高考数学考前必看系列材料之二

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高考数学(文科)总复习考点解析及试题第二章函数导数及其应用

高考数学（文科）总复习考点解析及试题（解析版）第二章函数、导数及其应用本章是高考复习中十分重要的一章，共有13个考点如下：考点1 函数及其表示考点2 函数的定义域和值域考点3 函数的单调性考点4 函数的奇偶性与周期性考点5 二次函数与幂函数考点6 指数与指数函数考点7 对数与对数函数考点8 函数的图象考点9 函数与方程考点10 函数模型及其应用考点11 变化率与导数、导数的计算考点12 导数的应用(一) 考点13 导数的应用(二)考点测试1 函数及其表示高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中高等难度考纲研读1．了解构成函数的要素，了解映射的概念2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3．了解简单的分段函数，并能简单应用一、基础小题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 答案 B解析因为g (π)＝0，所以f [g (π)]＝f (0)＝0，故选B ． 2．下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )答案 A解析函数图象上一个x 值只能对应一个y 值．选项A 中的图象上存在一个x 值对应两个y 值，所以其不可能为函数图象，故选A ．3．下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )＝x 与g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数．故选C ．4．若点A (0，1)，B (2，3)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，则一次函数的解析式为( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x ＋1 D ．y ＝2x －1 答案 C解析将点A ，B 代入一次函数y ＝ax ＋b 得b ＝1，2a ＋b ＝3，则a ＝1．故一次函数的解析式为y ＝x ＋1．故选C ．5．已知反比例函数y ＝f (x )．若f (1)＝2，则f (3)＝( ) A ．1 B ．23 C ．13 D ．－1答案 B解析设f (x )＝k x (k ≠0)，由题意有2＝k ，所以f (x )＝2x ，故f (3)＝23．故选B ．6．已知f (x ＋1)＝x 2＋2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．x 2＋4x ＋6 B ．x 2－2x ＋2 C ．x 2＋2 D ．x 2＋1 答案 C解析解法一：由f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋2得f (x )＝x 2＋2．故选C ．解法二：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋3＝t 2＋2，故f (x )＝x 2＋2．故选C ．7．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点个数可能是( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 答案 C解析函数的图象与直线有可能没有交点．如果有交点，那么对于x ＝1，f (x )仅有一个函数值与之对应．故选C ．8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )答案 B解析兔子的速率大于乌龟，且到达终点的时间比乌龟长，观察图象可知，选B ． 9．下列从集合A 到集合B 的对应中是映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0，1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0)，0(x <0)C ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应关系f ：x →y ＝1xD ．A ＝{0，1，2，9}，B ＝{0，1，4，9，16}，对应关系f ：a →b ＝(a －1)2答案 B解析 A 项中，对于集合A 中的元素3，在f 的作用下得0，但0∉B ，即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 项中，对于集合A 中任意一个非负数在集合B 中都有唯一元素1与之对应，对于集合A 中任意一个负数在集合B 中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射；C 项中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应，故这个对应不是映射；D 项中，在f 的作用下，集合A 中的元素9应该对应64，而64∉B ，故这个对应不是映射．故选B ．10．若函数f (x )如下表所示：则f [f (1)]＝________．答案 1解析由表格可知，f (1)＝2，所以f [f (1)]＝f (2)＝1．11．已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝2x 2－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．答案831解析令1－2x ＝12，得x ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×142－116＝123116＝831．12．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0解析当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1．当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14．综上，函数f (x )在[－1，＋∞)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6． ∴f (－2)＋f (log 212)＝9．14．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 答案 D解析对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 错误．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错误．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错误．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D ．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0，1]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C解析解法一：①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4，2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23．故选C ．解法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，而f [f (a )]＝2f (a )，∴f (a )≥1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得23≤a <1或a ≥1，∴a ≥23，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ． 16．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4， ∴f (15)＝f (－1)＝12，f 12＝cos π4＝22，∴f [f (15)]＝f 12＝22．17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0．当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14．18．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下：映射f 的对应关系映射g 的对应关系则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析根据映射g 的对应关系，可得g (1)＝4，再根据映射f 的对应关系，可得f (4)＝1，故选A ．19．下列函数为同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝(x ＋1)2和y ＝x ＋1 D ．y ＝lg x 2和y ＝2lg x 答案 A解析对于A ：y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t 的定义域都是R ，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B ：y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝1的定义域是R ，两函数的定义域不同，∴不是同一函数；对于C ：y ＝ (x ＋1)2＝|x ＋1|和y ＝x ＋1的定义域都是R ，但对应关系不相同，∴不是同一函数；对于D ：y ＝lg x 2的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝2lg x 的定义域是{x |x >0}，两函数的定义域不同，∴不是同一函数．故选A ．20．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≥2)，log 2x (0<x <2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A ．－2B ．8C ．1D ．2 答案 D解析当m ≥2时，由m 2－1＝3，得m 2＝4，解得m ＝2；当0<m <2时，由log 2m ＝3，解得m ＝23＝8(舍去)．综上所述，m ＝2，故选D ．21．某工厂八年来某种产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量的增长速度越来越快； ②前三年中，产量的增长速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．①④ 答案 A解析由函数图象可知，在区间[0，3]上，图象凸起上升，表明年产量增长速度越来越慢；在区间(3，8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，所以②③正确．故选A ．22．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1(λ∈R )，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A ．(0，2]B ．[0，2]C ．[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 C解析当a ≥1时，2a ≥2，∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )，∴λ∈R ；当a <1时，f [f (a )]＝f (λ－a )＝2λ－a，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1，由题意知λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2．综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．故选C ．23．已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________．答案 3解析由题意，得f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，－ab －b ＝－3，因为a >0，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3．24．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________．答案 5解析 ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5．25．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________．答案 f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]解析 f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，t ∈[0，2]，则cos x ＝1－t ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0，2]，则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]．二、高考大题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x <c ，2－xc 2＋1，c ≤x <1，且f (c 2)＝98．(1)求常数c ； (2)解方程f (x )＝98．解 (1)∵0<c <1，∴c 2<c ， ∴f (c 2)＝c 3＋1＝98，即c ＝12．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x ＋1，12≤x <1.由f (x )＝98得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，12x ＋1＝98或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <1，2－4x＋1＝98，解得x ＝14或x ＝34．2．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1． (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1．因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1．(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝32，所以g (x )在[－1，1]上单调递减．故只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1．故实数m 的取值范围是(－∞，－1)．3．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1)上有表达式f (x )＝x 2．(1)求f (－1)，f (1．5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解 (1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1．5)＝f (1＋0．5)＝－12f (0．5)＝－12×14＝－18．(2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝x 2；当x ∈[1，2)时，x －1∈[0，1)，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2， f (2)＝－12f (1)＝14f (0)＝0；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝2，－12(x －1)2，x ∈[1，2)，x 2，x ∈[0，1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1).4．某公司研发出一款产品，批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查．调查结果发现：日销量f (t )与天数t 的对应关系服从图①所示的函数关系：每件产品的销售利润h (t )与天数t 的对应关系服从图②所示的函数关系．图①由抛物线的一部分(A 为抛物线顶点)和线段AB 组成．(1)设该产品的日销售利润Q (t )(0≤t ≤30，t ∈N )，分别求出f (t )，h (t )，Q (t )的解析式；(2)若在30天的销售中，日销售利润至少有一天超过8500元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由．解 (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－110t 2＋4t ，0≤t ≤20，－t ＋60，20<t ≤30，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧20t ，0≤t ≤10，200，10<t ≤30.由题可知，Q (t )＝f (t )h (t )， ∴当0≤t ≤10时，Q (t )＝－110t 2＋4t 20t ＝－2t 3＋80t 2；当10<t ≤20时，Q (t )＝－110t 2＋4t ×200＝－20t 2＋800t ；当20<t ≤30时，Q (t )＝(－t ＋60)×200＝－200t ＋12000．∴Q (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t 3＋80t 2，0≤t ≤10，－20t 2＋800t ，10<t ≤20，－200t ＋12000，20<t ≤30(t ∈N )．(2)该产品不可以投入批量生产，理由如下：当0≤t ≤10时，Q (t )max ＝Q (10)＝6000，当10<t ≤20时，Q (t )max ＝Q (20)＝8000，当20<t ≤30时，Q (t )<Q (20)＝8000， ∴Q (t )的最大值为Q (20)＝8000<8500．∴在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过8500元，不可以投入批量生产．考点测试2 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D ．－12，0答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C 解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案－14，＋∞解析当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞． 12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________．答案 [－1，1) 解析由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．13．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 [2，＋∞)解析由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．答案 [－3，1]解析若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案－32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案 (1，2]解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．19．函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞) C ．[－1，0) D ．R 答案 B解析函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________．答案 [0，8]解析当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．二、高考大题1．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0，当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.2．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1． 4．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3．(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)，令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．考点测试3 函数的单调性高考预览：本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查。

2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料1-15

2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之一亲爱的同学们，2012年江苏高考在即，我们给大家精心整理了《2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料》，每一天的材料由三个部分组成，分别为《基本知识》、《思想方法》和《易题重现》，这些内容紧密结合2012年的数学考试大纲，真正体现狠抓双基、突出能力、回归课本、强调思想方法、讲究考试答题技术，引领你们充满自信，笑傲高考．请每天抽出40分钟读和写．边读边回想曾经学习过的知识，边读边思考可能的命题方向，边读边整理纷繁复杂的知识体系等非常有必要！衷心祝愿各位考生在高考中都取得满意的成绩！一、基本知识（必做题部分）（一）集合（必修1 第一章）1、集合及其表示（A ）2、子集（B ）3、交集、并集、补集（B ）（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n，真子集（非空子集）个数为21n-；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况；（3）(),()I I I I I I C AB C A C B C A B C A C B ==．注：①理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及{}x y y x lg |),(=．②数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中．注意∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．注意补集思想的应用（反证法，对立事件，排除法等）．（二）函数概念与基本初等函数（必修1 第二章）1、函数的概念（B ）：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一．判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B 中可以有相同的象．2、函数的基本性质（B ）函数定义域的求法：函数解析式有意义；符合实际意义；定义域优先原则！复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）．函数解析式的求法：代入法，凑配法，换元法，待定系数法，函数方程法．函数值域的求法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题．求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）．如：求223y x x =-+，[,2]x a a ∈+的最大值与最小值（最大值分两类；最小值分三类）．（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．如：求()sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域．（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性．（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性．如：函数()2x af x x +=+在上(2,)-+∞单调递减，求a 的取值范围．（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、绝对值的意义等，注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧．如：求函数()f x （距离之和或向量法）．（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式．常见题型：①2b y k x =+型，可直接用不等式性质，如：214y x =+；②2bxy x mx n=++型，先化简，再用均值不等式，如：22425x y x x =-+(0)x >；③22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法（或分离常数化为②型）；④2x m x n y mx n ''++=+型，可县化简为b y ax c x=++(0,0)a b >>用均值不等式法或函数的单调性解决．（7）不等式法――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧．如：0,0x y >>，且x y +，求x y +的最大值．又如：求2214()110f x x x=+--，1x << （8）导数法――一般适用于高次多项式函数．如：求()ln f x x x =，0x >的极小值．提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论．如：已知函数(37)2,1()log ,1aa x x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩单调递减，求a 的取值范围．复合函数的有关问题:（1）复合函数定义域求法：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）．（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性．注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f (()0)f x ≠； ⑶)(x f 是偶函数()()()(||)()()01()f x f x f x f x f x f x f x -⇔-==⇔--=⇔= (()0)f x ≠； ⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f （可用于求参数）；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑹若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性．如：())f x x =是函数．函数的单调性⑴单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，)0(0)()(21><-x f x f )0(0)]()()[(2121<>--⇔x f x f x x )0(0)()(2121<>--⇔x x x f x f ；⑵单调性的判定:①定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（同增异减）；④图像法．注：证明单调性要用定义法或导数法；求单调区间，先求定义域；多个单调区间之间不能用“并集”、“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．函数的周期性⑴周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期．所有正周期中最小的称为函数的最小正周期．如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期．⑵函数周期的判定：①定义法（试值）； ②图像法； ③公式法（利用⑶中的结论）． ⑶与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2； ②()y f x =对x R ∈时，()()f x a f x +=-（或1()()f x a f x +=-），则()y f x =是周期为2a的周期函数；③若()y f x =是偶函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ④若()y f x =是奇函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为4a 的周期函数．3、指数与对数（B ）(1)log (0,1,0)ba a Nb N a a N =⇔=>≠>； (2)log log (0,1,0)log b a b NN a b a b N a=>≠>、、． 4、指数函数的图象与性质（B ）x y a =（要对01a <<以及1a >展开讨论．）5、对数函数的图象与性质（B ）log a y x =（要对01a <<以及1a >展开讨论．）注：同底的对数函数和指数函数y x =关于对称．（如2xy =与2log yx =）如：方程230x x +-=与2log 30x x +-=的根之和为．6、幂函数（A ）在考查学生对幂函数性质的掌握和运用函数性质解决问题时，涉及的幂函数()f x x α=中的α常在集合111{2,1,,,,1,2,3}232---中取值． 7、函数与方程（A ） 8、函数模型及其应用（B ）补充：1、基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：αx y=（)R ∈α ； ⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x ya ； ⑷正弦函数:x y sin =；⑸余弦函数：x y cos =； ⑹正切函数：x y tan =； ⑺一元二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠；⑻其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k xky ；特别的xy 1=；函数)0(>+=a x a x y ；函数1y x x=-(0)x ≠．掌握函数(0)ay x a x=+>的图象和性质：（如右图）⑼关注基本初等函数间图像的关系：如：①y x =与xy a =(1)a >相切，则a = ；变：xy a =(1)a >的定义域、值域均为[,]m n (0)n m >>，则a ∈ ． ②2yax =(0)a >与ln y x =相切，则a = ．⑽研究函数①()ln f x x x =(0)x >；②ln ()x f x x=(0)x >2、二次函数：⑴解析式：(0)a > ①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点；③零点式：))(()(21x x x x a x f --=．⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号．⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论．（二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系．） 3、函数图象⑴图象作法：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法． ⑵图象变换：① 平移变换： ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ()()y f x y f x k =→=±，(0)k >———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：ⅰ)()(x f y x f y ω=→=，（)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω1倍；ⅱ)()(x Af y x f y =→=，（)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；③ 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy )(y f x =； ④ 翻转变换：ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；⑶函数图象（曲线）对称性的证明：ⅰ证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；ⅱ证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；注：①曲线1:(,)0C f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=②曲线1:(,)0C f x y =关于直线x a =的对称曲线2C 方程为：(2,)0f a x y -=；③曲线1:(,)0C f x y =关于y x a =+(或y x a =-+)的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=)；④()()f a x f b x +=-()x R ∈−→−()y f x =图像关于直线2a bx +=对称；特别地：()()f a x f a x +=-()x R ∈−→−()y f x =图像关于直线x a =对称； ⑤函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a bx +=对称；4、函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.5、方程()k f x =有解⇔k D ∈(D 为()f x 的值域)；6、恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法：()a f x ≥恒成立⇔max [()]a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min [()]a f x ≤；注意：“,()x R a f x ∀∈≥”与“,()x R a f x ∃∈≥”的区别！ ⑵转化为一元二次方程的根的分布，列不等式（组）求解． 7、实系数一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两根21,x x 的分布问题：上实根分布的情况，得出结果，在令n x =和m x =检查端点的情况．二、思想方法（一）函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想．1、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2、应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3、函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想．三、易题重现1、ax 2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是．2、命题p ：“a 、b 是整数”，是命题q ：“ x 2 + ax + b = 0 有且仅有整数解”的条件．3、设A =(){}6x 4y y ,x +-=，B =(){}3x 5y y ,x -=，则A ∩B = ．4、不等式x 2－3x －132－x≥1的解集是．5、已知A = {}x || x －a |< 4 ，B = {}x || x －2 |>3 ，且A ∪B = R ，则a 的取值范围是．6、已知x + x – 1 = 3，则23x + 23-x 的值为． 7、下列函数中不是奇函数的是．(A) y = (a x + 1)x a x －1 (B) y = a x – a －x 2 (C) y = | x |x (D) y = log a1 + x1－x8、下列四个函数中，不满足f (x 1 + x 22 )≤f (x 1) + f (x 2)2 的是． (A) f (x ) = ax + b (B) f (x ) = x 2 + ax + b (C) f (x ) = 1x (D) f (x ) = － lnx9、函数y = 1x 218-的定义域是___ ___；值域是． 10、函数y =1－( 12 )x 的定义域是___ ___；值域是．11、已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。

2020版高考数学历史专用讲义：第二章 2.2 函数的单调性与最值

§2.2 函数的单调性与最值最新考纲 1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × ) 题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案 24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案 (2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)， ∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,1)解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．答案 2解析当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)． (2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________．答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案 (－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案 [－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎫θ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案 [3，＋∞)解析函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案 {y |y ∈R 且y ≠3}解析 y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B. 思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋d ax ＋b (ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c答案 D解析根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 (2018·四川成都五校联考)设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则f (x )<0的解集是( ) A ．{x |－3<x <0或x >3} B ．{x |x <－3或0<x <3} C ．{x |x <－3或x >3} D ．{x |－3<x <0或0<x <3} 答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，f (－3)＝0， ∴f (－3)＝－f (3)＝0，解得f (3)＝0. ∵函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数， ∴当0<x <3时，f (x )<0；当x >3时，f (x )>0. ∵函数f (x )是奇函数，∴当－3<x <0时，f (x )>0；当x <－3时，f (x )<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π 答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案 (－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4＋a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，23解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x答案 A解析函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)答案 B解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是() A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12C.⎝⎛⎦⎤0，12D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数．∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ，x ≤1，log a x ＋13，x >1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<1－2a <1，0<a<1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －a )2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2] 答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1. 由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9．记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案 6解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0. (1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. (2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案 D 解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2. ∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

2021届高三数学(理) 考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件解析版 Word版含解析

【考点剖析】1.最新考试说明：（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.命题方向预测：（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点. (2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数等知识结合，在复习是要加强对集合、函数、不等式性质等基础知识理解与掌握.3.课本结论总结：（1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2）四种命题及其关系①四种命题及其关系②四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.(3)充分条件与必要条件①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件.②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件4.名师二级结论：(1) 常见结论的否定形式(2)充要条件判定方法①定义法：若p q ⇒，结论是都是大于小于至少一个至多一个至少n 个至多有n个对所有x ，成立p或q p且q对任何x ，不成立否定不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有（1n -）个至少有（1n +）个存在某x ，不成立p ⌝且q ⌝ p⌝或q ⌝ 存在某x ，成立则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 必要不充分条件；若A=B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.③利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若p 则q ”，则有如下结论：（1）若原命题为真逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题为假逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题与逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；（4）若原命题与逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件5.课本经典习题：(1)新课标A 版第8 页习题1.1A 组，第2题【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考点.(2)新课标A 版第12页习题1.2A 组第3题【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性.6.考点交汇展示：(1)与集合交汇例1【2021高考湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“AB A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.(2)与不等式交汇例2【2021高考天津，理4】设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以 “21x -< ”是“220x x +-> ”的充分不必要条件，故选A.（3）与函数交汇例3 【2021高考一轮配套特供】 “10a>10b”是“lg a >lgb”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由10a >10b 得a>b ，由lga>lgb 得a>b>0，所以“10a >10b”是“lga>lgb”的必要不充分条件，选B.（4）与平面向量结合例4【2021北京西城区二模】设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件．（5）与复数交汇例5【2021浙江理 2】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】(a +bi )2＝a 2－b 2＋2abi ＝2i ，于是a 2－b 2＝0，2ab ＝2解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1 ,故选A .（6）与立体几何交汇例6 【2021届陕西高考前30天保温训练17】已知直线a ，b ，平面α，β，则a ∥α的一个充分条件是（）A ．a ⊥b ，b ⊥α B．a ∥β，β∥αC ．b ⊂α，a ∥bD ．a ∥b ，b ∥α，a ⊄α【答案】D(7)与数列交汇例7【2021高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 【考点分类】热点一命题及其关系1. 【2021陕西高考理第8题】原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）（A ）真，假，真（B ）假，假，真（C ）真，真，假（D ）假，假，假【答案】B为真；故选B .2. 【2021高考天津（理）】已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: （） (A) ①②③ (B) ①②(C)①③ (D) ②③【答案】C【解析】由球的体积公式可知：①正确；对③,圆心(0,0)到直线x + y + 1 = 0等于圆的半2径,故正确；而②是错误的，故选C.【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。

高考数学考前必背常用知识归纳

高考数学考前必背常用知识归纳高考数学必背知识点一、三角函数题三角题一般在解答题的前两道题的位置上,主要考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角形等有关内容.三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交汇,是高考中考查的热点.二、数列题数列题重点考查等差数列、等比数列、递推数列的综合应用,常与不等式、函数、导数等知识综合交汇,既考查分类、转化、化归、归纳、递推等数学思想方法,又考查综合运用知识进行运算、推理论证及解决问题的能力.近几年这类试题的位置有所前移,难度明显降低.三、立体几何题常以柱体、锥体、组合体为载体全方位地考查立体几何中的重要内容,如线线、线面与面面的位置关系,线面角、二面角问题,距离问题等,既有计算又有证明,一题多问,递进排列,此类试题既可用传统方法解答,又可用空间向量法处理,有的题是两法兼用,可谓珠联璧合,相得益彰.究竟选用哪种方法,要由自己的长处和图形特点来确定.便于建立空间直角坐标系的,往往选用向量法,反之,选用传统方法.另外,“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点,三视图的巧妙参与也是立体几何命题的新手法,要注意把握.四、概率问题概率题一般在解答题的前三道题的位置上,主要考查数据处理能力、应用意识、必然与或然思想,因此近几年概率题常以概率与统计的交汇形式呈现,并用实际生活中的背景来“包装”.概率重点考查离散型随机变量的分布列与期望、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验与二项分布等;统计重点考查抽样方法(特别是分层抽样)、样本的频率分布、样本的特征数、茎叶图、线性回归、列联表等,穿插考查合情推理能力和优化决策能力.同时,关注几何概型与定积分的交汇考查,此类试题在近几年的高考中难度有所提升,考生应有心理准备.五、圆锥曲线问题解析几何题一般在解答题的后三道题的位置上,有时是“把关题”或“压轴题”,说明了解析几何题依然是重头戏,在新课标高考中依然占有较突出的地位.考查重点:第一,解析几何自身模块的小交汇,是指以圆、圆锥曲线为载体呈现的,将两种或两种以上的知识结合起来综合考查.如不同曲线(含直线)之间的结合,直线是各类曲线和相关试题最常用的“调味品”,显示了直线与方程的各知识点的基础性和应用性.第二,圆锥曲线与不同模块知识的大交汇,以解析几何与函数、向量、代数知识的结合最为常见.有关解析几何的最值、定值、定点问题应给予重视.一般来说,解析几何题计算量大且有一定的技巧性(要求品出“几何味”来),需要“精打细算”,对考生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测.六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题导数题考查的重点是用导数研究函数性质或解决与函数有关的问题.往往将函数、不等式、方程、导数等有机地综合,构成一道超大型综合题,体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题指导思想.鉴于该类试题的难度大,有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道,标准答案提供的解法往往如同“神来之笔”,确实想不到,加之“搏杀”到此时的考生的精力和考试时间基本耗尽,建议考生一定要当机立断,视时间和自身实力,先看第(1)问可否拿下,再确定放弃、分段得分或强攻.近几年该类试题与解析几何题轮流“坐庄”,经常充当“把关题”或“压轴题”的重要角色.高考数学必考知识点1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)高考数学必考公式知识点1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

第一部分层级二专题2 第2讲高考数学(文科)二轮总复习层级2 保分专题2 三角函数与解三角形

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(2)因为 α∈π4，π，所以 2α∈π2，2π，又 sin 2α＝ 55，所以 2α∈π2，π，α∈π4，π2，
所以 cos 2α＝－255.又 β∈π，32π，所以 β－α∈π2，54π，故 cos(β－α)＝－31010，所
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|规律方法 | 1．正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．
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2．三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式． (2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
解：(1)∵S△ABC＝12acsin B＝ 23accos B， ∴tan B＝ 3. 又 0<B<π，∴B＝π3.
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(2)∵sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，
∴b＝2 7.
∴cos
A＝b2＋2cb2c－a2＝22×722＋×222－762＝－
的面积
S＝12bcsin
A＝12×8
3
3×12＝2
3
3 .
[答案]
23 3
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(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为3sain2 A. ①求 sin Bsin C； ②若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长．

高考数学复习点拨2.2教材解读

此，要判断某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程．
在解题时要把握这一点，灵
活确定转化思路和方向．
用心爱心专心
4 ．证明线线平行、线面平行一般用直接证法．证明直线
l 与平面平行，通常有以下
两个途径：①通过线线平行来证明，即证明该直线
l 平行于平面内的一条直线；②通过面
面平行来证明，即证明过该直线 l 的一个平面平行于平面
条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线．因此，在应用该定理时，要防止出现“一条
直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”这种错误．
2 ．两个平面平行问题的判定或证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平
行的问题，即“线面平行，则面面平行” ．必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条
相交直线和另一个平面．
．
5 ．证明线与线、线与面的平行关系的一般思考规律是： “见了已知想性质，见了求证想
判定”，也就是“发展已知，转化结论，沟通已知与未知的关系” ，这是分析问题和解决问题
的一般思维方法．而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
用心爱心专心
3 ．直线与平面平行的判定定理及性质定理的实质就是线线平行与线面平行的转化．性
质定理将空间线面平行关系转化为平面内线线平行关系（降维转化）
，判定定理正好与此相
反，体现了平面与空间的对立统一关系．要学会用转化思想处理立体几何问题，要认真领会
和掌握线线、线面、面面平行的相互转化关系．即：线线平行线面平行面面平行．因
∥.
4 ．平面与平面平行的性质定理指出了两个平面平行时所具有的性质．由平面与平面平
行的定义及直线和平面平行的定义可知：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另

高三数学高考知识点二

高三数学高考知识点二高三数学是学生们备战高考的重点阶段，掌握高考数学知识点是取得优异成绩的关键。

本文将从高考数学知识点二展开，为同学们提供必备的学习参考。

1. 函数函数是高考数学的基础，涉及到的知识点包括函数的定义、性质、图像和应用等。

其中，常用函数包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

一次函数是指函数表达式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数，a不等于零。

一次函数的图像为一条直线，具有单调性和线性关系。

二次函数是指函数表达式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c是常数，且a不等于零。

二次函数的图像为一条抛物线，开口方向由a的符号决定。

指数函数是指函数表达式为y=a^x的函数，其中a是底数，且a大于零且不等于一。

指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的特征。

对数函数是指函数表达式为y=logₐx的函数，其中a是底数，且a大于零且不等于一。

对数函数的图像为一条平滑曲线，与指数函数互为反函数。

函数的应用广泛，例如在经济学、物理学和生物学等领域都有着重要的应用。

因此，对函数的理解和掌握对于高考数学至关重要。

2. 三角函数三角函数是高考数学中必考且重要的知识点，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

三角函数的定义涉及到单位圆、角度制和弧度制等概念。

正弦函数是指以单位圆上的一个点P(x,y)为端点，过点P作一条垂直于x轴的线与单位圆交于一点Q，那么点Q的纵坐标y就是角度x的正弦值。

余弦函数是指以单位圆上的一个点P(x,y)为端点，过点P作一条水平于x轴的线与单位圆交于一点Q，那么点Q的横坐标x就是角度x的余弦值。

正切函数是指以单位圆上的一个点P(x,y)为端点，过点P作一条经过圆心O的射线与单位圆交于一点Q，那么射线OP的斜率y/x就是角度x的正切值。

三角函数在解三角形、几何证明和物理运动等方面具有广泛的应用，同学们应该熟练掌握其定义和性质，灵活运用于解题过程中。

3. 数列数列是由一系列的数字按照一定规律排列而成的序列，高考中常见的数列有等差数列和等比数列等。

高三复习数学知识点必修二

高三复习数学知识点必修二高三是所有中学生最为重要的一年，是他们迎接人生的重要转折点。

而在这个关键的时期，数学作为一门重要的学科，也成为了绝大多数学子的心之刺。

而必修二的数学知识点，更是高三数学复习的基础和关键。

本文将分析和论述高三复习数学知识点必修二的一些重要内容，希望对学生们的备考工作有所帮助。

首先，我们来看看必修二数学的知识点。

必修二主要包括函数与导数、三角函数、数列与数学归纳法、概率与统计四个模块。

其中，函数与导数是必修二数学的核心部分，也是高考数学的重点和难点。

函数是一种非常重要的数学概念，它描述了一种因果关系。

而导数则是函数变化率的描述，是解析几何，微积分等数学领域的基础。

复习函数与导数的内容时，我们要熟悉函数的定义、性质以及导数的定义、计算方法等。

掌握好这些基础知识，对于理解和解题都非常重要。

接下来，我们来看看三角函数。

三角函数是高中数学中的重要内容，它在许多实际问题中都有很大的应用。

复习三角函数的时候，我们要熟悉正弦、余弦、正切等函数的定义和性质，掌握它们的图像和变化规律，能够灵活运用它们求解各种三角函数方程和不等式等。

同时，我们也要注意复习一些特殊角、和差化积公式、倍角、半角等知识点，这些都是解题的常用技巧。

数列与数学归纳法是必修二中的另一模块。

数列是指由一定的规律产生的一系列数的集合。

数列的概念非常重要，因为它与许多实际问题有着密切的联系。

在复习数列和数学归纳法时，我们要熟悉等差数列、等比数列的定义和性质，能够灵活运用它们求解各种数列问题。

另外，数学归纳法也是非常重要的方法，掌握它的思想和应用条件，对于解决一些数学问题有很大的帮助。

最后，我们来看看概率与统计这一模块。

概率与统计是现代社会中非常重要的一门学科，它与我们的日常生活密切相关。

复习概率与统计时，我们要熟悉概率的基本概念和性质，掌握概率计算的方法，能够应用概率解决各种实际问题。

统计也是非常重要的，我们要掌握统计方法和技巧，能够正确地收集、整理和分析数据，从而得出合理的结论和推断。

高考数学复习第二部分专题一常考小题点1

又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,
则 a-2d=a-2× -

6
=
4
3
4
= .故选 B.
3
21/26
-22一、选择题
二、填空题
13.(河南焦作二模,文15)《孙子算经》是我国古代内容极其丰富数
学名著,书中有以下问题:“今有圆窖,周五丈四尺,深一丈八尺,问受
粟几何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八
角形,且高为2直三棱柱,所以该几何体表面积为
1
2×2+2 2×2+2× × 2 × 2=6+4 2.
2
6/26
-7一、选择题
二、填空题
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富数学名著,书中有以下问
题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意
思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥四分之一),米堆
所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次
成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一个质量单位).这个
问题中,甲所得为( B )
5
4
A. 钱
3
B. 钱
4
C. 钱
3
2
5
D. 钱
3
解析: 设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,
天比前一天织得快,而且天天增加数量相同,已知第一天织布5尺,一
个月(按30天计算)总共织布390尺,问天天增加数量为多少尺?该问

高考数学考前10天每天必看系列材料之二

前言：亲爱的同学，敬爱的老师，2006年高考在即，我们精心编写了《2006年高考数学考前10天每天必看系列材料》，每一天的材料由四个部分组成，分别为《基本知识篇》、《思想方法篇》、《回归课本篇》和《错题重做篇》，这些内容紧密结合2006年的数学考试大纲，真正体现狠抓双基、突出能力、回归课本、强调思想方法、讲究考试答题技术，引领学生充满自信，笑傲高考。

衷心祝愿2006届考生在6月高考中都取得满意的成绩。

2006年高考数学考前10天每天必看系列材料之二(2006年5月27日星期六)江苏省溧阳中学王海平一、基本知识篇（二）函数1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知()f x 的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2.函数的奇偶性（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ;（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则(0)0f =（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或1)()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然；（3）曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;（5）若函数y=f(x)对x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称；（6）函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2ba +对称； 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；（6）y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；5.方程k=f(x)有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；6.a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min ;7.（1）n a a b b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +); (2) l og a N=aNb b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N = N ( a>0,a ≠1,N>0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

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考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1．（2011·安徽高考理科·Ｔ3）设f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当x 0 时，2f x 2x x，则f 1（Ａ）－３（Ｂ）－１（Ｃ）１（Ｄ）３【思路点拨】由奇函数的定义有 f ( x) f ( x),所以 f 1 f ( 1).【精讲精析】选 A. 由奇函数的定义有 f ( x) f (x),所以2f 1 f ( 1) [2 ( 1) 1] 3.2. （2011·福建卷理科·Ｔ9）对于函数 f （x）=asinx+bx+c ( 其中，a,b R, c Z), 选取a,b,c 的一组值计算 f （1）和 f （-1 ），所得出的正确结果一．定．不．可．能．是（）A.4 和6B.3 和1C.2 和4D.1 和2 【思路点拨】先求出 f (1)、f ( 1) ，探究 f (1) f ( 1) 与c的关系，然后由c Z 限定 f (1) 和 f (-1 )的取值.【精讲精析】选 D.f (1) a sin1 b c, f ( 1) a sin1 b c, f (1) f ( 1) 2c ，f (1) f ( 1), ,2c 又 c Z f (1)和f ( 1)的值一定不可能是1和23.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+ ）单调递增的函数是A. 3y x B. y x 1 C. 2 1y x D. y 2x【思路点拨】对选项进行逐个判断，一是看是否满足奇偶性，二是检验单调性【精讲精析】选 B. 函数 3y x 是奇函数，故可排除A，当x 0 时，y | x | 1 x 1，是增函数， 2 1y x 是减函数，| | 1x x xy 2 2 ( ) 为减2函数.4.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ3）下列函数中，既是偶数又在0, 单调递增的函数是（）A. 3y x B. y x 1 C. 2 1y x D. y 2x【思路点拨】对选项进行逐个判断，一是看是否满足奇偶性，二是检验单调性【精讲精析】选 B 函数 3y x 是奇函数，故可排除A，当x 0 时，y | x | 1 x 1，是增函数， 2 1y x 是减函数，| | 1x x xy 2 2 ( ) 为减2函数.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ6）若函数 f (x) =x(2x 1)( x a)为奇函数，则a =（A）12（B）23（C）34（D）1【思路点拨】利用奇函数的定义，从 f ( x) f (x) 0恒成立入手，即得．【精讲精析】选A.∵函数 f (x) 为奇函数，∴ f ( x) f (x) 0恒成立．x x即0(2x 1)( x a) ( 2x 1)( x a)恒成立．可化为(2x 1)( x a) (2x 1)( x a) 恒成立．整理得2(1 2a)x 0 恒成立，只有1 2a 0 ，∴1a ．26. （2011·广东高考理科·Ｔ4）设函数 f ( x) 和g( x) 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．f (x) +| g (x) | 是偶函数 B ．f (x) -| g (x) | 是奇函数C．| f (x) | + g( x) 是偶函数 D ．| f ( x) |- g(x) 是奇函数【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性，可由奇偶性的概念进行判断. 【精讲精析】选A.由题意 f ( x) f ( x), g ( x)g( x) . 令F (x) f (x)| g ( x) |，则F ) ( ) | ( )|) | ( ( ) . F (x) 是偶函数. 故选A.( x f x g x f (x g x)| F x7．（2011·北京高考理科·T8）设A(0,0), B(4,0), C(t 4,4), D (t ,4)( t R) ，记N (t) 为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t) 的值域为（）A.{9,10,11}B.{9,10,12}C.{9,11,12}D.{10,11,12}【思路点拨】作图，分别求出t=0,1,2,3,4, ,, 时的函数值，即可选y出答案.D C4【精讲精析】选 C. 如图所示.N(0)=9, N(1)=12, N(2)=11,32 N(3)=12, ,, ，故值域为{9,11,12}.x 2 x 8．（2011·湖南高考文科T8）已知函数f(x)= e 1,g(x)= 4 3.x 1A B0 1 2 3 4x若有f(a)=g(b) ，则b 的取值范围为（A）．[2 2,2 2] （B）．(2 2,2 2)（C）．[1 ，3] （D）．(1,3)【思路点拨】本题以考查函数的值域为载体，重点考查f(a)=g(b) 的理解，f(a)=g(b) 表示二元方程，把二元方程转化为函数或不等式.2 b【精讲精析】选B. f (a) 1, g(b) 1, b 4 3 1,2 b b Bb 4 2 0, 2 2 2 2.选.二、填空题9．（2011·安徽高考文科·Ｔ11）设f (x) 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时， f (x) = 22x x ，则f (1) .【思路点拨】由奇函数的定义有 f ( x) f (x),所以 f 1 f ( 1).【精讲精析】答案:-3. 由奇函数的定义有 f ( x) f ( x),所以2f 1 f ( 1) [2 ( 1) 1] 3.10. （2011·广东高考文科·Ｔ12）设函数f(x)=x 3cosx+1, 若f(a)=11, 则f(-a)=_______.【思路点拨】令g(x)=x 3cosx, 利用g(x) 是奇函数，求出g(a)=10 ，从而f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1 ，可得结论.【精讲精析】答案-9 令g(x)=x3cosx, 则f(x)= g(x)+1 且g(x) 为奇函数，所以g(-a)=-g(a). 由f(a)=11 得g(a)+1=11, 所以g(a)=10f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-911．（2011·湖南高考文科T12）已知f(x) 为奇函数，g(x)=f(x)+9 ，g(-2)=3 ，则f(2)=____【思路点拨】本题考查利用函数为奇函数的性质（对称性）求函数值.【精讲精析】答案：6. 因为f(x)=g(x)-9 是奇函数，所以f(-x)=-f(x),g(-x)-9=-[g(x)-9] ，g(-2)-9=-[g(2)-9] ，g(2) 3 ，g(2)=15,所以f(2)=g(2)-9=6.12. （2011·浙江高考理科·Ｔ11）若函数 2f (x) x x a 为偶函数，则实数 a【思路点拨】两个偶函数的和函数亦是偶函数, 偶函数与其它函数的和函数为非奇非偶函数.【精讲精析】解法一：∵ f (x) 为偶函数，∴ f ( x) f ( x) ，即 2 | | ( )2 | |x x a x x a x a x a 恒成立，∴a 0 .解法二：函数 2y x 为偶函数，函数y x a 是由偶函数y x 向左或向右平移了 a 个单位，要使整个函数为偶函数，则需 a 0.13．（2011·北京高考文科·T14）设A(0,0), B(4,0), C(t 4,3), D (t,3)(t R) ，记N(t) 为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)= ；N(t) 的所有可能取值为.【思路点拨】在直角坐标系中作出坐标网格，当t 变化时，可求出N(t) 的可能取值.【精讲精析】6 6 ，7，8. 如图所示，N(0)=6,N(1)=8 ，N(1.5)=7, ,, ，所以可能取值为6，7，8.y 4DC3 2 1 AB1235x三、解答题14．（2011· 湖南高考理科· T20）（13 分）如图 6，长方体物体 E 在雨中沿面 P （面积为 S ）的垂直方向作匀速移动，速度为 v （v>0），雨速沿 E 移动方向的分速度为 c （c R) ，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c| S 成正比，比例系数为 1 10；（2）其他面的淋雨量之和，其值为1 2. 记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量 . 当移动距离 d=100，面积 S=3 2时，（Ⅰ）写出 y 的表达式；（Ⅱ）设 0<v 10, 0 c 5, 试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v ，使总淋雨量 y 最少.【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力 . 二是转化能力 . 三是表达能力 . 能否把文字语言转化为符号语言的理解能力 . 四是解题能力 . 本题主要考查学生的阅读能力和建模能力和运算能力，阅读后建立函数模型是关键 .【精讲精析】（I ）由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为3 1 |v c | ，20 2 故 100 31 5 y ( | v c | ) (3|v c | 10)v 20 2 v. （II ）由(I) 知，当 0 v c 时，55(3c 10) y (3c 3v 10) 15；v v 当c v 10 时，55(10 3c) y (3v 3c 10) 15.v v故y 5(3c 10)v5(10 3c)v15,0 v c15,c v 10.(1) 当010 3cc 时，y 是关于v的减函数. 故当v 10 时，y min 20 .3 2(2) 当103c 5时，在(0, c]上，y 是关于v的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数；故当v c 时，ymin 50 c.考点6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ5）若点a,b 在y lg x 图象上，a 1，则下列点也在此图象上的是（）（A）1a,b（B）10a,1 b （C）10a,b 1 2 b（D）(a ,2 )【思路点拨】利用对数的运算性质，代入验证.【精讲精析】选 D.由题意 2 2 bb lg a,2b 2lg a lg a ，即(a ,2 ) 也在函数y lg x 图象上.x2.（2011·山东高考理科·Ｔ3）若点（a,9 ）在函数y 3 的图象上，则tan= a 6的值为：（A）0 （B）33（C）1 （D） 3【思路点拨】根据点在函数上求出a，再代入求值xa ，【精讲精析】答案： 3 . 点（a,9 ）在函数y 3 的图象上，所以3 9,a 22所以 3tan63.（2011·辽宁高考理科·Ｔ9）设函数f（x）=1- x2 x 1则满足f（x），，1- l og x x 1，＞，2≤2 的x 的取值范围是（A）[-1 ，2] （B）[0 ，2] （C）[1 ，+ ）（D）[0 ，+ ）【思路点拨】可分x 1和x 1两种情况分别求解，再把结果并起来．【精讲精析】选D.若x 1，则1- x2 2，解得0 x 1; 若x 1，则1-olg 2x 2，解得x 1，综上，x 0 . 故选D.4、（2011·北京高考文科·T3）如果l og x log y 0，那么（）1 12 2( A)y x 1 (B)x y 1 (C )1 x y (D)1 y x【思路点拨】利用对数函数的单调性求解.【精讲精析】选D.因为y log x为(0, ) 上的减函数，所以x y 1.125、（2011. 天津高考理科.T7）已知log 0.3log 3.4 log 3.6 1骣 3a 2b 4 c= = = 琪5 , 5 , ,琪5桫则（）A．a > b > c B．b > a > c C．a > c > b D．c > a > b 【思路点拨】化简C选项为同底，画图观察比较大小。

2021-2022年高考考前辅导二(数学)

2021-2022年高考考前辅导二（数学）一．选择题1．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧f (a n) (n为奇数)，g (an) (n为偶数)，则数列{a n}的前xx项的和为A．5×2xx－xx B．3×2xx－5020 C．6×2xx－5020 D．6×21003－5020 2．已知双曲线的左右两焦点分别为，是双曲线右支上的一点，点满足，在上的投影的大小恰为，且它们的夹角为，则等于A． B． C． D．3．已知K为实数，若双曲线的焦距与K的取值无关，则k的取值范围为（）A．B．C．D．4．曲线与曲线 ( k<25，且k≠9 ) 具有的等量关系是（）A、有相等的长、短轴B、有相等的焦距C、有相等的离心率D、有相同的准线5．以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、不能确定6．曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是（）A、 B、 C、 D、7．频率分布直方图中，小长方形的高与什么成正比（）A、频率B、组数C、组距D、极差8．过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若AB＝4，则这样的直线l有（）1A、1条B、2条C、3条D、4条9．现准备将台型号相同的电脑分配给所小学，其中、两所希望小学每个学校至少台，其他小学允许台也没有，则不同的分配方案共有A．种 B．种 C．种 D．种成功的秘诀，是在养成迅速去做的习惯，要趁着潮水涨得最高的一刹那，不但没有阻力，而且能帮助你迅速地成功。

——劳伦斯10．在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”），若将主人公过n 关不变形的概率计为P n ，则A ．P 5>P 4B ．P 8<P 7C ．P 11<P 12D ．P 15>P 16二．填空题11．动点P （x , y）满足|3410|x y =+-，且P 点的轨迹是椭圆，则a 的取值范围是．12．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1＝，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1___________．13．△ABC 内接于以O ＝，＝． 14．如图，在中，，，l 为BC 的垂直平分线，E 为l 上异于15．O 为坐标原点，正△OAB 中A 、B 正△OCD 中C 、D 在抛物线上，则△ OAB 的面积之比为．16．如图，在∠AOB 的两边上分别为，共9个点，连结线段，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有___________对“和睦线”17．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是．18．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 791342 99 66 02 79 5419．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．20．已知函数（）的图像与直线x=a,x=b 及x 轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，记为，已知2sin n aS nxdx nπ==⎰，则_____________.三．解答题21．某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增．已知1986年底人均住房面积为10，xx 年底人均住房面积为20．据此计算：（1）1996年底人均住房面积超过14，试给出证明；（2）若人口年平均增长率不超过3﹪，能否确保xx 年底人均住房面积比xx 年底有所增加？为什么？2学习不仅是明智，它也是自由。

2021届高考数学二轮考前复习第二篇破解中档大题保提分必须锤炼的7个热点专题专题7不等式选讲课件文

2.绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数:根据不等式将参数分离,化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式. (2)转化最值: ①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a; f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a; ②f(x)>a有解⇔f(x)max>a; f(x)<a有解⇔f(x)min<a; ③f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
－2，x －1，
即f(x)= 2x，－1 x 1，
2，x 1.
则当x≥1时,f(x)=2>1恒成立,所以x≥1;
当-1<x<1时,f(x)=2x>1,所以 1 <x<1;
2
当x≤-1时,f(x)=-2<1.
故不等式f(x)>1的解集为
当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2 <x<1;
3
当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为
x|
2 3
x.
2
x－1－2a，x －1，
(2)由题设可得,f(x)= 3x 1－2a，－1 x a，
－x 1 2a，x a，
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a－1,，0)
1.(面积问题)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.

2021届高考数学二轮考前复习第二篇破解中档大题保提分必须锤炼的7个热点专题专题3立体几何中的证明与

专题3 立体几何中的证明与计算1.平行关系之间的转化转化方向视题目的具体条件而定,不可过于“模式化”.2.垂直关系之间的转化证明平面⊥平面,先寻找平面的垂线,若不存在,则可通过作辅助线来解决.3.求空间几何体的体积(1)规则几何体:直接利用柱体、锥体或台体公式进行求解.其中,等积转换法多用来求【典例】(12分)(2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M,N分别为BC,B 1C 1的中点,P 为AM 上一点.过B 1C 1和P 的平面交AB 于E,交AC 于 F.(1)证明:AA 1∥MN,且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F;(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心,若(2)过M 作PN 的垂线,交点为H, 如图,因为AO ∥平面EB 1C 1F,AO ⊂平面A 1AMN,平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F=NP ,所以AO ∥NP ,又因为NO ∥AP ,所以AO=NP=6,因为O 为△A 1B 1C 1的中心,AO=AB=6,AO ∥平面EB 1C 1F,且∠MPN=错误!未找到引用源。

,求四棱锥B-EB 1C 1F 的体积.(1)平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ⇐EF ⊥平面A 1AMN ⇐BC ⊥平面A 1AMN.(2)求错误!未找到引用源。

⇐锥体体积公式⇐错误!未找到引用源。

和M 到PN 的距离. 【标准答案】(1)因为M,N 分别为BC,B 1C 1的中点,所以MN ∥BB 1,又AA 1∥BB 1,所以MN ∥AA 1 ................................在等边△ABC 中,M 为BC 的中点,则BC ⊥AM,又因为侧面BB 1C 1C 为矩形, 所以BC ⊥BB 1,因为MN ∥BB 1,MN ⊥BC,所以ON=错误!未找到引用源。

A 1C 1sin 错误!未找到引用源。