等比数列的总结归纳
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结及经典例题1. 等比数列的前n 项和n S 公式：1 (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 2. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q…（公比为q ，中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a qq A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
等比数列性质归纳总结
等比数列 （一） 主要知识：等比数列的充要条件:()1{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为非零常数）； ()2{}n a 是等比数列n n a cq ⇔=（0,0c q ≠≠）()3{}n a 是等比数列212n n n a a a ++⇔=⋅()4{}n a 是等比数列n n S kq k ⇔=-（11a k q =-，0k ≠，1q ≠） （二）主要方法：1.涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量1,a q 来处理；2.已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为2,,a aq aq 或,,a a aq q ；四个数时设为3a q、aq、aq 、3aq3.等比数列的相关性质:()1若{}n a 是等比数列，则m n m n a a q -=⋅；()2若{}n a 是等比数列，,,,*m n p t N ∈，当m n p t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅特别地，当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=()3若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；()4若{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则m S ,2m m S S - , 32m m S S -…成等比数列．()5两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n na b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． 【典型例题】例1、已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式；例2、在等比数列{}n a 中，318a a -=，64216a a -=，40n S =，求公比q 、1a 及n问题2．1.已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,n N ∈*,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=2.在等比数列{}n a 中，32a =，5a m =，78a =，则m =.A 4±.B 5 .C 4- .D 43.在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a =.A 81 .B .C .D 2434.在83和272之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积是 5.在等比数列{}n a 中，已知1231a a a ++=，4562a a a ++=-，则该数列前15项的和15S =6.在等比数列{an}中，a1＝2，前n 项和为Sn ，若数列{an ＋1}也是等比数列，则Sn 等于 ( ) A.2n ＋1－2 B.3n C.2n D.3n －17.在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q 的值为 ( )A.1B.－12C.1或－12D.－1或128.若等比数列{an}满足anan ＋1＝16n ，则公比为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.169．记等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．3310．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．18911．已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an 和前n 项和Sn.例3数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12n n n a S n++=（1,2,3,n =⋅⋅⋅） 证明： 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，例4．已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，且142n n S a +=+()1,2,n =⋅⋅⋅，11a =.()1设12n n n b a a +=-()1,2,n =⋅⋅⋅，求证：数列{}n b 是等比数列；()2设2nn n a c =()1,2,n =⋅⋅⋅， 求证：{}n c 是等差数列；()3求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S变式训练(1)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，数列{bn}中，b1＝a1，bn ＝an －an －1 (n ≥2)，且an ＋Sn ＝n. ①设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列； ②求数列{bn}的通项公式.(2)已知数列{an}的首项a1＝5，前n 项和为Sn ，且Sn ＋1＝2Sn ＋n ＋5，n ∈N*. ①证明数列{an ＋1}是等比数列； ②求{an}的通项公式以及Sn.(3)设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n －1)Sn ＋2n(n ∈N*)． ①求a2，a3的值；②求证：数列{Sn ＋2}是等比数列．（四）巩固练习：1.在等比数列{}n a （*n N ∈）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为 .A 4122- .B 9122-.C 10122-.D 11122-2.已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是(),b c ， 则ad 等于 .A 3 .B 2 .C 1 .D 2-3.（07重庆）设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则20062007a a+=______．4.若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，*n N ∈），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则.A 甲是乙的充分条件但不是必要条件.B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 .C 甲是乙的充要条件 .D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.（07陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，314n S =，则4n S 等于 .A 80 .B 30 .C 26 .D 166.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 .A 122n +- .B 3n .C 2n .D 31n -7.设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则q 的值为8.（07全国文Ⅱ）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，， 求{}n a 的通项公式．9.（07北京）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．10.（山东）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a N ∈*． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．11.（06福建文）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。
等比数列知识点归纳总结图文
等比数列知识点归纳总结图文在数学中，等比数列是一种特殊的数列。
它是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
本文将对等比数列的相关知识点进行归纳总结，并以图文形式展示，帮助读者更好地理解和掌握等比数列的概念和性质。
1. 等比数列的定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，数列的通项公式为an=a×r^(n-1)。
其中，n表示数列中的第n项。
2. 等比数列的性质（1）通项公式：等比数列的通项公式是an=a×r^(n-1)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（2）前n项和公式：等比数列的前n项和公式是Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（3）比值性质：等比数列中，任意两项的比值都为常数，即an/an-1=r。
（4）倒数性质：等比数列中，任意两项互为倒数，即an与1/an-1互为倒数。
3. 等比数列的图文示例下面通过图文形式对等比数列进行示例，以加深对等比数列的理解和记忆。
（插入示例图片）图1是一个等比数列的示例图，首项a=2，公比r=3/2。
根据等比数列的通项公式an=a×r^(n-1)，我们可以计算出数列的前几个项如下：a1=2a2=2×(3/2)^1=3a3=2×(3/2)^2=4.5a4=2×(3/2)^3=6.75...由此可见，该数列每一项与前一项的比相等，且比值为3/2。
（插入示例图片）图2展示了等比数列的前n项和的计算过程，首项a=10，公比r=0.5。
根据等比数列的前n项和公式Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前几项和如下：S1=10S2=10×(1-(0.5)^2)/(1-0.5)=15S3=10×(1-(0.5)^3)/(1-0.5)=19.5S4=10×(1-(0.5)^4)/(1-0.5)=21.75...可以看出，数列的前n项和随着项数的增加而增加。
等比数列公式_公式总结
等比数列公式_公式总结如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时，Sn=n×a1（q=1）记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列中知识点总结
等比数列中知识点总结一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体而言，如果一个数列满足an=ar^(n-1)，其中a是首项，r是公比，n是项数，那么这个数列就是等比数列。
公比r是等比数列中相邻两项的比值，它代表着数列中每一项与前一项的比例关系。
二、等比数列的通项公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，我们可以通过求出前n项和来求解其通项公式。
等比数列的前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
通过这两个公式，我们可以方便地求解等比数列的通项公式，从而推导出数列中任意一项的值。
三、等比数列的性质1. 等比数列的前n项和公式在等比数列中，前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
这个公式可以帮助我们快速计算出数列的前n项和，从而对数列进行更深入的分析和应用。
2. 等比数列的性质等比数列具有许多重要的性质，例如任意一项与它的前一项的比值都是相等的，序列中相邻两项的比值等于公比r等。
这些性质使得等比数列可以在实际问题中被广泛地应用，例如在金融、生物、工程等领域中。
3. 等比数列的图像等比数列的图像是一条直线，其斜率等于公比r。
通过绘制等比数列的图像，我们可以更直观地理解数列中项与项之间的比例关系，从而更深入地理解等比数列的性质和应用。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有许多重要的应用，下面我们就来介绍一些常见的应用领域。
1. 财务投资在财务投资中，等比数列可以用来描述利息的增长规律。
例如，如果某个投资方案的收益率是一个固定的百分比，那么这个投资方案的收益可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以轻松地计算出不同时间段内的收益总额。
2. 生物学在生物学研究中，等比数列可以用来描述生物种群的增长规律。
例如，如果某种动植物的数量每一代都以相同的比例增长，那么这个生物种群的数量可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以预测未来某一时刻该种群的数量。
小学等比数列知识点归纳总结
小学等比数列知识点归纳总结等比数列是数学中常见的数列形式之一，它由首项和公比确定。
在小学阶段，学生们初步接触到等比数列的概念和性质，并学习如何求解等比数列中的各项值以及计算等比数列的和。
本文将对小学等比数列的知识点进行归纳总结。
一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。
对于一个等比数列来说，它可以用以下形式表示：a，ar，ar^2，ar^3，...其中，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
在等比数列中，我们可以得出以下性质：1. 第n项的计算公式第n项的计算公式为：an = a * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
2. 公比的确定公比r可以通过任意两项的比值求得，即r = 第n项/第(n-1)项。
3. 通项公式的推导由于等比数列的第n项的计算公式中包含了指数运算，我们可以通过观察前几项的比值来推导通项公式。
例如，当首项为a，公比为r时，我们可以得到等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)。
二、等比数列的应用等比数列在实际生活和数学问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务管理在财务管理领域，等比数列经常用于计算利息、复利和投资增长等问题。
通过了解等比数列的性质和计算公式，我们可以更好地理解和应用于财务管理中的复利增长问题。
2. 几何图形等比数列可以与几何图形相联系，例如等比数列中的每一项可以表示连续放大或缩小的几何图形的边长、面积或者体积。
3. 科学实验在科学实验中，等比数列经常用于描述物质转化的速率。
通过观察实验中物质数量的变化，我们可以将其表示成等比数列，并进一步研究物质转化的规律。
4. 运动问题等比数列可以应用于运动问题中的速度、距离等相关计算。
当知道等比数列中的两项的值时，我们可以通过计算得到其他项的值，并用于解决运动问题。
三、等比数列的求解在解决等比数列的问题时，我们通常需要计算等比数列的前n项和和求解特定项的值。
等比数列的性质总结
等比数列性质1. 等比数列的定义：()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m n m a q a -=或n q =3. 等比中项 （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅4. 等比数列的前n 项和n S 公式：(1) 当1q =时， 1n S na =(2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S qq --==-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
高中数学等比数列知识点总结
高中数学等比数列知识点总结高中数学等比数列知识点总结上学期间，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。
为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编帮大家整理的高中数学等比数列知识点总结，欢迎阅读与收藏。
高中数学等比数列知识点总结篇11.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的'特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.高中数学等比数列知识点总结篇21.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
等比数列的知识点总结
等比数列的知识点总结数列在数学中有着非常重要的地位，尤其是等比数列，更是数学中常见且重要的一种数列。
等比数列是数列中的一种，大家可以把它看作是是一连串数的有序排列，每一个数都比前一个数都要大（小）一定的倍数。
接下来我们将具体介绍等比数列的基本概念、性质和公式，以及等比数列在数学中的应用。
一、等比数列的基本概念等比数列是指由首项 a1 和公比 r 组成的数列，即数列的任意一项与它的前一项的比是一个常数，这个常数就是公比。
等比数列的通项公式如下：an = a1 × r^(n-1)其中，an 表示第 n 项，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示第 n 项。
二、等比数列的性质1.任意两项之商相同，即任意两项的比值都是常量，这个常量就是公比 r。
2.若首项为 a1，公比为 r，等比数列有无限项。
3.等比数列中，若 r>1，则数列单调递增；若0<r<1，则数列单调递减。
4.当公比 r=1 时，等比数列即为等差数列；当公比 r= -1 时，等比数列为首项为非零实数的交错数列。
5.等比数列的前 n 项和为：S_n = (a1 × (1-r^n)) / (1-r)三、等比数列中的常见公式1. 等比数列前 n 项和公式S_n = (a1 × (1-r^n)) / (1-r)其中，S_n 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示数列中的项数。
2. 等比数列的通项公式an = a1 × r^(n-1)其中，an 表示第 n 项，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示第 n 项。
3. 等比数列中的数列求和公式Sn = a1(1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示数列中的项数。
四、等比数列在数学中的应用等比数列在数学中有着广泛的应用，尤其是在金融、自然科学等领域中。
下面我们就看一下等比数列在数学中的具体应用：1. 金融领域在金融领域中，等比数列常常被用来计算投资收益。
等比数列知识点及题型归纳
等比数列知识点及题型归纳一、等比数列简介等比数列是数学中常见的一种数列。
如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等，则这个数列被称为等比数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比，n表示项数。
二、等比数列的性质：1. 常比：等比数列中，公比r始终是一个常数。
2. 正比和负比：如果公比r>1，则称等比数列为正比数列；如果0<r<1，则称等比数列为负比数列。
3. 倒数和倒数的倒数：对于等比数列，如果公比r不等于1，则相邻两项的倒数也是一个等比数列，并且它们的公比是1/r。
4. 等比中项：对于等比数列，存在一个项x，称为等比中项，它满足x²=a1*a(n+1)，其中a1表示第一项，an表示最后一项。
5. 等比数列的和：等比数列的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)，其中a1表示第一项，r表示公比。
三、等比数列的常见题型：1. 求第n项：已知等比数列的首项和公比，求第n项的值。
2. 求前n项和：已知等比数列的首项和公比，求前n项和的值。
3. 求公比：已知等比数列的首项和第n项，求公比的值。
4. 求等比中项：已知等比数列的首项和最后一项，求等比中项的值。
5. 求满足条件的项数：已知等比数列的首项和公比，求满足条件的项数。
6. 判断数列性质：已知数列的前几项，判断数列是等比数列还是等差数列。
7. 求等差数列对应项：已知等差数列和等比数列的相同位置上的项相等，求该等差数列的对应项。
四、等比数列的应用：等比数列在实际生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些等比数列的典型应用场景：1. 财务计算：等比数列可以用来计算贷款或投资的复利。
2. 科学研究：等比数列的合理运用可以帮助科学家研究自然界中的各种现象。
3. 经济分析：等比数列可以用来分析经济增长和衰退的趋势。
4. 工程计划：等比数列可以用来计算任务的进度和耗时。
(完整版)等比数列知识点总结
等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n mn m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na =（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
高中数学等比数列知识点总结最新7篇
高中数学等比数列知识点总结最新7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(完整版)等比数列知识点总结
a na n 一1= q (q 士 0)(n > 2,且n 仁 N * )， q 称为a n = a 1q n 一1 = a1qq n = A . B n (a 1 . q 士 0, A . B 士 0)，首项： a 1 ；公比： q推广：a n = a m q n 一m 一 q n 一m = an( 1)如果a , A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即： A 2 = ab 或A = 士 abma a m a 一 q = n 一m n注意：两个等比中项互为相反数)(2)数列{a n }是等比数列一 a n 2 = a n一1 . a n+1S( 1)当q = 1 时，S n = na1( 2 )当q 士 1时，S=a1(1一q n)=a1一anqn 1一 q 1一 q= a1一a1q n = A 一 A . B n = A ' B n 一 A '1一 q 1一 q( A, B, A',B '为常数)( 1 )用定义：对任意的n ，都有an+1= qan或 = q(q为常数， an士 0) 一 {an}为等比数列①等比数列通项公式( 2 )等比中项：a n 2 = a n+1a n 一1 (a n+1a n 一1 士 0) 一 {a n }为等比数列( 3 )通项公式：a n = A. B n (A. B 士 0) 一 {a n }为等比数列依据定义：若a na n 一1= q (q 士 0)(n > 2,且n e N * )或a n+1 = qa n 一 {a n } 为等比数列7、等比数列的性质：( 1)当q 士 1时a n = a 1q n 1 = a1qq n = A . B n (A . B 0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 q ；②前n 项和S n =a 1 (1 q n )1q= a 11q a 11qq n = A A . B n = A'B n A'，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比 q 。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结等比数列是数学中著名的数列，其形式为an=ar，其中a是基数，r是公比，n是项数，a0,a1,a2,a3…是等比数列的项。
本文将总结等比数列的特征和相关计算公式。
1、等比数列的定义等比数列是一种数列，其公比恒定，两项之比为该公比。
即an/an-1=r，称之为等比数列。
2、等比数列的特点（1）等比数列的公比为正，则项数增加时，等比数列的大小是增长的；公比为负，则项数增加时，等比数列的大小是减小的。
（2）当公比r>0时，等比数列的和是收敛的；当公比r<0时，等比数列的和是发散的。
（3）如果公比绝对值r的值大于1，则项数增加时，等比数列的项的绝对值变化很大；如果公比绝对值r的值等于1，则项数增加时，等比数列的项的绝对值变化不大；如果公比绝对值r的值小于1，则项数增加时，等比数列的项的绝对值减小很快。
3、等比数列的公式（1）等比数列通型等比数列通型表示法：an=a1r-1其中a1为等比数列的该项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始）。
（2）等比数列的求和：S=a1(1-r)/1-r其中a1为等比数列第一项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始）。
（3）等比数列期望：<an>=S/n=a1(1-r)/(1-r)*n其中a1为等比数列第一项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始），<an>表示等比数列的期望。
（4）连续等比数列的求和：S=a1(1-rn)/1-r其中a1为等比数列第一项，r为等比数列的公比，n为该项所在的位数（从1开始）。
4、等比数列的应用等比数列可以广泛应用于各种对数函数中，最常见的应用是贷款中的等额本息计算。
此外，等比数列还可以广泛应用于基金、股票，甚至人口增长率的估计中，都有其特殊的用途。
综上所述，等比数列是数学中重要的概念，其特点有着特别重要的实际应用价值，同时也有其特定的计算公式，本文对等比数列的定义、特点和公式进行了总结，并介绍了其中的一些重要应用。
等比数列的性质的经典总结
1.等比数列的定义: a nan 12.通项公式: na n aQ a1q qA B n a 1推广：a n n ma m q 3.等比中项 （1） 如果a, A,b 成等比数列，那么 注意：同号的两个数才有等比中项,（2） 数列a n 是等比数列a n 2 4.等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n nq . . n a 1 q（2）当 q 1 时，Sn ------- 1 q 5.等比数列的判定方法 (1) 定义法：对任意的 n ,都有a n 2中项公式法：a n an 1an(4) 通项公式法：a n 前n 项和公式法: 等比数列 6.等比数列的证明方法 依据定义：若-an- a n 1A B nS n等比数列的性质总结n 2,且n N , q 称为公比0,A B 0，首项: 从而得q n a i ；公比：qa na mA 2ab 或 A T ab A 叫做a 与b 的等差中项.即： 并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） a n 1 an 1 a 1 an q _ a1a 1 1 q 1q n A A B n A'B n A' ( A,B, A',B'为常数) q 1 q0 q 1a n q或詈 a n 1a n）q （q 为常数，a n 0） {a n }为等比数列.{a n }为等比数列.{a n }为等比数列AS nA'B nA' A,B, A',B'为常数{a n }为n 2,且 nan1 qan{a n }为等比数列7.注意（1） 等比数列的通项公式及前 本元素。
只要已知这 5个元素中的任意3个,（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，n 和公式中, 涉及到 便可求出其余2个， 般可设为通项； a n5个元素: a 1、q 、n 、 即知3求2。
n 1a 1qa n 及S n ,其中a 1、q 称作为基如奇数个数成等比，可设为…，-ar,-,a,aq,aq 2…（公比为q ，中间项用a 表示）；q qa m q n m ,特别的，当 m 1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
等比数列知识点归纳总结中职数学
等比数列知识点归纳总结中职数学在中职数学学习中，等比数列是一个重要的知识点。
本文旨在对等比数列的相关概念、性质及其应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握等比数列的知识。
一、等比数列的定义与基本性质等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。
具体地说，如果一个数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，则该数列就是一个等比数列。
1. 公比的概念：等比数列中相邻两项的比值称为公比，用q表示。
公比q是等比数列的重要参数，它决定了数列的增减趋势。
2. 首项与通项：等比数列中的第一项称为首项，用a1表示；数列中第n项的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
3. 公比的取值范围：当公比q>1时，数列是递增的；当0<q<1时，数列是递减的；当q=1时，等比数列退化为等差数列。
4. 等比数列的性质：等比数列有许多重要性质，包括等差数列没有的特点。
比如，等比数列不存在有限项的和公式，但存在无穷项和的条件。
二、等比数列的常见问题及解答1. 如何判断一个数列是否是等比数列？要判断一个数列是否是等比数列，可以从两个方向入手。
一是计算相邻两项的比值，若得到的比值相等，则数列是等比数列；二是观察数列的通项公式，若满足an=a1*q^(n-1)，则数列是等比数列。
2. 如何确定等比数列的公比和首项？已知一个数列是等比数列，若给出了数列的任意两项，可以通过求相邻两项的比值来确定公比q。
公比确定后，再利用已知的某一项和对应的索引值，可以求解首项a1。
3. 如何求等比数列的前n项和？与等差数列不同，等比数列没有固定的有限项和公式。
但当公比q 满足|q|<1时，等比数列存在无穷项和的条件，即S∞=a1/(1-q)。
其中，S∞表示等比数列的无穷项和。
4. 如何判断等比数列的性质和特点？通过观察数列的增减趋势和公比的取值范围，可以判断等比数列的性质和特点。
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a1 1 q n 1 q
a1 an q 1 q
Байду номын сангаас
a1 a 1 q n A A B n A ' B n A ' （ A, B, A ', B ' 为常数） 1 q 1 q
5. 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的 n,都有 an1 qan或
an1 q(q为常数，an 0) {an } 为等比数列 an
6
课堂总结
课后作业 1. 设 s n 表示数列 an 的前 n 项和， （1）若 an 是等差数列，推导 s n 的计算公式 （2）若 a1 1, q 0, 且对所有正整数 n ，有 Sn
1 qn ，判断 an 是否为等比数列，并证明你的结论。 1 q
2. 设数列 an 的前 n 项和 Sn 2an 2n （1） 求 a3 , a4
1 1 【变式 1】求等比数列 1, , , 3 9
的前 6 项和。
3
【变式 2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求 S5.
【变式 3】在等比数列 {an } 中， a1 an 66 ， a2 an1 128 ， Sn 126 ，求 n 和 q 。
类型三：等比数列的性质 例 3. 等比数列 {an } 中，若 a5 a6 9 ,求 log3 a1 log3 a2 ... log3 a10 .
1 0，则{ an }为递增数列 {a a1 0，则{an }为递减数列 ,
an1 an2 a2n ,
②当 0<q 1时，
a2n1 a2n2 a3n 成等比数列
1 0，则{ an }为递减数列 {a a1 0，则{an }为递增数列
③当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n N * )时,
【变式 4】等比数列 {an } 中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_____________.
【变式 5】等比数列 {an } 中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。
能力提升
类型五：等差等比数列的综合应用
例 5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列 的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.
an q q 0 n 2, 且n N * 或 an1 qan {an } 为等比数列 an1
7. 注意 （1）等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 q 称作为基本 元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。
【变式 2】{an}为等比数列，an＞0，且 a1a89=16，求 a44a45a46 的值。
【变式 3】已知等比数列 {an } ，若 a1 a2 a3 7 ， a1a2 a3 8 ，求 an 。
类型二：等比数列的前 n 项和公式
例 2．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.
(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，logmb，logmc 成等差.
类型七：Sn 与 an 的关系
2 例 7．已知正项数列{an}，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn an 5an 6 ，且 a1，a3，a15 成等比数列，求数列
{an}的通项 an. 【变式】命题 1：若数列{an}的前 n 项和 Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题 2：若数列 {an} 的前 n 项和 Sn=na-n ，则数列 {an} 既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.
【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4， ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再 把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。
5
类型六：等比数列的判断与证明
例 6． 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足： log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式， 并判断{an} 是何种数列？
a1 n q A B n A B 0 是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 q q
②前 n 项和 Sn
a1 1 q n 1 q
a1 a1q n a1 a 系数和常数项是互为相反数的类 1 qn A A Bn A ' Bn A ' ， 1 q 1 q 1 q
从而得 q
nm
a an 或 q nm n am am
2
（1）如果 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即： A ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列 an 是等比数列 an 2 an1 an1 4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式： (1) 当 q 1 时， Sn na1 (2) 当 q 1 时， S n
1
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； an a1q n1 如奇数个数成等差，可设为…，
a a ； , , a, aq, aq 2 …（公比为 q ，中间项用 a 表示） 2 q q
8. 等比数列的性质 (1) 当 q 1 时
①等比数列通项公式 an a1q
n 1
【变式 1】正项等比数列 {an } 中，若 a1·a100=100; 则 lga1+lga2+……+lga100=_____________.
8 27 【变式 2】 在 和 之间插入三个数， 使这五个数成等比数列， 则插入的三个数的乘积为________。 3 2
类型四：等比数列前 n 项和公式的性质 例 4．在等比数列 {an } 中，已知 Sn 48 ， S2 n 60 ，求 S3n 。
（2） 等比中项： an 2 an1an1 （ an 1an 1 0） {an } 为等比数列 （3） 通项公式： an A B
n
A B 0 {an } 为等比数列
n n
（4） 前 n 项和公式： Sn A A B 或Sn A ' B A ' A, B, A ', B ' 为常数 {an } 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
【变式 1】已知数列{Cn}，其中 Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数 p。
【变式 2】判断正误： (1){an}为等比数列 a7=a3a4； (2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列； (3){an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列；
1 2 (4){an}是公比为 q 的等比数列，则 {an } 、 仍为等比数列； an
（2） 证明： an1 2an 是等比数列 （3） 求 an 的通项公式
7
8
S奇 1 ,. S偶 q
(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Snm Sn qn Sm
精讲精练
类型一：等比数列的通项公式 例 1．等比数列 {an } 中， a1 a9 64 , a3 a7 20 ,求 a11 .
2
【变式 1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求 a6。
a k (4) 列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k an } , {an k }, {k an bn } { n } (k 为非零常数) 均为等比数列. bn an
(5) 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k N * )项取出一项( am , amk , am2k , am3k , )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n , ，成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列,则数列 a1 a2 an , (9) ①当 q 1 时，
【变式 1】等比数列 {an } 中，公比 q=2, S4=1,则 S8=___________.
【变式 2】已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求：S30=？
4
【变式 3】等比数列 {an } 的项都是正数，若 Sn=80, S2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.
知识梳理
1. 等比数列的定义： 2. 通项公式：
an q q 0 n 2, 且n N * ， q 称为公比 an1
an a1q n 1
a1 n q A B n a1 q 0, A B 0 ， q
首项： a1 ；公比： q
推广： an amqnm ， 3. 等比中项
指数函数，底数为公比 q
(2) 对任何 m,n N * ,在等比数列 {an } 中,有 an amqnm ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因 此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t N * ),则 an am as at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an am ak 2 注： a1 an a2 an1 a3an2