最新-高中数学《幂函数》文字素材2 苏教版必修1 精品

合集下载

高中数学第1轮第2章第14讲幂函数课件文新课标江苏专用.ppt

【解析】(1)因为 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以 m2－2m－3＜0，所以－1＜m＜3，又因为 m∈Z，所以 m＝0,1,2. 而 m＝0,2 时，f(x)＝x－3 不为偶函数；m＝1 时，适合．所以 m＝1，f(x)＝x－4.
(2)因为 φ(x)＝xa2－bx3，所以 φ(－x)＝xa2＋bx3. 故①当 a＝0，b＝0 时，φ(x)既是奇函数又是偶函数； ②当 a＝0，b≠0 时，φ(x)为奇函数； ③当 a≠0，b＝0 时，φ(x)为偶函数； ④当 a≠0，b≠0 时，φ(x)既不是奇函数也不是偶函数．
22 当x(1，＋)时，它的图象恒在直线y＝x的下
方，则＝____1_,_－__1_，__－__2_ __
2
3.幂函数 y＝ xm2－ 2m－ 3(mZ)的图象关于 y轴对称，且当 x0时，函数是减函数，则 m 的值为 _____1_________
【解析】由m2－2m－3<0，得－1<m<3. 又m∈Z，所以m＝0,1,2. 因为m2－2m－3为偶数，经验证，m＝ 1符合．
幂函数的综合应用
【例4】已知幂函数y＝xm2－2m－3 (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋)上是减函数，求满足(a＋1)－m3 (3－2a)－m3的a 的取值范围．
【解析】因为函数在(0，＋)上是减函数，所以m2－2m－3 0，解得－1 m 3，又mN*，所以m＝1, 2，又因为函数图象关于y轴对称，所以m2－2m－3是偶数，所以m＝1，因为y＝x－13在(－，0)和(0，＋)均为减函数，
＋( x 2－mx＋1)0 的定义域为全体实数，求
实数m的取值范围；
2比较3a

第6章-6.1-幂函数高中数学必修第一册苏教版

有 = − ；（2）对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，都有
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0.请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式：
− （答案不唯一）

=

__________________________．
【解析】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
调递增，且0 < 0.31 < 0.35，∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
【学会了吗丨变式题】
2.若 =
1
2
2
3
1
5
， =
A. < <
2
3
， =
1
2
1
3
，则,,的大小关系是( D
B. < <
2
3
【解析】 = 在[0, +∞)上单调递增，∴
间 0, +∞ 上单调递减，对应图象①；函数3 在区间[0, +∞)上单调递增，对应图象②；
函数4 在区间 0, +∞ 上单调递减，对应图象④.
例10 已知点
2, 2 在幂函数的图象上，点
当为何值时：
（1） > ；
（2） = ；
（3） < .
则( B
)
A. > > >
B. > > >
C. > > >
D. > > >
图6.1-3
【解析】由幂函数的图象特征可知， < 0， > 0， > 0， > 0.

新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数知识点考点重点难点归纳总结

第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数，且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0，所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5，综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5，当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )，因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上．题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时指数函数的图象与性质的应用知识点指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数，所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数，由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性【例4】判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小【例3】比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2，又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。

苏教版高中数学高一必修一2.4《幂函数》考点归纳

例6.已知函数在(0,+∞)上是减函数,求函数解析式,并讨论其单调性与奇偶性.
.
⑹求幂函数的解析式
幂函数的解析式的求解，一般利用待定系数法，即设所求函数解析式为，有已知求出α即可。
例7.已知点在幂函数的图象上,则的表达式为( )
⑺幂函数、指数函数和对数函数的综合运用
解决这类综合问题，通常要把握幂函数、指数函数和对数函数各自的图象特征（特别是记住图象的大致形状）、奇偶性与单调性等性质，灵活运用分类讨论与数形结合的思想加以解决。
例9.某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量提高到14000吨,求平均每年增长率.
例8.已知函数是偶函数,且 .⑴求m的值,并确定的函数解析式;
若在[2,3]上是增函数,求实数a的取值范围.
⑻常见的幂函数模型及其应用
解决简单的实际问题的关键是建立适当的数学模型，而最常见的幂函数模型是“增长率型”.在增长率问题中，我们通常用a表示原有数量，x表示增长率，n表示年数，y表示n年后的数量，则先建立以下“增长率型”数学模型： .然后灵活运用幂函数、指数函数和对数函数有关性质加以解决.
《幂函数》考点分析
1、《幂函数》高考内容与要求
考试内容：幂函数;常见的幂函数模型及其应用.
考试要求：
会画幂函数（α∈Q，α≠0，且α为常数）,当α= ,1,2,3,-1的图象,了解幂函数的概念，并了解这些幂函数的性质.
了解常见的幂函数模型(如流量与管道半径关系，飞机、汽车耗油与速率的关系)及其应用，并能解决简单的实际问题.
2、《幂函数》高考考点分析
了解幂函数图象及其性质
幂函数是作为特殊的函数，能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质,并体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

高中数学苏教版必修一幂函数最新

自变量常数．数，其中 x 为 ____________ ， α 为 ________
__________，特别地，当 α>1 时，x∈(0,1)，y＝ x 的图象都在大；当下方， α 越大，下凸的程度越 ________ y＝ x 图象的 ________
上方， 0<α<1 时， x∈ (0,1)， y＝ xα 的图象都在 y＝ x 的图象的________ 大 α 越小，上凸的程度越________ ．
填一填·知识要点、记下疑难点
减函数，并且 (3)α<0，幂函数的图象在区间(0，＋∞ )上是 ________
以 x 轴正半轴与 y 轴正半轴为幂函数的渐近线．
本课时栏目开关
奇 (4)当 α 为奇数时，幂函数为 ________ 函数；当 α 为偶数时，幂函
数为 ________ 偶函数．
答 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1)；
研一研•问题探究、课堂更高效
探究点二幂函数的图象和性质导引如下图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝ x (3)y＝ x2； (4)y＝x－1；(5)y＝x3 的图象，思考下列问题：
1 2
；
本课时栏目开关
研一研•问题探究、课堂更高效
问题 1 你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？
研一研•问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 已知 y＝(m ＋2m－2) x 的幂函数，求 m，n 的值．
2
m2 1
＋2n－3 是定义域为 R
本课时栏目开关
m2＋2m－2＝1 2 解由题意得m －1≠0 2n－3＝0 3 所以 m＝－3，n＝ . 2

高一数学知识点：幂函数知识点知识点总结

高一数学知识点：幂函数知识点知识点总结高一数学知识点：幂函数知识点总结在高一数学的学习中，幂函数是一个重要的知识点。

幂函数的形式简单，但其中蕴含的性质和规律却丰富多样。

下面我们就来详细总结一下幂函数的相关知识。

一、幂函数的定义一般地，形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，叫做幂函数。

其中，＄x$是自变量，＄＼alpha$是常数。

需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$。

二、幂函数的图像幂函数的图像因指数$＼alpha$的不同而具有不同的特征。

当$＼alpha ＞ 0$时：若$＼alpha$为正整数，幂函数的图像在第一象限内单调递增。

例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为$y$轴。

若$＼alpha$为正分数，且分母为奇数，分子为偶数，幂函数的图像在第一象限内单调递增，且关于原点对称。

例如，＄y ＝x^｛＼frac{2}｛3}｝＄的图像在第一象限内类似于一个上凸的曲线。

若$＼alpha$为正分数，且分母为偶数，分子为奇数，幂函数的图像在第一象限内单调递增，且关于$y$轴对称。

例如，＄y ＝ x^｛＼frac{1}｛2}｝＄的图像是一个在第一象限内的半支抛物线。

当$＼alpha ＜ 0$时：幂函数的图像在第一象限内单调递减，且以坐标轴为渐近线。

例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是位于第一、三象限的双曲线。

三、幂函数的性质1、定义域当$＼alpha$为正整数时，定义域为$R$。

当$＼alpha$为正分数时，若分母为奇数，定义域为$R$；若分母为偶数，定义域为$0, ＋＼infty)＄。

当$＼alpha$为负整数时，定义域为$＼｛x|x ＼neq 0\｝＄。

当$＼alpha$为负分数时，定义域为$＼｛x|x ＞ 0\｝＄。

2、值域当$＼alpha ＞ 0$时，值域为$0, ＋＼infty)＄。

当$＼alpha ＜ 0$时，值域为$＼｛y|y ＼neq 0\｝＄。

苏教版必修1高中数学幂函数2

幂函数知识、技能：能较熟练地运用幂函数的图象和性质解决有关比较大小问题和求变量的范围的问题过程、方法：通过运用幂函数的图象和性质解决有关问题，使学生加深对函数概念的理解，在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力情感、态度、价值观：在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对幂函数概念和性质的理解，培养学生的数学交流能力教学过程: 一．知识回顾幂函数定义、图象和性质二．数学应用例１. 比较下列各组数的大小323232)3(,)4.1(,5.2)1(-- 83234325.6,5.0,16.0)2(--3231312131)23(,3,)35(,)52(,)32)(3(--例２. 若22)23()2(--->-a a ，求实数a 的取值范围分析：观察结构，联想幂函数，借助单调性及其它性质解决例３. 点)2,2(在幂函数f(x)的图象上，点)41,2(-在幂函数g(x)的图象上，问当x 为何值时，有：（１）f(x) > g(x) （2）f(x) = g(x) （3）f(x) < g(x)例４.已知幂函数),13(3Z m m x y m ∈<<-=-且的图象与x 轴、y 轴都公共点，且关于y 轴对称．求该函数的解析式，并写出相应的定义域、值域、奇偶性、单调性．三. 课堂练习:1.有下列命题:(1) 4-=x y 是偶函数,在(0,+∞)上是减函数;(2) 23x y =是奇函数, 在(0,+∞)上是增函数;(3) 21-=x y 是偶函数, 在(0,+∞)上是减函数;(4) 54-=x y 是偶函数, 在(0,+∞)上是减函数.其中正确的是:_________________2.比较大小：3132215332327373)21____()32(,3____)8()32___()(,)2.2___(1.2---------π。

苏教版高中数学必修一幂函数文字素材

课件6 幂函数图象及性质课件编号：AB Ⅰ-2-3-1.课件名称：幂函数图象及性质.课件运行环境：几何画板4.0以上版本.课件主要功能：配合教科书“2.3 幂函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能，绘制出幂函数的图象，再利用幂函数的图象研究函数的性质．课件制作过程：（1）新建画板窗口．单击【Graph 】（图表）菜单中的【Define CoordinateSystem 】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl ＋K ，给原点加注标签A ，并用【文本】工具把标签改为O ．（2）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“NewFunction ”函数式编辑器，编辑函数f （x ）＝x ，单击【OK 】后画出函数f （x ）=x 的图象．同法编辑函数g （x ）＝x 2，h （x ）＝x 3，21)(x x q =和函数xx r 1)(=的图象．选中函数图象，单击【Display 】（显示）菜单中的【Line Width 】（线型）中的【Thick 】（粗线）．把上述图象设置成粗线，单击【Display 】（显示）菜单中的【Color 】（颜色）的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色，如图1．图1（3）再选中直线f （x ）＝x ，单击【Edit 】（编辑）菜单，选择【Action Buttons 】（操作类按钮），单击【Hide/Show 】（隐藏/显示），此时屏幕上出现【Hide FunctionPlot 】（隐藏对象）按钮，选择【文本工具】，双击【Hide Function Plot 】按钮，出现对话框，将其中的【Label 】（标签）改为“f （x ）＝x ”，再单击【确定】．此时，单击“f （x ）＝x ”按钮就会隐藏或显示直线f （x ）＝x ．用同样的方法制作【Hide Function Plot 】按钮g （x ）＝x 2，3)(x x h =，21)(x x q =和xx r 1)(=，如图2．图2（4）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，将【Page Name 】（页面名称）改为“画图象”，单击【OK 】．（5）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“g（x ）＝x 2”．（6）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“NewFunction ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，2，单击【OK 】后画出函数g （x ）＝x 2的图象．选中函数g （x ）＝x 2的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【Point On Function Plot 】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A ，再用【选择工具】选中点A ，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A 的坐标．（7）双击y 轴，即将y 轴标记为镜面，选中点A ，单击【Transform 】（变换）菜单的【Reflect 】（反射），屏幕上出现点A 关于y 轴的对称点，发现该点也落在曲线g （x ）＝x 2上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A '”，再用【选择工具】选中点A '，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A '的坐标．（8）为了进一步验证g （x ）＝x 2的图象关于y 轴对称，先同时选中点A 、A '，然后按“Ctrl ＋L ”，画出线段AA '，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Midpoint 】（线段的中点），用【文本工具】将中点的标签记为点M ，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点M 的坐标．（9）用【选择工具】选中点A ，单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮）中的【Animation 】（动画），在对话框（图3）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point 】改为【运动点A 】．单击【运动点A 】按钮，点A 在函数g（x ）＝x 2的图象上运动或停止运动，发现点M 始终在y 轴上运动，如图4．图3 图4（10）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“3)(x x h =”．（11）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“NewFunction ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，3，单击【OK 】后画出函数3)(x x h =的图象．选中函数3)(x x h =的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【Point On Function Plot 】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A ，再用【选择工具】选中点A ，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A 的坐标．（12）双击原点O ，即将原点O 标记为对称中心，选中点A ，单击【Transform 】（变换）菜单的【Rotate 】（旋转），屏幕上出现对话框（图5），将图5中的“90.0”改为“180.0”，再单击【Rotate 】，此时，屏幕上出现点A 关于原点O 的对称点，发现该点也落在曲线3)(x x h =上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A '”，再用【选择工具】选中点A '，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A '的坐标．（13）为了进一步验证3)(x x h =的图象关于原点O 中心对称，先同时选中点A 、A '，然后按Ctrl ＋L ，画出线段AA '，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Midpoint 】（线段的中点），单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现线段AA ' 中点的坐标O （0，0）．（14）用【选择工具】选中点A ，单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮）中的【Animation 】（动画），在对话框（如图3所示）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point 】改为【运动点A 】．单击【运动点A 】按钮，点A在函数3)(x x h =的图象上运动或停止运动，发现线段AA '中点始终与原点O 重合，如图6．图5 图6（15）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“xx r 1)(=”．（16）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，－1，单击【OK 】后画出函数x x r 1)(=的图象．选中函数xx r 1)(=的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【Point On Function Plot 】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A ，再用【选择工具】选中点A ，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A 的坐标．（17）双击原点O ，即将原点O 标记为对称中心，选中点A ，单击【Transform 】（变换）菜单的【Rotate 】（旋转），屏幕上出现对话框（图5），将图5中的“90.0”改为“180.0”，再单击【Rotate 】，此时，屏幕上出现点A 关于原点O 的对称点，发现该点也落在曲线xx r 1)(=上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A '”，再用【选择工具】选中点A '，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点A ' 的坐标．（18）为了进一步验证xx r 1)(=的图象关于原点O 中心对称，先同时选中点A 、A '，然后按“Ctrl ＋L ”，画出线段AA '，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Midpoint 】（线段的中点），屏幕上出现线段AA ' 中点的为原点O ．（19）用【选择工具】选中点A ，单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮）中的【Animation 】（动画），在对话框（如图3所示）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point 】改为【运动点A 】．单击【运动点A 】按钮，点A 在函数xx r 1)(=的图象上运动或停止运动，发现线段AA ' 中点始终与原点O 重合，如图7．（20）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“qp x x s =)(”．（21）单击【Graph 】菜单的【New Parameter 】（新建参数），出现对话框（图8），将图8中的【Name 】（名称） “t[1]”改为“p ”，【Value 】（值） “1.0”改为“7.0”，再单击【OK 】．屏幕上出现“p ＝1.00”，同法再新建参数“q ＝1.00”．图7 图8（22）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，（，p ，/，q ，），除p 、q 在屏幕上单击外，其余的都在函数编辑器上，单击【OK 】后屏幕上出现函数qp x x s )(的图象，如图9．图9课件使用说明：1．在页面“画图象”中单击“f （x ）=x ”，“g （x ）＝x 2”，“3)(x x h =”，“21)(x x q =”，和“xx r 1)(=” 按纽就会隐藏或显示相应函数的图象． 2．在页面“g （x ）＝x 2”，“3)(x x h =”和“xx r 1)(=”中，单击按纽【运动点A 】，点A 就会在相应的函数图象上运动或停止运动，同时点A 与点A / 的坐标也跟着发生变化，可以让学生观察点A 与点A '的坐标的关系，也可以让学生观察线段AA '中点的位置特征，通过观察上述函数的图象特征来探究函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性等）．3．在页面“q p x x s =)(”中，选中函数q p x x s =)(的图象，单击【Display 】（显示）菜单中的【Trace Function Plot 】（追踪函数图象）．任意选中“p ＝1.00”或“q =1.00”，按“＋”或“－”号改变p 、q 的值，同时屏幕上会出现各种幂函数的图象，使学生对幂函数的图象与性质有比较全面的认识．。

苏教版高中数学必修一幂函数文字素材(1)

幂函数图象有规律幂函数()n y x n Q =?的图象看似复杂，其实很有规律。

假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。

那么幂函数图象有哪些规律呢？1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。

2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。

3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。

4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。

5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。

2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。

3．各个象限内图象分布之规律：设p n q =，,p q 互质，,p Z q N 挝。

1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。

2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。

3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。

4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。

利用规律，解题有方。

请看以下例题：例1 分别画出（1）2527y x -=，（2）829y x =，（3）5y x = ，（4）18y x =的大致图象。

解析：（1）2527n =-＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图3中的①。

（2）829n =＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y 轴对称，如图2中的④。

（3）551n ==＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，如图3中的④。

（4）18n =＝奇数/偶数，0＜n ＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一象限中的③。

例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。

苏教版高中数学必修一幂函数文字素材(2)

幂函数形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x ≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意[实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不[能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。

定义域总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.第一象限可以看到：（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a＞0时图象过点（0，0）和（1，1）（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

湘教版高中数学必修一幂函数文字素材(2)

幂函数一、内容归纳：幂函数的图象系练习1：求满足条件的a 的取值范围（1）223a --> （2）2255(1)(2)a a +>- （3）2233(1)(2)a a --+>-二、拓展一：幂函数与图象变换（例4的拓展）导引：我们已经知道：1y x =，2y x =，12y x =的图象；1y x =-，2y x =-，12y x =-的图象。

前面也学习了图象变换，知道一个简单函数通过图象变换后可以得到一些较复杂函数的图象。

思考以下两个问题： ①将12y x =的图象右移2个单位，再上移动1个单位，所得函数为_____，对称中心为_____。

②将1y x =-的图象左移2个单位，再下移动1个单位，所得函数为_____，对称中心为_____。

答：①21111122(2)2(2)x x y y y x x x -+=−−−−→=−−−−→=+--代换表达式，对称中心(2,1)M （？） ②211111(2)(2)x x y y y x x x +=-−−−−→=-−−−−→=--++代换表达式-，对称中心(2,1)M --（？）如果将这两个结果进行通分整理，所得函数是什么特征？答：前者2324x x -=-，后者32x x --=+。

那么，一般的线性分式函数,(0)ax b y c cx d +=≠+是不是由函数b y x =平移过来的？问题探讨：若a b m c d ==，此时,()d y m x c=≠-若a b c d ≠，112()()a cx d b b b ax b a a c y y y y d dcx d cx d c c c x x c c+++=→=→=+→=+++++ 特征：（1）2b y x =平移的结果；（2）对称中心为(,)d a c c -；（3）过点(0,)b d（若0d ≠）练习2：设4()2ax f x x +=+，（1）若3a =-，写出()f x 对称中心，作其的简图，并求[3,2)(2,3]x ∈--⋃-时y 的取值范围；（2）若()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数，且在该区间恒有()0f x >，求a 的取值范围是。

高中数学苏教版高一必修1素材互动课堂3.3幂函数

互动课堂疏导引导1.定义形如y=xα的函数叫做幂函数，其中α是常数，x是自变量.2.幂函数的性质当n＞0时，幂函数y＝x n有下列性质：(1)图象都通过点（0，0）、（1，1）；(2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大;n＜0时，幂函数y＝x n有下列性质：(1）图象都通过点（1，1）；(2）在第一象限内，函数值随着x的增大而减小；(3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．疑难疏引 1.幂函数的定义一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中，x是自变量，α是常数.在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.幂函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握：（1）当指数n是正整数时，定义域是R.（2）当指数n是正分数时，设n=qp（p、q是互质的正整数，q＞1），则x n=x qp=6px.如果q是奇数，定义域是R；如果q是偶数，定义域是［0，＋∞）.（3）当指数n是负整数时，设n＝－k，x n=kx1，显然x不能为零，所以定义域是{x| x∈R且x≠0}.（4）当指数n是负分数时，设n=－qp（p、q是互质的正整数，q＞1），则x n=qpx1=61px.如果q是奇数，定义域是{x|x∈R且x≠0}；如果q是偶数，定义域是（0，＋∞）.2.幂函数的图象与性质研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y =x 2、y =x 3及y =x 21的图象研究归纳y =x n （n ＞0）的图象特征和函数性质，通过对幂函数y =x －2、y =x －3及y =x -21的图象研究归纳y =x n （n ＜0）的图象特征和函数性质.需要注意的有：（1）研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.（2）对于幂函数y =x n（n ＞0），我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n ＜0，0＜n ＜1和n ＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n ＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n ＞0（n ≠1）时图象是抛物线型；n ＜0时图象是双曲线型；n ＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n ＜1时图象是横卧抛物线型.●案例比较下列各组数的大小：（1）a =4.252，b =4.152;（2）a =1.3-1,b =1.4-1,c =1.4-2;（3）a =0.13,b =log 30.1,c =30.1.【探究】比较大小，通常利用函数的单调性，或找中间量.因此解决这类问题时往往找对应的函数或找对应的中间量.（1）考查幂函数y =x 52是单调递增函数,∴4.252 >4.152.（2）考查幂函数y =x -1在(0,+∞)上递减，1.3-1>1.4-1；考察指数函数y =1.4x为递增函数，则1.4-1>1.4-2；综上1.3-1>1.4-1>1.4-2.（3）0<0.13<1；log 30.1<0；30.1>1.综上，log 30.1<0.13<30.1.【溯源】若同指数，则用幂函数的单调性；若同底数，则用指数函数的单调性；若不能化为同指数或同底数，则需要找一个恰当的数作桥梁来比较大小. 活学巧用1.下列命题中正确的是( )A.当α=0时，函数y =x α的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点C.若幂函数y =x α的图象关于原点对称，则y =x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限【思路解析】当α=0时，函数y =x α定义域为{x |x ≠0,x ∈R }，其图象为两条射线，故A 不正确；当α<0时，函数y =x α的图象不过（0，0）点，故B 不正确；幂函数y =x -1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确；幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确. 【答案】 D2.求下列函数的定义域，判别奇偶性，指出单调区间：（1）y =x31-;（2）y =x 23. 【解】 (1)函数y =x31-可化为y =31x，定义域为{x |x ≠0,x ∈R }，因为f (-x )=-f (x ),所以y =x31-是奇函数.单调减区间为(-∞,0),(0,+∞).(2)函数y =x 23可化为y =3x ，定义域为{x |x ≥0}，是一个非奇非偶函数.单调增区间为［0,+∞).3.比较下列各组数的大小：（1）(-1.1)53,(-1.2) 53；（2）(-π)23,(23)23；（3）0.321-,0.421-,221-,(-0.1)31.【解】（1）(-1.1)53>(-1.2)53; （2）(-π)23>(23)23; （3）(-0.1)31 <221-<0.421-<0.321-.4.求函数的解析式：（1）函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 53，求x <0时的f (x ). （2）已知幂函数y =xm 2-2m -3(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值.【解】（1）当x <0时，f (x )=-f (-x )=-(-x )53=-x 53.（2）m 2-2m -3<0,-1<m <3,因为m ∈Z ，所以m =0或m =1或m =2.当m =0或m =2时，y =x -3符合题意；当m =1时，y =x -4是偶函数，关于y 轴对称，所以m =0或m =2. 5.求下列函数的定义域和值域. （1）y =(2x +1)23;（2）y =x -2.【解】（1）定义域R ，值域［0,+∞).（2）定义域{x|x∈R,x≠0}，值域(0,+∞).6.已知函数f(x)=(m2+2m+1)x m2+m-1是幂函数且其图象过原点，求f(x).【思路解析】利用幂函数的定义和性质处理.【解】m2+2m+1=1,m=0或m=-2.当m=0时，f(x)=x-1,图象不过原点.当m=-2时，f(x)=x,图象过原点.所以f(x)=x.7.函数f（x）=（m2－m－1）x m2+m-3是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（x）的解析式为.【思路解析】本题考查幂函数的定义.根据幂函数定义，得m2－m－1=1.解得m=2或m=－1.当m=2时，f（x）=x3在（0，＋∞）上是增函数；当m=－1时，f（x）=x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求.故f（x）=x3.【答案】f（x）=x3。

高中数学苏教版高一必修1素材名师导航3.3幂函数

2.4 幂函数名师导航知识梳理1.幂函数的概念定义：形如___________的函数叫做幂函数，其中___________是自变量，___________是常数.注意：在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x 、y=x 2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x 2+1、y=x-1、y=x 2+2x 、y=2x 都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的. 2.幂函数的定义域幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x 的集合.如果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给出字母指数，应分四种情况讨论y=x n 的定义域. (1)当指数n 是正整数时，y=x n 的定义域是___________.(2)当指数n 是正分数时，设n=qp (p 、q 是互质的正整数，q>1)，则x n =q p qpx x =.如果q 是奇数，y=x n 的定义域是_____________；如果q 是偶数，y=x n 的定义域是_____________. (3)当指数n 是负整数时，设n=-k ，则x n =kx 1. 显然x ≠0，y=x n 的定义域是. (4)当指数n 是负分数时，设n=-qp(p 、q 是互质的正整数，q>1),则x n =qpqp xx 11=.如果q 是奇数，y=x n 的定义域是_____________；如果q 是偶数，y=x n 的定义域是_____________. 3.幂函数的图象描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键.例如，画出函数y=x -2，y=21-x的图象.-2y=21-x定义域为(0,+∞)(图(2)).(1) (2)4.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=x n 有下列性质： (1)图象都通过点(0，0)，(1，1)；(2)在第一象限内，函数值y 随x 的增大而增大. 当n<0时，幂函数y=x n 的性质： (1)图象都过点(1，1);(2)图象以直线x=0，y=0为渐近线;(3)在第一象限内的图象是下降的，即函数值y 随x 的增大而减小;(4)x ∈(0,1)时，n 越大曲线越靠近y 轴,x ∈(1,+∞)时，n 越小曲线越靠近x 轴. 疑难突破1.幂函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=21x ,y=x -1的性质是什么？幂函数 y=x y=x 2 y=x 3 y=21x y=x -1 定义域 R R R ［0,+∞) {x|x ∈R 且x ≠0} 值域 R ［0,+∞) R ［0,+∞) {y|y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈［0,+∞)时,增;x ∈(-∞,0)时,减增增 x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减过定点(1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)2.当n 取不同的有理数时，幂函数y=x n 的定义域怎样？当n ∈N *时，定义域为R ；当n=0时，定义域为{x|x ≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x|x ≠0}；当n=qp(p 、q ∈N *,q>1且p 、q 互质)时， ①若q 为偶数，则定义域为［0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为R ；当n=-qp(p 、q ∈N *,q>1且p 、q 互质)时， ①若q 为偶数，则定义域为(0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为{x|x ≠0}. 问题探究问题1 幂函数与指数函数有何不同？探究思路：虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式，但二者的定义域不同，即指数函数y=a 2中，指数是自变量，而幂函数y=x α中，底数是自变量.当然，由此可见，二者的对应关系和值域也不同.问题2 分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性.利用几何画板画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点. (1)y=21x ；(2)y=31x ；(3)y=32x ；(4)y=35x . 探究思路：先将各式化为根式形式：(1)y=x ；(2)y=3x ；(3)y=32x ；(4)y=35x .函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断. (1)的定义域为[0，+∞)，(2)(3)(4)的定义域都是R ；其中(1)既不是奇函数也不是偶函数，(2)(4)是奇函数，(3)是偶函数.它们的图象都经过点(0，0)和(1，1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在x ∈[0，+∞)上单调递增. 典题精讲例1 若21)1(-+a ＜21)23(--a ，则a 的取值范围是______________.思路解析因为函数y=21x 在[0，+∞)上单调递增，所以y=21-x在[0，+∞)上单调递减.所以⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+,023,01,231a a a a 解得32＜a ＜23.答案:(32，23) 例2 已知0＜a ＜1，试比较a a ，(a a )a ，)(a a a的大小.思路解析为比较a a 与(a a )a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=x a (0＜a ＜1＝在区间[0，+∞)上是增函数，因此只需比较底数a 与a a 的大小.由于指数函数y=a z (0＜a ＜1＝是减函数，且a ＜1，所以a ＜a a ，从而a a ＜(a a )a .比较a a 与(a a )a 的大小，也可将它们看成底数相同(都是a a )的两个幂，于是可以利用指数函数y=b x (b=a a ，0＜b ＜1)是减函数，由a ＜1，得到a a ＜(a a )a . 由于a ＜a a ，函数y=a z (0＜a ＜1)是减函数，因此a a ＞)(a a a.答案:)(a a a＜a a ＜(a a )a .例3 下图中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α取±2，±21四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( ) A.-2,-21,21,2 B.2,21,-21,-2 C.-21,-2,2,21 D.2,21,-2,-21思路解析要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=x α随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=x α的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由低向高依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以α依次为2，21，-21，-2，故选择答案B. 答案:B例4 画函数y=1+x -3的草图，并求出其单调区间.思路解析此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便. 解：由y=1+x -3，得y-1=x -3，∴y=)3(--x +1. 此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数y=x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y=x -的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+x -3的图象(如下图所示).知识导学1.幂函数的定义一般地，我们把形如y=x α的函数称为幂函数，其中，x 是自变量，α是常数.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=x α的函数”这句话的重要作用. 幂函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握： (1)当指数n 是正整数时，定义域是R .(2)当指数n 是正分数时，设n=qp (p 、q 是互质的正整数，q ＞1)，则x n =qpx =q p x .如果q 是奇数，定义域是R ；如果q 是偶数，定义域是[0，+∞). (3)当指数n 是负整数时，设n=-k ，x n =k x1，显然x 不能为零，所以定义域是{x|x ∈R 且x ≠0}.(4)当指数n 是负分数时，设n=-qp(p 、q 是互质的正整数，q ＞1)，则x n =qpqp xx 11=.如果q 是奇数，定义域是{x|x ∈R ，且x ≠0}；如果q 是偶数，定义域是(0，+∞). 2.幂函数的图象与性质研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x 2、y=x 3及y=21x 的图象研究归纳y=x n (n ＞0)的图象特征和函数性质，通过对幂函数y=x -2、y=x -3及y=21-x的图象研究归纳y=x n (n ＜0)的图象特征和函数性质.需要注意的有：(1)研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幂函数y=x n (n ＞0)，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n ＜0，0＜n ＜1和n ＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n=0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n ＞0(n ≠1)时图象是抛物线型；n ＜0时图象是双曲线型；n ＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n ＜1时图象是横卧抛物线型. 记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单，大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变，不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数. 疑难导析1.对于五种常见的幂函数y=x,y=x 2,y=x 3，y=21x ,y=x -1,要熟悉其图象、性质，做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数，以便应用图象及性质解题.2.在幂函数的定义中没有规定定义域，但这并不意味着定义域不用研究. (1)当n 是正分数时，设y=qp x ，其定义域是使qp x 有意义的x 的集合； (2)当n 是一个负整数或负分数时，设y=qpx-，则其定义域是使p x 1或q p x1有意义的x 的集合.问题导思在第一象限内,图象向上随着a 的减小与y 轴无限的接近,向右与x 轴无限的接近在第一象限内,图象向上随着a 的减小与y 轴无限的接近,向右与x 轴无限的接近指数函数y=a x 的性质图象通过点(0,1)图象通过点(0,1)在定义域内,函数单调递增(函数值随x 的增大而增大)在定义域内,函数单调递减(函数值随x 的增大而减小)在定义域内,图象向上与x 轴无限的接近;随着a 的减小而无限靠近y 轴在定义域内,图象向上与x 轴无限的接近;随着a 的增大而无限靠近y 轴典题导考绿色通道虽然解决恒成立问题的方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便. 黑色陷阱忘记幂函数底数需大于0，将导致解题失误. 典题变式当x ∈(1，+∞)时，函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方，则α的取值范围是( ) A.α＜1 B.0＜α＜1 C.α＞0 D.α＜0 答案:A绿色通道解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单. 典题变式T 1=32)21(，T 2=32)51(，T 3=31)21(，则下列关系式正确的是( )A.T 1＜T 2＜T 3B.T 3＜T 1＜T 2C.T 2＜T 3＜T 1D.T 2＜T 1＜T 3 答案:D绿色通道幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系，幂函数的图象在直线x=1的右侧，由低到高，幂指数α由小变大；在y 轴与直线x=1之间，由低到高，幂指数α由小变大.另外还应注意幂指数的取值对幂函数图象位置的影响：幂指数α＞0时，图象全是“抛物线型”，而幂指数α＜0时，图象全是“双曲线型”. 典题变式图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象，已知n 取±2,±41四个值，则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 依次为( )A.-2、-21、21、2B.2、21、-21、-2 C.- 21、-2、2、21 D.2、21、-2、-21答案:B黑色陷阱本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数也不再是原有的函数了.典题变式(1)求函数y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当x增大时，函数值如何变化？并画出图象；(2)问上述函数的图象与函数y=x-2的图象有何关系？解答:(1){x|x∈R且x≠-2};R+.当x＜-2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞-2时，y随x的增大而减小.图象略. (2)将y=x-2的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2的图象.。

6.1幂函数课件高一上学期数学(1)

的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变验收•课堂达标检测
A层基础达标练
1.（多选题）下列函数是幂函数的有( AD )
C
D
4.如图所示，给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( B )
2
B层能力提升练
苏教版数学必修第一册
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 幂函数的概念和图象
知识点2. 幂函数的性质
（5）幂函数在第四象限无图象.
题型分析·能力素养提升
【题型一】幂函数的概念
【题型二】幂函数的图象
2
B
【题型三】幂函数性质的运用
（2）比较大小：
题后反思 1.熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础. 2.底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值
A
C
A.0
B.1
C.2
D.3
A
AC
9
2
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

高中数学(苏教版)必修一讲义：第三章 3.3 幂函数

考察以下几个函数： y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x .问题1：这几个函数是指数函数吗？提示：不是指数函数．问题2：它们有什么共同特征？提示：幂的底数是自变量，指数是常数．问题3：你能举出一个这样的函数的实际例子吗？提示：正方体的棱长为x ，它的体积关于x 的函数关系式是V ＝x 3.幂函数的概念：一般地，我们把形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝x －2的图象如图所示．问题1：它们的图象都过同一个定点吗？提示：是的．都过定点(1,1)．问题2：这六个函数的图象哪些关于原点对称，哪些关于y 轴对称？提示：y ＝x ，y ＝x 3，y ＝x－1关于原点对称，而y ＝x 2，y ＝x－2关于y 轴对称．问题3：通过观察这六个函数的图象，在第一象限内，哪些是增函数，哪些是减函数？提示：在第一象限内，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝x12是增函数，y ＝x －1，y ＝x －2是减函数．问题4：这几个函数在第四象限有图象吗？提示：没有．幂函数y ＝x ，y ＝x2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x －2的性质：函数特征性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1y ＝x －2定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} (0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇偶单调性增x ∈[0，＋∞)增， x ∈(－∞，0] 减增增x ∈(－∞，0) 减，x ∈(0，＋∞) 减x ∈(0，＋∞) 减，x ∈(－∞，0) 增公共点(0,0)，(1,1)(1,1)1．幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大到小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．[例1] 已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？[思路点拨] 根据各相应函数的定义，列出系数、指数满足的方程或不等式求解． [精解详析] ①∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.②若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.③若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.④若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，得m ＝－1. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.[一点通] 将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函数y ＝kx (k ≠0)；②反比例函数y ＝kx (k ≠0)；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；④幂函数y ＝x α(α∈R )，转化为系数和指数的取值问题．1．下列函数中是幂函数的为________．①y ＝1x 2；②y ＝－3x 3；③y ＝x 13＋x 2；④y ＝x π；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝2x 2＋1；⑦y ＝4.解析：具备形式y ＝x α的函数是幂函数，所以①y ＝1x 2＝x －2，④y ＝x π是幂函数，其他都不是幂函数．★答案★：①④2．若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________．解析：因为函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，所以2m ＋3＝1，即m ＝－1. ★答案★：－1[例2] 讨论函数f (x )＝x －23的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．[思路点拨] 首先将幂函数化成根式的形式，再讨论定义域、值域、奇偶性，作图象． [精解详析] ∵y ＝x －23＝13x 2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．令f (x )＝13x 2，∵f (－x )＝13(－x )2＝13x 2＝f (x )．∴y ＝x －23是偶函数．其图象如图所示．由图可知，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．[一点通] 幂函数y ＝x α的图象和性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过(0,0)和(1,1)，在第一象限图象上升是增函数；α<0时，图象过(1,1)，不过(0,0)，在第一象限图象下降是减函数，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸，0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．3．下列命题正确的个数是________． ①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大 ④幂函数的图象不可能在第四象限⑤图象不经过点(－1,1)的幂函数一定不是偶函数解析：序号结论原因① 错误直线上不含(0,1)点② 错误如y ＝1x 在x ＝0处没意义，不过(0,0)③ 错误如y ＝1x 在(0，＋∞)上随x 增大而减小④ 正确在x >0时，x α>0⑤正确点(－1,1)与点(1,1)关于y 轴对称★答案★：4．如图，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，12，2四个值，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的α依次为________．解析：作直线x ＝x 0(x 0>1)与四条曲线相交，有x －10<x 012<x 0<x 20，由图可知图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的α分别是2,1，12，－1.★答案★：2,1，12，－15．若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(2，12)在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，求函数h (x )的最大值以及单调区间．解：设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)α＝2，解得α＝2，所以f (x )＝x 2.又设g (x )＝x β，由点(2，12)在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得β＝－1，所以g (x )＝x －1.在同一坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－1的图象，由题意及图可知h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0或x >1，x 2，0<x ≤1，根据函数h (x )的解析式及图象可知函数h (x )的最大值为1，所以h (x )的单调增区间是(0,1]，单调减区间是(－∞，0)和(1，＋∞).[例3] 比较下列各组数中两个值的大小： (1)(23)13与(34)13；(2)(－23)－2与(－34)－2； (3)(a ＋1)3与a 3；(4)31.4与51.5.[思路点拨] 分别构造出相对应的幂函数，然后再利用函数的单调性比较值的大小． [精解详析] (1)函数y ＝x 13在R 上为增函数， ∵23<34，∴(23)13<(34)13. (2)函数y ＝x－2在(－∞，0)为增函数，∵－23>－34，∴(－23)－2>(－34)－2.(3)函数y ＝x 3在R 上为增函数，∵a ＋1>a ，∴(a ＋1)3>a 3.(4)函数y ＝3x 与y ＝x 1.5在(0，＋∞)上均为增函数， ∵1.4<1.5,3<5，∴31.4<31.5,31.5<51.5， ∴31.4<51.5.[一点通] 比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．6．已知(3－2a )13<(2＋a )13，则a 的取值范围是________．解析：∵幂函数f (x )＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴3－2a <2＋a . 解得a >13.∴a 的取值范围是(13，＋∞)．★答案★：(13，＋∞)7．比较下面各组数的大小： (1)(78)78，(87)78； (2)(－2.1)37，(－2.2)37； (3)(－π)23-，(－23)23-.解：(1)∵78>0，y ＝x 78在[0，＋∞)上是单调增函数，且78<87，∴(78)78<(87)78.(2)∵(－2.1)37＝－2.137，(－2.2)37＝－2.237，经比较知2.137<2.237，∴(－2.1)37>(－2.2)37. (3)∵(－π)23-＝π23-，(－23)23-＝(23)23-，经比较知π23->(23)23-，∴(－π)23->(－23)23-.简单的幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1，幂函数过定点(1,1)．(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．一、填空题1．已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，则其表达式为f (x )＝________．解析：设f (x )＝x a ，图象过点(2，2)，即2＝2a，则a ＝12，故f (x )＝x 12.★答案★：x 122．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上是单调增函数的α的值的个数为________．解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，∴α＝13，1,3.共3个．★答案★：33．函数y ＝x 13的图象是________．解析：当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x .故图象是②. ★答案★：②4．幂函数f (x )的图象过点(2，m )且f (m )＝16，则实数m 的值为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，由图象过点(2，m )，得f (2)＝2a ＝m ，所以f (m )＝m a ＝2a 2＝16，解得a ＝－2或2，所以m ＝22＝4或m ＝2－2＝14.★答案★：4或145．已知x 2>x 13，则x 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝x 2和y ＝x 13的图象(如图所示)．由图象易知x <0或x >1.★答案★：(－∞，0)∪(1，＋∞)6．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x .其中满足条件f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2(x 1>x 2>0)的函数序号是________．(填入所有正确的序号)解析：结合图象可知满足条件的函数图象在第一象限向下凸起，②③⑤都是向下凸起，①没有凸起，④向上凸起，故满足条件的只有②③⑤.★答案★：②③⑤ 二、解答题7．比较下列各组数的大小． (1)312和3.112；(2)－8－1和－9－1；(3)(12)23，(15)23和(12)13. 解：(1)构造函数f (x )＝x 12，此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1， ∴312<3.112.(2)构造f (x )＝x －1，此函数在(0，＋∞)上是减函数， ∵8<9，∴8－1>9－1， ∴－8－1<－9－1.(3)构造函数y ＝x 23，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则(12)23>(15)23. 构造函数y ＝(12)x ，此函数在R 上是减函数，则(12)23<(12)13，故(15)23<(12)23<(12)13. 8.点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )?解：设f (x )＝x α，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2. 再设g (x )＝x β，则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2，在同一坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知：①当x >1或x <－1 时，f (x )>g (x )； ②当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．9．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1,2.∵函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，∴m ＝1. ∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13.∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减．∴a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).。