．。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中的一个重要分支，它以一个可变的圆锥剖面为基础，通过圆在不同角度上的截面形成了五个不同的曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲线和直线。

在实际应用中，圆锥曲线常常被用来描述各种物理现象和工程问题，如轨道设计、光学成像、天体运动等。

本文将会介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。

1.几何法几何法是最基本，也是最直观的一种解决圆锥曲线问题的方法。

几何法的思想是将所求的曲线拆分为几个小段，然后求出每个小段的形状和位置参数，最终将它们拼接起来得到整个曲线。

例如，在构造椭圆的过程中，我们可以先画一个长轴和短轴所在的矩形，然后再通过调整矩形的顶点位置将矩形变形为椭圆。

2.代数法代数法是解决圆锥曲线问题的另一种常用方法。

代数法的思想是利用数学式子描述曲线，通过解方程来求解曲线的参数。

例如，在求解抛物线的方程时，我们可以将抛物线的矢量方程转化为标准方程或焦点方程，然后利用所给的条件求解方程中的参数。

3.向量法向量法是一种比较高效的解决圆锥曲线问题的方法。

向量法的思想是用向量来描述曲线的性质和形状，然后通过向量计算来求解曲线的参数。

例如，在计算椭圆的周长时，我们可以将椭圆的周长用向量积的形式表示出来，然后通过向量积的运算得到周长的解析表达式。

4.微积分法微积分法是一种比较深入的解决圆锥曲线问题的方法。

微积分法的思想是利用微积分理论来求解曲线的性质和参数。

例如，在求解椭圆的面积时，我们可以将椭圆的面积转化为曲线积分问题，用微积分方法来求解。

总之，圆锥曲线问题可以采用多种不同的方法来求解，每一种方法都有其独特的优点和应用场合。

在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解，以达到高效和准确的目的。

圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法

圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，经常在各类考试中出现。

掌握圆锥曲线的解题技巧，可以帮助我们高效解答题目。

本文将介绍几种常见的圆锥曲线解题方法，并综合运用它们来解决各类题目。

一、直接法直接法是最常用的解题方法之一，它适用于给定了圆锥曲线的方程，要求我们找出特定点或确定一些性质的情况。

以二次曲线为例，我们可以通过将方程标准化，然后研究其各项系数的符号、平方项的系数与常数项的关系等来推导出特定点的坐标、曲线的类型等信息。

二、参数法参数法常用于求解曲线上的点的坐标或曲线的方程。

当我们遇到较复杂的曲线方程，难以直接分析时，可以通过引入参数的方法，将曲线的方程转化为参数方程进行处理。

例如，对于椭圆和双曲线，我们可以通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。

设参数为θ，则椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ；双曲线的参数方程为x=asecθ，y=btanθ。

通过选取不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点，进而求解问题。

三、几何法几何法是通过几何图形的性质来解决问题的方法。

在圆锥曲线的学习过程中，我们会学到各种曲线的几何性质，如椭圆的离心率、焦点定理、双曲线的渐近线等。

利用这些性质，我们可以通过绘制几何图形，运用几何关系来解决问题。

四、导数法导数法常用于求解曲线的切线、法线以及曲率等问题。

对于给定的曲线方程，我们可以通过求导数来得到曲线的斜率，从而得到切线或法线的方程。

同时，导数还可以帮助我们研究曲线的凸凹性、极值等性质，进一步推导出曲线的特点。

五、解析法解析法是一种基于代数分析的方法，适用于较复杂的曲线方程求解。

通过对方程进行代数运算、化简等操作，我们可以得到曲线的一些基本性质或特定点的坐标。

在解析法中，我们常用的技巧包括配方法、消元法、代入法等，根据方程的特点和题目要求来灵活选择合适的方法。

此外，还需要注意方程中的各项系数和常数项之间的关系，以便得到准确的解答。

圆锥曲线与几何关系解析

圆锥曲线与几何关系解析圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的点的集合。

在几何上，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最为常见的一种类型。

它由一个焦点和两条相互平行的直径（准线）确定。

当准线的距离小于焦点到准线的距离时，所得的曲线是一个椭圆。

椭圆具有很多有趣的几何关系。

1. 焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于两倍的焦点到准线的距离。

这个定理被称为椭圆的焦点定理，它表明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。

这个性质在椭圆的实际应用中有广泛的应用，例如卫星轨道设计等。

2. 椭圆的离心率小于1。

离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了焦点与准线之间的距离关系。

对于所有的椭圆，其离心率均小于1。

离心率越接近于1，椭圆的形状就越扁平，离心率为0时，椭圆退化为一个圆。

二、双曲线双曲线也是一种常见的圆锥曲线类型，它由一个焦点和两条相互平行的直线（准线）确定。

当准线的距离大于焦点到准线的距离时，所得的曲线是一个双曲线。

双曲线同样具有很多有趣的几何关系。

1. 双曲线的焦点到曲线上任意一点的距离之差等于两倍的焦点到准线的距离。

这个定理被称为双曲线的焦点定理，它与椭圆的焦点定理相似，但距离之差的符号是负的。

这个性质也被广泛应用于数学和物理学领域。

2. 双曲线的离心率大于1。

与椭圆不同，双曲线的离心率始终大于1。

双曲线的形状可以是两个分离的曲线臂，也可以是无穷远处相交形成的闭合曲线。

三、抛物线抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它由一个焦点和一条不平行于准线的直线确定。

抛物线具有很多独特的几何关系。

1. 从焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线的距离。

这个性质是抛物线的一个重要特征，它表明抛物线上任意一点到焦点的距离等于焦点到准线的距离。

这个性质在物理学和工程学中有广泛的应用，例如天体运动的轨迹计算和抛物面反射器的设计等。

2. 抛物线的离心率等于1。

圆锥曲线中几何关系的求解策略探究

圆锥曲线中几何关系的求解策略探究圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

它们广泛应用于天文学、物理学、工程学和生物学等领域中。

然而，由于它们的数学性质比较复杂，其几何关系的求解一直是一个重要的研究课题。

本文将通过分析圆锥曲线的几何性质，探讨一些求解策略。

1、圆的几何关系圆是一个平面上所有点到一个固定点距离相等的集合。

圆的直径是圆上任意两点的连线经过圆心的线段。

圆的弧是围绕圆周的一段曲线。

对于圆来说，有以下几种几何关系：（1）半径垂直于弧：半径与其所在圆周上的弧相交的点是垂直的。

（2）内接角：对于一个位于圆周上的锐角三角形，它的角是该三角形内接圆切线和该三角形的边相交处的角。

它等于该角的对边与相邻边长度之比。

（3）圆心角：对于一个位于圆周上的角，它是由圆心、任意两点和其所在直线组成的角。

圆心角的大小等于所对应的圆弧的夹角大小。

（4）反比例关系：对于一个圆的面积和其半径长度，有反比例关系。

椭圆是平面上所有点到两个固定点之和等于常数的点的集合。

这两个点称为焦点。

椭圆的中心是它的两个焦点之间的中点，长（短）轴是连接两个焦点的线段的长度，短（长）轴是连接两个顶点的线段的长度。

（1）离心率：椭圆的离心率等于长轴和短轴之差的一半与长轴之比。

（2）准线：椭圆的每一个圆心点（椭圆的顶点）位于椭圆上，其横坐标与准线之和（准线是通过中心点的横轴）相等。

（3）圆的切线：对于切线与其所在椭圆相交的点，连接该点和椭圆中心的线段与该切线的垂线所组成的角是直角。

（4）弧长：用一个角度单位表示的椭圆弧长与其所对应的弧的长度相同。

双曲线是一个由两个分别位于其长轴两端的焦点到平面上的一点之和等于常数的点的集合。

它的两个分支在其长轴上相对称。

（1）偏心率：双曲线的偏心率等于焦点之间的距离除以它的任意一条弦和它到焦点之间的距离（即“线段”）之比。

（2）渐近线：双曲线的两个分支在其长轴上趋于与一条直线相交，这条直线被称为双曲线的渐近线。

圆锥曲线中几何关系的求解策略探究

圆锥曲线中几何关系的求解策略探究圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。

对于圆锥曲线中的几何关系求解策略，是数学学习中的一大重点。

本文将探究圆锥曲线中的几何关系求解策略，从而帮助读者更好地理解和运用这一概念。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是一个二次方程的图像，其形状可分为椭圆、双曲线和抛物线三种。

椭圆是一个闭合的曲线，所有点到两个固定点之和的距离为常数；双曲线是一个开口的曲线，所有点到两个固定点之差的距离为常数；抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其点到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离。

圆也是一种特殊的圆锥曲线，其点到一个固定点的距离等于常数。

这些性质为圆锥曲线的几何关系求解提供了基础。

二、求解策略探究1. 利用几何构造几何构造是圆锥曲线中常用的求解策略之一。

通过适当的几何构造，可以将圆锥曲线的性质转化为几何关系，从而得到曲线的方程或者特定点的坐标。

对于椭圆和双曲线，可以利用直角三角形的性质进行构造，将曲线的性质转化为直角三角形的性质，然后求解出曲线的方程或者特定点的坐标。

对于抛物线，可以利用对称性和焦点直线的性质进行构造，得到曲线的方程或者特定点的坐标。

通过几何构造，可以直观地理解圆锥曲线的几何关系，进而求解出相应的问题。

2. 利用代数方法代数方法是另一种常用的圆锥曲线求解策略。

通过将曲线的方程代入相关的几何关系方程中，可以消去不必要的变量，得到关于未知数的方程，进而求解出未知数的值。

对于椭圆和双曲线，可以将曲线的方程代入焦点和顶点的几何关系方程中，通过消去横坐标或者纵坐标的方式，得到相应的未知数的值。

对于抛物线，可以将曲线的方程代入焦点和顶点的几何关系方程中，消去横坐标或者纵坐标，得到相应的未知数的值。

通过代数方法，可以将曲线的性质转化为代数方程，从而求解出相应的问题。

三、案例分析下面通过一个具体的案例，来展示圆锥曲线中几何关系的求解策略。

案例：已知椭圆的方程为\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，其中a、b为椭圆的半长轴和半短轴。

第74炼利用几何关系求解圆锥曲线问题

第74炼利用几何关系求解最值问题一、基础知识：1、利用几何关系求最值的一般思路:（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。

因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。

所以只有共线时才有可能达到最值。

要注意动点与定点相对位置关系。

一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。

（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。

2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（详见例1）（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。

（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。

（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆C 及圆外一定点P ，设圆C 的半径为r 则圆上点到P 点距离的最小值为PM PC r =-，最大值为PN PC r =+（即连结PC 并延长，M 为PC 与圆的交点，N 为PC 延长线与圆的交点（2）已知圆C 及圆内一定点P ，则过P 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB =AB 最小，则d 要取最大，在圆中CP 为定值，在弦绕P 旋转的过程中， d CP ≤，所以d CP =时，AB 最小（3）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的最小值为C l PM d r -=-，距离的最大值为C l PN d r -=+（过圆心C 作l 的垂线，垂足为P ，CP 与圆C 交于M ，其反向延长线交圆C 于N（4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM解：PM =PM 最小，则只需CP 最小即可，所以P 点为过C 作l 垂线的垂足时，CP 最小∴过P 作圆的切线，则切线长PM 最短4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>① 焦半径：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c -② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为22b a ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（2）双曲线：设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>① 焦半径：焦半径的最小值为a c -，无最大值② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为22b a，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（3）抛物线：设抛物线方程为22y px =① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即2p ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2pN二、典型例题：例1：已知在平面直角坐标系中，点()()1,1,3,4A B -，P 为x 轴上一动点，则PA PB +的最小值为___________思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得：5AB =，但从图像上发现无论P 在何处，PA PB AB +>，无法取到等号。

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