高考数学考前提醒82个问题(1)

⑧ 若 奇 函 数 y f x 的 图 象 关 于 直 线 x a 对 称 , 则 其 周 期 T 4a (即⑦中的 b 0 );
【例 1】(2006 年安徽卷,理)函数 f x 对于任意实数 x 满足条件 1 f x 2 ，若 f 1 5, 则 f f 5 __________. f x 【分析及解】由 f x 2 所以 f (5) f (1) 5 ，则 f
(6) 关于周期性. ① 若函数满足 f a x f x ,则其周期T a ; ② 若函数满足 f a x f x ,则其周期T 2a ③ 若函数满足 f x a
1 (其中 f x 0, a 0 ),则其周期 f x
(7) 关于奇偶性. ①若奇函数 y f x 在 x 0 处有定义,则 f 0 0 ; ②任何一个定义域关于原点对称的函数 F x ,总可以表示为一个 奇函数 f x 和一个偶函数 g x 的和,其中
f x F x F x 2 , g x F x F x 2
高考数学 考前提醒的 82 个问题
1. 对于集合 A, B, 当 A B 时，你是否注意到一个极端情况： A 或 B ,求集合的子集时,是否忘记了 ? 【例】已知 A x x 2 p 2 x 1 0, x R ， A R ，求 p 的取值范围. 【分析】 A R ,容易理解为方程 x 2 p 2 x 1 0 的两根 为非正,而忽视了 A 的可能,此题应分为 A , A 为单元素集合, A 含有两个非正元素三种情况讨论.（答案: p 4, ）.
y f x 在区间 , 0 上是递减的;
(3) 关于复合函数的单调性. 如果函数 y f u , u g x 在区间 D 上定义, ①若 y f u 为增函数, u g x 也为增函数,则 y f g x 为 增函数; ②若 y f u 为增函数, u g x 为减函数,则 y f g x 为减 函数; ③若 y f u 为减函数, u g x 也为减函数,则 y f g x 为 增函数; ④若 y f u 为减函数, u g x 为增函数,则 y f g x 为减 函数;
T 2a (即④中的 b 0 ); ⑥若函数满足 f x a f x b ( a b ),其周期T a b ;
⑦若函数满足 f a x f a x 且 f b x f b x ,即函数
y f x 的图象关于直线 x a 对称又关于点 b, 0 对称(a b ), 则其 周期 T 4(a b)
B 有 4 种选法,即 4, 5 的所有子集数，有 3 4 12 种选法.
③ B 中最小的数为 4, 此时 A 有 7 种选法,即 1, 2, 3 的非空子集数, 而 B 有 2 种选法,即 5 的所有子集数，有 7 2 14 种选法 ④ B 中最小的数为 5, 此时 A 有 15 种选法,即 1, 2, 3, 4 的非空子 集数,而 B 仅有 1 种选法,即 5 在 B 中. 有 15 1 15 种选法 由以上, 不同的选择方法共有 8 12 14 15 49 种.
.
(8) 关于反函数. ①你掌握求反函数的步骤了吗?(求 y f x 的值域 反求 x 互换 x, y 注明定义域) ②反函数存在的充分条件是: y 与 x 一一对应或 y f x 在区间
是
（A） 0,1
1 （D） ,1 7
若 f x (3a 1) x 4a 为减函数,则 3a 1 0 a
1 , 3
1 若 f x log a x 为减函数,则 0 a 1 ,于是 a 的取值范围是 0, 3 但是,这个结果是错误的,对(B)是误选.为什么呢？解题时， 忽略了 分段函数的问题. 因为是分段函数,又要求在 (, ) 上是减函数,就 1 1 1 (3a 1) 1 4a f 1 0 ,即 a ,于是 a ,故选(C). 必须满足 7 7 3
T 2a ④ 若函 数满 足 f a x f a x 且 f b x f b x ,即 函 数
y f x 的图象关于直线 x a 对称又关于直线 x b 对称( a b ), 则
其周期 T 2(a b)
⑤ 若 偶 函 数 y f x 的 图 象 关 于 直 线 x a 对 称 , 则 其 周 期


2. 对于含有 n n N 个元素的有限集合 M ,其子集, 真子集,非 空子集, 非空真子集的个数依次为 2n , 2n 1, 2n 1, 2n 2. 【例】 (2006 年,全国卷Ⅰ,理,12) 设集合 I 1, 2, 3, 4, 5 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有 (A) 50种 (B) 49种 (C) 48种 (D) 47种 【分析及解】 这是一个计数问题， .从条件(2)中的“B 中最小的数” 入手，显然有四种情形： ① B 中最小的数为 2.此时 A 仅有 1 种选法,即 1 的非空子集数, 而 B 可以有 8 种选法,即 3, 4, 5 的所有子集数，有 1 8 8 种选法. ② B 中最小的数为 3,此时 A 有 3 种选法,即 1, 2 的非空子集数,而
3.映射的概念你理解吗?是否注意到了在 f : A B 中, A 中元素 的任意性和 B 中元素的唯一性?
4.记住函数的几个重要性质： （1）关于对称性. ①如果函数 y f x 对于 x R ,都有 f a x f a x ,那么 , 函数 y f x 的图象关于直线 x a 对称; 如果函数 y f x 对于 x R ,都有 f a x f b x ,那么, 函 ab 数 y f x 的图象关于直线 x 对称; 2 ②如果函数 y f x 对于 x R ,都有 f a x f a x ,那么, 函数 y f x 的图象关于点 (a, 0) 对称;如果函数 y f x 对于 x R , 都有 f a x f a x 2b ,那么, 函数 y f x 的图象关于点 (a, b) 对称; ③函数 y f x 与 y f x 的图象关于直线 x 0 对称; 函数 y f x 与 y f x 的图象关于直线 y 0 对称; 函数 y f x 与 y f x 的图象关于原点 0, 0 对称; ④函数 y f a x 与 y f a x 的图象关于直线 x 0 对称; a b 函数 y f a x 与 y f b x 的图象关于直线 x 对称; 2 1 ⑤函数 y f x 与 y f x 的图象关于直线 y x 对称;
c, d 上是增函数 ,则 f x 在 a, b c, d 上不一定是增函数 ,若使得 f x 在 a, b c, d 上=不一定是增函数,需补充条件: g b h c .
(3a 1) x 4a, x 1 【例】 （2006 年北京卷）已知 f ( x ) x 1 log a x, (, ) 上的减函数，那么 a 的取值范围是
1 1 f ( x) ， 得 f x 4 f x f x 2
f (5) f (1) 1 1 。 f (1 2) 5
f 5
【 例 2 】 (1996 年 全 国 卷 ) 设 f x 是 , 上 的 奇 函 数, f x 2 f x ,当 0 x 1 时, f x x ,则 f 7.5 等于( ). 1.5 （A）0.5 （B）0.5 （C） （D） 1.5 【分析及解】因为 f x 是 , 上的奇函数,且 f x 2 f x 则 f x 2 f x ，于是， f x 关于原点成中心对称，关于 x 1 成 轴对称，因此， f x 是以 4 为周期的周期函数. 由 0 x 1 时, f x x ,及 f x 是以 4 为周期的周期函数,则 f 7.5 f 7.5 8 f 0.5 f 0.5 0.5. 故选(B). 关于 f x 是以 4 为周期的周期函数.还可作如下证明: f x 2 f x f x 4 f x 2 f x .
1 1 1 （B） 0, （C） , 7 3 3 【分析及解】本题从表面上看并不困难,
(4)关于分段函数的单调性. g x , x a, b 若函数 f x , g x 在 a , b 上是增函数, h x 在 h x , x c, d
(2) 关于奇偶性与单调性的关系. ① 如 果 奇 函 数 y f x 在 区x 在区间 , 0 上也是递增的;
② 如 果 偶 函 数 y f x 在 区 间 0, 上 是 递 增 的 ,那 么 函 数
(5) 关于图象变换. ①函数 y f x a a 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的; ②函数 y f x a a 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的; ③函数 y f x a a 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的; ④函数 y f x a a 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的.