2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-5.3柯西不等式(人教A版·数学理)浙江专用

1 1 1 1 1 1 1 x y z g 2x g 3y 1gz ( 1)2（2x 2 3y 2 z 2 ) 2 g 2 3 2 3
而等号成立的条件是： 2x ， 3y ，z ，
即 x ，y ， z=λ，代入条件x+y+z=1得λ=
2 2 1g x 1 5 30 2 x 3g . 2 2 2
故当且仅当 2 g 2 x 1 x 1 ,
2
即 x 7 时，f(x)取得最大值为 30 .
6
2
【反思·感悟】1.利用柯西不等式求最值的一般结构为：
(a12 a 2 2 a n 2 )( 1 1 1 2 2 ) (1 1 1) 2 n 2 . a12 a 2 an
的数学式中看出.
利用柯西不等式求最值
【方法点睛】
利用柯西不等式求最值的技巧 （1）先变形凑成柯西不等式的结构特征，这是利用柯西不等 式求解的先决条件； （2）有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要 适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式 来解，这也是应用柯西不等式解题的技巧；
(3)若2x+3y=1,则4x2+9y2的最小值为______.
【解析】（4x2+9y2）·（12+12）≥（2x+3y）2=1 ∴ 4x 2 9y 2 1 .
2
答案：
1 2
利用柯西不等式证明不等式 【方法点睛】
利用柯西不等式的解题方法
(1)柯西不等式的一般结构为 (a12 a 22 a n 2 )(b12 b2 2 bn 2 )
(x1 x 3 ) 2 (y1 y3 ) 2 (通常称为平面三角不等式)
2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
a i g bi ( a i bi ) 2
2 2 i 1 i 1 i 1 n n n
3.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一 些特定函数的极值.
2 3
2 3
11 故μ≥ 6 . g . 11 6
6 . 11
此时， 3 , y 2 , z 6 . x
11 11 11 6 故当 x 3 , y 2 , z 6 时，函数μ=2x2+3y2+z2取得最小值 . 11 11 11 11
(2)由柯西不等式，得 f x 2x 1 2 x 2 g x 1 2 x
a2 b2 c2 d2 (2)∵[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]•( ) 1 a 1 b 1 c 1 d ≥ ( 1 a g a 1 b g b 1 c g c 1 d g d )2 1 a 1 b 1 c 1 d
=(a+b+c+d)2=1, 又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d) ＝4+(a+b+c+d)=5,
【例1】(1)设a,b,c为正数，且不全相等，求证：
9 . abc
2 2 2 ab bc ca
(2)已知a,b,c,d均为正实数，且a+b+c+d=1，求证：
a2 b2 c2 d2 1 . 1 a 1 b 1 c 1 d 5
【解题指南】(1)根据题目条件，可构造两组数据
（3）有些最值问题需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但
在运用过程中，每运用一次，前后等号成立的条件必须一致，不 能自相矛盾，否则就会出现错误，多次反复运用柯西不等式的方 法也是常用技巧之一. 【提醒】在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号 成立的条件.
【例2】(1)设正数x、y、z满足x+y+z=1，求函数μ =2x2+3y2+z2
（3）一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,
(a1b1 a 2 b2 a 3b3 则 (a12 a 22 a 32 a n 2 )(b12 b22 b32 bn 2 ) _______________
bi=0(i=1,2,3,…,n) 存在一个数k,使得ai= a n bn )2 ________,当且仅当__________________或___________________
c a;
a b, b c,
1 1 1 , , , 然后利用柯西不等式解决. ab bc ca
(2)因为a+b+c+d＝1，所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)＝5，故可构
造数组，利用柯西不等式证明.
【规范解答】构造两组数 a b, b c, c a ; 由柯西不等式得：
2.在利用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件， 而且要善于构造，技巧如下：
(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序； (3)改变结构从而达到可以使用柯西不等式的目的； (4)添项.
1 1 1 2 （a b b c c a) （ ） 1 1 1） （ ab bc ca
1 1 1 , , , ab bc ca
①
即 2 a b c（ 1 1 1 ） 9，
ab bc ca
∴ 2 2 2
ab bc ca
9 . a bc
由柯西不等式知，①中等号成立 a b b c c a
1 ab 1 bc 1 ca
a b b c c a a b c.
而题设中a,b,c不全相等，故①中等号不能成立,
2 2 2 9 . ∴ ab bc ca a bc
(a1b1 a 2 b2 a n bn )2 , 在利用柯西不等式证明不等式（或比较大
小）时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件 正确解题.
（2）使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它 的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致 形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩 小.
a2 b2 c2 d2 5( ) 1. 1 a 1 b 1 c 1 d a2 b2 c2 d2 1 . 1 a 1 b 1 c 1 d 5
【反思·感悟】由a,b,c构造成的新数 a b, b c, c a 和
1 1 1 , , , 不但需要较高的观察能力，而且应形式
｜｜｜ ｜ 设 , 是两个向量,则｜ g ｜≤___________,当且仅当
是零向量 存在实数k,使 k ___________，或____________________时,等号成立.
③三角形式
2 2 （x1 x 2）（y1 y 2） 设x1,y1,x2,y2∈R,那么 x12 y12 x 2 2 y 2 2 _________________.
第三节 柯西不等式
三年1考
高考指数:★
1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义
并会证明.
(1)柯西不等式的向量形式： |g| || g | |
(2)(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2 (3) （x x ）（y y ） （x x ）（y y ） 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 3
的最小值.
(2)求函数 f x 2x 1 2 x 的最大值.
【解题指南】(1)由x+y+z=1以及μ=2x2+3y2+z2的形式，可以构
造柯西不等式解决问题. (2)关键是构造 f x 2 g x 1 2 x， 再利用柯西不等式求解.
2
【规范解答】(1)根据已知条件和柯西不等式，我们有
kbi(i=1,2,3,…,n) _________________时,等号成立.
【即时应用】 (1)思考：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的 条件可以写成 a c 吗？
b d
提示：不可以.当b=d＝0时，柯西不等式成立，但 a c 不成立.
b d
(2)思考：不等式（a2+b2)（d2+c2)≥（ac+bd)2是柯西不等式吗？ 提示：不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应 的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配， 因此要仔细体会，加强记忆.
1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解 决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点.
2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本
节的难点、重点.
3.通常以解答题形式出现，是高考的新热点之一.
柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 ①代数形式
2+b2)(c2+d2)≥________,当且仅当 (ac+bd)2 若a,b,c,d都是实数,则(a
(2)三维形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则 (a 2 a 2 a 2 )(b 2 b 2 b 2 ) _____ (a1b1 1 2 3 1 2 3 b1=b2=b3=0 存在一个数k,使得a1=kb1, a 2 b 2 a 3 b3 ) 2 __________.当且仅当__________或________________________ a2=kb2,a3=kb3 _____________时,等号成立.