山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题

第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,,M x x x N x x a M N =--<=>⊆若，则实数a 的取值范围是A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)3,+∞D.()3,+∞2.若12iz i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.2i -- B.2i - C.2i +D.2i -+3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行； A.①② B.②③C.③④D.①④4.“1cos 2α=”是“3πα=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.136.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.57.5y x =+$，则表中的m 的值为A.50B.55C.60D.657.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.58.在椭圆221169x y +=内，通过点()1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A.91670x y -+=B.169250x y +-=C.916250x y +-=D.16970x y --=9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 10.若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为A.[]4,5-B.[]5,5-C.[]4,5D.[]5,4-第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[)60,80中的学生人数是_________. 12.函数()2f x =的定义域是_________.视图是中心角为3π的扇13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯形，则该几何体的体积为__________.14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c⋅=+⋅+rrr rr r ，则的最大值为________.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3b A π==，面积S =（I ）求a 的值；（II ）设()()2cos sin cos cos f x C x A x =-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.（I ）求ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18. （本小题满分12分） 直三棱柱111A B C A B C -中，10,8,6A B A C B C ===，18AA =，点D 在线段AB 上.（I ）若1//AC 平面1B CD ，确定D 点的位置并证明； （II ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥，（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足()242log 1n n b a =+，证明：对一切正整数222121111,1112n n b b b ++⋅⋅⋅+<---有.20. （本小题满分13分）已知抛物C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为92. （I ）求抛物线C 的标准方程； （II ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21. （本小题满分14分） 已知关于x 函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+， （I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围； （III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30, 2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln 3 1.099,ln 5 1.609,ln 7 1.====）又∵0B π<<∴2B π=6C π=……6分∴(()2cos sin cos cos )2sin()6f x C x A x x π=-=-，………… 8分将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(26g x x π=-，…………9分所以()g x 的单调增区间为222,262k x k πππππ-≤-≤+…………10分即,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………11分()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分（17）解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605P P P P ξξξξ=⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⋯⋯⋯⋯，，，分ξ的分布列为：…………6分所以 AC 1∥平面B 1CD ． ………………………………………4分 （Ⅱ） 由6,8,10===BC AC AB ，得AC ⊥BC ，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ． 则B (6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A 1(0, 8,8)，B 1(6, 0, 8)．设D (a , b , 0)（0a >，0b >），…………………5分 因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =． 所以84,3a b ==．…………………7分所以1(6,0,8)BC =--，8(4,,0)3CD =． 平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =． 设平面B 1CD 的法向量为2(,,1)n x y =，由 120BC n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 6808403x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以4,23x y =-=，24(,2,1)3n =-． …………………10分 设二面角1B CD B --的大小为θ， 361cos a b a bθ⋅==所以二面角1B CD B --．……………………………12分 （19）解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分212,a a -={}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，即1=2.n n n a a +- …………3分()()()-1-1-221112=-+-+-12=22211221,6n n n n n nn n na a a a a a a a --∴+-++++=-=-⋯⋯⋯⋯+分()()()24222221222122log (2)2.7111111=.9141212122121111111111+=1111233521211111.2212111,+11n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==⋯⋯⋯⋯⎛⎫==-⋯⋯⋯⋯ ⎪---+-+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∴++--Ⅱ由题意得分分对一切正整数有21.1212n b <⋯⋯⋯⋯-分（20）(I)由题意,2922221||||212==⋅⋅=⋅⋅=∆p p p MN OA S MON 3=∴p抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分 (II) 设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x += 联立⎩⎨⎧=+=x y amy x 62得0662=--a my y024362>+=∆a mm y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分 由对称性,不妨设0>m ,(i )0<a 时,0621>-=a y y , 21y y ，∴同号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= )111(1363611)()(112222222122122ma a m m y y y y m t +-=+=++=∴ 不论a 取何值,t 均与m 有关,即0<a 时A 不是“稳定点”; -------------------------9分 (ii ) 0>a 时, 0621<-=a y y , 21y y ，∴异号, 又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+=22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ )11321(13624361122222m a a a a m m +-+=+⋅+= 所以,仅当0132=-a ,即23=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分（21）解：（I ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞2222-)(x ax x a x x g +-=-=' （i ）若0≥a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间； （ii ）若0<a ，则由0)('=x g 得ax 2-=， )2,0(a x -∈时，0)('<x g ，),2(+∞-∈ax 时，0)('>x g ，所以)2,0(a -为其单调递减区间；),2(+∞-a为其单调递增区间；-----------------------4分（II ）)()(2x g x x f +=所以)(x f 的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(x ax x x ax x x g x x f --=+-=+=令),0[,22)(3+∞∈--=x ax x x h (*)则a x x h -6)(2'= (**)----------------------------------------------------------------------------6分0<a 时, 0)('≥x h 恒成立,所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0-)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值. ----------------------------------------8分0≥a 时)1,0(,0)1(2)(3∈<--=x ax x x h ,即在区间(0,1)上0)('<x f 恒成立,此时, )(x f 无极值.综上所述,若)(x f 在区间)1,0(内有极值，则a 的取值范围为)0,(-∞. --------------9分 (III) 0>a ,由（II ）且3)1(=f 知]1,0(∈x 时0)(>x f ,10>∴x .又由(*)及(**)式知)(x f '在区间),1(+∞上只有一个极小值点,记为1x , 且),1(1x x ∈时)(x f 单调递减, ),(1+∞∈x x时)(x f 单调递增,由题意1x 即为0x ,⎩⎨⎧='=∴0)(0)(00x f x f -----------------------------------------------------------------------------------------11分 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴0220ln 20200020ax x x a x x消去a ,得131ln 2300-+=x x -------------------------------------------------------------------12分 0>a 时令)0(131)(),1(ln 2)(321>-+=>=x x x t x x x t , 则在区间),1(+∞上为)(1x t 单调递增函数, )(2x t 为单调递减函数, 且)2(710577.022ln 2)2(21t t =<=⨯<= )3(263123ln 2)3(21t t =+>>= 320<<∴x2][0=∴x ------------------------------------------------------------------------------------------14分。