2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3练习：1.2.1.1 排列与排列数公式

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高中数学人教A版选修2-3学案1.2.1.1 排列与排列数公式 Word版含解析

排列与组合．排列第课时排列与排列数公式．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)．会用排列数公式进行求值和证明．(难点)[基础·初探]教材整理排列的概念阅读教材～第二个思考下面第一自然段，完成下列问题．≤)个元素，按照．一般地，从个不同元素中取出(排成一列，一定的顺序叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同排列顺序，且元素的也相同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( ) ()从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( ) ()有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( ) ()从中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( ) ()从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( )【解析】()×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．()√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．()×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．()√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．()√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．【答案】()×()√()×()√()√教材整理排列数与排列数公式阅读教材第二个思考下面第二自然段～例，完成下列问题.．＝，＝.【解析】＝×＝；＝××＝.【答案】＝.【解析】＝＝.【答案】．由这三个数字组成的三位数分别是. 【导学号：】【解析】用树形图表示为。

高中数学人教A版选修2-3优化练习：第一章 1.2 1.2.1 排列 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．2解析：由排列数公式得：n (n －1)＝7(n －4)(n －5)，∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或103(舍去)．答案：B2．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为( )A ．A 88B ．A 48C ．A 44A 44D ．2A 44解析：安排4名司机，有A 44种方案，安排4名售票员，有A 44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A 44A 44种方案．故选C.答案：C3．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有 ( )A ．A 33·A 58种B ．A 55·A 34种C ．A 55·A 35种D ．A 55·A 36种解析：插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排，有A 55种排法，除去最左边的空共有5个空位供男生选，有A 35种排法，故共有A 55·A 35种不同的排法．故选C. 答案：C4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．答案：C5．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有( )A ．240种B ．600种C ．408种D ．480种解析：将四人排成一排共有A 44种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有A 25种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有A 44·A 25＝480种．答案：D6．在书柜的某一层上原来共有5本不同的书，如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入法．(用数字回答)解析：试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本，因此“在5本书中插入3本书”就与“从8本书中抽出3本书”对应，故符合题意的插法共有A38＝336种．答案：3367．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记5件产品为A、B、C、D、E，A、B相邻视为一个元素，先与D、E进行排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33×3＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：368．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A、B，有A26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A26＝30(条)．答案：309．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数．解析：(1)解法一(从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288个六位奇数．解法二(从特殊元素入手)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288个六位奇数．解法三(排除法)6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的排列数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数有3A44个，故对应的六位奇数的排列数为A66－3A55－3A44＝288个．(2)解法一(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504个．解法二(直接法)个位不排5，有A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排0时，有A55个．第二类：当个位不排0时，有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504个．10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个歌曲节目互不相邻；(3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排歌曲节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有A27种插入方法，所以共有A66A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的歌曲节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个歌曲节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44A35A22＝2 880种排法．[B组能力提升]1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有() A．36种B．42种C．48种D．54种解析：分两类：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24种排法；第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B.答案：B2．取1,2,3,4,5这五个数字中的两个分别作为一个对数的底数和真数，则所得的不同值有()A．12个B．13个C．16个D．20个解析：分二类：两个数中有1时，值为0.两个数中无1时，有A24＝12个，共有A24＋1＝13个，故选B.答案：B3．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．解析：第一步，将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝8(种)排法；第二步，再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A 15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定．∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个．答案：404．(2016年高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足，若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足，故甲(1,3)．答案：(1,3)5．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，则共有多少种出场方案．解析：将“女男女”当整体看待，有6种情况，每一种情况有A 33种，所以共有6A 33＝6×3×2＝36(种)．6．在集合{1,2,3，…，20}中取出三个数排成一列，使它们构成等差数列，问一共可以构成多少个等差数列？解析：先选出两个数a ，c 作为等差数列的首项和末项，则中间一个数应为a ＋c 2，为使a ＋c 2在集合中，故分两类：(1)a ，c 同为奇数，N 1＝A 210，(2)a ，c 同为偶数，N 2＝A 210，故满足条件的等差数列共有N ＝N 1＋N 2＝A 210＋A 210＝180个.。

吉林省2016-2017年数学·选修2-3(人教A版)练习：第一章1.2-1.2.1第1课时排列的简单应用

第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第1课时排列的简单应用A级　基础巩固一、选择题1．已知下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动；③从a，b，c，d 4个字母中取出2个字母；④从1，2，3，4 4个数字中取出2个数字组成1个两位数．其中是排列问题的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：①是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一列．答案：B2．计算＝( )A．12 B．24 C．30 D．3667455645解析：A＝7×6A，A＝6A，所以＝＝36.答案：D3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )A．6种B．9种C．11种D．23种解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：由此可知共有9种送法．答案：B4．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有( )A．238个B．232个C．174个D．168个解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A＝18(个)，故共有3192－18＝174(个)答案：C5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )A．24个B．30个C．40个D．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有2424A个，另一类是4作个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．2424答案：A二、填空题m106．若A＝10×9×…×5，则m＝_________________________.解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有48A＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有，，，，，，共6个．232527353757答案：12　6三、解答题9．求下列各式中n 的值：(1)90A ＝A ；2n 4n (2)A A ＝42A .4n n －4n －2解：(1)因为90A ＝A ，2n4n 所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)．所以n 2－5n ＋6＝90.所以(n －12)(n ＋7)＝0.解得n ＝－7(舍去)或n ＝12.所以满足90A ＝A 的n 的值为12.2n4n (2)由A A ＝42A ，得·(n －4)！＝42(n －2)！.4nn －4n －2n ！（n －4）！所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)能被5整除的四位数有多少个？(2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A ＝120(个)．(2)36偶数的个位数只能是2，4，6，有A 种排法，其他位上有A 种排1336法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A ·A ＝360(个)．1336B 级　能力提升1．满足不等式＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得＞12，即(n －5)(n －6)n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 种．26所以符合条件的直线有A ＝30(条)．26答案：303．用1，2，3，4四个数字排成三位数(允许数字重复使用)，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n }．(1)写出这个数列的前11项；(2)求这个数列共有多少项．解：(1)这个数列的前11项为：111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一数位都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．。

【三维设计】人教A版数学选修2-3全册练习：1.2.1 第二课时排列习题课(含答案解析)

[课时达标检测]一、选择题1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有() A．20种B．30种C．40种D．60种解析：选A分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A24种安排方法；甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有A23种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A22种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A24＋A23＋A22＝20种不同的安排方法．2．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：选B利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有A26种排法，所以共有A55·A26＝3 600种排法．3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328C．360 D．648解析：选B若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A29种排法；若个位数不是0, 先从2,4,6,8中取一个放在个位，在其余的8的个数(不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余8的个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法，所以满足条件的三位偶数的个数共有A29＋4×8×8＝328.4．直线Ax＋By＝0的系数A，B可以在0,1,2,3,5,7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不同直线有()A．30条B．23条C．22条D．14条解析：选B当A＝B≠0时，表示同一直线x＋y＝0；当A＝0，B≠0时，表示直线y＝0；当A≠0，B＝0，表示直线x＝0；当A≠0，B≠0，A≠B时有A25条直线，故共有1＋1＋1＋A25＝23条直线．5．(韶关检测)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．288个B．240个C．144个D．126个解析：选B第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A13种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A13A34个数；第2类，个位数字是4，有A13A34个数；第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A14种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A14A34个数．由分类加法计数原理，可得共有2A13A34＋A14A34＝240个数．二、填空题6．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．解析：将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空里进行排列，有A26＝30种情形．答案：307．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为__________(用数字作答)．解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A13种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A14种安排方法；其余4节课无约束条件，有A44种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A13·A14·A44＝288.答案：2888．用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有________个(用数字作答)．解析：把相邻的两个数捆绑(看成一个整体)，三捆组内部都有A22种排列方法，它们与另外2个数之间又有A55种排列方法．根据分步乘法计数原理知，共有A22A22A22A55＝8×120＝960个八位数．答案：960三、解答题9．用0,1,2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的排列：(1)五位奇数？(2)大于30 000的五位偶数？解：(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要比30 000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数字的六位数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数的个数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10 752.10．有语文、数学、外语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种安排方法？解：法一：(分类法)分两类：第1类，化学被选上，有A13·A35种排法；第2类，化学不被选上，有A45种排法．故共有A13·A35＋A45＝300种不同的安排方法．法二：(分步法)第1步，第四节有A15种排法；第2步，其余三节有A35种排法，故共有A15·A35＝300种不同的安排方法．法三：(间接法)从6门课中选4门课有A46种排法，而化学排第四节有A35种排法，故共有A46－A35＝300种不同的安排方法．。

吉林省2016-2017年数学·选修2-3(人教A版)练习：第一章1.2-1.2.1第2课时排列的综合应用

第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是()A．6B．24C．48D．120解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A44＝24(种)．答案：B2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．48个B．36个C．24个D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种解析：首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A23＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．答案：C4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为() A．30 B．48 C．60 D．96解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A33×2×2×2＝48(个)．答案：B5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()A．20种B．30种C．40种D．60种解析：分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法．所以排法共有A24＋A23＋A22＝20(种).答案：A二、填空题6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种(用数字作答)．解析：先选出文娱委员，有3种选法，再选出学习委员、体育委员，有A24种选法．由分步乘法计数原理知，选法共有3A24＝36(种)．答案：367．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A44＝48(种)．又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A33＝12(种)．故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．答案：368．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A28＝448(个)．答案：448三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．10．3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须相邻；(3)甲、乙两人不得相邻．解：(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A36种站法，然后再排其余位置，有A44种站法，所以不同站法共有A36A44＝2 880(种)．(2)把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于6个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以站法共有A66A22＝1 440(种)．(3)法一先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以不同站法共有A55·A26＝3 600(种)．法二不考虑限制条件，共有A77种站法，除去甲、乙相邻的站法A66·A22，所以不同站法共有A77－A66·A22＝3 600(种)．B级能力提升1．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A．1 543 B．2 543C．3 542 D．4 532解析：千位数为1时组成的四位数有A34个，同理，千位数是2，3，4，5时均有A34个数，而千位数字为1，2，3时，从小到大排成数列的个数为3A34＝72，即3 542是第72个．答案：C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A34＝24(种)．答案：24。

高中数学2016-2017学年新课标人教A版选修2-3学案：1.2第4课时组合问题精品

1.2 排列与组合第四课时组合问题一、课前准备 1．课时目标(1) 会处理一些复杂的组合问题； (2)能解决的排列组合综合应用题 2．基础预探排列组合问题的常见策略为：（1）特殊元素____安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题______的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题______处理的策略；（6）不相邻问题____处理的策略；（7）定序问题等概率除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略。

二、学习引领1. 处理排列组合问题的基本步骤是什么？首先判断这个问题是组合问题还是排列问题，即看取出的元素能否交换位置：若能则为组合问题，否则为排列问题；其次要注意两个基本原理的灵活应用，对问题进行合适的分类与分步，转化为多个简单的问题处理，但要注意有无重复或遗漏. 2. 如何解答有限制条件的组合问题？解决有限制条件的组合问题的基本方法有两种：直接法和排除法。

直接法求解时应坚持特殊元素优先选取的原则，再处理其它一般元素；若正面处理问题时需要讨论的情况比较多，计算量较大，不妨从问题的反面入手利用排除法解决。

一般含有“至多”、“至少”等组合问题多用此法解决，体现了正难则反的策略。

3.如何处理分组分配问题？分组分配问题是一类常见的排列组合综合应用题，它的常见形式是这样的：n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分组分配问题。

一般有定定向分配和不定向分配两种问题。

解决这个问题的关键是先对元素进行的恰当的分组，然后再分配。

将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组（如将6个元素，分成3个一组、2个一组一个一组分为3组）、平均分组（如将6个元素，分成每2个一组分为3组）和部分平均分组（如将6个元素，分成4个一组、1个一组、1个一组分为3组）三种情况。

其中出现平均分组和部分平均分组问题时要去掉顺序即若平均分为m组则除以mm A 。

最新整理高中数学人教A版选修2-3课后导练：1.2.1排列(一) Word版含解析.doc

课后导练基础达标1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从2、3、5、7、11中任取两数相乘可得多少不同的积?(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少不同的商?(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果?(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种?解析：(1)不是 (2)是 (3)是 (4)是2.写出下面问题中所有可能的排列.(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数?(2)A 、B 、C 、D 四名同学站成一排照相，写出A 不站在两端的所有可能的站法，共有多少种?解析：(1)所组成的两位数是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43共12 个.(2)所有可能的站法为：BACD 、BADC 、BCAD 、BDAC 、CABD 、CADB 、CBAD 、CDAB 、DACB 、DABC 、DBAC 、DCAB 共12种.3.从0，3，4，5，7中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项，则可做出的不同方程的个数是( )A.10B.24C.48D.60解析：由于二次项系数不能为0，故只能从3，4，5，7中任选一个，其他两个系数没有限制，故共可做出14A ·24A =48(个)不同的方程.答案：B4.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种解析：因甲、乙两个要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有55A 种排法，但甲、乙两人之间有22A 种排法，由乘法原理可知，共有55A ·22A =240种不同排法.选(C)5.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法(只要求写出式子，不必计算)?解析：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为66A 种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为47A ·66A 种.综合运用6.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种( )A.4544A AB.354433A A AC.554413A A CD.554422A A A解析：选把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有22A 种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为554422A A A ，故选D.7.从{1，2，3，4，…，20}中任选三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有( )A.90B.180C.200D.120解析：从其中10个奇数中任选两个作为等差数列的首项和末项，则它们的等差中项为自然数(唯一确定)，这样的等差数列有210A 个.同理，从其中10个偶数中任选两个作为等差数列的首项和末项的等差数列，也有210A 个，故共有2102A 个，选B.8.把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有( )A.36种B.120种C.720种D.1 440种解析：本题相当于6个不同元素站成一排，共有66A =720种，故选C.9.由1，2，3，4，5组成比40 000小的没有重复数字的五位数的个数是__________. 解析：要比40 000小首位数只能是1，2，3，所以应为13A ·14A =72个.答案：72.拓展探究10.如图，在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一植物，相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案. 解析：给六块区域依次标上字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，按间隔三块A ，C ，E 种植植物的种数分三类：1)若A ，C ，E 种同一种植物，有4种种法.当A ，C ，E 种植好后，B ，D ，E 各有3种种法.此时共有4×3×3×3=108种；2)若A ，C ，E 种2种不同植物，有24A 种种法.在这种情况下，若A ，C 种同一植物，则B 有3种种法，D ，F 各有2种种法；若C ，E 或E ，A 种同一植物，情况相同(只是次序不同)，此时共有24A ×3(3×2×2)=432种；3)若A ，C ，E 种3种不同植物，有34A 种种法.这时，B ，D ，F 各有2种种法.此时共有34A ×2×2×2=192种. 综上所述，不同的种植方案共有N=108+432+192=732(种).拓展探究11.从6名志愿者中选出4人分别从事保健、翻译、导游、保洁四项不同工作，若其中两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有( )A.280种B.240种C.180种D.96种解析：可分三类：不能从事翻译工作的两名志愿者有0人当选、1人当选、两人当选.于是选派方案共有：24233413142A A A A A ∙+∙+=240(种),故选B. 12.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12解析：可分两类：一类是这两个节目相邻，另一类是这两个节目不相邻，于是不同插法的种数为262216A A A +∙=42,故选A.13.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )A.24种B.18种C.12种D.6种解析：由于黄瓜必须种植，故只需从剩下的3种蔬菜品种中再选出2种进行种植即可，不同的种植方法共有：13A ·23A =18种，故选B.14.有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其他书3本.将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法种数之比为( )A.1∶14B.1∶28C.1∶140D.1∶336 解析：28188552233=∙∙A A A A ,选B. 15.有三张卡片的正反两面分别写有数字1和2，4和5，7和8，将它们并排组成三位数，不同的三位数的个数是__________________.解析：分两步：第一步先从每张卡片中各选一数字，第二步把这三个数字全排列，故可组成的不同的三位数有23·33A =48(个)，故填48.16.晚会上有8个歌唱节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数( )A.88AB.811AC. 3988A A ∙D.88A ·38A解析：这是一个不相邻问题，故可用插空法来求，不同节目单的种数为3988A A ∙,故选C.。

高中数学2016-2017学年新课标人教A版选修2-3学案：1.2

1.2 排列与组合第二课时条件排列一、课前准备1．课时目标(1)会处理一些常见的条件排列问题；(2)能解决排列与计数原理综合应用问题.2．基础预探常见的条件排列问题有如下几种：相邻问题用_________，不相邻问题用_________;特殊元素应该__________;正面不好处理应该用__________;问题出现的有几类应该用________。

二、学习引领1.捆绑法、插空法如果要解决的问题中有特殊元素必须相邻，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列；如果有特殊元素必须不相邻问题，一般用“插空法”，先将不能相邻元素以外的普通元素的全排列，然后在普通元素之间的空隙及两端插入不能相邻元素.2.元素或位置优先法如果要解决的问题中，有特殊要求的位置（或者元素），则优先按照此元素（或位置）的要求安排好，再处理剩余的一般元素。

3.排除法如果要解决的问题从正面解决情况太多，运算复杂，计算繁琐，而反面的情况较少，容易处理，则常用排除法解决。

处理的步骤为：首先不考虑附加条件，先列出所有元素的全排列，再从中减去不满足特殊元素要求的排列数。

此法也常用于解决部分几何问题。

4.分类讨论法如果要解决的问题有很多类情况，直接解决比较困难时，可考虑将问题分为几类，从而化为比较简单的几类的解决，最后结合分类计数原理求得总的解决方法。

三、典例导析题型一捆绑法与插空法例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，探究下列情形各有多少种不同的排法？（1）男、女生分别排在一起；（2）男女相间；思路导析：由题意易知（1）问中需要男女生先捆绑后，再排列；（2）需将男生排列后，再将女生插入形成的空隙中。

解：（1）先将男、女生分别捆绑共有4545A A 种，再将这两个大元素排列共有2452455760A A A 种.（2）先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插入形成的5个空中，有55A 种方法，故共有44A 55A ＝2880种.规律总结：插空法、捆绑法是解决必须相邻和必须不相邻的常用方法，处理的过程简记为：元素要相邻，看成一整体；元素不相邻，见缝插进去.变式训练（1）某摄影爱好者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种题型二：元素或位置优先法与分类讨论法例2 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个无重复数字的四位偶数？思路分析：要得到4位无重复数字的偶数，需要按照个位分三类：末位为0、 2、4；末位为2、4、时，还要注意首位不能为0.解：符合条件的四位偶数可以分为三类：第一类：0在个位时有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有14A 种.十位和百位从余下的数字中选，有24A 种，于是共有1244A A ⋅个. 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1244A A ⋅个. 由分类加法计数原理知，共有四位偶数的个数为35A ＋1244A A ⋅＋1244A A ⋅＝156个. 规律总结：不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有：奇偶数、位数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系等，解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的隐含条件“0不能在首位”不能疏忽. 变式训练（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）能组成多少个无重复数字能被5整除的五位数？（2）能组成多少个比1325大的四位数？题型三：排除法例3 肖林家有八只荷兰猪，肖林同学把它们排成一列，其中甲、乙、丙三只荷兰猪中有两只相邻但这三只荷兰猪不同时相邻的排列法有多少种？思路导析：先不考虑荷兰猪需要满足的限制条件全排列，然后去掉其中不满足题意的排列。

高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案

1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）．组合数及组合数的公式从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．

2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：1-2

1．2排列与组合1．2.1排列(一)[学习目标]1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．[知识链接]1．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．2．排列与排列数的区别是什么？答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．[预习导引]1．排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．3．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！.要点一排列的概念例1判断下列问题是否是排列问题(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．∴(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．规律方法确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认．(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．跟踪演练1下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．要点二列举法解决排列问题例2(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解(1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．规律方法“树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．跟踪演练2将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB ，DCBA ，共有9种排法．要点三排列数公式的应用例3 求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)；(2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59； (3)解方程：A 42x ＋1＝140A 3x .解 (1)因为55－n ，56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1； (3)根据原方程，x 应满足⎩⎨⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *解得x ≥3，x ∈N *.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)．因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)．即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，所以应舍去)．所以原方程的解为x ＝3. 规律方法 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m 较小时的含排列数的方程和不等式问题．2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算．跟踪演练3 (1)解不等式：A x ＋28＜6A x8；(2)证明 A n ＋1n ＋1－A n n ＝n A n n ，并用此结论计算A 11＋2A 22＋3A 33＋…＋8A 88.(1)解原不等式等价于⎩⎨⎧8！[8－（x ＋2）]！＜6×8！（8－x ）！，x ＋2≤8且x ∈N *，整理得⎩⎨⎧x 2－15x ＋50＜0，x ≤6且x ∈N *. 即5＜x ≤6且x ∈N *，从而解得x ＝6.(2)证明 A n ＋1n ＋1－A nn ＝(n ＋1)！－n!＝(n ＋1)n ！－n ！＝n ·n ！＝n A n n .A 11＋2A 22＋3A 33＋…＋8A 88＝(A 22－A 11)＋(A 33－A 22)＋…＋(A 88－A 77)＋(A 99－A 88) ＝A 99－A 11＝9！－1＝362 879.题型四排列的简单应用例4 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个科研小课题由高二·三班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二·三班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？解 (1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法是A 35＝5×4×3＝60(种)．(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题，共有5×5×5＝125种不同的安排方法．跟踪演练4 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？解 (1)A 36＝120(个)．(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝216(个)．(3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有3×6×5＝90(个).1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④B．①②C．④D．①③④答案 A解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙答案 C解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑．3．设m∈N*，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．A615－m B．A15－m20－mC．A620－m D．A520－m答案 C解析因为15－m，16－m，…，20－m中的最大数为20－m，且共有20－m－(15－m)＋1＝6(个)．所以(15－m)(16－m)…(20－m)＝A620－m.4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．答案 1 680解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准． 2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.一、基础达标1.A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36答案 D 解析A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36.2．18×17×16×…×9×8＝( )A ．A 818B ．A 918C ．A 1018D ．A 1118答案 D 3．若x ＝n ！3！，则x ＝ ( )A ．A 3nB ．A n －3nC ．A n 3D ．A 3n －3答案 B4．与A 710·A 22不等的是 ( )A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 1010答案 B5．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．7答案 A6．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝________， m ＝________. 答案 17 147．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？解坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200种坐法．二、能力提升8．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有 ( )A ．50B ．60C ．120D ．90答案 C解析 5本书进行全排列，A 55＝120.9．(2013·四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是 ( )A ．9B ．10C ．18D ．20答案 C解析首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.10．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)．答案 60解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)．11．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解 (1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A 216＝16×15＝240. (2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A 28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.12．判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信．解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题； (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．三、探究与创新13．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62. ∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31， ∵m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N * ∴⎩⎨⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m＝2，n＝15，故原有15个车站，现有17个车站．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

高中数学人教A版选修2-3课时训练1.2 排列与组合2(一) Word版含答案

．组合(一)[学习目标]．理解组合及组合数的概念．．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．[知识链接]．排列与组合有什么联系和区别？答排列与组合都是从个不同元素中取出个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果．．两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？答两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．[预习导引]．组合的概念一般地，从个不同元素中取出(≤)个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．．组合数的概念从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．．组合数公式＝)＝＝(，∈*，≤).要点一组合概念的理解例判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．()人相互通一次电话，共通多少次电话？()支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？()从个人中选出个作为代表去开会，有多少种选法？()从个人中选出人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解()是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为＝.()是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为＝.()是组合问题，因为个代表之间没有顺序的区别，组合数为＝.()是排列问题，因为个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为＝.规律方法排列、组合问题的判断方法()区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．()区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪演练判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．()若已知集合{，，，，，，}，则集合的子集中有个元素的有多少？()人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？()在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解()已知集合的元素具有无序性，因此含个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有个．()发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了个电子邮件．()飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有种票价．要点二组合数公式的应用。

2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3练习：1.2.1.2 排列的综合应用

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有()A．25种B．55种C．A55种D．53种【解析】其不同的轮映方法相当于将5所大学的全排列，即A55.【答案】 C2．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有()A．6种B．9种C．18种D．24种【解析】先排体育有A13种，再排其他的三科有A33种，共有3×6＝18(种)．【答案】 C3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】先排除A，B，C外的三个程序，有A33种不同排法，再排程序A，有A12种排法，最后插空排入B，C，有A14·A22种排法，所以共有A33·A12·A14·A22＝96种不同的编排方法．【答案】 C4．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A．24种B．36种C．48种D．72种【解析】分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理，共有A24＋2A24＝36种不同的安排方案．【答案】 B5．(2016·韶关检测)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．288个B．240个C．144个D．126个【解析】第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A13种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A13A34个数；第2类，个位数字是4，有A13A34个数；第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A14种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A14A34个数．由分类加法计数原理，可得共有2A13A34＋A14A34＝240个数．【答案】 B二、填空题6．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个. 【导学号：97270014】【解析】若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．【答案】187．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．【答案】968．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．【解析】可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法．由分步乘法计数原理得，共有A222A22A15＝40种不同的排法．【答案】40三、解答题9．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？【解】(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法．10．(2016·上饶二模)有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．【解】所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个颜色互不相同有4A 33＝4×3×2×1＝24种，所以这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．[能力提升]1．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．10种B ．12种C ．9种D ．8种【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A 33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A 12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A 33·A 12·1＝12(种)不同的排列方法．【答案】 B2．(2016·武汉调研)安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )A ．180B ．240C ．360D ．480【解析】不同的排法种数先全排列有A 66，甲、乙、丙的顺序有A 33，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×A 66A 33＝480种．【答案】 D3．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有________种(用数字作答)．【解析】法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20种排法，其余5天再进行排列，有A55＝120种排法，所以共有20×120＝2 400种安排方法．法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A77＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040种方法，其中不符合要求的有A22A55＋A12A15A22A55＝2 640种方法，所以共有5 040－2 640＝2 400种方法．【答案】 2 4004．(2016·山东临沂月考)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)女生互不相邻．【解】(1)法一：元素分析法．先排甲有6种，再排其余人有A88种，故共有6·A88＝241 920(种)排法．法二：位置分析法．中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×730＝241 920(种)排法．法三：等机会法.9个人全排列有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等＝241 920(种)．的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69法四：间接法．A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人．共有A22·A77＝10 080(种)排法．(3)插空法．先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880(种)排法.。

【精品习题】高中数学人教A版选修2-3练习：1.2.1.1 排列与排列数公式 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④【解析】根据排列的概念知①④是排列问题．【答案】 A2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )A．6个B．10个C．12个D．16个【解析】符合题意的商有A24＝4×3＝12.【答案】 C3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) 【导学号：97270010】A．8 B．12C．16 D．24【解析】设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.【答案】 B4．(2016·日照高二检测)下列各式中与排列数A m n相等的是( )A.n！n －m＋1B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A mn－1 n－m＋1D．A1n A m－1n－1【解析】A m n＝n！n －m，而A1n A m－1n－1＝n×n－1n －m＝n！n－m，∴A1n A m－1n－1＝A m n.【答案】 D5．不等式A2n－1－n<7的解集为( )A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{4}【解析】由A2n－1－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈N*且n－1≥2，所以n＝3,4.故选C.【答案】 C二、填空题6．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．【解析】因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．【答案】 37．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．【解析】这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．【答案】③8．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.【解析】15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.【答案】15 6三、解答题9．下列问题中哪些是排列问题？(1)5名学生中抽2名学生开会；(2)5名学生中选2名做正、副组长；(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；(5)6位同学互通一次电话；(6)6位同学互通一封信；(7)以圆上的10个点为端点作弦；(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．【解】(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．10．证明：A k n＋k A k－1n＝A k n＋1.【解】左边＝n！n －k＋kn！n－k＋1＝n！ [n－k＋1k]n －k＋1＝n＋1n！n －k＋1＝n＋1n－k＋1，右边＝A k n＋1＝n＋1n －k＋1，所以A k n＋k A k－1n＝A k n＋1.[能力提升]1．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数字是( )A．8 B．5 C．3 D．0【解析】因为当n≥5时，A n n的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A11＋A22＋A33＋A44＝33.【答案】 C2．若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )A．A827－a B．A27－a34－aC．A734－aD．A834－a【解析】A834－a＝(27－a)(28－a)…(34－a)．【答案】 D3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种. 【导学号：97270011】【解析】司机、售票员各有A44种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A4 4A44种不同的安排方法．【答案】5764．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？【解】对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．。

人教版高中数学选修2-3练习：1.2.1.1排列与排列数公式

学业分层测评(建用： 45 分 )[ 学达 ]一、1．以下属于摆列的是()①从 10 个人中 2 人分去种和地；②从 10 个人中 2 人去地；③从班上 30 名男生中出 5 人成一个球；④从数字 5,6,7,8 中任取两个不一样的数作log a b 中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④【分析】依据摆列的观点知①④是摆列．【答案】A2．从 2,3,5,7 四个数中任两个分相除，获得的果有() A．6 个B．10 个C．12 个D．16 个【分析】切合意的商有 A 42＝ 4×3＝12.【答案】C3．某段路全部站共行 132 种一般票，那么段路共有的站数是 () 【学号： 97270010】A．8B．12C．16D．24【分析】2站数 n， A n＝ 132， n(n－1)＝132，∴n＝12.【答案】B4．(2016 ·照高二日 )以下各式中与摆列数 A m n相等的是 () n！A.n－m＋！B．n(n－1)(n－ 2) ⋯(n－m)mnA n－1 C.n－m＋11 m－ 1 D．A n A n－1【分析】n！，A n m＝n－ m！1 m－1而 A n A n－1＝n×1 m－ 1m ∴A n A n－1＝ A n .n－！＝n！，n－ m！n－ m！【答案】D．不等式A n2－1－n<7的解集为()5A．{ n|－1<n<5}B．{1,2,3,4} C．{3,4}D．{4}【分析】2由 A n－1－n<7，得 (n－1)(n－2)－n<7，即－ 1<n<5，又由于 n∈N*且n－1≥2，所以n＝3,4.应选C.【答案】C二、填空题6．会合 P＝{ x|x＝A m4，m∈N* } ，则会合 P 中共有 ______个元素．【分析】*123由于 m∈N，且 m≤4，所以 P 中的元素为 A 4＝4，A 4＝12，A4＝A44＝24，即会合 P 中有 3 个元素．【答案】37．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的全部站法为________．(填序号 )①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．【分析】这是一个摆列问题，与次序相关，随意两人对应的是两种站法，故③正确．【答案】③m8．假如 A n＝ 15×14×13×12×11×10，那么 n＝________，m＝________.【分析】15×14×13×12×11×10＝A 156，故 n＝15， m＝6.【答案】156三、解答9．以下中哪些是摆列？(1)5 名学生中抽 2 名学生开会；(2)5 名学生中 2 名做正、副；(3)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘；(4)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相除；(5)6 位同学互通一次；(6)6 位同学互通一封信；(7)以上的 10 个点端点作弦；(8)以上的 10 个点中的某点起点，作另一点的射．【解】(2)(4)(6)(8)都与序相关，属于摆列；其余不是摆列．10．明： A k n ＋kA k n － 1＝A k n ＋ 1.【解】左＝n ！ n ！n －k ！＋k！n － k ＋＝n ！n － k ＋＋ k] n － k ＋！n ＋ n ！n ＋！＝！＝，n － k ＋n －k ＋！右＝ A n k ＋ 1＝n ＋n －k ＋kk － 1k所以 A n ＋ kA n ＝A n ＋ 1.！，！ [ 能力提高 ]．若1 2 3 4100)S ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋⋯＋A 100， S 的个位数字是 (1A ．8B ．5C ．3D ．0【分析】n0，故 S 的个位数取决于前四个排因当 n ≥5 ， A n 的个位数是列数，又 A 11＋ A 22＋A 33＋A 44＝ 33.【答案】 C．若a ∈N *，且 a<20， (27－a)(28－a) ⋯(34－a)等于 ( )2A ．A827－ a 7827－aB ．A 34－ aC ．A 34－aD ．A 34－a【分析】 A 348 －a＝ (27－ a)(28 －a)⋯(34－a)．【答案】D3．有 4 名司机， 4 名售票员要分派到 4 辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分派方法有________种. 【导学号： 97270011】【分析】司机、售票员各有 A 44种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A44A 44种不一样的安排方法．【答案】5764．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间 )多少种不一样的火车票？【解】关于两个大站 A 和 B，从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同，由于每张车票对应于一个起点站和一个终点站．所以，每张火车票对应于从6 个不一样元素 (大站 )中拿出 2 个元素 (起点站和终点站 )的一种摆列．所以问题归纳为从 6 个不一样元素中拿出 2 个不一样元素的摆列数 A 26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备 30 种不一样的火车票．。

【三维设计】人教A版数学选修2-3全册练习：1.2.1 第一课时排列与排列数公式(含答案解析)

[课时达标检测]一、选择题1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．2．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由A 2n ＋1－A 2n ＝10，得(n ＋1)n －n(n －1)＝10，解得n ＝5.3.A 67－A 56A 45＝( ) A ．12B ．24C ．30D ．36 解析：选D A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 4．若n ∈N *，n<20，则(20－n)(21－n)(22－n)…(29－n)·(30－n)等于( )A ．A 1020－nB ．A 1120－nC ．A 1030－nD ．A 1130－n解析：选D 从(20－n)到(30－n)共有11个数，其中最大的数为30－n.5．(兰州模拟)要从a ，b ，c ，d ，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a 不能当副组长，则不同的选法种数是( )A ．20B ．16C ．10D ．6解析：选B 不考虑限制条件有A 25种选法，若a 当副组长，有A 14种选法，故a 不当副组长，有A 25－A 14＝16种不同的选法．二、填空题6．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成______________个以b 为首的不同的排列，它们分别是________________________________________________________________________. 解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed.答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed7．集合P ＝{x|x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素．解析：因为m ∈N *，且m≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24，即集合P 中有3个元素．答案：38．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则c ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A 、B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A 26＝30条．答案：30三、解答题9．解不等式：A 42x ＋1>140A 3x .解：根据原方程，x ∈N *，且应满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x≥3，解得x≥3. 根据排列数公式，原不等式可化为(2x ＋1)·2x·(2x －1)·(2x －2)<140x·(x －1)·(x －2)．∵x≥3，∴两边同除以4x(x －1)，得(2x ＋1)·(2x －1)<35(x －2)，即4x 2－35x ＋69<0，解得3<x<534. ∵x ∈N *，∴x ＝4或x ＝5.10．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A25＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.。

人教版数学高二A版选修2-3教材习题点拨 1.2 排列与组合

教材习题点拨1.2.1 排列1．思考：你能归纳一下排列的特征吗？解：排列的两个特征：一是“取出元素”；二是“按一定的顺序排列”． 2．？你能概括一下排列数公式的特点吗？解：排列数公式的特点是：右边第一个因数是n ，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n －m ＋1，共m 个连续的正整数相乘．练习1．解：(1)设这4个不同元素分别为a ，b ，c ，d ，则从中任取2个元素的所有排列为：ab ，ac ，ad ，ba ，bc ，bd ，ca ，cb ，cd ，da ，db ，dc ；(2)设这5个不同元素分别为a ，b ，c ，d ，e ，则从中任取2个元素的所有排列为：ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，cd ，ce ，da ，db ，dc ，de ，ea ，eb ，ec ，ed .点拨：直接应用排列的定义．2．解：(1)415A ＝15×14×13×12＝32 760； (2)77A ＝7！＝5 040；(3)4288A 2A -＝8×7×6×5－2×8×7＝1 568；(4)871212771212A 5A =5A A =. 点拨：应用排列数公式． 3．解：点拨：4．证明：(1)A mn ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×(n －m ＋1)＝n ×{(n －1)×(n －2)×…×[(n －1)－(m －1)＋1]}＝11A m n n --；(2)876877777876877777A 8A 7A A 8A A 8A 7A A ---+=+==.点拨：利用排列数公式化简即可得到答案． 5．解：60.点拨：从5名运动员中选3名，即为从5个数中选3个数的排列． 6．解：24.点拨：从4种蔬菜中选3种，种在3种不同的地上，即为从4个数中选3个数的排列． 1.2.2 组合1．探究：对于本题的(2)，你还能想到别的解决方法吗？解：还可以这样来分步：第一步，从17人中选1人担任守门员，有117C 种选法；第二步，从剩下的16人中选10人，有1016C 种选法，所以共有选法1101716C C =136 136⋅(种)．2．探究：你能根据上述思想方法，利用分类加法计数原理，证明下列组合数的性质吗？性质2 11C =C +C m m m n n n -+证明：可以根据组合的定义与分类加法计数原理得出．从a 1，a 2，…，a n ＋1这(n ＋1)个不同的元素中取出m 个的组合数是1C mn +，这些组合可以分成两类，一类含有a 1，一类不含a 1.含有a 1的组合是从a 2，a 3，…，a n ＋1这n 个元素中取出(m －1)个元素与a 1组成的，共有1C m n-个；不含a 1的组合是从a 2，a 3，…，a n ＋1这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有C mn 个．根据分类加法计数原理，得11C =C +C m m m n n n -+.练习1．解：(1)甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁； (2)点拨：(1)2．解：△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BCD . 点拨：4个点中选3个不用排序，属于组合问题． 3．解：20.点拨：6门课中选3门，不用考虑顺序，属于组合问题． 4．解：6.点拨：不用考虑顺序，直接利用组合数公式． 5．解：(1)2665C =1521⨯=⨯； (2)38876C =56321⨯⨯=⨯⨯；(3)3276C C =3515=20--；(4)32853C 2C =356210=148-⨯-⨯. 点拨：应用组合数公式．6．解：111C 1m n m n ++++ ＝11!11![11]!m n n m n m +(+)⋅+(+)(+)-(+) ＝!=C !!m n n m n m (-).点拨：应用组合数公式证明．习题1.2A 组1．解：(1)348；(2)64. 点拨：用计算器计算．2．解：(1)455；(2)1 313 400；(3)27；(4)212n n (-).点拨：用计算器计算．注意1973200200C =C .3．证明：(1)+121+11A A (1)A A A A n n n n n n n n n n n n n n n ---+-===；(2)1!!!1!n n k k (+)-(-) ＝()1!1!!!!n k n n k n k k -+(+)-⋅=.点拨：利用排列数公式及其性质以及阶乘的性质转化证明． 4．解：48A ＝1 680.点拨：由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关． 5．解：24.点拨：就是对4个单位进行全排列． 6．解：2020A .点拨：由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列．7．解：可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法．所以不同的排法有432432A A A =288⋅⋅种．点拨：本题是一道有限制条件的排列问题，要注意根据题目的要求合理安排分步的顺序． 8．解：由于n 个不同元素的全排列共有n ！个，而n ！≥n ，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同．为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是n ！.点拨：本题的关键在于明确题中条件，从而得出结果．9．解：(1)由于圆上任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画210C ＝45条不同的弦；(2)由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310C ＝120个．点拨：本题中所作的弦及内接三角形与点的顺序无关，所以属于组合问题．10．解：(1)凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线25C －5＝5条；(2)与(1)同理可得对角线条数为23C 2n n n n (-)-=. 点拨：本题应用间接法求解更方便，要注意减去的是哪些情况．11．解：可分为有1张、2张、3张、4张人民币组成的币值共四类，共有不同的币值种数为12344444C +C +C +C =15.点拨：由于四张人民币的币值都不相同，组成的币值与顺序无关，所以可以分以上四类． 12．解：(1)由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以可确定的平面数是38C ＝56.(2)由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以可确定的四面体个数是410C ＝210.点拨：本题所求的平面及四面体均与所选点的顺序无关，所以是组合问题． 13．(1)35C ＝10；(2)35A ＝60；(3)35＝243；(4)mn .点拨：(1)由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题；(2)由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题；(3)由于5个人中每个人都有3种选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列问题”；(4)由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A 中取，有m 种取法；第二步，从集合B 中取，有n 种取法，所以共有取法mn 种．14．解：可以分三步分别从第1,2,3题中选题，不同的选法种数为321432C C C =24. 点拨：由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题． 15．解：(1)2254C C =60⋅；(2)其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有27C =21种选法；(3)用间接法，在9人中选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为4497C C =91-；(4)用间接法，在9人中选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954C C C =120--.点拨：由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题．16．解：按照去的人数分类，去的人数分别为1,2,3,4,5,6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有123456666666C +C +C +C +C +C =63种．点拨：由于只要有人去就行，而没有限制去的人数，所以可以按去的人数分类． 17．解：(1)3198C =1 274 196；(2)142198C C =124 234 110⋅；(3)5198C =2 410 141 734；(4)方法1：3141982198C +C C =125 508 306⋅.方法2：55200198C C =125 508 306-.B 组1．解：由题意从37个数中选7个数有737C 种方法，其中与一等奖的7个数完全相同的只有一注，即737C 注彩票中可有一个一等奖．设取x 个数，则500 000≤37C x≤6 000 000，且x ∈N ，解得x ＝6或31. ∴可在37个数中取6个或31个数．2．解：可以按照Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的顺序分别着色，分别有5,4,3,3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180种．点拨：此题属于分步乘法计数原理的应用．3．解：分三步完成：第一步，从1,3,5,7,9中取三个数，有35C 种取法；第二步，从2,4,6,8中取两个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法．共有符合条件的五位数325545C C A 7200=个．点拨：本题的关键是注意到先取元素后排列．4．解：由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其他三人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2,3,4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法．所以名次排列的可能情况的种数是113333A A A =54.5．解：等式两边都是两个相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法．在n 个人中选择m 个人打扫卫生，其中k 个人擦窗，m －k 个人拖地，问共有多少种不同的选取人员的方法？解法一：利用分步乘法计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有C C m kn m 种不同的选取人员的方法；解法二：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n －k 个人中选m －k 个人拖地，这样，由分步乘法计数原理，得共有C C km kn n k --种不同的选取人员的方法．所以C C =C C m k k m kn m n n k --⋅⋅.点拨：从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于我们对问题的深入理解，检查结果，纠正错误．。

高中数学人教a版选修2-3第一章1.2.1《排列概念与排列数公式》【练习】(教师版).docx

1.2.1 排列概念与排列数公式一、选择题1．某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．30种【答案】B【解析】由枚举法得选择的3天中恰好有2天连续的情况有4+3+3+3+3+4=20种，故选B.2．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A ．2种B ．10种C ．12种D ．14种【答案】D【解析】甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有1624=种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有2种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有14216=-种.3．6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A ．60B ．96C ．48D ．72【答案】C【解析】先把乙和丙，丁和戊看作两个整体进行排列有332A 种，再考虑乙和丙，丁和戊排法得共有3223222A A A 48=种，故选C ． 4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.960种C.720种D.480种【答案】B【解析】可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有25A 20=种排法；第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有44A 24=种排法；第三步，2名老人之间的排列，有22A 2=种排法，最后三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法.5．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A ，若灯A 不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A.12B.28C.54D.63【答案】D【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a 、b 、c ，支线a ，b 中至少有一个电阻断路情况都有2213-=种；支线c 中至少有一个电阻断路的情况有3217-=种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7=63种情况.故选D.6．如图，一环形花坛分成,,,A B C D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为（）A ．96B ．84C ．60D ．48【答案】B【解析】按A B C D ---顺序种花，可分,A C 同色与不同色，有()431322=84⨯⨯⨯+⨯种.故选B.二、填空题7．由1,2,3,4可以组成个没有重复数字的正整数．【答案】64【解析】组成的正整数可以是一位数、两位数、三位数和四位数，共分4类，所有共有12344444A A A A 64+++=个不同的无重复数字的正整数.8．某校举办优质课比赛，决赛阶段共有6名教师参加．如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场，且最后一个出场的只能是甲或乙，则不同的出场方案共有种．【答案】96 【解析】若甲或乙第一个出场，则最后一个出场的为乙或甲，有2424A A 48=种，若丙第一个出场，则最后一个出场的为乙或甲，故1424A A 48=种，根据分类计数原理，不同的安排方案共有48+48=96种. 三、解答题9．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数.【解析】（1）先排个位，再排首位，共有112344A A A 144⋅⋅=个．（2）以0结尾的四位偶数有35A 个，以2或4结尾的四位偶数有112244A A A ⋅⋅个，则共有31125244A A A A 156+⋅⋅=个．（3）45、作千位时有352A 个；3作千位，245、、作百位时有243A 个；3作千位，1作百位时有132A 个，所以共有3215432A 3A 2A 162++=个．10．7名师生站成一排照相留念．其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况中，各有不同的站法多少种．（1）2名女生必须相邻；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．【解析】（1）2名女生站在一起有22A 种站法，视为一个元素与其余5人全排，有66A 种排法，∴有不同站法2626A A ＝1440种．（2）先站老师和女生，有33A 种站法，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插男生，每空一人，有插入方法44A 种，∴共有不同站法3434A A ＝144种．（3）7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有44A 种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．∴共有不同站法2·7744A A ＝420种．（4）中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有115245A A A 种站法．②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外4个位置之一，有214444A A A 种站法．∴共有不同站法115245A A A ＋214444A A A ＝960＋1 152＝2 112种．。

山西省忻州市第一中学2016-2017学年高二数学人教A版选修2-3课堂练习：1.2排列与组合缺答案

§1.2 排列与组合－排列（一）（总第5课时）【典型例题】例1．从a, b，c，d这四个字母中取出两个进行排列,（1）用计数原理计算总共有多少个排列?（2)写出所有排列，数出个数；（3)两种方法所得排列数一样吗？例2．12名选手参加民歌大赛，比赛设一等奖,二等奖，三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，一共有多少种不同的获奖情况？【课堂练习】1．计算①4A错误!+5A错误!；②A错误!+A错误!+A错误!+A错误!；③错误!．2。

(1)一天有六节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法?（2）上午有4节课，一个教师要上三个班级的课，每个班一节课,这个教师的课有几种排法？§1。

2 排列与组合－排列(二)（总第6 课时)【典型例题】用0,1,2，3,4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2)能组成多少个四位数？（3)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(4）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?（5）能组成多少个比1325大的四位数?【课堂检测】7个人排成一排．(1）一共有多少种不同的排列方法？（2)其中甲必须排在中间的排法有多少种？（3）其中甲不能排在最后一个位置的排法有多少种?（4)其中甲不能排在第一个位置，也不能排在最后一个位置的排法有多少种？§1。

2 排列与组合－排列(三）（总第7课时）【典型例题】例1。

三个女生和三个男生排成一排,（1）男生甲不能排在首位，可有多少种不同的排法？（2）男生甲不能排在首位,男生乙不能排在末位，可有多少种不同的排法？(3）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（4)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法?（5）如果女生必须全分开，男生必须全分开，可有多少种不同的排法？（6)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的站法？（7）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的站法?（8）如果三名女生排列顺序固定，但位置不定,可有多少种不同的排法？【课堂检测】某小组6个人排队照相留念。