与xy轴平行
M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
第5章 平面的几何性质 5
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
2 A
y
I y =∫ x 2 dA
二、极惯性矩： 极惯性矩： 矩。
A
x
dA y x
是面积对极点的二次
ρ
I ρ =∫ ρ 2 dA=I x +I y
A
材料力学
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 惯性积：
I xy =∫ xydA
A
y 是对称轴， 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0 x dA y x
x y
dA y1 x1 x
Ix+I y Ix−I y Ix1 = + α α 2 cos2 −Ixysin2 2
α
材料力学
Ix+I y Ix−I y − I y1 = α α 2 cos2 −Ixysin2 2 Ix−I y Ix1y1 = sin2 +Ixy圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。
A
Iρ =
I P πd 4 I x =I y = = 2 64
两直线平行、重合、相交、垂直的条件
2=0平行，那么系数a的值为（ B ）
（A）－ 3
2
（C）－3
（B）－6 （D） 2
3
2．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2 －a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（ C ）
（A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－2
例3：求直线3x 4 y 7 0平行，且与两坐标轴围成 三角形面积为 1 的直线方程。
(1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x－4y+5=0垂直。 （1）解: 设过两直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
将点（2，1）代入方程，得：
2 2 4 (2 1 2) 0
解得: 4
故所求直线方程为：x+2y－4=0
(1)解2: 联立方程组
24
解：设直线方程为3x+4y+c=0
直线与坐标轴交点A(0,- c ),B(- c ,0)
4
3
1 c - c 1 c 1 2 4 3 24
3x+4y+1=0或x+4y-1=0
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
两条直线的位置关系
位置
直线方 程
l1
:
y
k1 x: y k2 x b2
重 合 k1 k2且b1 b2
平行 垂直
k1 k2且b1 b2 k1k2 1
或k1 0，k2不存在
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
人教版必修二：直线与方程复习讲义及巩固练习
直线与方程知识梳理：1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 4．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°5.直线的斜率公式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).6.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：7.8.直线方程的五种形式(1)直线的点斜式方程: y －y 0＝k(x －x 0). 由直线上一定点P 0(x 0，y 0)及斜率k 确定. (2)直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b. 由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定. (3)直线的两点式方程:y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 由直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)确定. (4)直线的截距式方程：x a ＋yb＝1 . 由直线分别在x ，y 轴上的截距a ，b 确定.(5)直线的一般式方程: Ax ＋By ＋C ＝0. 当B≠0时，其斜率是－A B ，在y 轴上的截距是－CB 当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴. 9.两条直线的位置关系已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1) l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2. (2) l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 10.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.11.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0).12.两点间的距离公式(1)已知平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则它们的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 13.点到直线的距离公式点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. 14.两条平行直线间的距离公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.巩固练习：1．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为__________.3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为_______．5．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝________.6.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．7．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y ＝________.8．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则( )A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α1－α2|＝90° D．α1＋α2＝180°9．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的方程为___________________.10．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．11.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5的直线方程为____________________；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线方程为_____________________；12．(1)经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为_____________________；(2)经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程为_________________．13．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_________________.14．直线2x＋3y＋1＝0的斜率为________；在x轴上的截距为________；在y轴上的截距为________．15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝516．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<017．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：(1)直线与x轴平行时：_____________； (2)直线与y轴平行时：_________________；(3)直线过原点时：_________________； (4)直线过点(1，－1)时：_______________.18．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是______________.19．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|=_____________. 20．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．重合 21．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为___________.22．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________________. 23．若点(1，a)到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 为___________.24．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_________. 25.当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2 (1)平行; (2)垂直26．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．。
平行轴定理和垂直轴定理的讲解知识讲解
质心运动定理与转动定律联用
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1, m2
r1, r2,..., ri,
,.......,
摩擦力矩
R
R
M z 0 dM z
R
0
2gr
2dr
2 3
mgR
由转动定律 M z
t
0
dt
3R d
0
0 4g
t 3R0 4g
J
d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
2 mgR 1 mR2 4g
3
2
3R
(1 2
miri2 2 )
1 2
miri2 2
Ek
1 2
J 2
结论 定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半
转动物体具有储能、稳速等作用：……
二. 力矩的功
dA
F
dr
Fcosds
Frcosd
F rd
Md
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
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University Physics
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动（光滑无摩擦），初始时它在水平位置
第七章平面直角坐标系(1)
-4
•如何确定点Ｐ坐标呢？
横坐标
y
b
P（a,b） •
Ｐ
1
o
纵坐标
1
a x
-1 -1
横坐标在前， 纵坐标在后， 中间隔开用逗号 勿忘加括号！
1、写出图中A、B、C、D、E各点的坐标。
纵轴 y 5
4
3 2 1 0 -1 -2 -3 1
A ( 2，3 )
·
C ( -2，1 )
·
·
3
B ( 3，2 )
-4
-3
-2
-1
2
4
5
x
横轴
D ( -4，- 3 )
·
· E
( 1，- 2 )
-4
思考
雁塔 (0,3) 北 (-2,1) 钟楼 (-2,-2) 大成殿 (0,0)
碑林(3,1)
中心广场
(0,-5) (-4,-6) 科枝大学
影月湖
与你共探究
在平面直角坐标系中 如何由坐标描点？
A
( 4，5 )
-6 -5 -4 -3 -2 -1
第二、四象限夹角平分线上的点，纵横坐标互为相反数。
⑶与x轴平行（或与y轴垂直）的直线上的点纵坐标都相同。 与y轴平行（或与x轴垂直）的直线上的点横坐标都相同。 ⑷关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数。 关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数。
关于原点对称的点纵横坐标都互为相反数。
⑸平面直角坐标系中有一点P(a , b)，点P到x轴的距离是这个点的
；
；
③若a=-3 ，则P在第 3
④若a=3，则点P在第
象限内；
4 象限内.
二、若点P（x，y）在第四象限，|x|=2， |y|=3，则P点的坐标为 . （2，-3）
平行轴定理及垂直轴定理
University Physics
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 m l x 面内转动，初始时它在水平位置 O 求 它由此下摆 角时的 和 1 C 解
M mglcos 2 l 由动能定理 A Md mgcosd 0 0 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 2 2 3 gsin 3gsin 1/ 2 2 ( )
mgr 2 常量 a 2 mr J Z
2 mgr h 1 at 2 1 2 t2 2 2 mr J Z
2 gt J Z mr 2 ( 1) 2h
若滑轮质量不可忽略，怎样？
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l d 3gcos d 2 dt l dt l
mg
1 2 J ml 3
d 3gcos dt 2l 1 2 1 J mglsin 0 此题也可用机械能守恒定律方便求解 2 2
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Nx 0
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§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
z
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元
m1 , m2 ,......., mi ,......, mN
r1 , r2 ,..., ri , ..., rN v1 ,v 2 ,...,v i ,...,v N
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投影面平行线
3．水平投影平行Y轴。
投影面平行线
名称
铅垂线(⊥H面)
正垂线(⊥V面)
侧垂线(⊥W面)
直
观
图
投
影
图
投
影
特
点
1．水平投影积聚为一点。
2．正面投影和侧面投影都平行于Z轴，并反映实长。
1．正面投影积聚为一点。
2．水平投影和侧面投影都平行于Y轴，并反映实长。
1．侧面投影积聚为一点。2．正面投影和平投影都平行于X轴，并反映实长。
名称
水平线(∥H面)
正平线(∥V面)
侧平线(∥W面)
直
观
图
投
影
图
投
影
特
点
1．水平投影反映实长，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为α。
2．正面投影平行X轴。
3．侧面投影平行Y轴。
1．正面投影反映实长，与X轴夹角为α，与Z轴夹角为γ。
2．水平投影平行X轴。
3．侧面投影平行Z轴。
1．侧面投影反映实长，与Y轴夹角为α，与Z轴夹角为β。
投影面垂直线
平行轴定理和垂直轴定理的讲解
三. 转动动能定理 —— 合力矩功的效果
dA Md (J
对于一有限过程
d )d
dt
Jd
d( 1 2
J 2 )
dEk
A
2 dA
1
2 1
d( 1 2
J 2 )
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中
作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
刚体的机械能 刚体重力势能
1)
l' 2l 3
Nx 0
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1, m2
r1, r2,..., ri,
,.......,
..., rN
mi,......,mN
v1,v2,...,vi ,...,v N
取第 i 个质元 ,其动能为
Ny
J 1 ml，2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处
O
3
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
Nx
解 设轴对棒的作用力为 N
Nx, Ny
由转动定律 Fl' J
由质心运 动定理
F
Nx
macx
m
l 2
Ny
mg
macy
ml 2
2
0
l' C F mg
质点系
打击中心
Nx
ml 2
Fl ' J
F
F (3l ' 2l
d
O
r' ri
2023年中考数学压轴题专题17 二次函数与公共点及交点综合问题【含答案】
专题17二次函数与公共点及交点综合问题【例1】．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y ＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【例3】．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．【例4】．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF 的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．一．解答题（共20小题）1．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．2．（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是L 上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为（1，0），（1，1），连接AB．（1）若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；（2）若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；（3）当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣，直接写出t的值．3．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．（1）求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．4．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．5．（2022•清镇市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．（1）抛物线的对称轴为直线x＝；（用含字母a的代数式表示）（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；（3）已知点P（a+4，1），Q（0，2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围．6．（2022•五华区三模）已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．（1）求a的值；（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝，求m的值．7．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．（1）求该二次函数的表达式；（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．8．（2022•盐城二模）若二次函数y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A（1，0），其中a、b为常数．（1）用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；（2）点B（﹣，1）、C（2，1）为坐标平面内的两点，连接B、C两点．①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．9．（2022•滑县模拟）如图，已知二次函数y＝x2+2x+c与x轴正半轴交于点B（另一个交点为A），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2+2x+c≥kx+b的解集；（3）已知点P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．10．（2022春•龙凤区期中）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x 的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．11．（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．12．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．13．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．14．（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．15．（2022•花溪区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣2，1），B（2，﹣3）两点（1）求分别以A（﹣2，1），B（2，﹣3）两点为顶点的二次函数表达式；（2）求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；（3）设（m，0）是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．16．（2022•无锡模拟）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，﹣3），（0，4），点P（m，0）（m≠0）是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．（1）当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．（2）小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E（x，y）也相应的在二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点P的特殊的位置，计算了点E（x，y）的坐标，列表如下：xy请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；（3）把（2）中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接写出n 的取值范围．17．（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C（﹣2，﹣2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．（1）当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；（2）若图象G过点（3，﹣9），求出m的取值范围；（3）若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；（4）图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．18．（2022•如东县一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．19．（2022•南京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，在△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤2，则b的取值范围是．20．（2022•南京模拟）若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线y＝x+2的图象上的（﹣1，1）即为反值点．（1）判断反比例函数的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；（2）判断关于x的函数（a是常数）的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；（3）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m（m为常数，且m＞0）个单位后，若在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．【例1】（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y ＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的对称轴直接可求b的值；（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），再求出y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0）当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），结合图像可得﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．【解析】（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4；（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，解得x＝2﹣或x＝2+，∵M在N的左侧，∴M（2﹣，0），N（2+，0），∴MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），∵△MNP为直角三角形，∴＝，解得m＝0（舍）或m＝﹣1；②∵m＝﹣1，∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），令x2﹣4x﹣1＝﹣4，解得x＝1或x＝3，∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，此时图象C与线段AB有三个公共点，∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，此时图象C与线段AB有两个公共点，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，解得m＝3，此时图象C与线段AB有一个公共点，∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k 个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．【解析】（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点A（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵CB∥x轴，∴B（2，﹣3），设直线AC解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，①当m＞1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，x＝1时，q＝﹣4，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，x＝1时，q＝﹣4，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，综上所述：m的值﹣1或1﹣；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣5，联立方程组，整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，解得k＝0（舍）或k＝3，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，∴综上所述：1＜n≤4或n＝．【例3】（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．【分析】（1）二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；（2）根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分两种情形，当△EMN∽△OBC时，得，解得t＝；当△EMN∽△OCB时，得，解得t＝；（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式，再根据直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，联立两函数解析式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．【解析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴抛物线的函数表达式为：，又∵＝，＝＝，∴顶点为D；（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．①当△EMN∽△OBC时，∴，解得t＝；②当△EMN∽△OCB时，∴，解得t＝；综上所述，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；（3）∵点关于点D的对称点为点G，∴，∵直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，∴只有一个实数解，∴Δ＝0，即：，解得：，利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：，联立，结合已知，解得：x H＝，同理可得：x K＝，则：GH＝＝，GK＝＝×，∴GH+GK＝+×＝，∴GH+GK的值为．【例4】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF 的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，根据三角形面积关系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，得出＝＝＝，可求得F（2+t，t2﹣t﹣2），代入直线AD的解析式即可求得点E的坐标；（3）根据题意可得：点C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系数法可得：直线BC的解析式为y＝x﹣3，直线C′G′的解析式为y＝x+3，由四边形C′G′QP是平行四边形，分类讨论即可．【解析】（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∴＝，∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，∴EM∥FN，∴△BFN∽△BEM，∴＝＝＝，∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，∴F（2+t，t2﹣t﹣2），∵点F在直线AD上，∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，解得：t1＝0，t2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点坐标为G（2，﹣4），当x＝0时，y＝3，即点C（0，﹣3），∴点C′（0，3），G′（2，4），∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为（s，s﹣3），∵点C′（0，3），G′（2，4），∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，∴点Q（s+2，s﹣2），当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：（不符合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．一．解答题（共20小题）1．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则PH＝﹣t2﹣t，利用S△P AC＝S△P AH+S△PCH＝﹣（t+）2+，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，顶点坐标为（n，﹣n﹣），当图象M经过点C（0，﹣）时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C（0，﹣），∴m+＝﹣，解得：m＝﹣3，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，得：﹣x2﹣3x﹣＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣5，0），C（0，﹣），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则H（t，﹣t﹣），∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（﹣t﹣）＝﹣t2﹣t，＝S△P AH+S△PCH∴S△P AC＝•PH•（x P﹣x A）+•PH•（x C﹣x P）＝•PH•（x C﹣x A）＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]＝t2﹣t＝﹣（t+）2+，取得最大值，∴当t＝﹣时，S△P AC此时，点P的坐标为（﹣，）；（3）如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），∴图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，∴图象M的顶点坐标为（n，﹣n﹣），∴图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，当图象M经过点C（0，﹣）时，则：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，解得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y ＝﹣x﹣，∴联立可得：，解得：，将代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，解得：n＝﹣或n＝（舍去），∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．2．（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是L 上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别为（1，0），（1，1），连接AB．（1）若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；（2）若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；（3）当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣，直接写出t的值．【分析】（1）当t＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的对称轴为直线x＝1，由点P 与点Q关于直线x＝1对称得m+n＝2，即可求得n关于m的关系式；（2）将y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成顶点式y＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），再说明线段AB在直线x＝1上，由L与线段AB有公共点可列不等式组得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式组求出它的解集即可；（3）分三种情况，一是直线x＝2t﹣1在抛物线的对称轴的左侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值；二是直线x＝1在直线x＝2t﹣3与直线x＝2t﹣1之间时，抛物线的顶点为最低点，可列方程t2+2t﹣6＝﹣，解方程求出符合题意的t值；三是直线x＝2t﹣3在抛物线的对称轴的右侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值．【解析】（1）如图1，当t＝1时，L为抛物线y＝x2﹣2x﹣2，∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点P、Q分别是对称轴右侧、左侧L上的点，且PQ⊥y轴，∴m+n＝2，∴n＝﹣m+2（m＞1）．（2）如图2，L为抛物线y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，∴L的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），∵A（1，0），B（1，1），∴线段AB在直线x＝1上，∵L与线段AB有公共点，∴0≤t2+2t﹣6≤1，解得﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2，∴t的取值范围是﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2．（3）当2t﹣1＜1，即t＜1时，如图3，∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，∴此时不存在y的最小值；当2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2时，如图4，∵L的顶点为最低点，∴t2+2t﹣6＝﹣，解得t1＝，t2＝，∵＜1，∴t2＝不符合题意，舍去；当2t﹣3＞1，即t＞2时，如图5，∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，∴此时不存在y的最小值，综上所述，t的值为．3．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．（1）求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．【分析】（1）联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；（2）根据一次函数的增减性判断出x≥2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性可得x＜4，从而得解；（3）①若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范围内，则符合；②若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，先利用根的判别式求出c 的取值范围，先求出x＝2与x＝4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可．【解析】（1）∵，∴，∴函数y1和y2图象交点坐标（2，4）；y0关于x的函数关系式为y0＝；（2）∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，∴y0＝﹣x+6（x≥2），又∵函数y＝x2﹣8x+c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，∴当x＜4时，y随x的增大而减小，∴2≤x＜4；（3）①若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内，则x2﹣8x+c＝﹣x+6，即x2﹣7x+（c﹣6）＝0，∴Δ＝（﹣7）2﹣4（c﹣6）＝73﹣4c＝0，解得c＝，此时x1＝x2＝，符合2＜x＜4，∴c＝；②若函数y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，其中一个在2＜x＜4范围内，另一个在2＜x＜4范围外，∴Δ＝73﹣4c＞0，解得c＜，∵对于函数y0，当x＝2时，y0＝4；当x＝4时y0＝2，又∵当2＜x＜4时，y随x的增大而减小，若y＝x2﹣8x+c与y0＝﹣x+6在2＜x＜4内有一个交点，则当x＝2时y＞y0；当x＝4时y＜y0，即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，∴，解得16＜c＜18，又c＜，∴16＜c＜18，综上所述，c的取值范围是：c＝或16＜c＜18．4．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．【分析】（1）由m＝1代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）①将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质即可求解；②分类讨论，数形结合解题，根据A点在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论进行解题即可．【解析】（1）m＝1时，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴顶点为（1，5），∵x≤2，∴图象G的最低点坐标为（1，5）；（2）①当x＝2m时，y＝6m，∴A（2m，6m），∵C（﹣2，2），∵正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，∴B（﹣2，6m），同理得D（2m，2），∵AD＝CD，∴|6m﹣2|＝|2m+2|，∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，解得m＝0或m＝1，∴点A的坐标为（0，0）或（2，6）；②∵点A在图象G上，∴图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；。
初三数学图形与坐标试题
初三数学图形与坐标试题1.在如图的平面直角坐标系中，已知点A（-2，-1），B（0，-3），C（1，-2），请在如图上画出△ABC和与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．【答案】作图见解析.【解析】根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可，再根据网格结构找出点A、B、C关于x轴对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．试题解析：△ABC和与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示．【考点】作图-轴对称变换．2.点P（5，-3）关于原点的对称点的坐标为【答案】（-5，3）【解析】两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．试题解析：∵5的相反数是-5，-3的相反数是3，∴点P（5，-3）关于原点的对称点的坐标为（-5，3），【考点】关于原点对称的点的坐标．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．【答案】（﹣4，3）．【解析】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，∴OA=OA′，∠AOA′=90°，∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠A′OB′，在△AOB和△OA′B′中，，∴△AOB≌△OA′B′（AAS），∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，∴点A′的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【考点】坐标与图形变化-旋转4.对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=（）A．（5，-9）B．（-9，-5）C．（5，9）D．（9，5）【答案】D【解析】根据两种变换的规则，先计算f（5，-9）=（5，9），再计算g（5，9）即可．解：g（f（5，-9））=g（5，9）=（9，5）．故选D．5.在平面直角坐标系中，点P(－1，2)关于x轴的对称点的坐标为()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(2，－1)D．(－2，1)【答案】A【解析】关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标相反，所以选A.6.将点A(4，0)绕着原点按顺时针旋转45°得到点B，则B点坐标是（）A．(4， 4)B．(4，－4)C．(2， 4)D．(2，－4)【答案】B.【解析】作出图形，过点B作BC⊥x轴于点C，判断出△OBC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OC=BC=4，再写出点B的坐标即可．如图，过点B作BC⊥x轴于C，∵点A（4，0），∴OB=OA=4，∵旋转角是45°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC=BC=4×=4，∴点B的坐标为（4，-4）．故选B．考点: 旋转的性质.7.如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（，）．【答案】（1，）【解析】∵点B（0，），∴OB=。
11狭义相对论二解答
2 2 e
EK 0 / EK
8.04×10-2
狭义相对论（二）
第十一章 光学
一、选择题
1．坐标轴相互平行的两个惯性系，K‘系相对于K系 沿Ox轴正方向匀速运动．在惯性系K中，测得某两 事件发生在同一地点，时间间隔为4s ，在另一惯性 系K‘中，测得这两事件的时间间隔是6s。在K系中 的空间间隔是 (A) 5 108 m (B) 6 5 108 m 5 5 10 m 10 m (C) 3 (D) 2 3
2 0
移项整理得： v (c / ) 2 02
c 1 ( 0 / ) 2
= 0.99c
狭义相对论（二） 第十一章 光学 3．半人马星座a星是距离太阳系最近的恒星，它距离 地球S = 4.3×1016 m．设有一宇宙飞船自地球飞到 半人马星座a星，若宇宙飞船相对于地球的速度为 v = 0.999 c，按地球上的时钟计算要用多少年时 间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少 年？ 解： 以地球上的时钟计算：
动能定理在狭义相对论仍然成立：
F
A B
W F d r EkB EkA
A
B
动能定义： Ek mc m0c
2
2
vA
me v2 1 2 c
vB
c me c
2 2
所以所求的功为：
W EkB EkA mBc mAc
2 2
狭义相对论（二）
第十一章 光学
三、计算题
光学
K': K:
初中数学函数知识点归纳整理
初中数学函数知识点归纳整理函数向来是初中数学的重头戏，但由于难度较大，不少学生在考试时，经常在函数题上丢分严重。
为此，以下是店铺分享给大家的初中数学函数知识点，希望可以帮到你!初中数学一次函数知识点一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
第十一章 11.1 11.1.1 空间几何体与斜二测画法2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型
第十一章立体几何初步[数学文化]——了解数学文化的发展与应用几何原本《几何原本》由古希腊数学家欧几里德编著，大约成书于公元前300年，距今已有2000多年的历史.《几何原本》全面而系统地将远古人类创造的零散数学成果进行整理，以五大公设为基础、由简单到复杂，用严谨的逻辑思维进行层层推理、严格证明，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何……，应用丰富的数学思想：分析法、综合法和归谬法进行层层推演，其惊艳的逻辑美伦美奂，令人陶醉.这是古代文明史上的一大壮举，远古人类第一次用“公理系统”构建起了古代的数学大厦，对近代和现代数学，产生了深远的影响.《几何原本》的内容与我们在中学阶段学习的大部分几何知识基本等同，但是，真正宝贵的是蕴含于其中的“数学思想”.[读图探新]——发现现象背后的知识法国国防部的“法国五角大楼”，从外部看犹如一座城堡.而它的内部围成中庭，呈六边形，与法国本土轮廓相似，因而也被称为“巴拉尔六角大楼”.大楼的外墙可以承受导弹攻击，指挥中枢位于地下，安全措施严密.国防部大楼也并非完全一座冷冰冰的军事堡垒，内部还建有庭院、美发室、图书馆、游泳池、体育设施和餐厅，甚至还有幼儿园.这壮观的大楼是由几何体组成的.问题1：建筑中有哪些几何体？几何体中的点、线、面之间又具备怎样的关系呢？问题2：多面体和旋转体的表面积及体积怎样计算？链接：建筑中的几何体有多面体和旋转体，主要包括柱体、锥体、台体及球体，其中的线与线之间可能是平行、相交和异面；直线与平面之间有平行、相交，特别的有直线与平面垂直；平面与平面也有平行或相交.表面积是各面面积之和，各几何体的体积也有各自的计算公式.11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法课标要求素养要求1.认识空间几何体.2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、圆柱、棱柱等)的直观图. 从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.教材知识探究随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有空间几何体.问题你能从中抽象出几何体吗？用什么方法画出来这些几何体的直观图？提示由斜二测画法画出空间图形的直观图.1.空间几何体如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.2.斜二测画法(1)立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图.(2)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：①在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之相对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°).②平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变；平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半.③连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.(3)用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：①在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴和y′轴).②在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变.连接有关线段.③擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).教材拓展补遗[微判断]1.平行四边形的直观图可能是梯形.(×)提示平行的线段在直观图中仍平行，故平行四边形的直观图仍是平行四边形.2.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x′Oy′时，∠x′Oy′必须为45°.(×)提示∠x′Oy′是45°或135°.[微训练]1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.答案 B2.如图所示为一个平面图形的直观图(A′D′∥B′C′)，则它的实际形状四边形ABCD为()A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.答案 D[微思考]1.在斜二测画法中，原图形中两条相等的线段，直观图中对应的线段还相等吗？提示如果两条相等线段平行，则直观图中仍平行且长度相等，若不平行则对应的线段长度不确定.2.矩形的直观图的面积与原图形面积有怎样的关系？提示矩形直观图的面积是原图形面积的24倍.题型一画水平放置的平面图形的直观图【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法画水平放置的平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.【训练1】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.题型二空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.解(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面的直观图.①在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取与AD垂直的对称轴MN为y轴，两轴相交于点O，建立直角坐标系(如图(1)所示).②画相应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.以O′为A′D′及M′N′的中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝12MN，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以点M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，则得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)在直观图中画六棱锥的顶点.连接OP，以OP所在直线为z轴.过O′作与z轴对应的z′轴，在O′z′上取点P′，使O′P′＝OP.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′(如图(2)所示).(3)擦去x′轴、y′轴、z′轴，被面遮挡住的线段A′F′，E′F′，P′F′改成虚线，便得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(如图(3)所示).规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”【训练2】画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图.解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP＝3.(4)成图：顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，被面遮挡住的线段AD，PD，CD改成虚线，得四棱锥的直观图如图(2).题型三直观图的还原与计算【例3】如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()A.24a2 B.22a2C.a2D.2a2解析由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2.答案 B规律方法由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线，变换确定其在xOy中的位置.若平面图形的面积为S原，用斜二测画法得到的直观图面积为S直，则S直＝24S 原.【训练3】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()A.32a2 B.34a2C.62a2 D.6a2解析直观图是边长为a的正三角形，所以S直＝34a2，则S原＝22S直＝62a2.答案 C一、素养落地1.通过从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.2.用斜二测画法画直观图的关键是确定直观图中的顶点或其他关键点，因此应尽量把顶点或其他关键点放在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.3.将水平放置的平面图形的直观图还原成实际图形的过程，是画直观图的逆过程，即平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的2倍.4.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为S直S原＝2 4.5.斜二测画法保留了原图形的三个性质：①平行性不变，即原图形中平行的线在直观图中仍平行，②共点性不变，即在原图形中相交的直线仍相交，③平行于x 轴或z轴的线段长度不变.二、素养训练1.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析用斜二测画法时保持平行性不变，但线段的长度、角度不确定.答案 B2.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为()A.2B. 2C.2 2D.4解析原梯形上、下两底长度与直观图中上、下两底的长度分别对应相等，但高不同.原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故原梯形面积是梯形O′A′B′C′面积的22倍，又梯形O′A′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4. 答案 D3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形OPQR是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案104.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB ＝12OA·OB＝6.答案 6基础达标一、选择题1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A′等于()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°，故∠A′＝45°或135°.答案 C2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()解析根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边在其原图中与底边垂直.答案 C3.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析∵A′B′∥y′，∴由斜二测画法可知原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.答案 B4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.答案 D5.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的()A.2倍B.2 4倍C.22倍 D.12倍解析底边在x轴上，则在直观图中底边长不变，设为a，又高h在直观图中变为24h，∴S直观图＝12a×24h＝24·⎝⎛⎭⎪⎫12a·h＝24S原.答案 B二、填空题6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.解析由直观图知，原平面图形为直角三角形且∠ACB＝90°，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.答案 2.57.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是________(填序号).解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.答案①②8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________.解析过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝2 2，∴原平面图形是直角梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2，∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案2＋2 2三、解答题9.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.解(1)在已知图形中画坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，C′A′在x′轴上，C′与O′重合，如图(1)；(2)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′，如图(2)所示；(3)在图(1)中过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图(2)中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；(4)连接AB，BC，则△ABC即为原图形，如图(2)所示.10.用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.解画法：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被面遮挡的线段AD，CD，DD′改为虚线)，就得到正方体的直观图，如图②.能力提升11.如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′∥y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形的线段AB，AD，AC中()A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB(且AB＝AC)，最短的是ADD.最长的是AD，最短的是AC解析在原图形中，AD⊥BC，又D为中点，故AB＝AC＞AD.答案 C12.在如图的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.解析由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2).答案矩形8创新猜想13.(多选题)下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等B.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长C.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点D.直角梯形的直观图可能是等腰梯形解析在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，但线段上点的相对位置不变.答案CD14.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积.解正方形A′B′C′D′的原图形为如图所示的四边形ABCD.∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，A′D′＝B′C′，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，DA＝BC＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 直线与方程知识点总结ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,则有1212//l l k k ⇔=。
特别地,当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件局限性点斜式)(11x x k y y -=-),(11y x 为直线上一定点,k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 b kx y += k 为斜率,b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线两点式121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+b ya x a 是直线在x 轴上的非零截距,b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A A ,B ,C 为系数无限制,可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
钢梁绕x轴和y轴计算长度的区别
钢梁绕x轴和y轴计算长度的区别
钢梁绕x轴和y轴计算长度的区别在于其截面形状和计算方法。
当钢梁绕x轴旋转时，其截面形状在与x轴垂直方向上会发生变化，而与x轴平行的方向上形状保持不变。
因此，计算钢梁绕x轴旋转的长度时，需要考虑截面形状在垂直方向上的变化。
相反，当钢梁绕y轴旋转时，其截面形状在与y轴垂直方向上会保持不变，而与y轴平行的方向上形状会发生变化。
因此，计算钢梁绕y轴旋转的长度时，需要考虑截面形状在平行方向上的变化。
具体的计算方法需要根据钢梁的形状和旋转角度来确定，一般可以利用积分方法来进行计算。
对称轴平行坐标轴方程
对称轴平行于坐标轴的方程，主要是基于二次函数的性质。
在二次函数中，如果其图像是一个对称的抛物线，那么它的对称轴就是一条直线。
1.当二次函数的形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0）时，其
对称轴的方程是x=-b/2a。
这是一条垂直于x轴的直线，即平行于y轴。
2.对于函数y=a(x-h)^2+k，其对称轴的方程是x=h。
这同
样是一条垂直于x轴的直线，即平行于y轴。
所以，对于二次函数，其对称轴总是平行于y轴。
如果是指其他类型的函数或图像，对称轴的方程可能会有所不同。
比如，对于正弦函数或余弦函数，其对称轴可能是斜线，不平行于坐标轴。
总的来说，对称轴的方程取决于函数的形式和图像的性质。
如果具体的问题或函数形式没有给出，那么很难给出一个通用的对称轴方程。
平面直角坐标系与形的表示
平面直角坐标系与形的表示平面直角坐标系是在平面上确定一个点的坐标的一种方式。
它由两个相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
在这个坐标系中，每个点都可以通过它在x轴和y轴上的坐标来表示。
这种表示方法不仅简洁直观，而且在几何学和图形学中具有重要意义。
一、平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点O，它的坐标表示为(0,0)。
x轴向右延伸为正方向，y轴向上延伸为正方向。
两条轴之间的距离称为单位长度，可以根据具体情况来确定。
二、点的坐标表示方法在平面直角坐标系中，每个点都有唯一的坐标表示。
以点A为例，假设其横坐标为x，纵坐标为y，则其坐标表示为(x,y)。
x表示点A在x轴上的位置，y表示点A在y轴上的位置。
通过横纵坐标的组合，我们可以准确地确定点A在平面上的位置。
三、直线的方程表示方法直线在平面直角坐标系中可以通过方程来表示。
一般情况下，直线的方程可以写成y = kx + b的形式。
其中，k为直线的斜率，表示直线与x轴的夹角的正切值；b为直线与y轴交点的纵坐标。
通过斜率和截距，我们可以准确地描述一条直线在坐标系中的位置和走向。
四、矩形的表示方法矩形是平面直角坐标系中最常见的图形之一。
它由四条相互垂直的边组成，具有四个顶点。
矩形的边与坐标轴平行，因此可以使用坐标轴上的点来表示矩形的位置和大小。
以矩形ABCD为例，顶点A的坐标表示为(x1,y1)，顶点B的坐标表示为(x2,y2)，顶点C的坐标表示为(x3,y3)，顶点D的坐标表示为(x4,y4)。
根据这些坐标的组合，我们可以准确地描述矩形在平面直角坐标系中的位置和形状。
五、其他形状的表示方法除了矩形，平面直角坐标系还可以用来表示其他各种形状，如圆、椭圆、三角形等。
对于圆来说，可以使用圆心的坐标表示圆的位置，使用半径表示圆的大小。
对于椭圆来说，可以使用两个焦点的坐标表示椭圆的位置，使用两个半轴的长度表示椭圆的大小和形状。
对于三角形来说，可以使用三个顶点的坐标表示三角形的位置和形状。