08-图论-离散数学讲义-海南大学(共十一讲)

08-图论-离散数学讲义-海南大学(共十一讲)

8.图论Topics in Graph Theory §8.1 图Graphs

G=

V={v

1,v

2

,······,v n} 顶点vertex集。

E={ e | e=( v

i , v

j

), v

i

,v

j

∈V, v i≠v j}无向边edge集。

γ(e)={ v i, v j}, e的端点end points集。

简写为G＝（V，E）。

TD(v i)顶点v i的度数degree：连接到v i的边的条数。连接一个顶点的圈loop算两度。

孤立点isolated vertex：度数为0的点。

两个顶点相邻adjacent：有一边相连。

定理1. (握手定理) TD＝ TD(v i)=2m.

推论. 任意图的奇数度顶点必有偶数多个。

完全图complete graph：

任意两点都相邻简单图。

定理2. n个顶点的完全图有n(n-1)/2条边。正则图regular graph：每个顶点都有相同的度数。E={|v i ,v j∈V}有向边集有向图

有向边 ，

v i 起点弧尾， v j 终点弧头

TD(v i ):顶点的度degree: 以v i 为端点的边的数目。 OD(vi): 出度, 以v i 为起点的边的数目。 ID(v i ): 入度，以v i 为终点的边的数目。 TD(v i )= OD(vi)+ ID(v i )

OD=ID, TD=2|E|，E| =1/2*TD

TD OD ID 为整个图的总度,出度,入度数。

路径path ： v i ······v j ， 以v i 为起点v j 为终点的顶点序列，相邻顶点相邻。

路径的长length : 路径上边的数目，

简单路径simple path :点都不重复的路径，

回路circuit : 首尾相接的路径，

简单回路simple circuit : 除起点和终点以外都不重复的路径，

v i v j 连通connected : 有路径 v i ······v j 相连。

连通图: 任意两点都连通的图。 例

左图a,c,d,g 是简单路径 右图a,d,b,c,e 是简单路径。 f,e,a,d,b,a,f 是简单回路。 f,e,d,c,e,f 不是简单回路。

b

f

g

d c e

a f d

c

a e b

有向图

v i v j强连通v i v j连通v j v i也连通，

强连通图任意两点都强连通。

子图和商图Subgraph and Quotient Graph

G=(V, E), G’=(V’, E’)

如果V’ ⊆V, E’ ⊆E , 就称G’是G的子图subgraph。

G'＝(V, E\E’), G的边集中去掉E’的边。

G’的补图：

G e＝（V，E’）, E’=E\{e}.

连通分量connected components:

一个图的极大连通子图。

一个图可以划分成几个不相交的连通分量。

强连通分量strong connected components: 一个有向图的极大强连通子图。

商图quotient graph

R是V上等价关系，

V/R={[v] | v∈V}

E/R={([v], [w]) | [v], [w]中有相邻的顶点}

G R＝G/R=(V/R, E/R),称为G模R的商图。

把R相关的顶点粘合成一点，相关的边粘合成一边，就得到商图。

连通图的生成树spanning tree: 含有所有顶点的极小连通图.

n个顶点连通图至少有n-1条边。

m条边的连通图去掉m－n＋1条边可以得到生成树。

从连通图中如有回路，去掉回路中的一条边，继续直至没有回路，就得到生成树。

从m条边的连通图中得到生成树，要去掉m－n＋1条边

T是连通图G的生成树，G的每一条不属于T的边e，叫弦。

m条边的连通图共有m－n＋1条弦。

基本回路：每条弦加到T中得到一个回路，叫基本回路。

m条边的连通图共有m－n＋1个基本回路。

割集：G 的边集，去掉后G 不连通。 一条边组成的割集叫桥bridge 。 树的每条边都是桥。

基本割集：生成树T 中每一条边，和G 中对应于T 的所有的弦，组成一个割集，叫基本割集。

最小生成树：权重最小的生成树。 带权的边：带边长的边。 带权的图：每边都带权。 Prim 算法： 设 G=,

1. 令 U={v 0}, T={ }.

2. 对任意u ∈U, v ∈V-U, (u,v)∈E, 找到权最小的边(u 1,v 1),

令U=U ∪{v1}, T=T ∪{(u 1,v 1)} 3. 重复2，直至U=V .

得到 T 就是最小生成树。

T 中共有n-1条边

C

B E A

F

D

653

6

4

521

56

C

B E

A

F

D

653

6

4

521

56

U={A}, T={(A,C)}

U={A,C}, T={(A,C),(C,F)}

U={A,C,F}, T={(A,C),(C,F),(D,F)}

U={A,C,F,D}, T={(A,C),(C,F),(D,F),(B,C)}

U={A,C,F,D,B}, T={(A,C),(C,F),(D,F),(B,C),(B,E)}U={A,C,F,D,B,E}