用函数的观点看方程跟不等式教学设计

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人教版八年级数学上册《十四章一次函数. 14.3 用函数观点看方程(组)与不等式.》优质课教案_1

19.2.3 一次函数与方程、不等式（第一课时）一、教学内容：一次函数与方程、不等式的关系二、内容解析：函数、方程、不等式是初中数学的核心内容，函数是联系方程、不等式的纽带，通过函数图像，可以直观地表示方程（组）和不等式的解或者解集的含义。

用函数的观点看一元一次方程，可以把解一元一次方程理解为已知一次函数的函数值求对应的自变量的值；用函数的观点看一元一次不等式，它的解集就是使得函数值在某个范围的自变量的取值范围。

研究函数、方程、不等式间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构。

综上所述，本节课教学重点是：理解一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的联系。

三、教学目标：（1）认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义；（2）经历用函数图像表示方程和不等式的过程，体会数形结合的思想。

四、学情分析：学生已经学习过一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，知道它们是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但还没有建立这些知识间的有效联系，不知道方程、不等式、函数的联系。

从函数图像的角度看一元一次方程，实际上是已知一次函数图像上点的纵坐标求与其对应的横坐标；用函数图像观点看不等式，要把不等式的解集看作纵坐标的值在一定范围内的点对应的x轴的部分。

因此，本节课的教学难点是：把一次函数图像上点的坐标与一元一次方程、一元一次不等式的解或解集建立联系。

五、教学过程：【提问】我们刚刚学习了从函数的角度看方程，那么大家能不能尝试从函数值的角度理解不等式：2x + 1＜3？（教师结合方程2x + 1 = 3引导学生叙述）【讲述】解不等式2x函数值的角度考虑，就是当函数。

人教课标版初中数学八年级上第十四章第3节《用函数观点看方程(组)与不等式》教案

用函数观点看方程(组)与不等式艾细荣太阳中学【学习目标】1、进一步认识和理解一次函数，同时进一步巩固一元一次方程的解法。

2、弄通一次函数与x轴的交点与一元一次方程的解的关系。

【预习形成】1、解方程2x+4=02、自变量x为何值时函数y=2x+4的值为0？3、以上方程2x+4=0与函数y=2x+4有什么关系？4、是不是任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b是常数，a≠0）？5、当某个一次函数y=ax+b的值为0时，求相应的自变量x的值。

从图像上看，相当于确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标的值。

6、仔细理解例1中的解法1与解法2有什么不同。

【学习流程】1、解方程ax+b=0（a、b为常数，a≠0）2、自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0，这句话与解方程ax+b=0（a、b为常数）到底有什么关系？3、探究问题一个物体现在的速度是3m/秒，其速度每秒增加2m/秒，再过几秒它的速度为11m/秒？1）、此问题用方程来解如何去解？2）、画出y=2x-8的函数图象如果速度y是时间x的函数，则上述问题与y=2x+3有什么关系？如何去解上述问题？4、知识巩固1）、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足于下列条件：①、y=0 ②、y=-7 2）、利用函数图象解5x-3=x+25、整体感知如何理解一次函数与x轴交点的横坐标与解方程的关系？【课堂检测】A、基础知识巩固1、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=5x+7的值满足下列条件（1）、y=0 （2）、y=20 B、能力提升当自变量x取何值时，函数y=+1与y=5x+17的值相等？。

19.2.3一次函数与方程、不等式教学设计

人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式教学设计一、教材分析1、地位作用：函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。

用函数的观点看方程（组）与不等式，学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通。

本节课是在学完一次函数之后，对一次函数与方程，方程组，不等式的关系进行探究，学生在探究过程中进一步体验数形结合的思想方法和运动变化的观点，同时为高中利用二次函数解一元二次不等式的学习作铺垫。

2、目标和目标解析：（1）、目标：①理解一次函数与相应的一元一次方程、一元一次不等式之间的关系；理解一次函数与二元一次方程（组）的解之间的关系。

②会利用“数”和“形”相结合的方法处理一次函数与方程，不等式的问题。

（2）、目标解析：①达成目标1的标志是：在具体情境中通过列解析式，列方程，作函数图像，求方程的解的一系列过程，体验一次函数与相应的一元一次方程、一元一次不等式之间的关系；理解一次函数与二元一次方程（组）的解之间的关系。

②达成目标2的标志是：在解决相关问题时既会列出解析式，方程（组），不等式。

又能通过函数图像的直观性配合分析解决问题。

3、教学重、难点教学重点：一次函数与方程（组）、一元一次不等式之间的关系。

教学难点：利用“数”和“形”相结合的方法处理一次函数与方程，不等式的问题。

突破难点的方法：分析示范，强调数形结合的思想方法的应用。

二、教学准备：多媒体课件，三角板。

三、教学过程学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．。

“143用函数观点看方程(组)与不等式”说课教案费锁成

“14.3 用函数观点看方程（组）与不等式——一次函数与二元一次方程（组）”说课教案北戴河区第二中学费锁成各位老师，专家：大家好！我是来自北戴河区第二中学的费锁成。

今天我说课的内容是人教版数学八年级上册第十四章第三节第三课时《用函数观点看方程（组）与不等式》。

我将从教材内容分析、学生学情分析、教学策略分析、教学过程、教学设计反思五个环节和大家共同探讨这节课。

一、教学内容分析1.教材的地位和作用函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。

本节课是对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。

2、教学目标知识技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。

过程方法：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。

情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在交流活动中，学会与人合作，体验数学的价值，建立自信心。

3、教学重难点重点：探索一次函数与二元一次方程（组）的关系。

难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。

二、学生学情分析⒈学生已经掌握一次函数以及二元一次方程组的基础知识，对本节课的学习内容和学习方法（数形结合的思想方法）都有了一定的基础，为此我通过创设合理的情景问题，激发学生的兴趣让学生自主探索。

⒉从数与形两个角度看方程组的解的这个环节，可能会存在困难，因此在教学环节中我事先打好支架，让学生能够层层递进，轻松学习。

三、教学策略分析教法选择：探究教学法：在教学中主要围绕问题展开教学活动，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析并解决问题。

合作交流法：本节课以活动探究的形式呈现，采取合作交流法，包括师生交流和生生交流，多边互动。

在一个个问题的探索中，让学生体验学习的乐趣。

初中数学143用函数观点看方程(组)与不等式第1课时教案(人教版八年级上)

4.3用函数观点看方程（组）与不等式第1课时教学目标1．知识与技能会应用一次函数的图象求解二元一次方程组的近似解．2．过程与方法经历探索一次函数与二元一次方程（组）的过程，掌握函数与方程（组）的相互关系．3．情感、态度与价值观培养识图能力，提高学生的抽象思维．重、难点与关键1．重点：一次函数与二元一次方程（组）的联系．2．难点：认识函数与方程（组）的内在联系．3．关键：从图形的识别入手，以方程与函数表示形式的转化为切入点．教学方法采用“讲授式”教学方法，让学生通过讲解，掌握分析思路．教学过程一、回顾交流，迁移知识【知识回顾】（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个．（2）在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，在一次函数y=5-x•的图象相同吗？（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x•的图象相同吗？【思路点拨】（1）方程x+y=5是二元一次方程，它的解有无数个，取x=0时y=5，x=1时y=4，x=5时y=0……，即都是方程的解．（2）如图所示，A（0，5），B（1，4），C（5，0）都在这个图象上．（3）在一次函数y=-x+5的图象上任取一点C′，C′（3，2）也就是当x=3时y=2，它适合方程x+y=5．（4）由（1）（2）（3）可知，以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同，这是因为方程x+y=5可以用x的代数式表示y，即y=-x+5，y是x的一次函数．【问题牵引】教师叙述：我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-x+，并且直线y=-x+上每一个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解，由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此也对应一条直线．请你解出二元一次方程组的解，并回答：（1）与①②相对应的一次函数是怎样的解析式？（2）画出这两个函数的图象，它们的交点坐标中相对应的x，y•值是否满足上述方程组？【师生共识】解二元一次方程组可以看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标，P127课本图14．3-6，因此我们可以用画图象的方法解二元一次方程组．二、范例点击，提高认知【例3】一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0．1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费，•如何选择收费方式能使上网者更合算？【思路点拨】由于计费与上网时间有关，所以可设上网时间为x分，若按方式A则收费y=0.1x元，若按方式B则收费y=0.05x+20元，再求两函数交点．另一种思路是方式B与方式A两种计费的差额为y元，则y随x 变化的函数关系式为y=（0.05x+20）-0.1x，即y=-0.05x+20，再求出与x轴交点（400，0），然后讨论．具体解法见课本P43～P44．【归纳整理】方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活的、有机的把它们结合起来使用．三、随堂练习，巩固深化课本P128练习．四、课堂总结，发展潜能体会二元一次方程组的解与一次函数的图象交点之间的关系，从“数”与“形”两个方面初步体会某些方程组的解．五、布置作业，专题突破1．课本P129习题14．3第6，9，11题，数学活动1，2．2．选用课时作业设计．板书设计。

教学内容：用函数观点看方程(组)与不等式

学科：数学教案内容：用函数观点看方程（组）与不等式新课指南1．知识与技能：能通过函数图象获取信息，发展形象思维．2．过程与方法：经历猜想、发现、比较、归纳的过程，探究出解决问题的方法，用函数的观点看一元一次方程、二元一次方程组、不等式，发展学生的数学应用能力．3．情感态度与价值观：通过体会方程（组）、不等式与函数的关系，建立良好的知识联系，充分体会函数知识与方程（组）、不等式和相关几何知识的联系，培养学生用恰当的数学思想方法来解决问题，要理解数学知识来源于实际生活，又反过来服务于生活．4．重点与难点：重点是利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系、函数与不等式的关系，建立良好的知识联系．难点是利用函数图象解决实际问题．教材解读数学与生活一个有进水管与出水管的容器，单位时间内进出的水量都是一定的．设从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的8分内既进水又出水，容器内的水量y（升）与时间x （分）之间的关系如图11－37所示．（1）求0≤x≤4时,y随x变化的函数关系式；（2）求4﹤x≤12时，y随x变化的函数关系式；（3）每分进水、出水各多少升？思考讨论从图象上可以看到，4分水量从0增加到20升，则每分进水：20÷4=5（升），则y随x变化的函数关系式是y=5x(0≤x≤4)，也可以设为0≤x≤4，y随x变化的函数关系式是y=kx（k≠0），当x=4时，y=20，代入关系式即可求出k，进而求出函数关系式．由此我们发现，有些问题可以用方程来解答，也可以从函数的观点来解决，如问题（1）.那么另外的两个问题你也会用上述方法解决吗？知识详解知识点1 两条直线的交点两个一次函数图象的交点表示点在两条直线上的横坐标相同，纵坐标也相同．例如：求直线y ＝x 与y=3x-4的交点，就可以把两个二元一次方程组成方程组⎩⎨⎧-==,43,x y x y 解得⎩⎨⎧==.2,2y x ∴两条直线的交点坐标为（2，2）.那么，我们也可以在坐标系内画出这两条直线的图象，如图11－38所示，观察两条直线的交点，正是（2，2）．知识点2 利用一次函数解决实际问题一次函数是刻画现实世界物质之间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是，十分广泛．如天平、弹簧秤、杆秤，以及测量气压、血压、温度等有关仪器，它们都是应用一次函数的实例，这也是用函数的观点看待方程（组）与不等式等知识的实例．探究交流？如图11－39所示，l 甲，l 乙分另表示甲、乙两．弹簧的长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg 的物体，伸长的长度为k 甲cm ，乙弹簧每挂1kg 的物体，伸长的长度为k 乙cm ，则k 甲与k 乙的大小关系为（）A ．k 甲＞k 乙B ．k 甲=k 乙C ．k 甲﹤k 乙D ．不能确定点拨从图象上观察到，l 甲与横轴所夹锐角比l 乙与横轴所夹锐角大，故k 甲＞k 乙，故选A 项．知识点3 近似函数关系式我们通常采用待定系数法来确定函数关系式，但实际生活中存在的数量关系错综复杂，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们之间是什么函数关系．因此需要根据经验分析，并进行近似计算，建立比较接近的函数关系进行研究．例如：某区2000年统计了该区男学生各年龄组的身高，相关数据如下表所示，求平均大致在一条直线上，因此说h 与n 的关系接近于一次函数，可以用一条直线去尽可能地接近这些点，求出近似函数关系式，我们选择与直线比较近的点（8，118．5）和（15，154．2）．解：设近似函数关系式为h ＝kn+b ，将(8，118．5)和(5，154．2)代入得⎩⎨⎧+=+=,152.154,85.118b k b k ∴⎩⎨⎧==.7.77,1.5b k ∴近似函数关系式为h=5．1n+77．7．【说明】此题也可选择其他两点来确定近似函数关系式.典例剖析基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）通过函数图象获取信息；（2）利用函数图象解决实际问题．例1 如图11－41所示，OA ，BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（）A ．2．5MB ．2MC ．1．5MD ．lM[分析] 由图象可知，OA 表示正比例函数，经过点A （8，64）和原点O （0，0），BA 表示一次函数，经过点A （8，64）和B （0，12）求出函数表达式，就能判断两者的速度大小．该直线OA 的表达式为s=v 1t ．直线BA 的表达式为s ＝12+v 2t ．将点（8，64）分别代入，得64=8v 1，64=8v 2+12．∴v 1=8，v 2=6．5．∴v 1-v 2＝8-6．5＝1．5（M ／秒）．故正确答案为C 项．小结一次函数在表示路程和时间的关系时，图象与横轴（时间）所夹的锐角越大，表明速度越大，反之，所夹锐角越小，表明速度越小，因此，也可由图象判断速度的快慢.例2 A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往张村和李庄，从A城运往张村、李庄的运费分别是20元／吨与25元/吨，从B城运往张村、李庄的运费分别为15元，／吨和22元／吨，现已知张村需要220吨，李庄需要280吨，如果某个个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运运费最少？[分析] 先求出总费用与选择的自变量之间的函数关系式，再求最小值．解：两城现有的化肥数量恰好等于两地所需的化肥数量．设A城化肥运往张村x吨，则运往李庄（200-x）吨，B城化肥运往张村（220-x）吨，运往李庄［280-（200-x）］=80+x（吨）,总运费为y元，根据题意，得y=20x+25（2O0-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060.其中0≤x≤200，∴当x=0时，y最小值=10060．此时200-x=200（吨），220-x=220（吨），80+x=80+0=80（吨）．答：最少运费的调运方案是从A城运往李庄200吨，从B城运往张村220吨，运往李庄80吨，此时最少运费为10060元．综合应用题本节知识的综合应用包括：（l）与方程知识的综合应用；（2）与代数知识的综合应用．例 3 某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品．（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产后所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束后，甲、乙两生产线的总产量相同；（2）在直角坐标系中作出上述两个函数在第一象限内的图象，观察图象分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高．[分析] 此题涉及求解读式及函数与方程的关系，并利用一次函数的图象解决实际问题．解：（1）由题意可知，甲生产线生产时对应的函数关系式为y=20x+100．乙生产线生产时对应的函数关系式为y=30x．令20x+200=30x，解得x=20．∴当第20天结束时，两条生产线的总产量相同．（2）由（1）可知，甲生产线所对应的函数图象一定经过两点A（0，200），B（0，600），乙生产线所对应的函数图象一定经过两点O（0，0）和B（20，600），画出两个函数图象如图11－42所示．由图象可知，第15天结束时，甲生产线的总产量高；第25天结束时，乙生产线的总产量高．学生做一做随着教案手段不断更新，要求计算器进入课堂，某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量x（万个）与单价y1（万元）之间的函数关系如图11－43所示，需求量x （万个）与单价y 2（万元）之间的函数关系也如图11－43所示，如果你是这个电子工厂厂长，应计划生产这种计算器多少个，每个售价多少元，才能使市场达到供需平衡？老师评一评本题涉及求一次函数解读式及方程的有关知识．由题意设供应线y 1=k 1x+b 1，需求线y 2=k 2x+b 2,由图象可知,y 1的图象过点（0，80），（20，60）两点，∴⎩⎨⎧+⋅=+⋅=,2060,0801111b k b k ∴⎩⎨⎧=-=.80,111b k ∴y 1=-x+80.由图象可知，y 2的图象过点（0，60），（30，70）两点， ∴⎩⎨⎧+⋅=+⋅=,3070,0602222b k b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.60,3122b k当供需平衡时，y 1=y 2. ∴806031+-=+x x ，∴x=15. ∴当x=15时，y 1=y 2=65.∴生产这种计算器15万个，每1万个售价65万元（即每个售价65元）时，能使市场达到供需平衡．探索与创新题本题主要考查利用函数的观点来看待方程（组），利用函数图象解决实际问题．例 4 （2003·黄冈）在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （时）之间的关系近似地满足如图11-44所示的折线．（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y 与时间t 之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据临床观察，每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？（3）假设某病人一天中第一次注射药液是早晨6点，问怎样安排此人从6：00到20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？[分析] （1）此图象是由两条线段组成的，利用待定系数法可分别求出这两条线段的函数关系式；（2）从图中发现，当y=4时，在这两条线段上都有对应的时间t ，这两个时间的差就是有效时间，而正比例函数中的对应时间就是控制病情有效时间的开始；（3）利用函数图象及病人体内的药液含量求出时间．解：（1）当0≤t ≤1时，设y=k 1t ，则6＝k 1·1，∴h 1=6，∴y=6t.当1﹤t ≤10时，设y=k 2t+b ，∴⎩⎨⎧+⋅=+⋅=,100,1622b k b k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,320,322b k∴y=-32032+t . ∴y 与x 之间的函数关系式是 y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤).101(32032),10(6t t t t （2）当0≤t ≤1时，令y=4，即6t=4，∴t=32；当1﹤t ≤10时，令y=4，即-32t+320=4,∴t=4. ∴注射药液32小时后开始有效，有效时间长为4-31032=（时）. （3）设第二次注射药液的时间是t 1小时后，则-32t+320=4,∴t 1=4（时）. ∴第二次注射药液的时间是10：00.设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液t 2小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和,∴-32t 2+32320-(t 2-4)+320=4,∴t 2=9（时）. ∴第三次注射药液的时间是15：00.设第四次注射药液的时间是在第一次注射药液t 3小时后，此时体内不再含有第一次注射的药液（∵t ﹥10），体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和，∴-32（t 3-4）+32320-（t 3-9）+320=4, ∴t 3=1321(时). ∴第四次注射药液的时间是19：30．∴安排此人注射药液的时间分别是6：00，10：00，15：00，19：30．这样安排才能使病人的治疗效果最好．中考展望中考命题总结与展望本节是一次函数的实际应用，在近几年中考中占有很大比重，许多省市的中考题都有这部分内容，尤其是用函数的观点看待方程（组）、不等式和几何知识等，利用一次函数解决实际问题，题型多样化，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．中考试卷预测例1 （中考预测题）如图11－45所示，弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间是一次函数关系，则该弹簧挂9km 物体时的长度为cm ．[分析] 设y ＝kx+b ，把点（5，4．5），（20，22）代入解读式可得⎩⎨⎧+=+=,2022,55.4b k b k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.34,67b k ∴y=67x-34. ∴当x=9时，y=67×9-34=655(cm). ∴当弹簧挂9kg 物体时，弹簧总长为655cm. 答案：655 例 2 （2004·南通）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0．009千瓦）的节能灯，售价49元／盏，另一种是40瓦（即0．04千瓦）的白炽灯，售价18元／盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦·时0．5元．（1）设照明时间是x 小时，请用含x 的代数式分别表示用一盏节能灯和一盏白炽灯的费用y （元）；（注：费用=灯的售价+电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏；①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？②分别画出两个函数的图象，利用函数图象判断：a.照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；b．照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低．（3）小刚想在这两种灯中选购两盏．假定照明时间是3000小时，使用寿命就是2800小时，请你帮助他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由．[分析] 本题关键求出照明时间x（时）与费用y（元）之间的函数关系.解：（1）选用一种节能灯，费用y（元）与照明时间x（时）之间的函数关系式是y=49+0．009×O．5x＝0.0045x+49（0≤x≤2800）；选用一种白炽灯，费用y（元）与时间x（时）之间的函数关系式是y=18+0．04×O．5x＝O．02x+18（0≤x≤2800）．（2）①由题意可知，0．0045x+49=0．02x+18，∴x＝2000．∴照明时间在2000小时时，两种灯任选其一即可．②画出这两个一次函数的图象如图11－46所示．由图象可知，a.当照明范围是0≤x≤2000时，使用白炽灯费用低．b．当照明范围是2000﹤x﹤2800时，使用节能灯费用低．（3）分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则总费用是49×2+0．0045×3000=111．5（元）.②如果选用两盏白炽灯，则总费用是18×2十O．O2×3000=96（元）③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低，总费用是49+18+O．O045×280O+0．02×（3000-280O）=83．6（元）．综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时，费用最低．【说明】（3）问中③也可设节能灯用t1小时，则白炽灯用（3000-t1）小时，总费用为y=49+0.0045t1+18+0.02（3000-t1）=127-0.0155t1（0≤t1≤2800）.∵-0.0155﹤0，∴y随t1的增大而减小.∴当t1=2800时，y最小值=127-0.0155×2800=83.6（元）.此时，节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，所以，应采用③，两盏灯各买1盏，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，此时费用最低.例 3 （2004·四川）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？[分析] 本题主要考查用函数观点来解决实际问题，关键是正确找出y与x之间的函数关系式．解：（1）此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式是y=6x·150+5（20-x）·260=26000-400x（0≤x≤20）．（2）当y≥24000时，有26000-400x≥24000，∴x≤5，∴20-x≥15．∴要想使每天车间所获利润不低于24000元，至少要派15名工人去制造乙种零件才合适。

人教版八年级数学上册《十四章一次函数. 14.3 用函数观点看方程(组)与不等式.》优质课教案_3

一次函数与二元一次方程组教学目标：1.理解一次函数与二元一次方程的关系，会用图象法解二元一次方程组。

2.学习用函数的观点看待解方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法。

3.经历图象法解方程组的探究过程，学会用联系的观点理解数学问题的辩证思想。

教学重点：二元一次方程组与两直线交点的对应关系的理解教学难点:实际应用问题的探究建模教学设计一、情景引入我们已经学会了用函数的观点看待一次方程的解和一元一次不等式的解。

我们今天要学习的内容是：如何用函数的观点来看待二元一次方程的解与二元一次方程组的解。

二、互动新授1、从函数的角度看二元一次方程的解已知二元一次方程853=+y x ，如何用含有x 的式子表示y ？二元一次方程一次函数5853853+-=⇔=+x y y x 是不是任意二元一次方程都可以转化成一次函数的形式呢？bc x b a y c by ax +-=⇔=+ 2、一次函数5853+-=x y 图象上任意取一点()y x ,，则y x ,一定是二元一次方程853=+y x 的解吗？归纳小结：每个含有未知数y x ,的二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线，这条直线上的每个点的坐标()y x ,都是这个二元一次方程的解。

3、从函数的角度看二元一次方程组的解问题3 1号探测气球从海拔5m 处出发，以min 1m 的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15m 处出发，以min 5.0m 的速度上升，两个气球都上升了1h 。

（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔高度y 关于上升时间x 的函数关系（2）是否存在某一时刻，两个气球处于同一高度？如果能，什么时刻，1号气球的高度与2号气球的高度相等？位于什么高度？（3）什么时候，1号气球的高度比2号气球的高度低？（4）什么时候，1号气球的高度比2号气球的高度高？归纳小结：由含有未知数y x ,的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。

人教版八年级数学上册《十四章一次函数. 14.3 用函数观点看方程(组)与不等式.》优质课教案_15

一次函数与二元一次方程（组）课程
一．课题简述
二．教学任务
1
对应关系 2
三．教材分析
本节课是人教版八年级下册第十九章第二节第三课时。

通过本节课的学习，学生不仅能从函数的角度动态地分析方程（组）、不等式，提高认识问题的水平，而且能感受数学的统一美。

四．学情分析
学生已经掌握二元一次方程（组）和一次函数的基础知识，在作一次函数图象时，学生已建立初步的数（代数表达式）形（图象）结合的意识，此前，学生又已经探究过一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系。

在此认知基础上，教师可在知识关节点上为学生创设合理的问题情境以调动学生的内驱力。

同时八年级的学生普遍具有求知欲高、模仿能力强，思维多依赖于具体直观形象的特点；进而要通过一次函数与二元一次方程（组）的联系，强化了数形结合思想的应用。

要强调学生的观察，让学生有交流和表达自己意见的时间。

让学生在实践经验中体会方程和函数的联系。

五．教学过程
六. 课后作业
教材第129页第6题第9题
设计意图：巩固所学知识，并能解决实际问题
七．板书设计
19.2.3一次函数与二元一次方程（组）
一，一次函数与二元一次方程的关系
问：1，2x+y =3 用x表示y
2 ，y= 2x-
3 画出函数图像
关系：一一对应的关系
二，利用函数图像解二元一次方程组
问：1直线y=x+1与y= -x+1有交点吗？
总结，解二元一次方程的三个方法，代入法，加减消元法，图像表示法
三，随堂练习
例1，利用图像解二元一次方程组y=3/2x+6, 2/3x-y=-2
四，作业布置
教材第129页第6题第9题。

用函数的观点看方程与不等式

用函数的观点看方程与不等式一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）通过学习本节内容，不仅可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力.这也从一个侧面反映了函数概念的作用.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。

教学重点：一次函数与方程（组）及不等式的关系教学难点：用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。

二、知识疏理例1：（2008•台州）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：（1）请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：①______；②______；③______；④______；（2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≥k 1x+b1的解集是______．例2．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x=3时，y1=y2；④当x＞3时，y1＜y2中，正确的判断是__ __．1．如果直线y=3x+6与y=2x+4交点坐标为（a，b），则x ay b=⎧⎨=⎩是方程组_______的解（）A．3624y xy x-=⎧⎨+=-⎩B．3624y xy x-=⎧⎨-=⎩C．3634x yx y-=⎧⎨-=⎩D ．3624X Y X Y -=-⎧⎨-=-⎩2．已知y 1=-x+1和y 2=-2x -1，当x>-2时y 1>y 2；当x<-2时y 1<y 2，则直线y 1=-x+1和直线y 2=-2x -1的交点是（） A ．（-2，3） B ．（-2，-5） C ．（3，-2） D ．（-5，-2） 3．已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，则直线y=2x+1与y=-x+4的交点是（） A ．（1，0）B ．（1，3）C ．（-1，-1）D ．（-1，5） 4．已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2，0），则关于x 的不等式2x+k<0 的解集是（） A ．x>-2B ．x≥-2C ．x<-2D ．x≤-2 5．已知关于x 的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x 轴的交点是（）A ．（0，1）B ．（-1，0）C ．（0，-1）D ．（1，0）1、温故知新（与本讲有联系的原来知识点）我市移动通信公司开设了两种通信业务：“全球通”使用者先缴50远基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元; “神州行”不缴月基础费,通话1分钟,付电话费0.6元(这里均指市内通话)。

203用函数观点看方程(组)与不等式导学案.docx

课题：20. 3. 1 一次函数与一元一次方程课型：新授课课时：1 姓名:主备人：周晓霞审核人：周亚非使用时间：2013. 10班级:【学习目标】1.了解一次函数与一元一次方程的联系；2.能通过一次函数的图象表示一元一次方程的解.【重点】一次函数与一元一次方程的关系.【难点】用一次函数的图象求一元一次方程的解.一、课前预习导学1.先精读教材70页〜71页，用红笔进行勾画，体会本节课的主要内容是:2.(1)解方程2x+2二0；(2)对于一次函数y=2x+2,当函数值为0吋，自变量x的值是多少?(3)在平面直角坐标系屮画出函数y二2x+2的图象，指出其与x轴、y轴交点的坐标分别是多少？“・10. 1 2 x(4)问题(1)与问题(2)之间有什么关系？从数上看：方程2x+20二0的解就是函数y二2x+20的函数值为_____ 时 ______ 的值.从形上看：方程2x+20二0的解就是函数y二2x+20的图象与____ 轴交点的_____ 坐标的值.3.是不是任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b二0 (a、b是常数，aHO)的形式？二、课上探究导学【活动1】1.解方程ax+b=O (a、b为常数，aHO)2.求自变量x为何值时，一次函数y二ax+b的值为0?思考：由上面两个问题的关系，你能进一步得到“解方程ax+b二0 (a、b为常数，aHO)” 与“求自变量x为何值时，一次函数y二ax+b的值为0”有什么关系吗？结论：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b二0 (a, b为常数，a^O)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为__吋，求相应的_________________ 的值•从图象上看，这相当于已知直线y二ax+b，确定它与轴交点的的值.知识点：由一元一次方程解一次函数1. 如图，一次函数y 二kx+b 的图象与x 轴的交点坐标为（2, 0）,则下列说法：①y 随x 的增大而减小；②b>0；③关于x 的方程kx+b 二0的解为x 二2.其中说法正确的有 _________ .2. 如果一次方程2x-5二0的解是x 二一，则一次函数y 二2x-5与x 轴 2的交点坐标为 _______ ,与y 轴的交点坐标为 __________ .（2）当y=0时，x 等于多少？（4）图象与坐标轴闱成的三角形的而积是多少?3. 一次函数y=2x-4的图象与x 轴交点坐标是与y 轴交点坐标是 4. 已知关于x 的方程ax~5=7的解为x 二1, 则一次函数y=ax-12与x 轴交点的坐标为5.右图是函数y 二kx+b 的图象，则方程kx+b 二0的解为（）A. x=3B. x=2C. x=0D. x=~2【活动2】例1:用图象法求方程3x-3-0的解. /1 - I 』 I 1 ・1 . 1X・2・例2：（用两种方法求解）一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过儿秒它的速度为17米/秒？练习：画出函数y 二-x+2的图象, 并利用图象冋答:（1）当x=0时，y 等于多少？（3）方程-x+2二0的解是多三.学后（或教后）反思哈三十九中学八学年数学学科导学案编号— 课题：20.3. 2 —次函数与一元一次不等式课型：新授课课时：1姓名：____________主备人：周晓霞审核人：周亚非使用时间：2013. 10 班级： ____ 【学习目标】1. 了解一次函数与一元一次不等式的关系；2. 掌握一次函数图象求解一元一次不等式解集的方法；3. 数形结合的思想看一次函数与一元一次不等式的关系.【重点】用函数的方法求一元一次不等式的解集.【难点】二次函数图象与一元一次不等式的关系. 一、课前复习导学1. 直线y 二2x+4与x 轴的交点是 ________ .2. 直线y 二kx+3与x 轴的交点是(1, 0),则k 的值是 ___________ .3. 已知一次函数y=(m-3)x+ (n-2)的图象经过原点，则山，n 的值为()A. mH-3, n=2B. m=-3, nH2C. mH3, n=2D. m=3, n 二24. 如图，当x= ____ 时，一次函数y=x-2的值为0； x 二2是一元一次方程 _________ 的解; 当x=3时，函数y 二x-2的值是 ____ :当x=4时，函数y=x-2的值是 ________ .思考：从图象你能看出当x 为何值时，函数y 二x-2的值大于0吗? 二、课前预习导学阅读教材P71-73,完成下列问题:(2)当自变量x 为何值时，函数y 二2x-4的值大于0?(3)从图象上看，(2)是怎样的一种情况？答：对于(2),从图彖上看，函数y = 2x-4的值大于0时，即直线 y = 2x-4上的点在___________________ ,此吋对应的x _______________ ・(4)思考：在解决问题(1) (2)的过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？答：从数的角度看，不等式5x+6>3x+10的解集就是函数y 二2x-4的值大于0时x 的_____ ;从形的角度看，解不等式5x+6>3x+10实际就是确定直线 ______________________ 在轴 ___ 方图象上的点对应的 ___________ 的值. 三、课上探究导学【活动1】问题1：解不等式ax+b>0；问题2：求自变量x 在什么范围内，一次函数y 二ax+b的值大于0?y//f0 /2x-4 / (1)解不等式 5x+6>3x+10思考：由上面两个问题的关系，你能进一步得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y二ax+b的值大于0”有什么关系吗？结论：从数的角度看：求ax+b>0的解x为何值吋，函数________________ 的值0；从形的角度看：求ax+b>0的解<^>确定直线 _______________________ 在轴方的图象上的点所对应的 __________ 的值.【活动2】思考：解不等式2x-4<0与怎样的一次函数问题是同一个问题？从图彖上看它是一个什么问题？归纳：由于任何一元一次不等式都可以转化为a x +b>0或a x +b<0 @、b为常数，a^O) 的形式，所以解一元一次不等式可以看作，当一次函数y=ax+b的值___________ 或____ 0时，求相应的_________ 取值范围；也可看作，函数y=ax+b的图象在轴方或方的图象上的点对应的 __________ 的值.【活动3】例3：用画函数图象的方法解不等式5 x +4<2 x +10.练习：画出函数y二-2x-5的图彖，观察图象回答下列问题:(1) x 取何值时,-2x-5=0； (2) x 取何值时，-2x-5>0；(3) x 取何值时，-2x-5<0； (4) x 取何值时，-2x-5<3.四、学后(或教后)反思哈三十九中学八学年数学学科导学案编号—课题：20.3. 3 —次函数与二元一次方程（组）课型：新授课课时：1姓名：_____________ 主备人：周晓霞审核人：周亚非使用时间：2013. 10 班级：____ 【学习目标】1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用一次函数图象解二元一次方程组；2.能综合应用一次函数及二元一次方程（组）知识解决相关实际问题.【重点】归纳图象法解二元一次方程组的具体方法；灵活运用函数知识解决实际问题.【难点】灵活运用函数知识解决相关实际问题.一、课前复习导学1.已知2x-y=l,用含x的代数式表示y,则y= _________________ ・2.方程2x-y=l的解有 __________ 个.\x = 13.\是方程2x-y二1的一个解吗？[y = 14.（1, 1）是否是直线y二2x-l上的一个点？二、课前预习导学阅读教材P74-75,请你回答：通过对上述问题的解决，结合教材你认为一次函数与二元一次方程有何关系？一次函数与二元一次方程组有什么关系？三、课上探究导学【活动1] 一次函数与二元一次方程的关系将方程x-y=l化为一次函数y二ax+b的形式，则y= ________并在平面直角坐标系中画岀它的图象.思考：（1）在直线y二x-l上任一点（x, y）,则x、y的值一定是方程x-y=l的解吗？验证一下.（2）任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数的形式吗？一定有一条直线与这个二元一次方程对应吗？该直线上的任意一点的坐标都是这个二元一次方程的解吗？归纳：一次函数的解析式y二kx+b （kHO）本身就是一个________ 方程，直线y二kx+b （k H0）上有无数个点，每个点的横、纵坐标都对应__________________________________ . 【活动2】一次函数与二元一次方程组的关系二元一次方程组\X~y = 1中的两个方程对应着两条直线y= ________________ 和y二 _______ , 12x+ y = 5在同一直角他标系屮画出它们的图象.思考：（1）二元一次方程X-y二1和2x+y二5的公共解（即方程组的解）是_____________ ；直线y二x-1与y二-2x+5的公共点（即交点）坐标是____________ .（2）观察两直线的交点坐标与方程组的解之间有什么关系？o由此猜想：是否任意两个一次函数图象的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？归纳：从“数”的角度看：解方程组相当于考虑，当___________ 为何值吋两个相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线 ____________ ；练习：方程组j2%+y = 3的解是 ___________ ,由此可知，一次函数y=-2x+3与y二丄x-2的图象\x-2y = 4 2必有一个交点，且交点坐标是__________【活动3】运用一次函数的知识解决相关的实际问题例题一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分钟0. 1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？分析：计费与_________ 有关，若设上网时间为x分，A、B两种计费方式的函数关系式分别是什么？解:思考：（1）设上网时间为x分钟，方式B与方式A两种计费的差额为y元，则y二___________能否利用这个函数关系式解决这个问题？（2）请直接回答，选择哪种上网收费方式更合算?四、学后（或教后）反思。

人教版八年级数学上册《十四章一次函数. 14.3 用函数观点看方程(组)与不等式.》优质课教案_5

14.3.3一次函数与二元一次方程（组）
教学目标：
（一）知识与技能
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系。

2.会利用函数图象解二元一次方程组。

3.通过学习了解变量问题，利用函数观点解二元一次方程组的优越性。

1.经历观察、思考等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点．
2.体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的
能力。

3.体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神。

（三）情感态度与价值观
1.通过对一次函数与二元一次方程（组）的关系的探索，培养学生严谨的科学态度及勇于探索的精神；
2.通过从函数的角度看问题，让学生体会数学的价值。

教学重点：探索一次函数与二元一次方程（组）的关系
教学难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。

教学方法：引导─启发，思考─探究．
教具准备：多媒体演示．
教学程序设计：
板书设计。

用函数的观点看方程跟不等式教学设计

人教版八年级数学上册《十四章 一次函数. 14.3 用函数观点看方程(组)与不等式.》优质课教案_1

人教课标版初中数学八年级上第十四章第3节《用函数观点看方程(组)与不等式》教案

19.2.3一次函数与方程、不等式 教学设计