2.3.1离散型随机变量的均值

x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是 随机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
X x1
Y ax1 b P p1
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变 量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
问题：某人射击10次，所得环数分别是：1，1， 1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数 是多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
X
1
2
3
4
加
P
X10 P 0.7 0.3
P(X=1)=0.7
EX 1 0.7 0 0.3 0.7
一般地，如果随机变 量X服从两点分布，
那么EX=？
EX 1 p 0 (1 p) p
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0(1 p) p
4
3
2
1
10
10
10
10
权 平
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
18元/kg 24元/kg 36元/kg
按3：2：1的比例混合
混合糖果中每一粒糖果的质量都 相等
定价为混合糖果的平均价格才合理
按3：2：1的比例混合
18元/kg 24元/kg 36元/kg
2.3.1离散型随机变量的均值
复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2 ··· xi
···
P
p1
p2 ··· pi
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分 布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在 实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量 的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一 次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均 分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化” 则需要考察这个班数学成绩的方差。
P
3
2
1
6
6
6
XX11883P(2X4128) 36241 P(2X3(元2/4k)g) 366 P(X 6 36) 263(元 / kg)
•离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7

0.3
2
C
2 3
0.7
2

0.3
0.73
(2)
EX

0 0.33
6
2
随机变量的均值与样本的 平均值有何区别和联系
•随机变量的均值是常数，而样本的平均值随 着样本的不同而变化，因而样本的平均值是 随机变量； •对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近总体的平均值，因 此，我们常用样本的平均值来估计总体的平 均值。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
X=1或X=0
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
则称
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
随机变量X的均
值与X可能取值
X 的分布列
的算术平均数相 同吗
X 18 24 36
P
3 6
2 6
1 6
EX 18 3 24 2 36 1 23
m平千均克价混格合为糖 果 18的总63 m价格2为4
2 6
m

36

1 6
m
m
181×83m+3 2244× 22+m3366×1 1 m
66
66
66
＝２3元 kg
按3：2：1的比例混合
18元/kg 24元/kg 36元/kg 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
பைடு நூலகம்
X 18 24 36
6
6
6
X
可能取值的算术平均数为18 24 36
3

26
举例
随机变量x的均值与
随机抛掷一个x骰可子能，取求值所的得算骰术子平的点数X的均值。
均数何时相等
x123456
11 1 1 1 1
P6 6
6
6
6
6
EX 1 1 2 1 ... 6 1 7
66
62
X可能取值的算术平均数为 1 2 ... 6 7

1

C
1 3
0.7

0.32

2

C
2 3
0.7
2
0.3

3 0.73
EX 2.1 3 0.7
如果X~B（n，p），那么 EX=？
n
n
EX kCnk pk qnk npCnk11 pk 1qn1(k 1)
k 0
aEX b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
基础训练
1、随机变量ξ的分布列是