1 勾股定理

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人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理

下列说法中,正确的是
（
）
下列说法中,正确的是
（
）
2.你还有什么疑问，问问老师。通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和，则斜边长为
.
第1课时勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2

1.勾股定理

AB 2 AC 2 BC 2 即AB 2 122 52 169 Q AB 0, AB 13
∴电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+13米＝18米
2.填空（1）直角三角形的两边长分别是3和4，则另一边长为________ 5 或 7；（2）边长为a的正方形对角线长___ ； 2a
勾 3
弦5 股4
勾股数组：如果a，b，c都是正整数，且满足a² +b² =c² ，则称a，b，c为一组勾股数组.
常用的勾股数：
3，4，5；
7，24，25； 6，8，10；
5，12，13；
9，40，41；… 8，15，17；
勾股数小常识：
(1)a² +b² =c² ，满足(a，b，c)=1 则a，b，c，为基本勾股数如：3、4、5； 5、12、 13；7、24、25…… (2)如果a，b，c是一组勾股数，则ka、kb、kc （k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……
个新的正方形.要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
图④
图⑤
方法二
刘徽证法
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理.
2.解决如下问题：如图，边长分别为9和3的两个正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.
3；（3）边长为1的正三角形面积为___ 4 2 5 （4）直角三角形两条直角边分别长1和2，则斜边上的高长________ 5
D
（5）在A港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 海里的速度前进，乙船沿南偏东30的方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达B岛，乙船到C岛，求B、C之间的距离. 34海里

直角三角形-勾股定理1上海学

第讲勾股定理知识点睛1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a, b ，斜边长为c ，那么222a b c +=。

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明方法：法1（赵爽：内弦图）：甲的面积=（大正方形面积）-（4个直角三角形面积）．法2（赵爽：外弦图）：：四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积，222()ab a b c +-=，22222ab a ab b c +-+=，∴222a b c +=法3（美国第20任总统伽菲尔德的证法）：2111()()2222a b a b ab c ++=⨯+ 梯形面积=三个直角三角形的面积和22()2a b ab c +=+ 22222a ab b ab c ++=+∴222a b c +=法4（毕达哥拉斯的旋转证法）：若设AB=a ，BC=b ，DB=c ，则梯形A′B′BC 面积()()()21122S a b a b a b =++=+梯形ABBC ，又"""2111222BCD A B D DBB S S S S ab c ab ∆∆∆=++=++""梯形A B BC ，所以()2211112222a b ab c ab +=++，则22222a b ab c ab ++=+，即222a b c +=。

甲c ccbababa cb acb acb aab ca bcb-ab-acc cc甲丙乙ab cabc法5（新娘图法）：用方格来验证勾股定理法6（欧几里得证法）：如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2，同理可证 S BLMD=a2．相加得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．法7：如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC，相加得所以 c2=a2+b2．练习：用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：（1）赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．CBA3、由勾股定理的基本关系式222a b c +=，还可得到一些变形关系式如：22c a b =+，222()()a c b c b c b =-=+-，22a c b =-，222()()b c a c a c a =-=+-，22b c a =-等。

第1讲勾股定理

第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

若直角三角形的两条直角边为a 、 b ，斜边为c ，则a ²+b ²=c ²。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a ²+b ²=c ²，那么这个三角形是直角三角形。

3．满足a ²+b ²=c ²的三个正整数，称为勾股数。

若a ，b ，c 是一组勾股数，则ak ，bk ，ck （k 为正整数）也必然是一组勾股数。

常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。

4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。

5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。

6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。

7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。

8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。

第二部分精讲点拨知识点1：勾股定理勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用数学语言描述：在RT △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，则有222b a c +=. 勾股定理的变形公式：222222,a c b b c a -=-=直角三角形认识：直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.注意：1.勾股定理适用于任何一个直角三角形；2.勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关系，已知其中的任意两边可以求出第三边；题型1（利用勾股定理求第三边）【例1】在RT △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c . （1）已知8=a ，6=b ，求c ；（2）已知13=c ，12=b ，求a ；弦股勾（3）已知3:4:=b a ，5=c ，求b .变式训练：1.若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高是（）A ．5B ．2.4C ．3.6D ．以上答案都不对 2.填空：（1）在RT △ABC 中，∠C=90°，5=a ，12=b ，则c = ；（2）在RT △ABC 中，∠B=90，3=a ,4=b ,则=2c ；（3）在RT △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，则222::c b a = ；3. 如图,已知直角三角形ABC 的两直角边AC,BC 的长分别为4cm,3cm,求斜边AB 上的高CD 的长.题型2（勾股定理的证明）【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=变式如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=小结：BAC D题型3（勾股定理的应用）勾股定理是直角三角形的一个重要性质.利用勾股定理，可以解决直角三角形的有关计算和证明问题，还可以解决生活生产中的一些实际问题.【例4】如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？变式2 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？变式3 如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．变式4 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？题型4（特殊角的直角三角形）【例3】已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，10AB cm =，8BC cm =，CD AB ⊥于D ，求CD 的长．C变式1 如图，已知：︒=∠=∠90C ABD ，12=AD ，BC AC =，︒=∠30DAB ，求BC 的长．变式2 如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．知识点2. 直角三角形的判定1. 有一个角为90度的三角形是直角三角形2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a ²+b ²=c ²，那么这个三角形是直角三角形（注意a,b,c 只是代表直角边，只要意义不变字母可以变动）题型1（判别直角三角形）【例5】三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（） A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.变式2 已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC 是等腰三角形．A变式3 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：AF ⊥EF ．题型2（勾股定理及其逆定理应用）【例6】一个零件的形状如图，已知∠A=900，按规定这个零件中∠DBC 应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD 的面积．变式1 如图示，有块绿地ABCD ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ， ∠ADC=90°，求这块绿地的面积。

勾股定理基础知识点

知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（2）勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

八上-第一章勾股定理

第一章勾股定理第1课时认识勾股定理1 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称弦·直角三角形三边之间的关系称为勾股定理。

2 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2＋b2＝c2 。

预学感知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AB＝6，则则BC的长为。

知识点一勾股定理的认识【例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．当a＝9，c＝41时，则b= 。

【名师点拔】由于∠ACB＝90°，则有a2＝c2，因而只需把已知数据代入相应字母，即可求出第三条线段的长。

知识点二勾股定理的简单运用【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于点D。

求：（1）AB的长；（2）CD的长。

【名师点拔】由于△．ABC为直角三角形，就可先由匀股定理理求出AB，再根据面积求出CD的长。

1．已知直角三角形中两条边长，要弄清哪条是斜边，哪条是直角边，不能确定时，要分类讨论；2．在直角三角形中求斜边上的高，一般是借助面积这个中间量，21ab=21ch 。

1．在Rt △ABC 中，两直角边长分别为10和24，则斜边长等于（）A.25B.26C.27D.282．在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，则AB 2＋AC 2＝。

3. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，则正方形A 的面积是，B 的面积是。

4. 要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m ，顶端离地面12m ，则梯子的长度为。

5. 如图，有两棵树，一棵高12m ，另一棵高6m ，两树相距8m ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树梢，则小鸟至少飞行 m 。

6. 某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2h 后相距海里。

勾股定理(一)

国家之一。早在三千多年前，我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，朝数学家商高就提出，将一根直国家之一。早在三千多年前，尺折成一个直角，如果勾等于三，国家之一。早在三千多年前，股等于四，那么弦就等于五，即国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记国家之一。早在三千多年前，载于我国古代著名的数学著作国家之一。早在三千多年前《周髀算经》中。
勾股世界
两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此学派，他们首先发现了勾股定理，因此在在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年年希腊曾经发行了一枚纪念票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
汉代赵爽的证法
c b a
c2 = b2 + a2
b
c
c b
a
a
1 方法(一): (a b)(a b) 2
对比两种方法, 1 1 方法(二): 2 ab c c 你能得到什么?
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲图甲图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC

千古第一定理--勾股定理

千古第一定理——勾股定理在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则a2+b2=c2反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．3.1 勾股定理的历史世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)等7组，《缉古算经》中有(287，984，102)，是明显表出的最大一组勾股数．埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角(图3.1)．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足a2+b2=c2的三整数组(a，b，c)，在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有12，16，20；15，20，25；5，12，13；15，36，39；8，15，17；12，35，37．不过，他们也没有进一步的结果．现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组(表3.1)，其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．3.2 勾股定理的几何方面勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．欧几里得的证明(参见图3.3)出现在第二篇命题47中，这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：△ABD≌△FBC，矩形BDLI=2△ABD，正方形GFBA=2△FBC，因此矩形BDLI=正方形GFBA，同样可证矩形CILE=正方形ACKH，两式相加即得定理.第二篇命题48是勾股定理的逆定理：如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．欧几里得的证明是这样的(参见图3.4)：作AD垂直于AC且等于AB．由题设AB2+AC2=BC2对直角三角形ACD有AD2+AC2=DC2∵AB=AD，∴BC2=DC2从而BC=DC由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB 为直角．关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于(a+b)2=a2+2ab+b2；另一方面，大正方形面积又等于因此a2+b2=c2另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为3.3 勾股定理的数论方面勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．毕达哥拉斯的公式x2+y2=z2 (3.1)并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程(3.1)的解之后，很容易发现，(3，4，5)是一组解，它们的倍数，比如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如(45，60，75)．这样我们便得到第一个规律：定理3.1如果(a，b，c)是方程x2+y2=z2的一组解，则(ka，kb，kc)也是一组解，其中k是任意整数．这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素(详见4．1．3节)的解，也就是它们的最大公因数(a，b，c)=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．显然(3，4，5)是一个素勾股数组，可是勾股方程的素勾股数组远不止这一个，例如(5，12，13)，(7，24，25)等也都是素勾股数组．下一个问题就是这些素勾股数组能不能用一个简单公式来概括呢？从数学发展史来看，这是一个飞跃，它真正显示了代数的威力．毕达哥拉斯学派已经找到了这个公式，这就是当m为奇数时，它们就代表素勾股数组，如表3.2所示．表3.2要证它们并不难，只须做一个代数练习即可：但是要证它们互素，也许不太容易，不过由具体的数字可以发现，股与弦都相差1，这也不难证明(你不妨试试看)，从这点出发不难推出它们互素．对于不定方程(3.1)来说，我们已走到了最后一步，那就是，找出所有可能的解，一个不剩．这一步十分困难，一般不是像上面那样进行代数验证就行了．为了解决这个问题，首先要问是否所有素勾股数组都可以表示为(3.2)的形式？答案是否定的，因为82+152=172，不过，它们可以纳入(2m,m2-1,m2+1) (3.3)的系列，其中m为偶数．显然，这里股与弦相差为2．这两组公式还不能完全表示所有素勾股数组．经过一千多年的努力，我们的确找到了表示勾股方程的所有解，也就是素勾股数组的明显表达式，即(m2-n2,2mn,m2+n2) (3.4)其中m，n互素，一奇一偶，m＞n＞0．不难验证，这组数满足勾股方程，现在需要证明，方程x2+y2=z2的每组满足(x,y)=1的解，均可表示为(3.4)的形式．因x，y互素，可证x,y 一为奇数，一为偶数．设x为偶数，y为奇数，z也是奇数，因此都是整数，而且它们互素．因为即得z=m2+n2, y=m2-n2, x=2mn最后还需要证明，m，n一奇一偶，这由z是奇数可以看出．而且可以证明，不同的m，n表示不同的解．由此勾股方程(3.1)的所有解，都可以通过一奇一偶的m,n如式(3.4)表示出来．当然它们还可以每一个乘以k，这样一来，我们对于勾股方程的数论研究就大功告成了．勾股定理是数学中第一个伟大的定理，它首先把分属几何和数论的问题联系在一起，它是第一个完全求解的不定方程，为以后的不定方程树立了典范，而更重要的是，把它的指数2换成n以后，得出了令数学家神往的费尔马大定理．在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：x2+y2=z2有无穷多组解，而x n+y n=z n (3.5)没有非平凡解(关于平凡解，下面就要讲到)．但是，它们却有许多共同的东西，例如：(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为o n+y n=z nx n+o n=z n,或者x n+y n=o n，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，-a，a)及(a，0，-a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，是任意整数但k≠0．因此若不定方程x n+y n=z n存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．(5)为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程(3.5)中的z n(假定z≠0)除方程的每一项即可：我们还可以用(x′)n+(y′)n=1 (3.6)表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程(3．5)的数论问题就可以变成方程(3．6)的几何问题．我们不妨把方程(3.6)仍写为x，y的方程x n+y n=1 (3.7)它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程(3．5)的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：满足不定方程x2+y2=z2的本原整数解，都可以表示为x=a2-b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为a＞b，(a,b)=1且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2也是一组解．根据中学掌握的知识，我们在研究勾股方程的整数解的完全组时有四种方法：(1)初等方法，即初等的代数方法——因子分解以及初等数论的方法；(2)几何方法；(3)三角方法；(4)复数方法．现分别讲述如下．1．初等方法初等方法分为下面四步．第一步，奇偶性分析．如果(x，y，z)是一组本原解，那么它们的奇、偶性有三种可能：(1)x，y均为偶数．这时z也是偶数，因此，(x，y，z)不是本原解，它们可以化为更简单的情形．(2)x，y均为奇数．这种情况不可能出现，因为设x=2m+1，y=2n+1，则x2=4m2+4m+1，y2=4n2+4n+1x2+y2=4(m2+m+n2+n)+2，但无论是奇数平方还是偶数平方，均不能表示为4k+2的形式，因此x与y不能均为奇数．(3)x，y一个为奇数，一个为偶数．由于x，y的位置可以互换，我们不妨假定x是奇数，y是偶数，这样z也是奇数．第二步，因子分解．由于x2+y2=z2那么，y2=z2-x2=(z+x)(z-x)由于z，x均为奇数，所以z+x和z-x均为偶数，因此都是正整数．整除z+x和z-x，也就可以整除z和x(读者想想为什么)，而由式(3.8)，p也可以整除y，第四步，利用因子唯一分解定理．由因子唯一分解定理(参见4.3节)可以得出：如果整数n2可以表示为两互素整数p,q的乘积，即n2=p·q则p,q也都是完全平方．这个结论极为重要，以后也要反复使用．现在z+x=2a2，z-x=2b2，这样，我们就证明了勾股方程的本原解均可表示为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2而本原条件为a＞b，(a，b)=1，a，b奇偶性不同．反过来，不难验证，由满足上述条件的a，b可得到勾股方程的一组本原解．这样勾股方程的求解问题就大功告成了．这个初等方法中，本原性是次要的，关键是因子唯一分解定理，费尔马大定理的成败就在于此．2．几何方法前面讲过，几何方法的关键是把勾股方程x2+y2=z2的整数解问题，变成平面代数曲线x2+y2=1上的有理点问题．这个曲线是一个单位圆，而每个有理点均可以表示为过点(1,0)的直线与单位圆的交点，而这条直线的方程可写为x+ty=1，(3.9)如果x,y均要求是有理数，显然t也是有理数．把直线方程代入单位圆方程，得(ty-1)2+y2=(1+t2)y2-2ty+1=1，(1+t2)y2-2ty=0.如y不等于0，则有它所对应的正是勾股方程的本原解x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2.3．三角方法现在我们的问题还是求单位圆x2+y2=1上的有理点问题．三角中第一个重要公式是cos2θ+sin2θ=1，因此，x，y可用三角函数cosθ，sinθ来表示．由cosθ及sinθ的倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos2θ-sin2θ可得这同样可得x2+y2=1的有理解它对应勾股方程x2+y2=z2的原本解为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b24．复数方法论．它对费尔马大定理的突破也至关重要．这里我们只讨论最简单的复数──复整数，由于它是高斯引进的，故又称高斯整数，详细的证明请参看第8章．。

勾股定理1全面版

勾股定理
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定理和证明
勾股定理直角三角形两直角边的a、 b的平方和，等于斜边c的平方。
a2b2c2
证明方法
练
基础练习
习
1、在Rt△ABC中，∠C= Rt∠, (1)已知a=6,c=10,求b； b=8 (2)已知a=40,b=9,求c； c=41 (3)已知c=25,b=15,求a；a=20 (4)已知a:b=1:2,且c=5,求a、b； (5)已知∠A=1/2 ∠B, 且 a=2,求b、c.
练：如果一个三角形的三条边长分别是a＝m² －n²，b＝2mn，c＝m²＋n²（m>n），则这个三角形是直角三角形。
利用比例关系证明Rt △
例：如图，四边形ABCD是正方形，M为AB的
中点，E为AD上一点，且AE=1/4AD，求证
△EMC是直角三角形。A
M
B
E
D
C
面积分割
例：四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD 的面积。
角与角的关系：两个锐角互余。
思考：
直角三角形的三条角平分线的交点在
哪里？
形内
三条中线呢？形内Biblioteka 三条高呢？直角顶点
三条垂直平分线？斜边中点
练习
应用练习
4、作长为 2 、 3 、 5 的线段。
5、求如图所示（单
21
位：mm）的矩形
零件上两孔中心A
A
和B的距离（精确 41 到0.1mm）。
60
B 21
勾股定理的逆定理
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古埃及人画直角的方法：
把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，其中一个角便是直角

八上第一章勾股定理

⼋上第⼀章勾股定理第⼀章勾股定理教学⽬标：1、掌握直⾓三⾓形三边之间的数量关系，学会⽤符号表⽰。

在经历⽤数格⼦与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到⼀般的逻辑推理过程。

2、通过分层训练，使学⽣学会熟练运⽤勾股定理进⾏简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应⽤技能。

教学重点：探索、理解并掌握勾股定理。

教学难点：勾股定理的相关计算以及应⽤；割补思想和数形结合思想的理解和运⽤。

知识要点⼀：勾股定理定理1 在直⾓三⾓形中，斜边⼤于直⾓边。

证明：利⽤垂线段最短的原理，即知BC AB AC AB >>,定理2 直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅等于斜边的平⽅。

如果⽤c b a 、、分别表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边和斜边，那么222c b a =+。

适⽤范围：直⾓三⾓形勾股定理的变形：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=应⽤：(1) 已知直⾓三⾓形的任意两边长，求第三边长；(2) 知道直⾓三⾓形⼀边，可得另外两边之间的数量关系；(3) 解决⼀些实际问题题型⼀：直接考查勾股定理（1）在ABC R ?t 中，15,17==AC AB ,求BC 的长。

（2）如图，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，则BC 边上的⾼AD 为（）．（3）（3）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）题型⼆：应⽤勾股定理建⽴⽅程（1）直⾓三⾓形两直⾓边之⽐是3:4，斜边长为15，则这个三⾓形的⾯积是。

,求AC的长。

（2）如图三⾓形ABC中，5.2∠∠BDCDC，，=2,5.1190=∠==（3）如图，在边长为12的正⽅形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE 对折⾄△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）题型三:实际问题中的勾股定理（1）⼀个圆柱，h=12厘⽶，底⾯圆的周长=18厘⽶，在圆柱下底⾯的A点有⼀只蚂蚁，它想从A爬到点B，蚂蚁沿着圆柱侧⾯爬⾏的最短路程是多少？（2）如图，已知圆柱的底⾯直径BC=6π6π，⾼AB=3，⼩⾍在圆柱表⾯爬⾏，从C点爬到A点，然后再沿另⼀⾯爬回C点，则⼩⾍爬⾏的最短路程为（）（3）如图，有⼀圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三⾓形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有⼀⽼⿏正在偷吃粮⾷，此时，⼩猫正在B 处，它要沿圆锥侧⾯到达P 处捕捉⽼⿏，则⼩猫所经过的最短路程是（）m ．知识要点⼆：勾股定理的证明勾股定理的证明⽅法⼗分丰富，达数百种，常见为：割补拼接、⾯积相同法。

勾股定理

勾股定理又称商高定理商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说： "故禹之所以治天下者，此数之所由生也。"此数" 指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
勾股定理的历史地时，也应用过勾股定理。我国也是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中。Fra bibliotek勾股定理
为什么勾股定律叫做勾股定律？在中国古代人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代把直角三角形较短的直角边称为 “勾”，较长的直角边称为
勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重几个文明古国都先后研究过这条定理，远要的工具之一，也是数形结合的纽带在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用之一。勾股定理是余弦定理的一个特勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及例。勾股定理约有400种证明方法，是人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土数学定理中证明方法最多的定理之一。

直角三角形的全部定理

直角三角形的全部定理
三角形是由三条相交的线段构成的，当三条线段边异一条角是直角时，就称为直角三角形。

1、勾股定理：
勾股定理（Pythagorean Theorem）指出了直角三角形的小边长之和等于斜边长的平方。

a² + b² = c² ;其中a,b为直角三角形的直角边，c为斜边的长度。

2、直角边的乘积等斜边的平方：
直角三角形的两条直角边之积等于斜边的平方。

AB ×BC = AC² ;其中AB,BC为两个直角边，AC为斜边的长度。

全等三角形的等价定理（Theorem of Congruent Triangles）指出当三角形的相应边之比相等，其内角也相等时，两个三角形完全相同。

4、里努森定理：
勾股定理的变种（modified Pythagorean Theorem）指出一条斜边一定长，一条直角边拓展成相当于原斜边的另一个直角边，新的直角边的平方乘以拓展另一条直角边的长就等于原斜边长的平方乘以2.
7、斜边长度萨沃定理：
斜边长度萨沃定理（Law of Sines）指出在直角三角形中，每个非直角角的正弦值与该角所在的斜边的长度的比值等同。

8、惠更斯定理：
惠更斯定理（Theorem of Heron）指出任何一个三角形的面积可由根据它的三条边的长度求出来。

9、加布鲁维定理：
加布鲁维定理（Theorem of Gauss-Bonnet）指出正n边形的外接圆的半径等于m个内角的和除以2m。

一本正经的胡说八道勾股定理原版

一本正经的胡说八道勾股定理原版
【原创实用版】
目录
1.勾股定理的背景和历史
2.勾股定理的表述和含义
3.勾股定理的证明方法
4.勾股定理的应用和影响
正文
勾股定理，一个看似简单却极具影响力的数学定理，早在公元前 1000 年，我国的周朝就开始应用勾股定理的相关知识来解决实际问题。

但是，直到公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派才正式提出并证明了勾股定理。

一、勾股定理的表述和含义
勾股定理是指在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

这个定理在我国古代称为“勾股弦定理”，其表述为：“勾广三，股修四，径隅五。

”
二、勾股定理的证明方法
虽然勾股定理在古代已经被发现和应用，但是直到公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派才用演绎法证明了勾股定理。

后来，又有许多数学家用不同的方法证明了这个定理，其中最著名的证明方法之一是欧拉证明法。

三、勾股定理的应用和影响
勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，例如在建筑、航海、测量等方面。

同时，勾股定理也是许多其他数学定理和公式的基础，如切比雪夫不等式、柯西不等式等。

此外，勾股定理在数学史上具有重要的地位，它
推动了数学的发展，并为后来的许多数学研究提供了基本的理论支持。

四、一本正经的胡说八道勾股定理原版
虽然勾股定理在我国古代已经得到应用，但是关于它的原始出处仍然存在争议。

有些学者认为，勾股定理的原始版本可能起源于古埃及或巴比伦，后来传入我国。

不过，这种说法目前还没有确凿的证据支持。