专题 功能关系 能量守恒定律
功能关系能量守恒定律
第4讲功能关系能量守恒定律一、几种常见的功能关系及其表达式力做功能的变化定量关系合力的功动能变化W＝E k2－E k1＝ΔE k重力的功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少(2)重力做负功，重力势能增加(3)W G＝－ΔE p＝E p1－E p2弹簧弹力的功弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少(2)弹力做负功，弹性势能增加(3)W F＝－ΔE p＝E p1－E p2只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化机械能守恒ΔE＝0除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少(3)W其他＝ΔE一对相互作用的滑动摩擦力的总功机械能减少内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加(2)摩擦生热Q＝F f·x相对自测1升降机底板上放一质量为100kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5m时速度达到4m/s，则此过程中(g取10 m/s2，不计空气阻力)()A.升降机对物体做功5800JB.合外力对物体做功5800JC.物体的重力势能增加500JD.物体的机械能增加800J答案A二、两种摩擦力做功特点的比较类型比较静摩擦力滑动摩擦力不同点能量的转化方面只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能(1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数和总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功自测2如图1所示，一个质量为m的铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为()图1A.43mgR B.mgRC.12mgR D.34mgR答案D三、能量守恒定律1.内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变. 2.表达式 ΔE 减＝ΔE 增. 3.基本思路(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等.自测3质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s ，如图2所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为()图2A.12mv 02－μmg (s ＋x ) B.12mv 02－μmgx C.μmgs D.μmg (s ＋x ) 答案A解析根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为W f ＝μmg (s ＋x )，由能量守恒定律可得12mv 02＝W 弹＋W f ，W 弹＝12mv 02－μmg (s ＋x )，故选项A 正确.命题点一功能关系的理解和应用1.只涉及动能的变化用动能定理分析.2.只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析.3.只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析. 例1(多选)如图3所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m 、套在粗糙竖直固定杆A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长.圆环从A 处由静止开始下滑，经过B 处的速度最大，到达C 处的速度为零，AC ＝h .圆环在C 处获得一竖直向上的速度v ，恰好能回到A .弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g .则圆环()图3A.下滑过程中，加速度一直减小B.下滑过程中，克服摩擦力做的功为14mv 2C.在C 处，弹簧的弹性势能为14mv 2－mghD.上滑经过B 的速度大于下滑经过B 的速度 答案BD解析由题意知，圆环从A 到C 先加速后减速，到达B 处的加速度减小为零，故加速度先减小后反向增大，故A 错误；根据能量守恒定律，从A 到C 有mgh ＝W f ＋E p (W f 为克服摩擦力做的功)，从C 到A 有12mv 2＋E p ＝mgh ＋W f ，联立解得：W f ＝14mv 2，E p ＝mgh －14mv 2，所以B 正确，C 错误；根据能量守恒定律，从A 到B 的过程有12mv 2B ＋ΔE p ′＋W f ′＝mgh ′，从B 到A 的过程有12mv B ′2＋ΔE p ′＝mgh ′＋W f ′，比较两式得v B ′>v B ，所以D 正确.变式1(多选)(2016·全国卷Ⅱ·21)如图4所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连.现将小球从M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了N 点.已知在M 、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π2.在小球从M 点运动到N 点的过程中()图4A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N 点时的动能等于其在M 、N 两点的重力势能差 答案BCD解析因M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π2，知M 处的弹簧处于压缩状态，N 处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项A 错误；当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g ；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g ，则有两个时刻的加速度大小等于g ，选项B 正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力方向与速度方向垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C 正确；由动能定理得，W F ＋W G ＝ΔE k ，因M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知W F ＝0，即W G ＝ΔE k ，选项D 正确.例2(2017·全国卷Ⅰ·24)一质量为8.00×104kg 的太空飞船从其飞行轨道返回地面.飞船在离地面高度1.60×105m 处以7.5×103m/s 的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s 时下落到地面.取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8m/s 2(结果保留两位有效数字).(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；(2)求飞船从离地面高度600m 处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%. 答案(1)4.0×108J2.4×1012J(2)9.7×108J 解析(1)飞船着地前瞬间的机械能为E 0＝12mv 02①式中，m 和v 0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速度.由①式和题给数据得E 0＝4.0×108J②设地面附近的重力加速度大小为g ，飞船进入大气层时的机械能为 E h ＝12mv h 2＋mgh ③式中，v h 是飞船在高度1.60×105m 处的速度.由③式和题给数据得E h ≈2.4×1012J④(2)飞船在高度h ′＝600m 处的机械能为 E h ′＝12m (2.0100v h )2＋mgh ′⑤由功能关系得W ＝E h ′－E 0⑥式中，W 是飞船从高度600m 处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功. 由②⑤⑥式和题给数据得W ≈9.7×108J⑦变式2(2017·全国卷Ⅲ·16)如图5所示，一质量为m 、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂.用外力将绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距13l .重力加速度大小为g .在此过程中，外力做的功为()图5A.19mglB.16mglC.13mglD.12mgl 答案A解析由题意可知，PM 段细绳的机械能不变，MQ 段细绳的重心升高了l6，则重力势能增加ΔE p＝23mg ·l 6＝19mgl ，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W ＝19mgl ，故选项A 正确，B 、C 、D 错误.命题点二摩擦力做功与能量转化1.静摩擦力做功(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零.(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能.2.滑动摩擦力做功的特点(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：①机械能全部转化为内能；②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能.(3)摩擦生热的计算：Q＝F f x相对.其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程.从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量.例3如图6所示，某工厂用传送带向高处运送货物，将一货物轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端.下列说法正确的是()图6A.第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功B.第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量C.第一阶段物体和传送带间摩擦生的热等于第一阶段物体机械能的增加量D.物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功答案C解析对物体分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A错误；由动能定理知，合外力做的总功等于物体动能的增加量，B错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D错误；设第一阶段物体的运动时间为t，传送带速度为v，对物体：x1＝v2t，对传送带：x1′＝v·t，摩擦产生的热Q＝F f x相对＝F f (x 1′－x 1)＝F f ·v 2t ，机械能增加量ΔE ＝F f ·x 1＝F f ·v2t ，所以Q ＝ΔE ，C 正确.变式3(多选)如图7所示为生活中磨刀的示意图，磨刀石静止不动，刀在手的推动下从右向左匀速运动，发生的位移为x ，设刀与磨刀石之间的摩擦力大小为F f ，则下列叙述中正确的是()图7A.摩擦力对刀做负功，大小为F f xB.摩擦力对刀做正功，大小为F f xC.摩擦力对磨刀石做正功，大小为F f xD.摩擦力对磨刀石不做功 答案AD变式4(多选)(2018·XXXX 模拟)质量为m 的物体在水平面上，只受摩擦力作用，以初动能E 0做匀变速直线运动，经距离d 后，动能减小为E 03，则()A.物体与水平面间的动摩擦因数为2E 03mgdB.物体再前进d3便停止C.物体滑行距离d 所用的时间是滑行后面距离所用时间的3倍D.若要使此物体滑行的总距离为3d ，其初动能应为2E 0 答案AD解析由动能定理知W f ＝μmgd ＝E 0－E 03，所以μ＝2E 03mgd，A 正确；设物体总共滑行的距离为s ，则有μmgs ＝E 0，所以s ＝32d ，物体再前进d2便停止，B 错误；将物体的运动看成反方向的匀加速直线运动，则连续运动三个d2距离所用时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)，所以物体滑行距离d 所用的时间是滑行后面距离所用时间的(3－1)倍，C 错误；若要使此物体滑行的总距离为3d ，则由动能定理知μmg ·3d ＝E k ，得E k ＝2E 0，D 正确. 命题点三能量守恒定律的理解和应用例4如图8所示，光滑水平面AB 与竖直面内的半圆形导轨在B 点相切，半圆形导轨的半径为R .一个质量为m 的物体将弹簧压缩至A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B 点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C .不计空气阻力，试求：图8(1)物体在A 点时弹簧的弹性势能；(2)物体从B 点运动至C 点的过程中产生的内能. 答案(1)72mgR (2)mgR解析(1)设物体在B 点的速度为v B ，所受弹力为F N B ，由牛顿第二定律得：F N B －mg ＝m v 2BR由牛顿第三定律F N B ′＝8mg ＝F N B 由能量守恒定律可知物体在A 点时的弹性势能E p ＝12mv B 2＝72mgR(2)设物体在C 点的速度为v C ，由题意可知mg ＝m v 2CR物体由B 点运动到C 点的过程中，由能量守恒定律得Q ＝12mv B 2－(12mv C 2＋2mgR )解得Q ＝mgR .变式5如图9所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ＝32，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点.用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2m ，B 的质量为m ，初始时物体A 到C 点的距离为L .现给A 、B 一初速度v 0>gL ，使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点.已知重力加速度为g ，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：图9(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小； (2)弹簧的最大压缩量； (3)弹簧的最大弹性势能.答案(1)v 02－gL (2)12(v 02g －L )(3)34m (v 02－gL )解析(1)物体A 与斜面间的滑动摩擦力F f ＝2μmg cos θ， 对A 向下运动到C 点的过程，由能量守恒定律有 2mgL sin θ＋32mv 02＝32mv 2＋mgL ＋Q其中Q ＝F f L ＝2μmgL cos θ 解得v ＝v 02－gL(2)从物体A 接触弹簧将弹簧压缩到最短后又恰好回到C 点的过程，对系统应用动能定理 －F f ·2x ＝0－12×3mv 2解得x ＝v 022g －L 2＝12(v 02g－L )(3)从弹簧压缩至最短到物体A 恰好弹回到C 点的过程中，由能量守恒定律得E p ＋mgx ＝2mgx sin θ＋Q ′ Q ′＝F f x ＝2μmgx cos θ解得E p ＝3m 4(v 02－gL )1.如图1所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧形轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力.已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 至B 的运动过程中()图1A.重力做功2mgRB.机械能减少mgRC.合外力做功mgRD.克服摩擦力做功12mgR 答案D2.如图2所示，质量相等的物体A 、B 通过一轻质弹簧相连，开始时B 放在地面上，A 、B 均处于静止状态.现通过细绳将A 向上缓慢拉起，第一阶段拉力做功为W 1时，弹簧变为原长；第二阶段拉力再做功W 2时，B 刚要离开地面.弹簧一直在弹性限度内，则()图2A.两个阶段拉力做的功相等B.拉力做的总功等于A 的重力势能的增加量C.第一阶段，拉力做的功大于A 的重力势能的增加量D.第二阶段，拉力做的功等于A 的重力势能的增加量答案B3.(多选)如图3所示，楔形木块abc 固定在水平面上，粗糙斜面ab 和光滑斜面bc 与水平面的夹角相同，顶角b 处安装一定滑轮.质量分别为M 、m (M >m )的滑块、通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行.两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动.若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()图3A.两滑块组成的系统机械能守恒B.重力对M做的功等于M动能的增加C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加D.两滑块组成的系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功答案CD解析两滑块释放后，M下滑、m上滑，摩擦力对M做负功，系统的机械能减少，减少的机械能等于M克服摩擦力做的功，选项A错误，D正确.除重力对滑块M做正功外，还有摩擦力和绳的拉力对滑块M做负功，选项B错误.绳的拉力对滑块m做正功，滑块m机械能增加，且增加的机械能等于拉力做的功，选项C正确.4.(多选)如图4所示，质量为m的物体以某一速度冲上一个倾角为37°的斜面，其运动的加速度的大小为0.9g，这个物体沿斜面上升的最大高度为H，则在这一过程中()图4A.物体的重力势能增加了0.9mgHB.物体的重力势能增加了mgHC.物体的动能损失了0.5mgHD.物体的机械能损失了0.5mgH答案BD解析在物体上滑到最大高度的过程中，重力对物体做负功，故物体的重力势能增加了mgH，故A错误，B正确；物体所受的合力沿斜面向下，其合力做的功为W＝－F·Hsin37°＝－ma·Hsin37°＝－1.5mgH，故物体的动能损失了1.5mgH，故C错误；设物体受到的摩擦力为F f，由牛顿第二定律得mg sin37°＋F f＝ma，解得F f＝0.3mg.摩擦力对物体做的功为W f＝－F f·Hsin37°＝－0.5mgH，因此物体的机械能损失了0.5mgH，故D正确.5.(多选)(2018·XXXX质检)如图5所示，建筑工地上载人升降机用不计质量的细钢绳跨过定滑轮与一电动机相连，通电后电动机带动升降机沿竖直方向先匀加速上升后匀速上升.摩擦及空气阻力均不计.则()图5A.升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的动能B.升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能C.升降机匀速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能D.升降机上升的全过程中，升降机拉力做的功大于升降机和人增加的机械能答案BC解析根据动能定理可知，合外力对物体做的功等于物体动能的变化量，所以升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功和人的重力做功之和等于人增加的动能，故A 错误；除重力外，其他力对人做的功等于人机械能的增加量，B 正确；升降机匀速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人克服重力做的功(此过程中动能不变)，即增加的机械能，C 正确；升降机上升的全过程中，升降机拉力做的功等于升降机和人增加的机械能，D 错误.6.(多选)如图6所示，一物块通过一橡皮条与粗糙斜面顶端垂直于固定斜面的固定杆相连而静止在斜面上，橡皮条与斜面平行且恰为原长.现给物块一沿斜面向下的初速度v 0，则物块从开始滑动到滑到最低点的过程中(设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，橡皮条的形变在弹性限度内)，下列说法正确的是()图6A.物块的动能一直增加B.物块运动的加速度一直增大C.物块的机械能一直减少D.物块减少的机械能等于橡皮条增加的弹性势能答案BC解析由题意知物块的重力沿斜面向下的分力为mg sin θ≤F f ＝μmg cos θ，在物块下滑过程中，橡皮条拉力F 一直增大，根据牛顿第二定律有a ＝F f ＋F －mg sin θm，F 增大，a 增大，选项B正确；物块受到的合外力方向沿斜面向上，与位移方向相反，根据动能定理知动能一直减少，选项A错误；滑动摩擦力和拉力F一直做负功，根据功能关系知物块的机械能一直减少，选项C正确；根据能量守恒定律，物块减少的机械能等于橡皮条增加的弹性势能和摩擦产生的热量之和，选项D错误.7.如图7所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零.则在圆环下滑过程中()图7A.圆环机械能守恒B.橡皮绳的弹性势能一直增大C.橡皮绳的弹性势能增加了mghD.橡皮绳再次到达原长时圆环动能最大答案C解析圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故A错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由题意知橡皮绳先不发生形变后伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故B错误；下滑过程中，圆环的机械能减少了mgh，根据系统的机械能守恒，橡皮绳的弹性势能增加了mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中圆环的动能一直增大，但不是最大，沿杆方向的合力为零的时刻，圆环的速度最大，故D错误.8.如图8所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点.将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v.已知重力加速度为g，下列说法正确的是()图8A.小球运动到B 点时的动能等于mghB.小球由A 点到B 点重力势能减少12mv 2 C.小球由A 点到B 点克服弹力做功为mghD.小球到达B 点时弹簧的弹性势能为mgh －12mv 2 答案D解析小球由A 点到B 点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧伸长，弹簧的弹性势能增大，小球动能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和等于小球重力势能的减小量，即小球动能的增加量小于重力势能的减少量mgh ，A 、B 项错误，D 项正确；弹簧弹性势能的增加量等于小球克服弹力所做的功，C 项错误.9.(2018·XX 德阳调研)足够长的水平传送带以恒定速度v 匀速运动，某时刻一个质量为m 的小物块以大小也是v 、方向与传送带的运动方向相反的初速度冲上传送带，最后小物块的速度与传送带的速度相同.在小物块与传送带间有相对运动的过程中，滑动摩擦力对小物块做的功为W ，小物块与传送带间因摩擦产生的热量为Q ，则下列判断中正确的是()A.W ＝0，Q ＝mv 2B.W ＝0，Q ＝2mv 2C.W ＝mv 22，Q ＝mv 2D.W ＝mv 2，Q ＝2mv 2答案B解析对小物块，由动能定理有W ＝12mv 2－12mv 2＝0，设小物块与传送带间的动摩擦因数为μ，则小物块与传送带间的相对路程x 相对＝2v 2μg，这段时间内因摩擦产生的热量Q ＝μmg ·x 相对＝2mv 2，选项B 正确.10.(多选)如图9所示，质量为M 、长度为L 的小车静止在光滑的水平面上.质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的最左端.现用一水平恒力F 作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为F f ，物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s .在这个过程中，以下结论正确的是()图9A.物块到达小车最右端时具有的动能为F (L ＋s )B.物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F f sC.物块克服摩擦力所做的功为F f (L ＋s )D.物块和小车增加的机械能为F f s答案BC解析对物块分析，物块相对于地的位移为L ＋s ，根据动能定理得(F －F f )(L ＋s )＝12mv 2－0，则知物块到达小车最右端时具有的动能为(F －F f )(L ＋s )，故A 错误；对小车分析，小车对地的位移为s ，根据动能定理得F f s ＝12Mv ′2－0，则知物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F f s ，故B 正确；物块相对于地的位移大小为L ＋s ，则物块克服摩擦力所做的功为F f (L ＋s )，故C 正确；根据能量守恒得，外力F 做的功转化为小车和物块的机械能以及摩擦产生的内能，则有F (L ＋s )＝ΔE ＋Q ，则物块和小车增加的机械能为ΔE ＝F (L ＋s )－F f L ，故D 错误.11.如图10所示，一物体质量m ＝2kg ，在倾角θ＝37°的斜面上的A 点以初速度v 0＝3m/s 下滑，A 点距弹簧上端B 的距离AB ＝4 m.当物体到达B 后将弹簧压缩到C 点，最大压缩量BC ＝0.2 m ，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D 点，D 点距A 点AD ＝3 m.挡板及弹簧质量不计，g 取10 m/s 2，sin37°＝0.6，求：图10(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；(2)弹簧的最大弹性势能E pm .答案(1)0.52(2)24.4J解析(1)物体从A 点至最后弹到D 点的全过程中，动能减少ΔE k ＝12mv 02＝9J. 重力势能减少ΔE p ＝mgl AD sin37°＝36J.机械能减少ΔE ＝ΔE k ＋ΔE p ＝45J减少的机械能全部用来克服摩擦力做功，即W f ＝F f l ＝45J ，而路程l ＝5.4m ，则F f ＝W f l≈8.33N. 而F f ＝μmg cos37°，所以μ＝F f mg cos37°≈0.52. (2)由A 到C 的过程：动能减少ΔE k ′＝12mv 02＝9J. 重力势能减少ΔE p ′＝mgl AC sin37°＝50.4J.物体克服摩擦力做的功W f ′＝F f l AC ＝μmg cos37°·l AC ＝35J.由能量守恒定律得：E pm ＝ΔE k ′＋ΔE p ′－W f ′＝24.4J.12.如图11为某飞船先在轨道Ⅰ上绕地球做圆周运动，然后在A 点变轨进入返回地球的椭圆轨道Ⅱ运动，已知飞船在轨道Ⅰ上做圆周运动的周期为T ，轨道半径为r ，椭圆轨道的近地点B 离地心的距离为kr (k ＜1)，引力常量为G ，飞船的质量为m ，求：图11(1)地球的质量及飞船在轨道Ⅰ上的线速度大小；(2)若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M 、m 的两个质点相距为r 时的引力势能E p ＝－GMm r，式中G 为引力常量.求飞船在A 点变轨时发动机对飞船做的功.答案(1)4π2r 3GT 22πr T (2)2(k －1)π2mr 2(k ＋1)T 2解析(1)飞船在轨道Ⅰ上运动时，由牛顿第二定律有 G Mm r 2＝mr (2πT)2 则地球的质量M ＝4π2r 3GT 2 飞船在轨道Ⅰ上的线速度大小为v ＝2πr T.(2)设飞船在椭圆轨道上的远地点速度为v 1，在近地点的速度为v 2，由开普勒第二定律有rv 1＝krv 2根据能量守恒定律有12mv 12－G Mm r ＝12mv 22－G Mm kr解得v 1＝2GMk (k ＋1)r ＝2πr T 2k k ＋1根据动能定理，飞船在A 点变轨时，发动机对飞船做的功为W ＝12mv 12－12mv 2＝2(k －1)π2mr 2(k ＋1)T 2.。
第六章 机械能
专题十二：功能关系、能量守恒定律一．知识要点：1．功能关系：（1）功能关系：功是能量转化的量度．做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化．（改变物体的动能、势能都可以通过做功来实现，改变物体的内能也可以通过做功来完成．做功的多少一定 与能的转化的量相对应，功是能量转化的量度，能是一种贮存、聚集了做功能力的态势）．（2）功能关系的几种具体形式（力学中）：①物体的动能是否变化取决于合力功，合力的功等于物体动能的增量：W 合=ΓE k =E k2-E k1 ． ②物体的重力势能是否变化取决于重力是否做功,重力所做的功等于重力势能增量的负值:W 重力＝-ΓE p ＝E p1－E p2 ；物体的弹性势能是否变化取决于弹簧的弹力是否做功，弹力所做的功等于 弹性势能增量的负值: W 弹力＝-ΓE p ＝E p1－E p2 ．③除系统内的重力和弹簧弹力以外，其它力做的总功等于系统机械能的增量：W 除重力、弹力＝ΓE ＝E 末－E 初．④物体的机械能是否变化取决于除重力（弹簧弹力）以外其它力是否做功，除重力（弹簧弹力）以外 其它力做功的代数和等于物体机械能的增量：W 其它=ΓE 机；系统的机械能是否变化取决于除系统内的重力和弹簧弹力以外，其它力做功的代数和是否为零，其它力做的总功等于系统机械能的增量． ⑤在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移，静摩擦力起着传递机械能的作用，一对静摩擦力做的总功为零．一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能（摩擦生热），转化为内能的量值 等于滑动摩擦力与相对路程的乘积，一对滑动摩擦力做的总功（为负）的绝对值等于系统内能的增 量：s f 滑相对=ΓE 内．2．能量守恒定律：（1）内容: 能量不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体．（2）基本思路：①某种形式的能减少，一定存在其它形式的能增加，且减少量与增加量一定相等．②某个物体的能量减少，一定存在其它物体的能量增加，且减少量与增加量一定相等．（3）解题步骤：①分清有多少种形式的能（如动能、势能、电能等）在变化；②分别列出减少的能量ΓE 减和增加的能量ΓE 增的表示式；③列出恒等式：ΓE 减＝ΓE 增．3．变力功的计算：（1）将变力的功转化为恒力的功：①以恒代变法：通过相关联点的联系将变力做功转化为恒力做功：②化曲为直法：空气阻力、滑动摩擦力在曲线运动（或往返运动）中所做的功等于力和路程的乘积． 可将方向变化大小不变的变力转化为恒力来求力所做的功（转动圆桌）．③平均力法：若力F 与位移s 发生线性变化时，可用求平均力的方法将变力转化为恒力．（2）F －s 图象法：作出变力F 随位移s 变化的图象，图象与位移轴所围的面积即变力的功．（3）当某力做功的功率P 一定时，该力在时间t 内做的功可由W=Pt 计算．（4）根据动能定理、功能关系，通过求能的变化来求变力的功．4．处理动力学问题的基本方法：（1）①动力学主要研究的是物体运动状态的变化与其所受作用力之间的关系．②只要物体所受的合外力不为零，物体的运动状态就将发生变化；③若物体受力作用一段时间，则力对时间有积累，即物体受到力的冲量，物体的动量将发生变化； ④若物体在力的作用下通过一段位移，则力对空间有积累，即力对物体做了功，物体的能量将发生变化．（2）牛顿第二定律、动量关系、功能关系是解决力学问题的三条途径．其中，动量关系主要包括动量定理和 动量守恒定律，功能关系主要包括动能定理和能量守恒定律．（3）①研究某一物体受力的瞬时作用与物体运动状态的关系时，一般用牛顿定律结合运动学规律解题． ②研究某一物体受到力的持续作用而发生运动状态改变时，若涉及时间优先考虑动量定理；求某一物体的对 地位移位移优先考虑动能定理．③若研究对象有两个相互作用的物体（即物体系），一般用动量守恒定律和能量守恒定律去解决问题．（4）注意：应用动量定理、动能定理、动量守恒定律及运动学公式时，物体的位移、速度、加速度等物理量要1置23 4．s ，5 A B C ．力F 、重力、阻力三者的合力所做的功等于货物重力势能的增量D ．力F 和阻力的合力所做的功等于货物机械能的增量6．如图〈4〉所示，粗糙斜面的倾角为θ，质量为m 的物体在平行斜面的拉力作用下沿斜面匀速运动，在物体上升h 的过程中，下列说法中正确的是： （ ）A ．合外力做功mghB ．F 、mg 做功之和为物体与斜面之间的摩擦生热C ．F 做功等于物体增加的机械能图〈4〉D ．合外力做功为零7．如图〈5〉所示，两质量相同的小球A 、B ，分别用不可伸长的细绳和弹性轻绳悬在等高的O 1、O 2点，起 初B 球的悬绳为原长，A 球的悬线比B 球的悬线长．把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，在最 低点时B 球悬绳与A 球的悬绳等长，若以悬点为零势能点，则经最低点时： （ ）A ．B ．C ．D ． 8．B ，9υ2（υ（ ） A B C D 10 11 F Q 2，则应有：（ ）A ．B ．C ．D ．121212．如图〈8〉所示，半径为R 的光滑半圆轨道固定，质量为m 的小球由静止开始，第一次从A 滑到C ，第二次从B 滑到C ，在这两个过程中小球所受的： （ ） A ．支持力的冲量相同 B ．合外力的冲量相同C ．合力做功相同D ．支持力的冲量为零 13．将一个球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是t 上______t 下ΓE 上______ΓE 下（填“＞”、“＜”或“＝”）图〈8〉14．一个物体自斜面底端被弹出后，沿斜面上滑，滑到最高处又回到斜面底端，在上滑和下滑的过程中：（）A．因摩擦产生的热能一样大B．重力做功的平均功率一样大C．动能的变化值一样大D．机械能的变化值一样大15．质量为Mkg的物体初动能为100J，从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，向上匀变速滑行，到达斜面上的B点时物体动能减少80J，机械能减少32J，若μ＜tanθ，则当物体回到A点时的动能为：（）A．20J B．40J C．50J D．60J16．一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体,如图所示．绳的P端拴在车后的挂钩上,Q端拴在物体上．设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时,车在A 点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H．提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H,车过B点时的速度为v B．求在车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功．。
功能关系 能量守恒定律
④压缩弹簧过程,弹力对物体做_负__功__,弹簧的弹性势能 增加,增加量_等__于__克服弹力做功的多少。 ⑤全过程中,物体与弹簧组成的系统,除重力和弹簧弹 力做功以外,只有_滑__动__摩__擦__力__做负功,系统的机械能 减少,减少量为__m_g_c_o_s__s_ihn__。
专题六 功能关系 能量守恒定律
【知识梳理】 知识点1 功能关系 1.功是_能__量__转__化__的量度,即做了多少功就有多少_能__量__ _发__生__了__转__化__。 2.做功的过程一定伴随着_能__量__的__转__化__,而且_能__量__的__转__ _化__必须通过做功来实现。
【解析】选B。夯杆被提上来的过程中,先受到滑动摩 擦力,然后受静摩擦力,故A错误;增加滚轮匀速转动的 角速度时夯杆获得的最大速度增大,可减小提杆的时间, 增加滚轮对杆的正压力,夯杆受到的滑动摩擦力增大, 匀加速运动的加速度增大,可减小提杆的时间,故B正确; 根据功能关系可知,滚轮对夯杆做的功等于夯杆动能、
A.夯杆被提上来的过程中滚轮先对它施加向上的滑动 摩擦力,后不对它施力 B.增加滚轮匀速转动的角速度或增加滚轮对杆的正压 力可减小提杆的时间 C.滚轮对夯杆做的功等于夯杆动能的增量 D.一次提杆过程系统共产生热量 1 mv2
2
【思考探究】 (1)夯杆被提升经历匀加速和匀速运动过程,分析这两 个过程的受力情况如何? 提示:匀加速运动过程受重力和向上的滑动摩擦力作用, 匀速运动过程受重力和向上的静摩擦力作用。
2a 2
2
故D错误。
曲线运动第13讲 功能关系(机械能、机械能守恒定律与能量守恒定律篇)
机械能及其守恒定律与能量守恒定律知识点梳理1、动能：物体由于运动而具有的能量。
表达式：E k =221mv2、势能<1>重力势能：物体由于被举高而具有的能量。
表达式：E p =mgh <2>弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量。
表达式：E p =21kx 2 3、机械能<1>定义：动能和势能统称为机械能<2>机械能守恒定律：系统中只有重力、弹力做功时，机械能是守恒的。
4、能量守恒定律能量既不会创生，也不会消失。
它只会从一个物体转移到另一个物体，或者由一种形式的能量转化为另一种形式的能量，而使系统的总能量保持不变。
解题突破口分析1、单个物体分析<1>明确研究对象（搞清楚要分析谁） <2>明确该对象运动过程（从哪到哪）<3>分析该物体初末位置的机械能（初位置动能+势能；末位置动能+势能分别是多少） <4>分析该物体在其运动过程中都有哪些力参与做功，正功就加，负功则减。
2、系统（多物体）分析<1>明确研究对象（找出参与运动的每个物体）<2>明确各物体的运动过程（每个物体分别都是从哪到哪）<3>△E 增=△E 减注：对于多物体而言，系统中的单个物体往往能量不守恒，而系统的总能量保持不变。
当然用单个物体的分析方法也能处理此类问题，但是往往比较麻烦，因此，建议系统类问题用能量的变化分析，找出系统中哪些能量增多（做负功），哪些能量减小（做正功），利用增多的能量等于减小的能量，列出方程，进而求解方法突破之典型例题题型一单个物体分析1．如图轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m的小球，由离地面高度为H处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中小球受到的空气阻力恒为f，则弹簧在最短时具有的弹性势能为：（）A．(mg-f)(H-L+x)B．mg(H-L+x)-f(H-L)C．mgH-f(H-L)D．mg(L-x)+f(H-L+x)2．如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的3/4圆弧轨道，两轨道相切于B点。
功能关系 能量守恒定律
功能关系 能量守恒定律 知识点一 功能关系 1.功是 的量度，即做了多少功就有多少 发生了转化.2.做功的过程一定伴随着 ，而且 必须通过做功来实现.答案：1.能量转化 能量 2.能量的转化 能量的转化知识点二 能量守恒定律1.内容：能量既不会凭空 ，也不会凭空消失，它只能从一种形式 为另一种形式，或者从一个物体 到另一个物体，在 的过程中，能量的总量 .2.适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中 的一条规律.3.表达式(1)E 初＝E 末，初状态各种能量的 等于末状态各种能量的 .(2)ΔE 增＝ΔE 减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量.答案：1.产生 转化 转移 转化或转移 保持不变 2.普遍适应 3.(1)总和 总和考点 功能关系的应用功是能量转化的量度，力学中几种常见的功能关系如下：[典例1] 如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 点正上方的P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时对轨道压力为mg2.已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 到B 的运动过程中( )A.重力做功2mgRB.合力做功34mgR C.克服摩擦力做功12mgR D.机械能减少2mgR[解析] 小球能通过B 点，在B 点速度v 满足mg ＋12mg ＝m v 2R ，解得v ＝32gR ，从P 到B 过程，重力做功等于重力势能减小量为mgR ，动能增加量为12mv 2＝34mgR ，合力做功等于动能增加量34mgR ，机械能减少量为mgR －34mgR ＝14mgR ，克服摩擦力做功等于机械能的减少量14mgR ，故只有B 选项正确.[答案] B[变式1] (多选)如图所示，楔形木块abc 固定在水平面上，粗糙斜面ab 和光滑斜面bc 与水平面的夹角相同，顶角b 处安装一定滑轮.质量分别为M 、m (M >m )的滑块通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行.两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动.若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )A.两滑块组成的系统机械能守恒B.重力对M 做的功等于M 动能的增加C.轻绳对m 做的功等于m 机械能的增加D.两滑块组成的系统机械能损失等于M 克服摩擦力做的功答案：CD 解析：两滑块释放后，M 下滑、m 上滑，摩擦力对M 做负功，系统的机械能减小，减小的机械能等于M 克服摩擦力做的功，选项A 错误，D 正确.除重力对滑块M 做正功外，还有摩擦力和绳的拉力对滑块M 做负功，选项B 错误.绳的拉力对滑块m 做正功，滑块m 机械能增加，且增加的机械能等于拉力做的功，选项C 正确.考点 摩擦力做功与能量转化1.静摩擦力做功(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零.(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能.2.滑动摩擦力做功的特点(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：①机械能全部转化为内能；②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能.(3)摩擦生热的计算：Q ＝F f x 相对，其中x 相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程.考向1 摩擦力做功的理解与计算[典例2] 将三个木板1、2、3固定在墙角，木板与墙壁和地面构成了三个不同的三角形，如图所示，其中1与2底边相同，2和3高度相同.现将一个可以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放，并沿斜面下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数μ均相同.在这三个过程中，下列说法不正确的是 ( )A.沿着1和2下滑到底端时，物块的速度不同，沿着2和3下滑到底端时，物块的速度相同B.沿着1下滑到底端时，物块的速度最大C.物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量是最多的D.物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量是一样多的[解析] 设1、2、3木板与地面的夹角分别为θ1、θ2、θ3，木板长分别为l 1、l 2、l 3，当物块沿木板1下滑时，由动能定理有mgh 1－μmgl 1cos θ1＝12mv 21－0；当物块沿木板2下滑时，由动能定理有mgh 2－μmgl 2cos θ2＝12mv 22－0，又h 1>h 2，l 1cos θ1＝l 2cos θ2，可得v 1>v 2；当物块沿木板3下滑时，由动能定理有mgh 3－μmgl 3cos θ3＝12mv 23－0，又h 2＝h 3，l 2cos θ2<l 3cos θ3，可得v 2>v 3，故A 错，B 对.三个过程中产生的热量分别为Q 1＝μmgl 1cos θ1，Q 2＝μmgl 2cos θ2，Q 3＝μmgl 3cos θ3，则Q 1＝Q 2<Q 3，故C 、D 对.应选A.[答案] A考向2 传送带模型中摩擦力做功与能量转化[典例3] 如图所示，某工厂用传送带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端.下列说法正确的是( )A.第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功B.第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量C.第一阶段物体和传送带间摩擦产生的热等于第一阶段物体机械能的增加量D.物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功[解析] 对物体受力分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A 错误；由动能定理知，外力做的总功等于物体动能的增加量，B 错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D 错误；设第一阶段运动时间为t ，传送带速度为v ，对物体：x 1＝v 2t ，对传送带：x 1′＝vt ，摩擦产生的热Q ＝F f x 相对＝F f (x 1′－x 1)＝F f ·v 2t ，机械能增加量ΔE ＝F f ·x 1＝F f ·v2t ，所以Q ＝ΔE ，C 正确. [答案] C 考向3 板块模型中摩擦力做功与能量转化[典例4] (多选)如图所示，质量为M 、长为L 的木板置于光滑的水平面上，一质量为m 的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为F f ，用水平的恒定拉力F 作用于滑块，当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为s ，滑块速度为v 1，木板速度为v 2，下列结论中正确的是 ( )A.上述过程中，F 做功大小为12mv 21＋12Mv 22 B.其他条件不变的情况下，M 越大，s 越小C.其他条件不变的情况下，F 越大，滑块到达右端所用时间越长D.其他条件不变的情况下，F f 越大，滑块与木板间产生的热量越多[解析] 由牛顿第二定律得：F f ＝Ma 1，F －F f ＝ma 2，又L ＝12a 2t 2－12a 1t 2，s ＝12a 1t 2，其他条件不变的情况下，M 越大，a 1越小，t 越小，s 越小；F 越大，a 2越大，t 越小；由Q ＝F f L 可知，F f 越大，滑块与木板间产生的热量越多，故B 、D 正确，C 错误；力F 做的功还有一部分转化为系统热量Q ，故A 错误.[答案] BD考点能量守恒定律及应用1.对能量守恒定律的理解(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等.(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量相等.2.运用能量守恒定律解题的基本思路考向1 对能量守恒定律的理解[典例5]如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长.现让小球自C点由静止释放，小球在B、D 间某点静止，在小球滑到最低点的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是 ( )A.小球的动能与重力势能之和保持不变B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变[解析] 小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒.弹簧处于原长时弹性势能为零，小球从C点到最低点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错误，B项正确；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错误；小球的初、末动能均为零，所以上述过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错误.[答案] B考向2 对能量守恒定律的应用[典例6] 如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ＝34，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2m ＝4 kg ，B 的质量为m ＝2 kg ，初始时物体A 到C 点的距离为L ＝1 m.现给A 、B 一初速度v 0＝3 m/s ，使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点.已知重力加速度取g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小；(2)弹簧的最大压缩量；(3)弹簧的最大弹性势能.[解题指导] (1)系统从开始到C 点的过程中，由于摩擦力做负功，机械能减少.(2)物体A 压缩弹簧到最低点又恰好弹回C 点，系统势能不变，动能全部克服摩擦力做功.(3)物体A 在压缩弹簧过程中，系统重力势能不变，动能一部分克服摩擦力做功，一部分转化为弹性势能.[解析] (1)物体A 向下运动刚到C 点的过程中，对A 、B 组成的系统应用能量守恒定律可得：μ·2mg ·cos θ·L ＝12·3mv 20－12·3mv 2＋2mgL sin θ－mgL 可解得v ＝2 m/s.(2)以A 、B 组成的系统，在物体A 将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到C 点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量即：12·3mv 2－0＝μ·2mg cos θ·2x 其中x 为弹簧的最大压缩量解得x ＝0.4 m.(3)设弹簧的最大弹性势能为E pm由能量守恒定律可得：12·3mv 2＋2mgx sin θ－mgx ＝μ·2mg cos θ·x ＋E pm 解得E pm ＝6 J.[答案] (1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J专项精练1.[功能关系的应用]滑块静止于光滑水平面上，与之相连的轻质弹簧处于自然伸直状态，现用恒定的水平外力F 作用于弹簧右端，在向右移动一段距离的过程中拉力F 做了10 J 的功.在上述过程中 ( )A.弹簧的弹性势能增加了10 JB.滑块的动能增加了10 JC.滑块和弹簧组成的系统机械能增加了10 JD.滑块和弹簧组成的系统机械能守恒答案：C 解析：拉力F 做功的同时，弹簧伸长，弹性势能增大，滑块向右加速，滑块动能增加，由功能关系可知，拉力做的功等于滑块的动能与弹簧弹性势能的增加量之和，C 正确，A 、B 、D 均错误.2.[功能关系的应用]韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员.他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J ，他克服阻力做功100 J.韩晓鹏在此过程中( )A.动能增加了1 900 JB.动能增加了2 000 JC.重力势能减小了1 900 JD.重力势能减小了2 000 J答案：C 解析：根据动能定理，物体动能的增量等于物体所受所有力做功的代数和，即增加的动能为ΔE k ＝W G ＋W f ＝1 900 J －100 J ＝1 800 J ，A 、B 项错误；重力做功与重力势能改变量的关系为W G ＝－ΔE p ，即重力势能减少了1 900 J ，C 项正确，D 项错误.3.[摩擦力做功与能量转化]如图所示，一个质量为m 的物体(可视为质点)以某一速度由A 点冲上倾角为30°的固定斜面，做匀减速直线运动，其加速度的大小为g ，在斜面上上升的最大高度为h ，则在这个过程中，物体 ( )A.机械能损失了mghB.动能损失了2mghC.动能损失了12mgh D.机械能损失了12mgh答案：AB 解析：由物体做匀减速直线运动的加速度和牛顿第二定律可知mg sin 30°＋F f ＝ma ，解得F f ＝12mg ，上升过程中的位移为2h ，因此克服摩擦力做的功为mgh ，选项A 正确；合外力为mg ，由动能定理可知动能损失了2mgh ，选项B 正确，选项C 、D 错误.4.[摩擦力做功与能量转化]如图所示，木块A 放在木板B 的左端上方，用水平恒力F 将A 拉到B 的右端，第一次将B 固定在地面上，F 做功W 1，生热Q 1；第二次让B 在光滑水平面可自由滑动，F 做功W 2，生热Q 2.则下列关系中正确的是( )A.W 1<W 2，Q 1＝Q 2B.W 1＝W 2，Q 1＝Q 2C.W 1<W 2，Q 1<Q 2D.W 1＝W 2，Q 1<Q 2答案：A 解析：木块A 从木板B 左端滑到右端克服摩擦力所做的功W ＝F f s ，因为木板B 不固定时木块A 的位移要比木板B 固定时长，所以W 1<W 2；摩擦产生的热量Q ＝F f l 相对，两次都从木块B 左端滑到右端，相对位移相等，所以Q 1＝Q 2，故选A.5.[传送带模型]如图所示，水平传送带两端点A 、B 间的距离为l ，传送带开始时处于静止状态.把一个小物体放到右端的A 点，某人用恒定的水平力F 使小物体以速度v 1匀速滑到左端的B 点，拉力F 所做的功为W 1、功率为P 1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q 1.随后让传送带以v 2的速度匀速运动，此人仍然用相同恒定的水平力F 拉物体，使它以相对传送带为v 1的速度匀速从A 滑行到B ，这一过程中，拉力F 所做的功为W 2、功率为P 2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q 2.下列关系中正确的是 ( )A.W 1＝W 2，P 1<P 2，Q 1＝Q 2B.W 1＝W 2，P 1<P 2，Q 1>Q 2C.W 1>W 2，P 1＝P 2，Q 1>Q 2D.W 1>W 2，P 1＝P 2，Q 1＝Q 2答案：B 解析：因为两次的拉力和拉力方向的位移不变，由功的概念可知，两次拉力做功相等，所以W 1＝W 2，当传送带不动时，物体运动的时间为t 1＝l v 1；当传送带以v 2的速度匀速运动时，物体运动的时间为t 2＝lv 1＋v 2，所以第二次用的时间短，功率大，即P 1<P 2；滑动摩擦力做功的绝对值等于滑动摩擦力与相对路程的乘积，也等于转化的内能，第二次的相对路程小，所以Q 1>Q 2，选项B 正确.。
功能关系能量守恒定律
功能关系能量守恒定律能量守恒定律是物理学中的一个重要定律，也被称为能量守恒原理。
它指出，在一个封闭系统中，能量的总量是不变的。
换句话说，能量既不能被创造，也不能被毁灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
能量是指物体或系统进行工作所需要的能力。
它可以包括多种形式，如机械能、热能、电能、光能等。
这些形式的能量可以相互转化，但总的能量量不变。
根据能量守恒定律，系统的能量变化等于能量输入减去能量输出。
这可以用以下公式表示：ΔE = Qin - Qout其中，ΔE表示系统能量变化，Qin表示输入到系统中的能量，Qout表示从系统中输出的能量。
当ΔE为正时，系统的能量增加；当ΔE为负时，系统的能量减少。
能量守恒定律可以通过一些实例来解释。
例如，考虑一个物体从一个高处下落到地面的过程。
在开始时，物体具有重力势能，当下落到地面时，重力势能转化为动能。
根据能量守恒定律，重力势能的减少等于动能的增加，因此能量的总量保持不变。
另一个例子是燃烧过程。
在燃烧中，化学能转化为热能和光能。
这是因为化学反应产生的能量会以热能和光能的形式释放出来。
然而，根据能量守恒定律，化学能的减少必须等于热能和光能的增加，以保持能量的总量不变。
能量守恒定律在许多领域有着广泛的应用。
在机械工程中，工程师需要确保系统中的能量输入与输出保持平衡，以保证系统的正常运行。
在热力学中，能量守恒定律被用来分析热传导、传热、发电等过程。
在化学和生物学研究中，能量守恒定律用于解释化学反应和生物代谢过程中的能量转化。
能量守恒定律的重要性在于它可以解释自然界中许多观察到的现象。
它提供了我们理解和分析物体和系统能量转化的基础。
同时，能量守恒定律也有助于节约能源，促进可持续发展。
通过控制能量的流动和转化过程，我们可以最大限度地利用能源并减少浪费，达到能源的可持续利用。
总之，能量守恒定律是自然界中一个普遍存在的定律。
它指出在一个封闭系统中，能量的总量是不变的。
能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总的能量量保持不变。
功能关系和能量守恒
方法技巧 涉及弹簧的能量问题应注意 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具 有以下特点： (1)能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机 械能守恒． (2)如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧 伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同.
多维练透
1.如图所示，劲度系数为 k 的轻弹簧一端固定在墙上，一个小 物块(可视为质点)从 A 点以初速度 v0 向左运动，接触弹簧后运动到 C 点时速度恰好为零，弹簧始终在弹性限度内．A、C 两点间距离 为 L，物块与水平面间动摩擦因数为 μ，重力加速度为 g，则物块由 A 点运动到 C 点的过程中，下列说法正确的是( )
即 ΔE1＝W＋ΔE2，选项 C 正确，选项 D 错误． 答案：C
3．[2017·全国卷Ⅲ，16]如图，一质量为 m，长度为 l 的均匀柔
软细绳 PQ 竖直悬挂．用外力将绳的下端 Q 缓慢地竖直向上拉起至
M 点，M 点与绳的上端 P 相距13l.重力加速度大小为 g.在此过程中，
外力做的功为( )
答案：AC
考点三 能量守恒定律的应用 1．对能量守恒定律的理解 (1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加， 且减少量和增加量一定相等． (2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加， 且减少量和增加量相等．
2．运用能量守恒定律解题的基本思路
例 3 如图所示，一物体质量 m＝2 kg，在倾角 θ＝37°的斜面上 的 A 点以初速度 v0＝3 m/s 下滑，A 点距弹簧上端 B 的距离 AB＝4 m．当物体到达 B 点后将弹簧压缩到 C 点，最大压Байду номын сангаас量 BC＝0.2 m， 然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为 D 点，D 点距 A 点的 距离 AD＝3 m，挡板及弹簧质量不计，g 取 10 m/s2，sin37°＝0.6， 求：
【高中物理】功能关系、能量守恒定律的知识点汇总,务必掌握
【高中物理】功能关系、能量守恒定律的知识点汇总，务必掌握！知识网络图一、功能关系1．功和能(1)功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随有能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
2．力学中常用的四种功能对应关系(1)合外力做功等于物体动能的改变：即W(合)＝Ek2－Ek1＝ΔEk。
(动能定理)(2)重力做功等于物体重力势能的减少：即W(G)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(3)弹簧弹力做功等于弹性势能的减少：即W(弹)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(4)除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W(其他力)＝E2－E1＝ΔE。
(功能原理)二、能量守恒定律1．内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2.表达式ΔE减＝ΔE增。
三、功能关系的应用1.对功能关系的进一步理解(1)做功的过程是能量转化的过程。
不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
2．不同的力做功对应不同形式的能的改变四、能量守恒定律的应用1.对定律的理解(1)某种形式的能量减少，一定有另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等。
(2)某个物体的能量减少，一定有别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等。
2．应用定律的一般步骤(1)分清有多少种形式的能(如动能、势能、内能、电能等)在变化。
(2)分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(3)列恒等式：ΔE减＝ΔE增。
五、相对滑动物体的能量分析静摩擦力与滑动摩擦力做功特点比较。
高考物理功能关系守恒定律考点总结
[思路点拨] 解答本题时注意三方面的关系： (1)小滑块动能的改变量对应合外力做的功； (2)小滑块重力势能的改变量对应重力做的功； (3)小滑块机械能的改变量对应除重力以外的力做的功．
[课堂笔记] (1)据动能定理，动能的改变量等于外力做功 的代数和，其中做负功的有空气阻力、斜面对滑块的作用 力(因弹力不做功，实际上为摩擦阻力做的功)． 因此ΔEk＝A－B＋C－D. (2)滑块重力势能的减少等于重力做的功，因此ΔEp＝－C. (3)滑块机械能的改变量等于重力之外的其他力做的功， 因此ΔE＝A－B－D. [答案] (1)A－B＋C－D (2)－C (3)A－B－ D
2．高考考查该类问题时，常综合平抛、圆周运动及电学、 磁学、热学等知识，考查学生的判断、推理及综合分析 问题的能力．
3．(2010·盐城模拟)NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观
众．经常有这样的场面：在终场前0.1 s，运动员把球投
出且准确命中，获得比赛的胜利．如果运动员投篮过程
中对篮球做功为W，出手高度(相对地面)为h1，篮筐距地
2．运动员跳伞将经历开伞前后的加速下降和减速下降两
个过程．将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，
下列说法正确的是
()
A．阻力对系统始终做负功
B．系统受到的合外力始终向下
C．重力做功使系统的重力势能增加
D．任意相等的时间内重力做的功相等
解析：阻力的方向总与运动方向相反，故阻力总做负功， A项正确；运动员加速下降时合外力向下，减速下降时合 外力向上，B项错误；重力做功使系统重力势能减少，C 项错误；由于做变速运动，任意相等时间内的下落高度h 不相等，所以重力做功W＝mgh不相等，D项错误． 答案：A
[思路点拨]
[解题样板] (1)滑块在由A到B的过程中机械能守恒，
功能关系能量守恒定律
部分机械能从一个物体转移到另一个物体；二是部分机械 能转化为内能．
【特别提醒】 一对相互作用的滑动摩擦力做功所产 生 的 热 量 Q ＝ Ff·s 相 对 ， 其 中 s 相 对 是 物 体 间 相 对 路 径 长 度．如果两物体同向运动，s相对为两物体对地位移大小之 差；如果两物体反向运动，s相对为两物体对地位移大小之
不同的 力做功
对应不同形 式能的变化
定量的关系
电场力做正功，电势能减
电场力的功
电势能变化
少；电场力做负功，电势 能增加 W电＝－ΔEp 分子力做正功， 分子势能减少；
分子力的功
分子势能变化
分子力做负功，
分子势能增加 W分子＝－ΔEp
不同的 力做功
对应不同形 式能的变化
定量的关系
作用于系统的一对滑动
出阻力.
【答案】 【反思】
(1)9100J
(2)140N
从能量的角度来看，功是量度能量转化
的物理量，功的正、负表示了能量的传输方向：外力对物 体做正功，则外界向物体传输能量；外力对物体做负功，
物体将一部分能量向外界传输．
如本例中求人与雪橇从 A到 B的过程中损失的机械能 为多少，由能量关系可知，就是求这一过程中克服阻力做
(2) 高考考查这类问题，常综合平抛、圆周运动、动
量守恒及电学、热学等知识考查考生的判断、推理及综合 分析问题的能力．
【例 3】
如下图所示，某人乘雪橇沿雪坡经 A 点滑
至 B点，接着沿水平路面滑至 C点停止．人与雪橇的总质 量为 70kg.表中记录了沿坡滑下过程中的有关数据，请根 据图表中的数据解决下列问题：(g＝10m/s2)
位置 速度(m/s) 时刻(s)
A 2.0 0
第四章 第4讲 专题 功能关系、能量转化和守恒定律
考点解读
典例剖析
高考高分技巧
专题专练
【即学即练】 1．(单选)升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升
降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此
过程中(g取10 m/s2) A．升降机对物体做功5 800 J B．合外力对物体做功5 800 J C．物体的重力势能增加500 J ( )．
答案
(1) 2gh
(2)mgh－μmgd
(3)h－2μd
考点解读
典例剖析
高考高分技巧
专题专练
借题发挥
1．滑动摩擦力做功的特点 (1)滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不 做功；
(2)在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，
对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于 摩擦力与相对位移的积，即|W|＝Ffl相对，表示物体系统损失了
考点解读 典例剖析 高考高分技巧 专题专练
(4)在涉及相对滑动问题时则优先考虑能量守恒定律，即
系统的动能转化为系统的内能．
(5)在涉及摩擦力、电场力、磁场力(安培力)做功时优先考 虑能量守恒定律． 2．“传送带”模型中的解题方法 传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，一般设问的角
度有两个：
(1)动力学角度：如求物体在传送带上运动的时间、物体 在传送带上能达到的速度、物体相对传送带滑过的位移，
答案
BD
考点解读 典例剖析 高考高分技巧 专题专练
借题发挥
功能关系的选用技巧 1．在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能 的变化用动能定理分析． 2．只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关 系分析． 3．只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械 能变化的关系分析．
功能关系能量守恒定律（含答案）
功能关系能量守恒定律（含答案）专题功能关系能量守恒定律【考情分析】1．知道功是能量转化的量度，掌握重⼒的功、弹⼒的功、合⼒的功与对应的能量转化关系。
2．知道⾃然界中的能量转化，理解能量守恒定律，并能⽤来分析有关问题。
【重点知识梳理】知识点⼀对功能关系的理解及其应⽤1．功能关系(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发⽣了转化。
(2)做功的过程⼀定伴随着能量的转化，⽽且能量的转化必须通过做功来实现。
2．做功对应变化的能量形式(1)合外⼒对物体做的功等于物体的动能的变化。
(2)重⼒做功引起物体重⼒势能的变化。
(3)弹簧弹⼒做功引起弹性势能的变化。
(4)除重⼒和系统内弹⼒以外的⼒做的功等于物体机械能的变化。
知识点⼆能量守恒定律的理解及应⽤1．内容能量既不会凭空产⽣，也不会凭空消失，它只能从⼀种形式转化为另⼀种形式，或者从⼀个物体转移到另⼀个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．适⽤范围能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种⾃然现象中普遍适⽤的⼀条规律。
3．表达式ΔE减＝ΔE增，E初＝E末。
【典型题分析】⾼频考点⼀对功能关系的理解及其应⽤12【例1】（2019·全国Ⅱ卷）从地⾯竖直向上抛出⼀物体，其机械能E 总等于动能E k 与重⼒势能E p 之和。
取地⾯为重⼒势能零点，该物体的E 总和E p 随它离开地⾯的⾼度h 的变化如图所⽰。
重⼒加速度取10 m/s 2。
由图中数据可得A ．物体的质量为2 kgB ．h =0时，物体的速率为20 m/sC ．h =2 m 时，物体的动能E k =40 JD ．从地⾯⾄h =4 m ，物体的动能减少100 J 【答案】AD【解析】A ．E p –h 图像知其斜率为G ，故G =80J4m=20 N ，解得m =2 kg ，故A 正确B ．h =0时，E p =0，E k =E 机–E p =100 J–0=100 J ，故212mv =100 J ，解得：v =10 m/s ，故B 错误；C ．h =2 m 时，E p =40 J ，E k =E 机–E p =85 J–40 J=45 J ，故C 错误；D ．h =0时，E k =E 机–E p =100 J–0=100 J ，h =4 m 时，E k ′=E 机–E p =80 J–80J=0 J ，故E k –E k ′=100 J ，故D 正确。
功能关系能量守恒重点
功能关系能量守恒 重点来自导一、功能关系 (1)功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量 发生了转化．做功的过程一定伴随有能量的转化，而且能量 的转化必须通过做功来实现． 2．做功对应变化的能量形式 (1)合外力的功影响物体的动能的变化． (2)重力的功影响物体重力势能的变化． (3)弹簧弹力的功影响弹性势能变化． (4)除重力或系统内弹力以外的力做功影响物体机械能的 变化． (5)滑动摩擦力的功影响焦耳热的变化． (6)电场力的功影响电势能的变化． (7)分子力的功影响分子势能的变化．
能的增量 动到N点的过程中（ ）
D．力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于物体机械能的增量 B．0～x1过程中物体的动能一定先增加后减小，最后为零 滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动 。
D．x1～x2过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动 D．x1～x2过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动 滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动 。
面则: B．0～x1过程中物体的动能一定先增加后减小，最后为零
C．力F做的功和阻力做的功之和等于物体机械能的增量 如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落
5.4功能关系、能量守恒
3 已知v =2m/s，θ=30º，h=2m， = 例5、已知v0=2m/s，θ=30 ，h=2m，µ= ，g=10m/s2， 2
将m=10kg的工件轻轻放在传送带的低端，传送到顶端。 m=10kg的工件轻轻放在传送带的低端，传送到顶端。 的工件轻轻放在传送带的低端 求：在传送工件的过程中，电动机消耗的电能是多少？ 在传送工件的过程中，电动机消耗的电能是多少？
A
B C L
L
例1 、
h n块 块
例2 、
例3 、
例4 、
例6、一传送带装置如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经 一传送带装置如图，其中传送带经过AB区域时是水平的， AB区域时是水平的 BC区域时变为圆弧形 圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时变为圆弧形（ ），经过 过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切 现将大量的质量均为m 都与BC相切， 区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切，现将大量的质量均为m的小 货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速度为零， 货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带 运到D 的高度差为h 稳定工作时传送带速度不变，CD段上 运到D处，D和A的高度差为h，稳定工作时传送带速度不变，CD段上 各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 每个箱子在A处投放后， 各箱等距排列，相邻两箱的距离为L，每个箱子在A处投放后，在到 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC BC段 达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段 时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T ）。已知在一段相当长的时间 时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的 数目为N 这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动， 数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不 D 计轮轴处的摩擦，求电动机的平均输出功率P 计轮轴处的摩擦，求电动机的平均输出功率P。
2023届高考物理一轮复习课件：功能关系、能量守恒定律
小；
(3) B: －W－fSB＝0－Ek
C:－fxC＝0－Ek
SB＞xC－xBC
SB为路程
得:W＜fxBC
(4)若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移
x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值(用f、k、
E多=Q+ ( − ) E多＝0.8 J
＝0.8 J
例2.如图所示，固定的粗糙弧形轨道下端B点水平，上端A与B点的高
度差为h 1 ＝0.3 m，倾斜传送带与水平方向的夹角为θ＝37°，传送带的
上端C点与B点的高度差为h 2 ＝0.1125 m(传送带传动轮的大小可忽略
不计)。一质量为m＝1 kg的滑块(可看作质点)从轨道的A点由静止滑下，
Ek＝
。
k
[针对训练]
1．如图，一长为 L 的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为 m 的
小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆
与水平方向夹角为 60°时，拉力的功率为(
C
A．mgLω
3
B． mgLω
2
1
C． mgLω
2
3
D． mgLω
6
)
PF＝P克 ＝mgvy
v
0
f
1.水平皮带
f
v0
+
x物 =
x皮
x皮= =2x物 ∆x= x皮-x物 =x物
=
f∆x=Q
fx物= −
思考:因传送物体多做的功？
功能关系 能量守恒定律
功能关系 能量守恒定律一、几种常见的功能关系(功是能量转化的量度)1．合力做功与物体动能改变之间的关系：合力做功等于物体动能的增量， 即W 合＝E k 2－E k 1(动能定理)．2．重力做功与物体重力势能改变之间的关系：重力做功等于物体重力势能增量的负值，即W G ＝－ΔE p .3．弹力做功与物体弹性势能改变之间的关系：弹力做功等于物体弹性势能增量的负值，即W ＝－ΔE p .4．除了重力和系统内弹力之外的其他力做功与机械能改变之间的关系：其他力做的总功【例1】在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为m 的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F ，那么在他减速下降高度为h 的过程中，下列说法正确的是(g 为当地的重力加速度)( )A ．他的动能减少了FhB ．他的重力势能增加了mghC ．他的机械能减少了(F －mg )hD ．他的机械能减少了Fh解析：由动能定理，ΔE k ＝mgh －Fh ，动能减少了Fh －mgh ，A 选项不正确；他的重力势能减少了mgh ，B 选项错误；他的机械能减少了ΔE ＝Fh ，C 选项错误，D 选项正确． 答案：D【练习1】如图所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一质量为3 kg 的物体被一个劲度系数为120 N/m 的压缩轻质弹簧突然弹开，物体离开弹簧后在水平面上继续滑行了1.3 m 才停下来，下列说法正确的是(g 取10 m/s 2)( D )A ．物体开始运动时弹簧的弹性势能E p ＝7.8 JB ．物体的最大动能为7.8 JC ．当弹簧恢复原长时物体的速度最大D ．当物体速度最大时弹簧的压缩量为x ＝0.05 m解析：物体离开弹簧后的动能设为E k ，由功能关系可得：E k ＝μmgx 1＝7.8 J ，设弹簧开始的压缩量为x 0，则弹簧开始的弹性势能E p 0＝μmg (x 0＋x 1)＝7.8 J ＋μmgx 0＞7.8 J ，A 错误；当弹簧的弹力kx 2＝μmg 时，物体的速度最大，得x 2＝0.05 m ，D 正确，C 错误；物体在x 2＝0.05 m 到弹簧的压缩量x 2＝0的过程做减速运动，故最大动能一定大于7.8 J ，故B 错误．[训练2] 如图所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F 拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动，在移动过程中，下列说法正确的是( CD ) A ．F 对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和B ．F 对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和C ．木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力势能D ．F 对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和二、能量转化与守恒定律的应用 1．摩擦力做功的特点：(1)一对静摩擦力对两物体做功时，能量的转化情况：静摩擦力对相互作用的一个物体做正功，则另一摩擦力必对相互作用的另一物体做负功，且做功的大小相等，在做功的过程中，机械能从一个物体转移到另一物体，没有机械能转化为其他形式的能．(2)一对滑动摩擦力对两物体做功时，能量的转化情况：由于两物体发生了相对滑动，位移不相等，因而相互作用的一对滑动摩擦力对两物体做功不相等，代数和不为零，其数值为－Fx ，即滑动摩擦力对系统做负功，系统克服摩擦力做功，将机械能转化为内能，即Q ＝Fx.（x 为相对位移）2．能量守恒定律：当物体系内有多种形式的能量参与转化时，可考虑用能量守恒定律解题，能量守恒定律的两种常见表达形式：(1)转化式：ΔE 减＝ΔE 增，即系统内减少的能量等于增加的能量；(2)转移式：ΔE A ＝－ΔE B ，即一个物体能量的减少等于另一个物体能量的增加．【例2】 (2011·衡水模拟)质量为m 的木块(可视为质点)左端与轻弹簧相连，弹簧的另一端与固定在足够大的光滑水平桌面上的挡板相连，木块的右端与一轻细线连接，细线绕过光滑的质量不计的轻滑轮，木块处于静止状态，在下列情况中弹簧均处于弹性限度内，(不计空气阻力及线的形变，重力加速度为g)．(1)在图甲中，在线的另一端施加一竖直向下的大小为F 的恒力，木块离开初始位置O 由静止开始向右运动，弹簧开始发生伸长形变，已知木块通过P 点时，速度大小为v ，O 、P 两点间的距离为l .求木块拉至P 点时弹簧的弹性势能；(2)如果在线的另一端不是施加恒力，而是悬挂一个质量为M 的钩码，如图乙所示，木块也从初始位置O 由静止开始向右运动，求当木块通过P 点时的速度大小．解析 (1)用力F 拉木块至P 点时，设此时弹簧的弹性势能为E ，根据功能关系得Fl ＝E ＋12mv 2所以弹簧的弹性势能为E ＝Fl －12mv 2.(2)悬挂钩码M 时，当木块运动到P 点时，弹簧的弹性势能仍为E ，设木块的速度为v ′，由机械能守恒定律得 Mgl ＝E ＋12(m ＋M )v ′2联立解得v ′＝ mv 2＋2Mg －F lM ＋m[针对训练3] 如图所示，A 、B 、C 质量分别为m A ＝0.7 kg ，m B ＝0.2 kg ，m C ＝0.1 kg ，B 为套在细绳上的圆环，A 与水平桌面的动摩擦因数μ＝0.2，另 一圆环D 固定在桌边，离地面高h 2＝0.3 m ，当B 、C 从静止下降h 1＝0.3 m ，C 穿环而过，B 被D 挡住，不计绳子质量和滑轮的摩擦，取g ＝10 m /s 2，若开始时A 离桌边足够远．试求：(1)物体C 穿环瞬间的速度．(2)物体C 能否到达地面？如果能到达地面，其速度多大？.解析:（1）由能量守恒定律得： (m B +m C )gh 1=12(m A +m B +m C )v 21+μm A gh 1可求得：v 1=（2）设物体C 到达地面的速度为v 2,由能量守恒定律得：m C gh 2=12(m A +m C )v 22-12(m A +m C )v 21+μmAgh 2可求出：v 2=10故物体C 能到达地面.三、用功能关系分析传送带问题传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个：(1)动力学角度，如求物体在传送带上运动的时间、物体在传送带上能达到的速度、物体相对传送带滑过的位移等，方法是牛顿第二定律结合运动学规律．(2)能量的角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等．【例3】 飞机场上运送行李的装置为一水平放置的环形传送带， 传送带的总质量为M ，其俯视图如图所示．现开启电动机，传送带达到稳定运行的速度v 后，将行李依次轻轻放到传送带上．若有n 件质量均为m 的行李需通过传送带运送给旅客．假设在转弯处行李与传送带无相对滑动，忽略皮带轮、电动机损失的能量．求从电动机开启，到运送完行李需要消耗的电能为多少？解析 设行李与传送带间的动摩擦因数为μ，则传送带与行李间由于摩擦产生的总热量 Q ＝n μmg Δl由运动学公式得Δl ＝l 传－l 行＝vt －vt 2＝vt2又v ＝μgt联立解得Q ＝12nmv 2由能量守恒得E ＝Q ＋12Mv 2＋n ×12mv 2所以E ＝12Mv 2＋nmv 2[针对训练4] 一质量为M ＝2.0 kg 的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中并从物块中穿过，子弹和小物块的作用时间极短，如图甲所示．地面观察者记录了小物块被击中后的速度随时间变化关系如图乙所示(图中取向右运动的方向为正方向)．已知传送带的速度保持不变，g 取10 m /s 2.(1)指出传送带速度v 的方向及大小，说明理由． (2)计算物块与传送带间的动摩擦因数μ.(3)子弹射穿物块后系统有多少能量转化为内能？解析 (1)从速度图象中可以看出，物块被击穿后，先向左做减速运动，速度为零后，又向右做加速运动，当速度等于2.0 m/s ，则随传送带一起做匀速运动，所以，传送带的速度方向向右，传送带的速度v 的大小为2.0 m/s.(2)由速度图象可得，物块在滑动摩擦力的作用下做匀变速运动的加速度为a ，有a ＝Δv Δt ＝4.02m/s 2＝2.0 m/s 2由牛顿第二定律得滑动摩擦力F f ＝μMg ，则物块与传送带间的动摩擦因数μ＝Ma Mg ＝a g ＝2.0100.2.(3)设物块被击中后的初速度为v 1，向左运动的时间为t 1，向右运动直至和传送带达到共同速度的时间为t 2，则有：物块向左运动时产生的内能Q 1＝μMg (vt 1＋v 22t 1)＝32 J物块向右运动时产生的内能Q 2＝μMg (vt 2－v2t 2)＝4 J.所以整个过程产生的内能Q ＝Q 1＋Q 2＝36 J.1．质量均为m 的甲、乙、丙三个小球，在离地面高为h 处以相同的动能在竖直平面内分别做平抛、竖直下抛、沿光滑斜面下滑的运动，则下列说法正确的是( ABC [只有重力做功，机械能守恒，mgh ＋E k1＝E k2＝12mv 2，A 、B 、C 对．] )A ．三者到达地面时的速率相同B ．三者到达地面时的动能相同C ．三者到达地面时的机械能相同D ．三者同时落地2．如图所示，一个小孩从粗糙的滑梯上加速滑下，对于其机械能的变化情况，下列判断正确的是( B [下滑时高度降低，则重力势能减小，加速运动，动能增加，摩擦力做负功，机械能减小，B 对，A 、C 、D 错．] )A ．重力势能减小，动能不变，机械能减小B ．重力势能减小，动能增加，机械能减小C ．重力势能减小，动能增加，机械能增加D ．重力势能减小，动能增加，机械能不变3．质量为m 的物体，从静止开始以2g 的加速度竖直向下运动h ，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( BCD [物体所受合外力F ＝ma ＝2mg >mg ，说明物体除重力外还受到其他力作用，机械能不守恒，A 选项错误；重力做的功等于物体重力势能的改变量(减小量)，B 选项正确；合外力做的功等于物体动能的增量，C 正确；除重力外其他外力(等于mg )对物体做的功等于物体机械能的增量，D 正确．] )A ．物体的机械能保持不变B ．物体的重力势能减小mghC ．物体的动能增加2mghD ．物体的机械能增加mgh4．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是( D [小球下落过程中受到的重力做正功，弹力做负功，重力势能、弹性势能及动能都要发生变化．任意两种能量之和都不会保持不变，但三种能量有相互转化，总和不变，D 正确．] )A ．重力势能和动能之和总保持不变B ．重力势能和弹性势能之和总保持不变C ．动能和弹性势能之和总保持不变D ．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变5．如图3所示，小球以初速度v 0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h 的斜面顶部．图中A 是内轨半径大于h 的光滑轨道、B 是内轨半径小于h 的光滑轨道、C 是内轨直径等于h 的光滑轨道、D 是长为12h 的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O 点向上转动的小球．小球在底端时的初速度都为v 0，则小球在以上四种情况中能到达高度h 的有( AD [在不违背能量守恒定律的情景中的过程并不是都能够发生的，B 、C 中的物体沿曲线轨道运动到与轨道间的压力为零时就会脱离轨道做斜上抛运动，动能不能全部转化为重力势能，故A 、D 正确．] )6．从地面竖直向上抛出一个物体，当它的速度减为初速度v 0的一半时，上升的高度为(空气阻力不计)( D [设上抛物体的速度减为初速度v 0的一半时，上升的高度为h ，选地面为参考平面，由机械能守恒定律得： 12mv 20＝12m (v 02)2＋mgh ， 解得h ＝3v 208g ，D 正确．] )A .v 202gB .v 204gC .v 208gD .3v 208g7.(辽宁)一物体由静止从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，在此过程中重力对物体做的功等于（D ）A ．物块动能的增加量B ．物块重力势能的减少量与物体克服摩擦力做的功之和C.物体重力势能的减少量和物块动能的增加量以及物块克服摩擦力做的功之和 D ．物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和8.水平传送带匀速运动，速度大小为v ，现将一小工件轻轻放上传送带，它将在传送带上滑动一段距离后，速度才达到v ，而与传送带相对静止，设小工件质量为m ，它与传送带间的动摩擦因数为μ，在 m 与传送带相对运动的过程中（ BCD ）A ．工件做变加速运动B ．滑动摩擦力对工件做功212m vC ．工件相对传送带的位移大小为22vgμD ．工件与传送带因摩擦产生的内能为212m v【基础演练】1．物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是( D ) A ．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 B ．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小C ．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况D ．三种情况中，物体的机械能均增加2．从地面竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为H.设上升过程中空气阻力F 阻恒定．则对于小球的整个上升过程，下列说法中错误的是( A ) A ．小球动能减少了mgH B ．小球机械能减少了F 阻H C ．小球重力势能增加了mgHD ．小球的加速度大于重力加速度g3．如图所示，一轻弹簧的左端固定，右端与一小球相连，小球处于光滑水平面上．现对小球施加一个方向水平向右的恒力F ，使小球从静止开始运动，则小球在向右运动的整个过程中( BD )A ．小球和弹簧组成的系统机械能守恒B ．小球和弹簧组成的系统机械能逐渐增加C ．小球的动能逐渐增大D ．小球的动能先增大后减小4．一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，并从中穿出．对于这一过程，下列说法正确的是( D )A ．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能B ．子弹减少的动能等于木块增加的动能C ．子弹减少的机械能等于木块增加的动能与木块增加的内能之和D ．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块增加的内能之和5．如图所示，一质量为m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A 处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O 点正下方B 点间的竖直高度差为h ，速度为v ，则(AD [由A 到B ，高度减小h ，重力做功mgh ，重力势能减少mgh ，但因弹簧伸长，弹性势能增加，由能量守恒得mgh ＝12mv 2＋E p ，可得E p ＝mgh －12mv 2，小球克服弹力做功应小于mgh ，故B 、C 错误，A 、D 正确．])A ．由A 到B 重力做的功等于mghB ．由A 到B 重力势能减少12mv 2C ．由A 到B 小球克服弹力做功为mghD ．小球到达位置B 时弹簧的弹性势能为mgh －mv226．(2011·盐城模拟)如图所示，长为L 的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F 的水平力将小车向右拉动一段距离l ，物块刚好滑到小车的左端．物块与小车间的摩擦力为F f ，在此过程中( A )A ．系统产生的内能为F f LB ．系统增加的机械能为F lC ．物块增加的动能为F f LD ．小车增加的动能为Fl －F f L7．如图所示，质量为m 的物块从A 点由静止开始下落，加速度为12g ，下落H到B 点后与一轻弹簧接触，又下落h 后到达最低点C ，在由A 运动到C 的过程中，空气阻力恒定，则(D [因为下落加速度是12g ，所以有阻力做功且阻力大小F f＝12mg ，机械能不守恒，A 、B 错；下落(H ＋h )过程中，阻力做功W f ＝－F f (H ＋h )，所以物块和弹簧组成的系统机械能减少12mg (H ＋h )，C 错，D 正确．])A ．物块机械能守恒B ．物块和弹簧组成的系统机械能守恒C ．物块机械能减少12mg(H ＋h)D ．物块和弹簧组成的系统机械能减少12mg(H ＋h)9.如图所示，倾角为30°的光滑斜面的下端有一水平传送带，传送带正以6 m /s 的速度运动，运动方向如图所示．一个质量为2 kg 的物体(物体可以视为质点)，从h ＝3.2 m 高处由静止沿斜面下滑，物体经过A 点时，不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面，都不计其动能损失．物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，物体向左最多能滑到传送带左右两端AB 的中点处，重力加速度g ＝10 m /s 2，求： (1)物体由静止沿斜面下滑到斜面末端需要多长时间； (2)传送带左右两端AB 间的距离l 至少为多少；(3)上述过程中物体与传送带组成的系统产生的摩擦热为多少．解析 (1)物体在斜面上，由牛顿第二定律得mg sin θ＝ma ，h sin θ＝12at 2，可得t ＝1.6s.(2)由能的转化和守恒得mgh ＝μmg l2，l ＝12.8 m.(3)此过程中，物体与传送带间的相对位移x 相＝l 2＋v 带·t 1，又l 2＝12gt 21，而摩擦热Q ＝μmg ·x 相，以上三式可联立得Q ＝160 J.10．(2011·辽宁大连双基测试)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数为μ，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2m ，B 的质量为m ，初始时物体A 到C 点的距离为L.现给A 、B 一初速度v 0使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点．已知重力加速度为g ，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度； (2)弹簧的最大压缩量；(3)弹簧中的最大弹性势能．解析 (1)A 和斜面间的滑动摩擦力F f ＝2μmg cos θ，物体A 向下运动到C 点的过程中，根据能量关系有：2mgL sin θ＋12·3mv 20＝12·3mv 2＋mgL ＋F f L ，v ＝v 20－23μgL 3(2)从物体A 接触弹簧，将弹簧压缩到最短后又恰回到C 点，对系统应用动能定理得 －F f ·2x ＝0－12×3mv 2，x ＝3v 204μg －L 2(3)弹簧从压缩最短到恰好能弹到C 点的过程中，对系统根据能量关系有 E p ＋mgx ＝2mgx sin θ＋F f x 因为mgx ＝2mgx sin θ所以E p ＝F f x ＝34mv 20－32μmgL .11．如图所示，AB 为半径R ＝0.8 m 的1/4光滑圆弧轨道，下端B 恰与小车右端平滑对接．小车质量M ＝3 kg ，车长L ＝2.06 m ，车上表面距地面的高度h ＝0.2 m ．现有一质量m ＝1 kg 的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B 端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运行了1.5 s 时，车被地面装置锁定．(g ＝10 m/s 2)试求：(1)滑块到达B 端时，轨道对它支持力的大小； (2)车被锁定时，车右端距轨道B 端的距离；(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小； (4)滑块落地点离车左端的水平距离． 解析：(1)设滑块到达B 端时速度为v ，由动能定理，得mgR ＝12mv 2由牛顿第二定律，得F N －mg ＝m v 2R联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：F N ＝3mg ＝30 N. (2)当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得 对滑块有：－μmg ＝ma 1 对小车有：μmg ＝Ma 2设经时间t 两者达到共同速度，则有：v ＋a 1t ＝a 2t解得t ＝1 s ．由于1 s ＜1.5 s ，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v ′＝a 2t ＝1 m/s 因此，车被锁定时，车右端距轨道B 端的距离：x ＝12a 2t 2＋v ′t ′＝1 m.(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离Δx ＝v ＋v ′2t －12a 2t 2＝2 m所以产生的内能：E ＝μmg Δx ＝6 J.(4)对滑块由动能定理，得－μmg (L －Δx )＝12mv ″2－12mv ′2滑块脱离小车后，在竖直方向有：h ＝12gt ″2所以，滑块落地点离车左端的水平距离：x ′＝v ″t ″＝0.16 m.12．如图所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为m ＝0.1 kg 的铁块，它与纸带右端的距离为L ＝0.5 m ，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为μ＝0.1.现用力F 水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘，铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为s ＝0.8 m ．已知g ＝10 m/s 2，桌面高度为H ＝0.8 m ，不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不滚动．求：(1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间t 1； (3)纸带抽出过程产生的内能E . 解析：(1)水平方向：s ＝vt ① 竖直方向：H ＝12gt 2②由①②联立解得：v ＝2 m/s.(2)设铁块的加速度为a 1，由牛顿第二定律，得μmg ＝ma 1③ 纸带抽出时，铁块的速度v ＝a 1t 1④ ③④联立解得t 1＝2 s. (3)铁块的位移s 1＝12a 1t 21⑤设纸带的位移为s 2；由题意知，s 2－s 1＝L ⑥由功能关系可得E ＝μmgs 2＋μmg (s 2－s 1)⑦ 由③④⑤⑥⑦联立解得E ＝0.3 J. 答案：(1)2 m/s (2)2 s (3)0.3 J13.如图所示，水平长传送带始终以速度v=3 m/s 匀速运动.现将一质量为m=1 kg 的物体放于左端（无初速度）.最终物体与传送带一起以3 m/s 的速度运动，在物体由速度为零增加至v=3 m/s 的过程中，求：（1）物块从速度为零增至3 m/s 的过程中，由于摩擦而产生的热量； （2）由于放了物块，带动传送带的电动机多消耗多少电能？解析:（1）小物块刚放到传送带上时其速度为零，将相对传送带向左滑动，受到一个向右的滑动摩擦力，使物块加速，最终与传送带达到相同速度v. 物块所受的滑动摩擦力为F f =μmg ,物块加速度 a=f F m=μg .加速至v 的时间t =v a=vgμ物块对地面位移x 物=2v t=22vgμ则物块相对于带向后滑动的位移x 相对=x 带-x 物=22vgμ.这段时间传送带向右的位移x 带=vt =2vgμ.则物块相对于带向后滑动的位移： x 相对=x 带-x 物=22vgμ根据能量守恒定律知 Q =F fx 相对=μmgx 相对=12mv 2=12×1×32 J=4.5 J .(2)放上物块后，传送带克服滑动摩擦力做的功为 W =F fx 带=μmg2vgμ=mv 2=9 J .此问也可以这样求解，电动机多消耗的电能即物块获得的动能12mv 2及传送带上产生的热量之和，即 W =12mv 2+12mv 2=mv 2=9 J.。
高中物理功能关系-能量守恒定律
功能关系1．功和能(1)做功的过程就是能量转化的过程，能量的转化必须通过做功来实现。
(2)功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化。
2．功能关系(1)重力做功等于重力势能的改变，即W G＝E p1－E p2＝－ΔE p(2)弹簧弹力做功等于弹性势能的改变，即W F＝E p1－E p2＝－ΔE p(3)除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W其他力＝E2－E1＝ΔE。
(功能原理)(1)动能的改变量、机械能的改变量分别与对应的功相等。
(2)重力势能、弹性势能、电势能的改变量与对应的力做的功数值相等，但符号相反。
(3)摩擦力做功的特点及其与能量的关系：类别比较静摩擦力滑动摩擦力不同点能量的转化方面只有能量的转移，而没有能量的转化既有能量的转移，又有能量的转化一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数总和等于零一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－F f·l相对，即摩擦时产生的热量相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功1．自然现象中蕴藏着许多物理知识，如图5－4－1所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁使它变形，则水的势能()图5－4－1A．增大B．变小C．不变D．不能确定解析：选A人推袋壁使它变形，对它做了功，由功能关系可得，水的重力势能增加，A正确。
能量守恒定律1．内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式ΔE减＝ΔE增。
1．应用能量守恒定律的基本思路(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．应用能量守恒定律解题的步骤(1)分清有多少形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
功能关系和能量守恒定律【讲】解析版
专题6.3 功能关系和能量守恒定律【讲】目录一讲核心素养 (1)二讲必备知识 (2)【知识点一】对功能关系的理解 (2)【知识点二】功能关系的综合应用 (5)【知识点三】能量守恒定律的应用 (6)三．讲关键能力-----综合应用力学两大观点解决多运动过程问题 (9)四．讲模型思想---与摩擦生热相关的两个物理模型 (12)一讲核心素养1.物理观念：功能关系。
熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题.。
2.科学思维：与摩擦生热相关的物理模型、能量守恒定律。
(1).掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系.．(2)会应用能量守恒观点解决综合问题3.科学态度与责任：(1)理解功能关系，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
(2).能用能量守恒定律分析生产生活中的有关问题。
二 讲必备知识【知识点一】对功能关系的理解几种常见的功能关系及其表达式员从距底端高为h 处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为13g 。
在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( )A ．运动员减少的重力势能全部转化为动能B ．运动员获得的动能为13mgh C ．运动员克服摩擦力做功为23mgh D ．下滑过程中系统减少的机械能为13mgh 【答案】D【解析】运动员的加速度大小为13g ，小于g sin 30°＝12g ，所以其必受摩擦力，且大小为16mg ，克服摩擦力做的功为16mg ×h sin 30°＝13mgh ，故C 错；摩擦力做负功，机械能不守恒，减少的重力势能没有全部转化为动能，有13mgh 转化为内能，故A 错，D 对；由动能定理知，运动员获得的动能为13mg ×h sin 30°＝23mgh ，故B 错。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
要求考生掌握受力分析及常见的功能关系。
【方法总结】功能关系的选取方法(1)若只涉及动能的变化用动能定理。
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图2
6
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解析 由于 Ep＝mgh，所以 Ep 与 h 成正比，斜率是 k＝mg，由图象得 k＝20 N， 因此 m＝2 kg，A 正确；当 h＝0 时，Ep＝0，E 总＝Ek＝12mv0 2，因此 v0＝10 m/s， B 错误；由图象知 h＝2 m 时，E 总＝90 J，Ep＝40 J，由 E 总＝Ek＋Ep 得 Ek＝ 50 J，C 错误；h＝4 m 时，E 总＝Ep＝80 J，即此时 Ek＝0，即从地面上升至 h ＝4 m 高度时，物体的动能减少 100 J，D 正确。 答案 AD
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专题 功能关系 能量守恒定律
1
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功能关系的理解和应用 1.对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功 来实现的。 (2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同 形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值 上相等。
答案 B
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摩擦力做功与能量的转化
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1.两种摩擦力的做功情况比较
比较
静摩擦力
类别
滑动摩擦力
能量的转化 只有能量的转移，而没有 既有能量的转移，又有能量的转化
方面 能量的转化
不同点
一对滑动摩擦力所做功的代数和不
一对摩擦力 一对静摩擦力所做功的代
的总功方面 数和等于零
为零，总功W＝－Ffl相对，即相对
A.12mv0 2－μmg(s＋x)
B.12mv0 2－μmgx
C.μmgs
D.μmg(s＋x)
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图8
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解析 根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为 Wf＝μmg(s＋x)，由能量守 恒定律可得12mv0 2＝W 弹＋Wf，W 弹＝12mv0 2－μmg(s＋x)，故选项 A 正确。 答案 A
9
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2.(2019·广东省惠州市第三次调研)质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度，从起点
A出发竖直向上抛出，在它上升到某一点的过程中，物体的动能损失了50 J，
机械能损失了10 J，设物体在上升、下降过程空气阻力大小恒定，则该物体再
落回到A点时的动能为(g＝10 m/s2)( )
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2.如图9所示，在距水平地面高h1＝1.2 m的光滑水平台面上，一个质量m＝1 kg的 小物块压缩弹簧后被锁定。现解除锁定，小物块与弹簧分离后以一定的水平速度 v1向右从A点滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道 BC。已知B点距水平地面的高度h2＝0.6 m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等 高，C点的切线水平，并与长L＝2.8 m的水平粗糙直轨道CD平滑连接，小物块恰 能到达D处。重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力忽略不计。求：
14
1.(多选)如图5所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平 面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现 用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加 速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为Ff，小物块滑到小 车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论正 确的是( ) A.小物块到达小车最右端时具有的动能为(F－Ff)(L＋x) B.小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ff x C.小物块克服摩擦力所做的功为Ff(L＋x) D.小物块和小车增加的机械能为Fx
滑动时产生的热量
相同点
两种摩擦力对物体可以做正功、负 正功、负功、不做功方面
功，还可以不做功
11
2.相对滑动物体能量问题的解题流程
12
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【例3】 (多选)(2019·江苏卷，8)如图4所示，轻质弹簧 的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m， 从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运 动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与 地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超 出弹性限度。在上述过程中( ) A.弹簧的最大弹力为 μmg B.物块克服摩擦力做的功为 2μmgs C.弹簧的最大弹性势能为 μmgs D.物块在 A 点的初速度为 2μgs
5
【例2】 (多选)(2019·全国Ⅱ卷，18)从地面竖直向上抛出一物体， 其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零 点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图2所示。重 力加速度取10 m/s2。由图中数据可得( ) A.物体的质量为2 kg B.h＝0时，物体的速率为20 m/s C.h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J D.从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
量之和，即
Ep＝mgh＋μmgl＋μmgcos
h α·sin
α＝mgh＋μmg(tahn
α＋l)，弹簧对小
物块做的功等于弹性势能减少量，也为 mgh＋μmg·(tahn α＋l)，故 A 错误，C 正
确；小物块从
A
到
B
过程中，斜面摩擦力对小物块做负功，且为－μmgcos
h α·sin
α
＝－μmg·tahn α，故
vgt1，解得 v1＝2 m/s，由能量的转化与守恒定律可知，Ep＝12mv1 2，解得 Ep＝2 J。
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图5
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解析 由动能定理可得，小物块到达小车最右端时的动能Ek物＝W合＝(F－Ff)(L ＋x)，A正确；小物块到达小车最右端时，小车的动能Ek车＝Ff x，B正确；小物 块克服摩擦力所做的功Wf＝Ff(L＋x)，C正确；小物块和小车增加的机械能为 F(L＋x)－Ff L，D错误。 答案 ABC
17
A.克服阻力做的功为12mv0 2 B.该过程产生的热量为12mv0 2－mgh C.在 AC 段克服阻力做的功小于在 CB 段克服阻力做的功 D.在 AC 段的运动时间等于在 CB 段的运动时间
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解析 设货车所受阻力为 f，根据动能定理有－mgh－fl＝0－12mv0 2，克服阻力 做的功为 Wf＝fl＝12mv0 2－mgh，故 A 错误；克服阻力做的功等于系统产生的 内能，则该过程产生的热量为12mv0 2－mgh，故 B 正确；阻力做的功与路程成 正比，在 AC 段克服阻力做的功等于在 CB 段克服阻力做的功，故 C 错误；从 A 到 B 做匀减速运动，AC 段的平均速度大于 BC 段的平均速度，故在 AC 段的 运动时间小于在 CB 段的运动时间，故 D 错误。 答案 B
1 A.9mgl C.13mgl
1 B.6mgl D.12mgl
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图1
4
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解析 由题意可知，PM 段细绳的机械能不变，MQ 段细绳的重心升高了6l ，则 重力势能增加 ΔEp＝23mg·6l ＝19mgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功 为 W＝19mgl ，故选项 A 正确，B、C、 D 错误。 答案 A
2
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2.几种常见的功能关系及其表达式
各种力做功
合力做功
重力做功
弹簧弹力 做功
只有重力、弹 簧弹力做功 非重力和 弹力做功
对应能的变化
动能变化
重力势能 变化
弹性势能 变化
系统机械能 不变化 机械能 变化
定量关系 合力对物体做功等于物体动能的变化量W合＝Ek2－ Ek1 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势 能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势 能增加，且W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
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图4
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解析 物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大 于摩擦力，即 F>μmg，A 错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功 W＝μmgs ＋μmgs＝2μmgs，B 正确；根据能量守恒，弹簧弹开物块的过程中，弹簧的弹 性势能通过摩擦力做功转化为内能，故 Epm＝μmgs，C 正确；根据能量守恒， 在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即12mv2＝2μmgs， 所以 v＝2 μgs，D 错误。 答案 BC
A.40 J
B.60 J
C.80 J
D.100 J
解析 物体抛出时的总动能为100 J，物体的动能损失了50 J时，机械能损失了
10 J，则动能损失100 J时，机械能损失了20 J，此时到达最高点，返回时，机
械能还会损失20 J，故从A点抛出到落回到A点，共损失机械能40 J，所以该物
体再落回到A点时的动能为60 J，A、C、D错误，B正确。
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能量守恒定律的应用
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1.对能量守恒定律的理解 (1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增 加量一定相等。 (2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增 加量一定相等。
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2.涉及弹簧的能量问题应注意 两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点： (1)能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。 (2)如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最 大程度时两物体速度相同。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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【例4】 (2019·保定一模)如图7所示，固定斜面AB和CB与水平面均由一小段光滑圆 弧连接，倾角分别为α、β，OB＝h。细线一端固定在竖直挡板上，另一端系一质 量为m的小物块，在小物块和挡板之间压缩一轻质弹簧(小物块与弹簧不连接)，烧 断细线，小物块被弹出，滑上斜面AB后，恰好能运动到斜面的最高点，已知AD ＝l，小物块与水平面、斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，则( )