高中数学人教a版选修2-2学业：1.3.2 函数的极值与导数含解析

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高中数学人教A版选修2-2学业测评1.3.2 函数的极值与导数 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．下列结论中，正确的是( )．导数为零的点一定是极值点．如果在点附近的左侧′()>，右侧′()<，那么()是极大值．如果在点附近的左侧′()>，右侧′()<，那么()是极小值．如果在点附近的左侧′()<，右侧′()>，那么()是极大值【解析】根据极值的概念，左侧′()>，单调递增；右侧′()<，单调递减，()为极大值．【答案】．设函数()＝＋，则( )．＝为()的极大值点．＝为()的极小值点．＝为()的极大值点．＝为()的极小值点【解析】′()＝－，令′()＝，即－＝，得＝，当∈()时，′()<，当∈(，＋∞)时，′()>.因此＝为()的极小值点，故选.【答案】．(·烟台高二检测)已知函数()＝－(－) (∈*)存在极值，则的取值集合是( )．{，…} ．{，…}．{，…} ．*【解析】∵′()＝－且∈(，＋∞)，令′()＝，得＝(－)，(*)要使()存在极值，则方程(*)在(，＋∞)上有解．∴(－)>，又∈*，∴＝，…，所以的取值集合是{，…}．【答案】．设函数()＝－ (>)，则＝()( )．在区间，(，)内均有零点．在区间，(，)内均无零点．在区间内有零点，在区间(，)内无零点．在区间内无零点，在区间(，)内有零点【解析】′()＝－＝，令′()＝，得＝，当<<时，′()<，所以函数()在区间()上为减函数．又()＝>，()＝－<，＝＋>，所以＝()在区间内无零点，在区间(，)内有零点．【答案】．函数()＝－＋在()内有且只有一个极小值，则( )．<< ．<．> ．<【解析】′()＝－，要使()在()内有极小值，则(\\(′((＜，′((＞，))即(\\(－＜，－＞，))解得<<.【答案】二、填空题．函数()＝－＋在＝处取得极小值. 【导学号：】【解析】由()＝－＋，得′()＝－＝(－)．当∈()时，′()<，()为减函数；当∈(－∞，)和(，＋∞)时，′()>，()为增函数．故当＝时，函数()取得极小值．【答案】．已知函数()＝( －)有两个极值点，则实数的取值范围是 .【解析】由题知，＞，′()＝＋－，由于函数()有两个极值点，则′()＝有两个不等的正根，即函数＝＋与＝的图象有两个不同的交点(＞)，则＞；设函数＝＋上任一点(＋)处的切线为，则＝′＝，当过坐标原点时，＝)⇒＝，令＝⇒＝，结合图象(略)知＜＜.【答案】。

人教a版数学【选修2-2】练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案)

选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．5．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ，又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－x e x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________. [答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． [解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A ．e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC ．e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题14．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意．三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0，设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0，所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014·温州八校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a 、b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )≤0函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2a3，函数f (x )的单调递增区间为(0，23a )；当a <0时，令f ′(x )>0，得2a3<x <0，函数f (x )的单调递增区间为(23a,0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，x 、f ′(x )、f (x )的取值变化情况如下：∴f (x )极小值＝f (0)＝b ，f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，∵对任意a ∈[3,4]，f (x )在R 上都有三个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (2a 3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，4a 327＋b >0.得－4a 327<b <0.∵对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，∴b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.∴实数b 的取值范围是(－4,0)．。

人教版高中数学选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数

旧知回顾()()()()()''在某个区间a,b 内,如果f x >0,那么函数y =f x 在这个区间内单调递增;如果f x <0,那么函数y =f x 在这个区间内单调递减.一般地，函数的单调性与导数的关系：（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求导数f’(x)；（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．新课导入观察下图，点a 与点b 处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？a b)(b f )(a f观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．观察函数f(x)＝2x3－6x2＋7的图象思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?3.3 导数在研究函数中的应用教学目标知识与能力理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.过程与方法结合实例，借助几何直观探索并了解函数的极值与导数的关系.情感态度与价值观利用函数图像，观察、分析函数的极值与导函数之间的关系，体会导数在研究函数中的优越性.教学重难点重点求函数的极值.难点函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.ht o m()h f tMt hO a83.1-图()0t h '>单调递增()0t h '<单调递减()0a h '=93.1-图观察上图，可以发现t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在此点的导数是多少？此点附近的图像有什么特点？相应的，导数的符号有什么变化规律？()0t h '>单调递增()0t h '<单调递减()0a h '=93.1-图放大t=a 附近函数h(t)的图像，如图所示，可以看出()'0h a =()'0.h t <当t>a 时，函数h(t)单调递减，()'0;h t >当t<a 时，函数h(t)单调递增，()0t h '>单调递增()0t h '<单调递减()0a h '=93.1-图这就是说，在t=a 附近，函数值先增后减.这样，当t 在a 附近从小到大经过a 时，先正后负，且连续变化，于是.()'h t ()'h t ()'0h a =c d e f o g h i j x y ()x f y =a b o x y ()x f y =103.1-图探究下图中函数y=f(x)在a —j 点的函数值与这些点附近的函数值有什么函数关系？y=f(x)在这些点得到数值是多少？在这些点附近，该函数的导数符号有什么规律？a b o xy ()x f y =103.1-图以a ，b 两点为例，函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，而且在点x=a 附近的左侧，右侧.()'0f a =()'0f x <()'0f x >a b o xy ()x f y =103.1-图类似地，函数y=f(x)在点x=b 的函数值f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b 附近的左侧，右侧()'0f b =()'0f x >()'0f x <极大值的概念附近有一般地，设函数f(x)在点x附近的所有点，都有定义，如果对xf(x)<f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一=f(x0).个极大值，记作y极大值极小值的概念如果对x附近的所有点，都有f(x)>f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一=f(x0).个极小值，记作y极小值极大值和极小值统称极值思考：极值与我们前面学过的最值的概念有什么区别？极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的势函数的局部性质.()3144.3f x x x =-+求函数的极值()()()()3'2144,4322.f x x x f x x x x =-+=-=-+解:因为所以下面分两种情况讨论：()();2x ,2x ,0x f 1'时或即当-<>>()().2x 2,0x f 2'时即当<<-<()():x f ,x f ,x '的变化情况如下表变化时当()()()()()单调递增单调递减单调递增34328x f 00x f ,222,222,x '-+-++∞---∞-因此,当x=-2时有极大值,y 极大值=28/3;当x=2时有极小值,并且,y 极小值=-4/3.()31f x =x -4x +4 1.3-123函数的图象如图所示.2-2oxy ()4x 4x 31x f 3+-=123.1-图极大值一定大于极小值吗?导数值为0的点一定是函数的极值点吗?你还能再举例吗？导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，函数，.虽然，但无论x>0，还是x<0，恒有，即函数是单调递增的，所以x=0不是函数极值点.()3f x =x ()'2f x =3x ()'f 0=0()'f x >0()3f x =x ()3f x =x知识要点一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充要条件.知识要点一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程.当时：()'0f x =()'00f x =（1）如果在附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么是极大值；0x ()0f x口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.()()()()'0'020,0,.x f x f x f x <>如果在附近的左侧右那么是极小值侧求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．解：定义域为R，y'＝6x(x2－1)2.由y'＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1当x变化时，y'，y的变化情况如下表：当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．课堂小结（1）可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点.（2）对于一般函数，函数的不可导点也可能是极值点.（3）极大值与极小值的概念.（4）一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.（5）如果函数f(x)在点x处连续,总)是极大或极小值的方法：结判别f(x左负右正为极小，左正右负为极大.高考链接（广东卷7）设，若函数有大于零的极值点，则（）a∈R3axy e x=+ C．3a>-3a<-13a>-13a<-A．B．D．B（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（）93)(23-++=x ax x x f )(x f 3-=x A.2B. 3C. 4D. 5B 解析：利用取得极值时的导数条件进行求解.随堂练习1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（)BA. y=-x3B. y=cos2xC. y=tan x-xD. y=1/x2.曲线y=x 4-2x 3+3x 在点P(-1，0)处的切线的斜率为()A.–5B.–6C.–7D.–8B3. 下列说法正确的是（）A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值C. 对于f(x)=x 3+px 2+2x+1，若|p|<√6，则f(x )无极值D. 函数f(x)在区间(a,b )上一定存在最值C5.函数y=x 3-3x 的极大值为_____.26.对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点___________.充要条件4.已知y=f(x)=2x 3-3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于()A. 6B. 0C. 5D. 1A7.求函数的极值.)0()(2>+=a x a x x f 解:函数的定义域为(,0)(0,),-∞+∞ 222()()()1.a x a x a f x x x-+'=-=令,解得x 1=-a ，x 2=a(a>0).()0f x '=当x 变化时,，f(x)的变化情况如下表:()f x 'x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞) f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a ↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a 时,f(x)有极小值f(a)=2a.1.习题答案练习（第29页）是函数y=f(x)的极值点，其中是函数y=f(x)的极大值点，是函数y=f(x)的极小值点.24,x x 2x x =4x x =2(1)()62f x x x =--3(2)()27f x x x =-3(3)()612f x x x =+-3(4)()3f x x x =-min 149()1224f f ==-max (3)54f f =-=min (3)54f f ==-max (2)22f f ==min (2)10f f =-=-max (1)2f f ==2.min (1)2f f =-=-。

人教版A版高中数学选修2-2：1.3.2 函数的极值与导数(2)

_极__小__值__统称为极值．
y
f ’(b)=0
f (x)>0 f (x) <0
a ob
x y=f(x)
y
f (x3)
观察图像回答下面问题：
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
？
O a x1
x2
x3 x4 b
x
问题1：你能找出函数的极小值点和极大值点吗？为什么？观察
上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,
哪问些题2：极小值一定比极大值小吗？上不述一图定象,试指出该函数的极
值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些
注意：
（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
练习下图是导函数 y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
பைடு நூலகம்
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
小结
1.函数极值的定义 2.判断函数极值的方法 3.求函数极值的步骤
课后作业：课后练习1
附近其它点的函数值_都__大_，且_f′__(b_)_＝__0；而且在点x＝b
的左侧_f_′__(x_)_>_0_，右侧_f_′__(_x_)<_0_，则把点b叫做函数y＝
f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大
值．_极__大__值__点__、极__小__值__点___统称为极值点，_极__大__值__和

高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.2 函数的极值与导数

一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=1处取得极值,且极值为0. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的另一个极值思路分析:由极值的定义可知f'(1)=0,再结合f(1)=0,建立关于a,b的方程即可求得a,b的值,从而得出另一个极值.
一二三
知识精要
典题例解
令 f '(x)=0 得 3x2-3=0,∴x=±1.
故函数 f (x)在 x=-1 处取得另一个极值,且极值等于
f (-1)=-1+3+2=4.
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是
1.3.2 函数的极值与导数
目标导航
预习导引
学习目标
1.记住函数的极大值、极小值的概念; 2.结合图象,知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值.
重
点重点:利用导数求函数的极值;
难难点:极值的判断和与极值有关的参数问题. 点
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一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
三、函数极值的综合应用
1.利用导数可探究出函数的单调性与极值情况,据图象走势及最高点、最低点画出函数的大致图象. 2.研究方程根的个数问题时,可利用数形结合的思想方法,将问题转化为两函数图象交点个数的问题,然后借助函数的单调性和极值情况进行求解.1<x<x2 时,g(x)>0,即 f'(x)>0,故 f(x)为增函数;

数学选修2-2人教新课标A版1-3-2函数的极值与导数课件(18张)

f (x)
+
0－
0
+
f (x)
↗
28
↘
4
↗
3
3
因此,当x = -2时,fx 有极大
值,并且极大值为f
-2
=
28 3
;
当x = 2时,fx 有极小值,并且
y
f x 1 x3 4x 4
3
o2
2
x
极小值为f
函数fx =
12x3=--434x
3
. +
图3.3 12
4的图象如图3.3 - 12所示.
无极值
↘
极小值 0
↗
无极值
↗
y
fx = x2-13+1
-1
O
1
x
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
（五）归纳小结，总结提升
一般地,当函数f(x)在x0处连续时, 判别 f(x0)是极大(小)值的方法是:
(1) 如果在x0附近的左侧 f ’(x) >0, 右侧 f ’(x) <0, 那么, f(x0)是极大值;
的函数值有什么关系?y = f x 在这些点的导数
值是多少?在这些点附近,y = f x的导数的符号
有什么规律?
y y fx
y
y fx
a ob x
o cd e f g h
x
图3.3 -10
图3.3 -11
（三）分析归纳，抽象概括
以a,b两点为例,我们可以发现,函数 y = f x在点x = a的函数值f a比它在点 x = a附近其他点的函数值都小 ,fa = 0;而且在点x = a附近的左侧fx < 0,右侧fx > 0.

高中数学人教A版选修2-2课件：1.3.2 函数的极值与导数

【做一做1】已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图,则 ( A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点 B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点 C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点 D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点答案:A 2.判断函数y=f(x)极值的方法解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
令 f'(x)=0,得 x=2 或 x=-2,当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 0 + 4 28 f(x) ↗ ↘ − ↗ 3 3
故当 x=-2 时,f(x)有极大值 3 ; 4 当 x=2 时,f(x)有极小值 − 3.
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 0 + 极极 f(x) ↗ 大↘ 小↗ 值值
题型一
题型二
题型三
题型四
因此,函数 f(x)在 x=0 处有极大值,极大值为 f(0)=-a;在 x=2 处有极小值,极小值为 f(2)=-4-a.
函数 f(x)的零点即方程 f(x)=0 的解,也就是方程 x3-3x2=a 的解,f(x) 的零点个数为直线 y=a 与曲线 y=x3-3x2 的交点个数,易知函数 y=x3-3x2 的极大值为 0,极小值为-4(如图所示). 故当 a>0 或 a<-4 时,函数 f(x)恰有一个零点.

人教A版选修2-2导数及其应用常考题型：函数的极值与导

函数的极值与导数【知识梳理】1．函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．(2)函数的极小值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0. 当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．【常考题型】题型一、运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.题点二：已知函数求极值2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解：函数的定义域为R，f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′＝2x e－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.题点三已知函数的极值求参数3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(－1,0)解析：选D若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a处取得极大值．若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D.4．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：⎩⎨⎧4＝f (－1)＝－a ＋b ＋c ，0＝f (1)＝a －b ＋c .又5a ＝3b ，解之得：a ＝3，b ＝5，c ＝2. (2)当a ＜0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2. 【类题通法】 1．求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0得方程的根．(4)利用方程f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f ′(x )的符号在x 0处由正(负)变负(正)，则f (x )在x 0处取得极大(小)值．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．题型二、函数极值的综合应用典例] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0. 所以由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．一题多变]1．变条件]若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝0，可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4，则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－7627. 2．变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．【类题通法】(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．。

【人教A版】高中数学选修2-2：1.3.2函数的极值与导数PPT课件

x (－∞，－2) －2 (－2,2)
f′(x)
＋
0－
2 (2，＋∞)
0
＋
f(x)
16
－16
【人教A版】高中数学选修2-2：1.3.2 函数的极值与导数PP T课件
【人教A版】高中数学选修2-2：1.3.2 函数的极值与导数PP T课件
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且 f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16. 当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16. (2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x) ＝cos x＋cos2x－sin2x ＝cos x＋cos2x－(1－cos2x) ＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．令f′(x)＝0，得cos x＝12或cos x＝－1.
【人教A版】高中数学选修2-2：1.3.2 函数的极值与导数PP T课件
当－23<x<0 时，y′>0；当 x>0 时，y′<0. 故当 x＝－23时，函数 y 有极小值；当 x＝0 时，函数 y 有极大值．故选 D. 答案：D
【人教A版】高中数学选修2-2：1.3.2 函数的极值与导数PP T课件
二、极大值如果函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大， f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)> 0，右侧 f′(x) < 0，则把点 b 叫作函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数 y＝f(x)的极大值．极大值和极小值统称为
[双基自测] 1．下列结论中，正确的是( ) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值 C．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极小值 D．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极大值

人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.3.2 函数的极值与导数

(1)求函数 f(x)的极小值点和单调递减区间； (2)求实数 a 的值．
解：(1)由图象可知：
当x<1时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，1)上为增函数；当1<x<3时，f ′(x)<0，f(x)在(1,3)上为减函数；当x>3时，f ′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上为增函数； ∴x＝3是函数f(x)的极小值点，函数f(x)的单调减区间是 (1,3)．
(2)f ′(x)＝ax2－4x＋3a2， f ′ 1 ＝0，由图知 a>0 且 f ′ 3 ＝0， a>0， ∴ a－4＋3a2＝0， 9a－12＋3a2＝0.
∴a＝1.
典例分析
命题方向1：利用导数求函数的极值例1：求函数y＝3x3－x＋1的极值．【解析】首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．
(－2,2) －
2 0 极小值 f(2) ＝－16
(2，＋∞) ＋
f(x)
f(－2)＝ 16
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 16. 当 x＝2 时，函数有极小值－16.
(2)函数的定义域为 R. f ′(x)＝2xe x－x2·e x＝x(2－x)e x. 令 f ′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2. 当 x 变化时，f ′(x)，f(x)变化状态如下表： x f ′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 极小值 0 (0,2) ＋ 2 0 极大值 4e
极值，极大值点与极小值点统称为________ 极值点． ________
3．理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左、右

函数的极值与导数-高二数学人教版(选修2-2)(解析版)

第一章导数及其应用1.3.2 函数的极值与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 为函数31(–)2f x x x =的极大值点，则a = A ．–4 B ．–2 C ．4D ．2【答案】B【解析】23123(2)((2))f x x x 'x =-=+-，令0()f 'x =得2x =-或2x =，易得()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，故()f x 的极大值点为2-，即2a =-，故选B ． 2．设函数()e x f x x =，则 A ．x ＝1为()f x 的极大值点B ．x ＝1为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】本题考查函数的极值点．由题意得e (())1xf x x '+=，令0()f x '>，得1x >-；令0()f x '<，得1x <-，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以1x =-为()f x 的极小值点．故选D ．3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f【答案】D【解析】由函数的图象可知，(2)0f '-=，(2)0f '=，并且当2-<x 时，()0f x '>；当12<<-x 时，()0f x '<，则函数()f x 有极大值(2)f -．又当21<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>，则函数()f x 有极小值(2)f ．故选D ． 4在(0,2)内有极小值，则 A ．01b << B ．02b << C ．11b -<<D ．12b -<<【答案】C【解析】2()(21)(1)()()]1[f x x b x b b x b x b '=-+++=--+，令()0f x '=，得1x b x b ==+或，当x b <时，()0f x '>，函数是增函数；当1b x b <<+时，()0f x '<，函数是减函数；当1x b >+时，()0f x '>，函数是增函数，1x b ∴=+是极小值点，012b ∴<+<，11b ∴-<<，故选C ．51x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围为 A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,)+∞【答案】B，由题意可知()01f '=，即b -=10≥a ，由()0f 'x =，得1=x ，当10<<x 时，()0f 'x >，此时()f x 单调递增；当1>x 时，()0f 'x <，此时()f x 单调递减，所以1=x 是()f x 的极大值点．②若0<a ，则由()0f 'x =，得1=x 或ax 1-=．1=x 是函数()f x 的极大值点，11>-∴a，解得01<<-a ．综合①②可得，实数a 的取值范围是(1,)-+∞．故选B ． 6．已知a 为常数，函数l )()n (f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则 A ．1()0f x >，2()12f x >-B ．1()0f x <，2()12f x <-C ．1()0f x >，2()12f x <-D ．1()0f x <，2()12f x >-【答案】D【解析】由题可得ln (2)1x x f x 'a =-+，易知ln y x =在点P （1，0）处的切线为1y x =-．当021a <<时，直线21y ax =-与曲线ln y x =交于不同两点（如下图），且121x x <<，111111111(ln )(2))0()1(1f x x x ax x ax ax x ax =-=--=-<，2222222222ln 1ln 1ln111(ln )()(ln )2222x x x x f x x x ax x x +-⋅-=-=-=>=-，易知函数ln y x x x =-在(1,)+∞上单调递增，所以2221222>=-，即2()12f x >-，故选D ．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的零点与方程的根的问题，属于难题．已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象：一是转化为两个函数,()()y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为,()y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】由题意得2()3260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实根，则2(2)43(6)03a a a ∆=-⋅+>⇒<-或6a >，故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．8．已知函数()e x x f ax =-，0a >，则函数()f x 的极小值为________________．【答案】ln a a a -【解析】函数()f x 的定义域为R ，()e x'a x f =-，令()0f 'x >，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是(ln ,)a +∞；令()0f 'x <，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(,ln )a -∞，故函数()f x 在ln x a =处取得极小值，所以ln ()(ln )e ln ln af f a a a a a x a ==-=-极小值．9．已知函数22ln ()2f x x x x ax =-+，其中0a >，()g x 是()f x 的导函数，则函数()g x 的极大值为________________．【答案】2a【解析】由题可得2l (n )22(2)g x x x f a 'x =-+=+，则，易得函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()g x 的极大值为2(1)g a =．101x =处取得极值43-，则实数b =________________．【解析】由题可得22()x x f 'bx c =-++，因为函数()f x 在1x =处取得极值43-，所以11(2)0b 'c f -++==且3(1)143b c bc f -+++=-=，解得13b c =-⎧⎨=⎩或11b c =⎧⎨=-⎩．当11b c =⎧⎨=-⎩时，2221(1())0f x x x 'x =-+-=--≤，不符合题意；当13b c =-⎧⎨=⎩时，223(3)(1())x x x x x f '=--+=-+-，满足题意．综上，实数1b =-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）20x y +-=；（2）见解析．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a f x x'=-．（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，则(1)1f =，(1)1f '=-，故()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．（2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值; ②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =．当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值．12．已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在极值，且所有极值之和大于15ln2-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；（2）(4,)+∞．【解析】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当0a =时，2()ln f x x x =--，1()20f x x x'=--<恒成立，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间．（2）由题可得221()x ax f x x-+'=-，0x >，因为函数()f x 存在极值，所以221()x ax f x x-+'=-在(0,)+∞上存在变号零点，令2()21g x x ax =-+，则函数()g x 在(0,)+∞上存在变号零点，因为(0)10g =>，所以280a ∆=->且022a-->⨯，解得a >记函数()g x 的两个零点分别为1x ，2x ，21x x <，易得1()()f x f x =极小值，2()()f x f x =极大值，122x a x +=，1212x x =，所以22122211212211()()()(ln ln )1ln 5ln (242)2a a f x f x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-，即216a >，结合a >4a >，故实数a 的取值范围为(4,)+∞． 13．已知函数xxx f ln 1)(+=．（1）求函数)(x f 的极值；（2）求证：当1>x 时，2()1f x x >+．【答案】（1）函数)(x f 的极大值为1，没有极小值；（2）证明见解析．【解析】（1）由题可得)0(ln )(2>-='x x xx f ，当)1,0(∈x 时0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当),1(+∞∈x 时0)(<'x f 时，)(x f 单调递减，所以1=x 是函数)(x f 的极大值点，极大值为(1)1f =，故函数)(x f 的极大值为1，没有极小值．（2）要证2()1f x x >+，即证(1)(1ln )2x x x ++>，令x x x x g )ln 1)(1()(++=，则22ln )1)(ln 1(])1)(ln 1[()(x xx x x x x x x x g -=++-⋅'++='，令x x x h ln )(-=，则xx x x h 111)(-=-='，因为1>x ，所以0)(>'x h ，所以)(x h 在),1(+∞上是增函数，所以01)1()(>=>h x h ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在),1(+∞上是增函数，所以当1>x 时，2)1()(=>g x g ，即(1)(1ln )2x x x ++>，所以当1>x 时，2()1f x x >+．。

人教A版数学选修2—21.3.2函数的极值与导数

cd e f o g
h
I
jx
结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y yf(x)
极大值点两侧
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
极小值点两侧
x2
bx
结论：
1、f ' (x0 ) 0
2、在x0左右两侧，若导数先正后负，那么f (x0 )是极大值若导数先负后正，那么f (x0 )是极小值
（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
y P(x1,f(x1))
y=f(x)
o
a
x1
Q(x2,f(x2))
x2
x3 x4
b
x
二、求函数极值的方法
练习：y=f(x)的图像如图，找出f(x)的极大值点，极小值点
y
cd e f o g
h
I
jx
探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？ y
极大值与极小值统称为极值.
视察下列图像，结合极值定义思考以下问题：
（11、）极极值值是是函某数一的点最附值近吗的，小为区什间么而？言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（22、）极函大数值在或整极个小定值义唯区一间吗内？可能有多个极3值、点极，大但值定与义极域小的值端大点小绝关不系是确极定值吗点？。
f
'( x)
1 x2
1
x2 1= x2
(x
1)( x x2
1)
=0，
x 1
当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.3.2 函数的极值与导数 Word版含解析

1．3.2函数的极值与导数[目标] 1.记住函数的极大值、极小值的概念.2.结合图象，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.会用导数求函数的极大值、极小值．[重点] 利用导数求函数的极值．[难点] 极值的判断和与极值有关的参数问题．知识点一函数极值的有关概念[填一填]1．极小值点与极小值(1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0.(2)导数符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值(1)函数特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0.(2)导数符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极值的定义(1)极大值与极小值统称为极值．(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．[答一答]1．(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？(3)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．知识点二求函数极值的方法[填一填]解方程f′(x0)＝0，当f′(x0)＝0时1．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．2．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[答一答]2．函数的极大值、极小值与函数单调性有什么关系？提示：函数的极大值左侧函数单调递增，右侧单调递减，函数的极小值左侧函数单调递减，右侧单调递增．1．函数极值概念(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧的邻域而言的．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．(4)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如右图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极值点时函数f(x)在[a，b]内的极大值点和极小值点是交替出现的．2．正确求出可导函数的极值求可导函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；(4)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．注意：可导函数的极值点一定是其导数为零的点；反之，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点(又称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．类型一利用导数求函数的极值【例1】求下列函数的极值，并画出函数的草图： (1)f (x )＝(x 2－1)3＋1；(2)f (x )＝ln xx .【解】 (1)y ′＝6x (x 2－1)2＝6x (x ＋1)2(x －1)2. 令y ′＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) y ′ －0 －0 ＋0 ＋y无极值极小值0无极值极小值函数的草图如图所示：(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x(0，e)e(e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )1e因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．函数的草图如图所示：求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，不是极值.另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值.(1)设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( D )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)解析：当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0；当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)．(2)函数f (x )＝ln x x 2的极大值为12e .解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(ln x )′·x 2－ln x ·(x 2)′x 4＝x －2x ln x x 4＝1－2ln xx 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，且当0<x <e 时，f ′(x )>0，当x >e 时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝12e . 类型二已知函数的极值求参数的值【例2】已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1.(1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， (1)法1：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. 法2：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得：3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0.∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．因此，当x＝－1时函数取得极大值，所以x＝－1为极大值点；当x＝1时函数取得极小值，所以x＝1为极小值点．(1)已知一个函数，可以用单调性研究它的极值．反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数，解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．(2)需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2x在x＝－1处取得极值，且在点(1，f(1))处的切线的斜率为2.(1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间和极值．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′(－1)＝0f′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a－2b＋2＝03a＋2b＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－13b＝12.经检验，符合题意．故a ＝－13，b ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2. 当－1<x <2时，f ′(x )>0；当x <－1或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间为(－1,2)，单调递减区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)；函数f (x )的极大值为f (2)＝103，极小值为f (－1)＝－76. 类型三函数极值的应用【例3】已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.试分析方程a ＝f (x )的根的个数．【思路分析】利用导数求函数极值，研究函数单调性，绘制函数大致图象，方程的根的个数，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 交点的个数．【解】 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4， ∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283. 当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示．结合图象：①当a >283或a <－43时，方程a ＝f (x )有一个根．②当－43<a <283时，方程a ＝f (x )有三个根．③当a ＝283或a ＝－43时，方程a ＝f (x )有两个根．利用导数研究函数单调性和极值画出函数大致图象，将方程根的个数问题转化为两函数图象交点个数问题来解决.若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求k 的值．解：∵f ′(x )＝6x 2－6＝6(x ＋1)(x －1)，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值极小值f (1)＝－4＋k .且f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上都是增函数，在(－1,1)上是减函数，x →－∞时，f (x )→－∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞.若函数f (x )在R 上只有一个零点，则4＋k <0或－4＋k >0，即k <－4或k >4，∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．含参函数的极值的求法【例4】设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．【思路分析】第(1)问根据导数的几何意义及已知条件建立关于a ，b 的方程组，从而可求出a ，b 的值；第(2)问求单调区间时，要注意对参数a 的讨论．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ，因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8，解得a ＝4，b ＝24. (2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a . 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－a ) － a (－a ，a )a (a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )单调递增f (－a ) 单调递减f (a ) 单调递增因此，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调递减区间为(－a ，a )，此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．【解后反思】利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2， f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞， 1－m ) 1－m (1－m ， 1＋m ) 1＋m (1＋m ，＋∞) f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )f (1－m )f (1＋m )调递增区间为(1－m,1＋m )．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.1．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如下图所示，则函数f (x )( C )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点解析：由导数与函数极值的关系知，当f ′(x 0)＝0时，在x 0的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x )在x ＝x 0处取得极大值；若在x 0的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x )在x ＝x 0处取得极小值，设y ＝f ′(x )图象与x 轴的交点从左到右横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．2．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( D ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值又有极小值解析：y ′＝－2x －3x 2，令y ′＝0，得x 1＝－23，x 2＝0.当x <－23时，y ′<0；当－23<x <0时，y ′>0；当x >0时，y ′<0.故当x ＝－23时，函数y 有极小值；当x ＝0时，函数y 有极大值．故选D.3．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7的极大值是17，极小值是－47. 4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是(－2,2)．解析：f ′(x )＝3(x 2－1)，所以x ＝1和x ＝－1是函数的两个极值点，由题意知，极大值为f (－1)＝2＋a ，极小值为f (1)＝－2＋a ，所以要使函数f (x )有三个不同的零点，则有2＋a >0且－2＋a <0，解得－2<a <2，即实数a 的取值范围是(－2，2)．5．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2 ＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

[精品]新人教A版选修2-2高中数学1.3.2 函数的极值与导数过关习题和答案

选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( ) A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有( )A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②错误．6．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是( )A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2 D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2 [答案] D[解析] f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析] 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．8．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值 [答案] D[解析] ∵y ′＝1－11＋x 2(x 2＋1)′ ＝1－2x x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1令y ′＝0得x ＝1，当x >1时，y ′>0，当x <1时，y ′>0， ∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f (1)＝0，∴p ＋q ＝1①f ′(1)＝0，∴2p ＋q ＝3②由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，极小值f (1)＝0.10．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝cos 2x C ．y ＝tan x －x D ．y ＝1x[答案] B[解析] y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，∴x ＝0是函数的极大值点．二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1. 12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．[答案] a ＋4 2 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)，令y ′>0，得x >2或x <－2，令y ′<0，得－2<x <2，∴当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－4 2.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.[答案] －3 －9[解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图观察图象得－2<a<2时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.16．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f ′(x )＝0的根，即有又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：数有极小值－1.17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y ＝x 3－3x .点A (0,16)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. ∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．注意到点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)．化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2. ∴切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0.18．(2010·北京文，18)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.(1)当a ＝3时，由(*)式得，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．。

学人教版中数学选修22教师用书1.3.2函数极值与导数Word版含解析

1．函数的极值与导数预习课本P26～ 29，思考并完成以下问题(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数取得极值的必要条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？[新知初探 ]1．函数极值的概念(1) 函数的极大值一般地，设函数y＝ f(x)在点 x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说 f(x0 )是函数 y＝ f(x)的一个极大值，记作y 极大值＝ f(x0)， x0是极大值点．(2) 函数的极小值一般地，设函数y＝ f(x)在点 x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x )，就说 f(x )是函数 y＝ f(x)的一个极小值，记作y极小值＝ f(x )， x是极小值点．极大值与0000极小值统称为极值．[点睛 ]如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比拟它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．2．求函数 y＝ f(x)极值的方法一般地，求函数y＝ f(x)的极值的方法是：解方程 f ′ (x)＝ 0. 当 f ′ (x0)＝ 0 时：(1)如果在 x0附近的左侧 f′ (x)＞ 0，右侧 f ′ (x)＜ 0，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0附近的左侧 f′ (x)＜ 0，右侧 f ′ (x)＞ 0，那么 f(x0)是极小值．[点睛 ] 一般来说，“ f′ (x0)＝ 0〞是“函数 y＝ f(x)在点 x0处取得极值〞的必要不充分条件．假设可导函数 y＝ f(x)在点 x0处可导，且在点x0处取得极值，那么 f ′ (x0)＝ 0；反之，假设 f′ (x0)＝ 0，那么点 x0不一定是函数y＝ f(x)的极值点．[ 小试身手 ]1．判断 (正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数 f(x)＝ x3＋ ax2－ x＋ 1必有 2 个极值． ()(2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ()1(3)函数 f(x)＝x有极值． ()答案： (1)√(2)√(3) ×2．以下四个函数：①y＝ x3；② y＝ x2＋ 1；③ y＝ |x|；④ y＝ 2x，其中在 x＝ 0 处取得极小值的是 ()A ．①②B．②③C．③④D．①③答案： B3．函数 y＝ |x2－1|，那么 ()A ． y 无极小值，且无极大值B． y 有极小值－ 1，但无极大值C． y 有极小值0，极大值 1D． y 有极小值0，极大值－ 1答案： C4. 函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在 0，π上的极大值点为 () 2πA ． 0 B.6ππC. 3D.2答案： B运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．函数y＝ f( x)，其导函数y＝ f ′ (x)的图象如下图，那么y＝ f(x)()A ．在 (－∞， 0)上为减函数C．在 (4，＋∞ )上为减函数B．在D．在x＝0 处取极小值x＝2 处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈ (－∞， 0)∪ (2,4)时， f ′ (x)>0， x∈ (0,2)∪ (4，＋∞ )时， f′ (x)<0，因此 f(x)在 (－∞，0)，(2,4) 上为增函数，在 (0,2) ，(4，＋∞ )上为减函数，所以 x＝ 0 取得极大值， x＝ 2 取得极小值， x＝ 4 取得极大值，因此选 C.题点二：函数求极值－x 的极值．2．求函数 f(x)＝ x2e解：函数的定义域为R，－－x·(－ x)′f′ ( x)＝ 2xe x＋ x2·e＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－ x)e－x .－x＝ 0，令 f′ (x)＝ 0，得 x(2－ x) ·e解得 x＝ 0 或 x＝ 2.当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞ )f′ (x)－0＋0－f(x)极小值 0－2极大值 4e因此当 x＝ 0 时， f(x)有极小值，并且极小值为f(0) ＝ 0；当 x＝ 2 时， f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝ 4e－2＝ e42.题点三函数的极值求参数3．函数f(x)的导数f′ (x)＝ a(x＋ 1)(x－ a)，假设f(x)在x＝ a 处取到极大值，那么a 的取值范围是()A ． (－∞，－1)B． (0，＋∞)C． (0,1)D． (－ 1,0)解析：选D假设 a<－ 1，∵ f ′ (x)＝ a(x＋ 1)(x－ a)，∴ f( x)在 (－∞， a)上单调递减，在 (a，－ 1)上单调递增，∴f(x)在 x＝ a 处取得极小值，与题意不符；假设－ 1<a<0，那么 f(x)在 (－ 1，a)上单调递增，在 (a，＋∞ )上单调递减，从而在 x＝ a 处取得极大值．假设 a>0，那么 f(x)在 (－ 1， a)上单调递减，在(a，＋∞ )上单调递增，与题意矛盾，∴选 D.4． f(x)＝ ax5－ bx3＋ c 在 x＝±1 处的极大值为4，极小值为0，试确定a， b， c 的值．解： f′ (x)＝ 5ax4－ 3bx2＝ x2(5ax 2－ 3b) ．由题意， f ′ (x)＝ 0 应有根 x＝±1，故 5a＝ 3b，于是 f ′ (x)＝ 5ax2(x2－ 1)(1)当 a＞ 0， x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－－ 1(－ 1,0)0(0,1)1(1，＋∞ ) 1)f′ (x)＋0－0－0＋f (x)极大值无极值极小值4＝ f － 1 ＝－ a＋ b＋ c，由表可知：0＝ f 1 ＝ a－ b＋ c.又5a＝ 3b，解之得： a＝ 3， b＝ 5， c＝ 2.(2)当 a＜ 0 时，同理可得 a＝－ 3， b＝－ 5， c＝ 2.1．求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导数 f′ (x)．(3)解方程 f′ (x)＝ 0 得方程的根．(4)利用方程f′ (x)＝ 0 的根将定义域分成假设干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果 f ′ (x)的符号在x0处由正 (负)变负 (正 )，那么 f(x)在 x0处取得极大( 小)值．2．函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．函数极值的综合应用[典例 ]函数f(x)＝ x3－ 3ax－ 1(a≠ 0)．假设函数f(x)在x＝－ 1处取得极值，直线y ＝m与 y＝ f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解 ]因为f(x)在x＝－ 1 处取得极值且 f ′ (x)＝ 3x2－ 3a，所以 f ′ (－ 1)＝ 3× (－ 1)2－ 3a＝ 0，所以 a＝ 1.所以 f(x)＝ x3－ 3x－ 1， f ′(x)＝ 3x2－ 3，由f′ (x)＝ 0，解得 x1＝－ 1， x2＝ 1.当x<－ 1 时， f′ ( x)>0；当－ 1<x<1 时， f′ (x)<0 ；当x>1 时， f ′ (x)>0.所以由 f(x)的单调性可知，f(x)在 x＝－ 1 处取得极大值f(－ 1)＝ 1，在 x＝ 1 处取得极小值f(1) ＝－ 3.作出 f(x)的大致图象如下图：因为直线y＝ m 与函数y＝ f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m 的取值范围是 (－ 3,1)．[一题多变]1．[变条件] 假设本例中条件改为“函数f(x)＝－ x3＋ ax2－ 4〞在x＝4处取得极值，其3他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f′ (x)＝－ 3x2＋ 2ax，由 f′4＝ 0，3可得 a＝ 2，所以 f(x)＝－ x3＋ 2x2－ 4，那么 f′ (x)＝－ 3x2＋ 4x.4令 f′ (x)＝ 0，得 x＝0 或 x＝，当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化情况如下表：x(－∞， 0)00，444，＋∞333f ′ (x)－0＋0－f(x)－ 4－7627作出函数f(x)的大致图象如下图：因为直线y＝ m 与函数y＝ f(x)的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是76－ 4，－27 .2． [ 变条件 ] 假设本例“三个不同的交点〞改为“两个不同的交点〞结果如何？改为“一个交点〞呢？解：由例题解析可知：当 m＝－ 3 或 m＝ 1 时，直线 y＝ m 与 y＝ f(x)的图象有两个不同的交点；当 m<－ 3 或 m>1 时，直线 y＝ m 与 y＝ f(x)的图象只有一个交点．(1) 研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0 的根就是函数f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，方程f( x)＝ g( x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此根底上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．1．函数层级一学业水平达标y＝ f(x)在定义域内可导，那么函数y＝ f(x)在某点处的导数值为0 是函数y＝f(x)在这点处取得极值的()A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析：选B根据导数的性质可知，假设函数y＝ f(x)在这点处取得极值，那么f′ (x)＝ 0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数 f (x)＝ x3在R上是增函数，f′ (x)＝ 3x2，那么f′ (0)＝ 0，但在x＝ 0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝ f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝ f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，应选 B.22．设函数f(x)＝x＋ ln x，那么 ()A ． x＝12为 f(x)的极大值点1B． x＝为 f(x)的极小值点C． x＝ 2 为D． x＝ 2 为f(x)的极大值点f(x)的极小值点解析：选D由 f′ (x)＝－2 1 1 x2＋x＝ x21－ x＝0 可得x＝ 2.当0＜ x＜ 2 时，f ′ (x)＜ 0，f( x)单调递减；当x＞ 2 时， f ′ (x)＞ 0， f(x)单调递增．故3．函数 f (x)＝ 2x3＋ ax2＋ 36x－ 24 在 x＝ 2x＝ 2 为 f(x)的极小值点．处有极值，那么该函数的一个递增区间是()A ． (2,3)B． (3，＋∞)C． (2，＋∞)D． (－∞，3)解析：选 B因为函数f(x)＝ 2x3＋ ax 2＋ 36x－ 24 在 x＝ 2 处有极值，又 f ′ (x)＝ 6x2＋ 2ax＋36，所以 f ′ (2) ＝ 0 解得 a＝－ 15.令 f′ (x)＞ 0，解得 x＞ 3 或 x＜ 2，所以函数的一个递增区间是 (3，＋∞ )．4．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′ (x)，且函数f(x)在 x＝－ 2 处取得极小值，那么函数y＝ xf ′ (x)的图象可能是()解析：选 C 由题意可得 f′ (－ 2)＝ 0，而且当 x∈ (－∞，－ 2)时，f ′ (x)＜ 0，此时 xf ′ (x) ＞ 0；排除 B、 D，当 x∈ (－ 2，＋∞ )时， f ′ (x)＞ 0，此时假设 x∈ (－ 2,0)，xf ′ ( x) ＜ 0，假设 x ∈ (0，＋∞ )， xf ′ (x)＞ 0，所以函数 y＝ xf ′ (x)的图象可能是 C.5．函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与x 轴切于 (1,0)点，那么 f(x)的极大值、极小值分别为 ()44A. 27， 0B． 0，274， 0D． 0，－4C．－2727解析：选 A f′ (x)＝ 3x2－ 2px－ q，由f′ (1)＝ 0， f(1)＝ 0 得，3－2p－ q＝ 0，p＝ 2，∴ f( x)＝ x3－ 2x2＋ x.解得q＝－ 1，1－p－ q＝ 0，由 f ′ (x)＝ 3x2－ 4x＋ 1＝ 0 得 x＝1143或 x＝ 1，易得当 x＝3时 f(x)取极大27.当 x＝ 1 时 f(x)值取极小值 0.6 ．设 x ＝ 1与 x ＝ 2是函数f(x) ＝ aln x ＋ bx 2＋ x的两个极值点，那么常数 a ＝______________.解析：∵ f ′ (x)＝a＋ 2bx＋ 1，由题意得a＋2b＋ 1＝ 0，ax2＋ 4b＋ 1＝ 0.2∴ a＝－ .3答案：－237．函数 f(x)＝ ax2＋ bx 在 x＝1a处有极值，那么 b 的值为 ________．1解析： f′ (x)＝ 2ax＋b，∵函数f(x)在 x＝处有极值，11∴f′＝ 2a·＋ b＝ 0，即 b＝－ 2.a a答案：－ 28.函数 f(x)＝ ax 3＋ bx2＋ cx，其导函数 y＝ f′ (x)的图象经过点 (1,0) ， (2,0)．如图，那么以下说法中不正确的选项是 ________． (填序号 )①当 x＝3时，函数 f(x)取得最小值；2② f( x)有两个极值点；③当 x＝ 2 时函数值取得极小值；④当 x＝ 1 时函数取得极大值．解析：由图象可知， x＝ 1,2 是函数的两极值点，∴②正确；又 x∈ (－∞，1)∪ (2，＋∞ )时， y＞ 0； x∈ (1,2)时， y＜ 0，∴ x＝ 1是极大值点， x＝ 2 是极小值点，故③④正确．答案：①9．设 a 为实数，函数f(x)＝ e x－ 2x＋ 2a， x∈ R，求 f(x)的单调区间与极值．解：由 f(x)＝ e x－ 2x＋ 2a， x∈ R 知 f′ (x)＝ e x－ 2， x∈ R.令 f ′ (x)＝ 0，得 x＝ ln 2.于是当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化情况如下表：x(－∞， ln 2)ln 2(ln 2 ，＋∞ )f ′ (x)－0＋f (x)单调递减↘2(1－ ln 2＋ a)单调递增↗故 f( x)的单调递减区间是(－∞， ln 2) ，单调递增区间是且 f( x)在 x＝ ln 2 处取得极小值．极小值为f(ln 2) ＝ 2(1－ ln 2 ＋ a)，无极大值．(ln 2 ，＋∞ )；10． f(x)＝ ax 3＋ bx2＋cx(a≠ 0)在 x＝±1 时取得极值，且f(1) ＝－ 1.(1)试求常数 a， b， c 的值；(2)试判断 x＝±1 时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．解： (1)由， f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c，且 f′ (－ 1)＝ f ′ (1)＝ 0，得 3a＋ 2b＋ c＝ 0,3a－ 2b＋ c＝ 0.又f(1) ＝－ 1，∴ a＋b＋ c＝－ 1.∴ a＝1， b＝ 0， c＝－3. 22133x，(2) 由 (1)知 f(x)＝ x －22∴f′ ( x)＝32x2－32＝32(x－ 1)(x＋ 1)．当x<－ 1 或 x>1 时， f ′ (x)>0；当－ 1<x<1 时， f ′ (x)<0，∴函数 f(x)在 (－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，在 (－ 1,1)上为减函数．∴当 x＝－ 1时，函数取得极大值f(－ 1)＝ 1；当 x＝ 1 时，函数取得极小值f(1)＝－ 1.层级二应试能力达标1．函数 f(x)＝ ax3＋ bx 在 x＝ 1 处有极值－ 2，那么 a， b 的值分别为() A ． 1，－ 3B． 1,3C．－ 1,3D．－ 1，－ 3解析：选 A3a＋ b＝ 0，∵ f ′ (x)＝ 3ax2＋ b，由题意知 f ′ (1)＝ 0，f(1) ＝－ 2，∴∴a＋ b＝－ 2，a＝ 1， b＝－ 3.2． f(x)＝ x3＋ ax2＋ (a＋ 6)x＋ 1 有极大值和极小值，那么 a 的取值范围是 ()A ． (－ 1,2)B． (－ 3,6)C． (－∞，－ 3)∪ (6，＋∞ )D． (－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )解析：选 C f′ (x)＝ 3x2＋ 2ax＋ a＋ 6，∵ f( x)有极大值与极小值，∴f′ (x)＝ 0 有两不等实根，∴＝ 4a2－ 12(a＋ 6)>0 ，∴ a<－3 或 a>6.3．设 a∈R ，假设函数 y＝ e x＋ ax(x∈R) 有大于零的极值点，那么()A ． a＜－ 1B． a＞－ 111C． a＜－e D． a＞－e解析：选 A ∵ y＝ e x＋ ax，∴ y′＝ e x＋ a.令 y′＝ e x＋ a＝ 0，那么 e x＝－ a，∴ x＝ ln( －a)．又∵ x＞ 0，∴－ a＞ 1，即 a＜－ 1.4．函数 f (x)＝ e x(sin x－ cos x)， x∈ (0,2 017 ，π)那么函数 f (x)的极大值之和为 ()e2π1－e2 018 πeπ 1－e2 016πA.e2π－ 1B.1－e2πeπ 1－e1 008πeπ1－e1 008πC.1－ e2πD.1－ eπ解析： B f ′ (x)＝ 2e x sin x，令 f ′ (x)＝ 0得 sin x＝ 0，∴ x＝ kπ，k∈ Z ，当 2kπ<x<2kπ＋π， f′ (x)>0 ， f(x) 增，当(2k－ 1) π<x<2 kπ， f′ (x)<0， f(x)减，∴当x ＝ (2k＋ 1) π ， f(x)取到极大，∵x∈ (0,2 017 π)，∴ 0<(2k＋ 1) π<2 017，π∴ 0≤ k<1 008 ，k∈ Z. ∴ f(x)的极大之和S＝ f( π)＋f(3 π)＋f(5 π)＋⋯＋ f(2 015π3π5π 2 015 ππ)＝e ＋ e ＋ e ＋⋯＋ eπ2π 1 008π 2 016 π＝e [1－ e]＝e1－ e，故 B.1－ e2π1－ e2π5．假设函数 y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大13，数 m 等于 ______．解析： y′＝－ 3x2＋ 12x＝－ 3x(x－ 4)．由 y′＝ 0，得 x＝ 0或 4.且 x∈ (－∞， 0)∪ (4，＋∞ )， y′＜ 0；x∈ (0,4) ， y′＞ 0，∴ x＝ 4 取到极大．故－64＋ 96＋ m＝ 13，解得m＝－ 19.答案：－ 196．假设函数f( x)＝ x3＋ x2－ ax－ 4 在区(－ 1,1)上恰有一个极点，数 a 的取范______．解析：由意，f′ (x)＝ 3x2＋ 2x－ a，f′ (－ 1)f′ (1)<0，即 (1－ a)(5－ a)<0 ，解得 1< a<5 ，另外，当 a＝ 1 ，函数 f( x) ＝ x3＋ x2－ x－ 4 在区 (－ 1， 1)上恰有一个极点，当a＝ 5 ，函数 f(x)＝ x3＋ x2－ 5x－ 4 在区(－ 1,1)没有极点．故数 a 的范 [1,5) ．答案： [1,5)7．函数 f(x)＝ e x(ax＋ b)－ x2－ 4x，曲 y＝ f (x)在点 (0，f(0)) 的切方程 y＝ 4x＋ 4.(1)求 a， b 的；(2)f(x)的性，并求f(x)的极大．解： (1)f ′ (x)＝ e x(ax＋ a＋ b)－ 2x－ 4.由得f(0)＝ 4， f′ (0)＝ 4，故 b＝ 4， a＋ b＝ 8.从而 a＝ 4， b＝ 4.(2) 由 (1)知， f(x)＝ 4e x(x＋ 1)－ x2－ 4x，f′ ( x)＝ 4e x(x＋ 2)－ 2x－ 4＝ 4(x＋ 2) e x－1 .2令f′ (x)＝ 0 得， x＝－ ln 2 或 x＝－ 2.从而当 x∈ (－∞，－ 2)∪ (－ ln 2 ，＋∞ )， f ′ (x)>0；当 x∈ (－ 2，－ ln 2) ， f ′ (x)<0.故 f( x)在 (－∞，－ 2)， (－ ln 2 ，＋∞ )上增，在(－ 2，－ ln 2) 上减．当 x＝－ 2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为－2)．f (－ 2)＝ 4(1－ e8． f(x)＝ 2ln( x＋ a)－ x2－ x 在 x＝ 0 处取得极值．(1)求实数 a 的值．(2) 假设关于 x 的方程 f(x)＋b＝ 0 的区间 [ － 1,1] 上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围．解： (1)f ′ (x)＝2 －2x－1，当x＝0时，f( x)取得极值，x＋a所以 f ′ (0)＝ 0，解得 a＝ 2，检验知a＝ 2 符合题意．(2) 令 g(x)＝ f (x)＋ b＝ 2ln( x＋ 2)－ x2－ x＋ b，2x x＋5 2那么 g′ (x)＝2－ 2x－ 1＝－( x＞－ 2)．x＋ 2x＋ 2g(x)， g′ (x)在 (－ 2，＋∞ )上的变化状态如下表：x( － 2,0)0(0，＋∞ ) g′ (x)＋0－g(x)2ln 2＋ b由上表可知函数在x＝ 0 处取得极大值，极大值为2ln 2 ＋ b.要使 f(x)＋ b＝ 0 在区间 [－ 1,1]上恰有两个不同的实数根，g－ 1 ≤ 0，只需 g 0 ＞ 0，g 1 ≤ 0，b≤ 0，即2ln 2 ＋ b＞ 0， 2ln3 － 2＋ b≤ 0，所以－ 2ln 2＜ b≤ 2－ 2ln 3.故实数 b 的取值范围是( －2ln 2,2 － 2ln 3] ．。