高考数学核心考点集锦课件：策略1 高考中选择题、填空题的解题方法

直接法
所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性 质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结 论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”．其基本策略是由因 导果，直接求解．
【例题1】►已知函数f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝2sin x，动直线x＝t与f(x)、 g(x)的图象分别交于点P、Q，则|PQ|的取值范围是( A．[0,1] 解析 B．[0,2] C．[0， 2] D．[1， 2] t)，Q(t,2sin t)，则|PQ|＝ )．
1 2b 2 2 取 a＝± 代入原不等式，得 3x －8bx＋4b >0.解得 x< ，或 x>2b，这 2 3
样必超过三个整数解，从而排除 A、B；取 a＝4，代入原不等式，得 15x2 b b ＋2bx－b2<0，解得－ <x< ，这时必少于三个整数解，从而排除 D. 3 5 综上，只能选 C. 答案 C
x2 y2 【例题 3】►B 是双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)上在第一象限的任意一点， a b A 为双曲线的左顶点，F 为右焦点，∠BFA＝2∠BAF，则双曲线 C 的离心率 为( A. 3 解析 )． B．3 C. 2 D．2
b2 (特殊值法)设 BF⊥x 轴， 则∠BFA＝90° 则∠BAF＝45° 即 a＋c＝ ， ， ， a
排除法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到 符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各 项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的 结论．
【例题 5】 ►若函数 f(x)＝a x(a>0， a≠1)是定义域为 R 的增函数， 则函数 f(x) ＝loga(x＋1)的图象大致是( )．
解析 由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小 者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图 象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．
答案
C
点评：严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选 择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲 线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题方法．
m－3 B. 9－m
)．
D．5 因为cos2θ＋sin2θ＝1，则m一定为确定的值，因此sin θ，cos θ的值与
解析
θ θ m无关，从而tan 也与m无关，A、B排除．我们可估算tan 的大致取值范 2 2 π π θ π θ 围来排除不正确的答案， <θ<π， < < ，所以tan >1，故选D. 2 4 2 2 2 答案 D
解析
对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，即是x∈D1，有
f(x)>0，x∈D2，有g(x)>0，其中D1∪D2＝R.通过分析，我们知道此题按常 规思路解的难度很大，既要对m进行分类讨论，又要根据不同函数的性质 来求解，所花时间会很多，不利于后面的解题．此时，我们应停下笔，静 下心，仔细看看选项，也许它们能提供不错的解题思路．通 过观察选项，我们发现2是一个特殊值，对其进行检验．当m＝2时，f(x)＝ 4x2－4x＋1＝(2x－1)2，g(x)＝2x.当x≤0时，f(x)>0；当x>0，g(x)>0，满足 题意，所以选B.如果取一个特殊值还不足以说明问题，我们就多取几个， 取值的原则为有利于计算，有利于发现问题的本质．以此题为例，假设若 取m＝2未发现答案，则我们还可取m＝1或m＝4. 答案 B
可得双曲线的离心率 e＝2. 答案 D
π 【例题 4】►已知向量 a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)，θ－φ＝ ，则向 3 量 a 与向量 a＋b 的夹角是( π A. 3 解析 π B. 6 5π C. 6 2π D. 3 )．
π 由题意可设 θ＝ ，φ＝0， 3
3 3 1 π π 1 3 3 则 a＝cos 3，sin 3＝ ， ， b＝(1,0)， a＋b＝ ， ＝ 3 ， ＝ 3 2 2 2 2 2 2 π π cos ，sin . 6 6
特例法
特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况 为真，即普通性寓于特殊性之中，所谓特例法，就是用特殊值(特殊图形、 特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而 作出正确的判断．常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊 图形、特殊角、特殊位置等．这种方法实际是一种“小题小做”的解题策 略，对解答某些选择题有时往往十分奏效．
综合法
当单一的解题方法不能使试题迅速获解时，我们可以将多种方法融为一 体，交叉使用，试题便能迎刃而解．根据题干提供的信息，不易找到解题 思路时，我们可以从选项里找解题灵感．
【例题11】►已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx.若对于任一实数 x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( A．(0,2) C．(2,8) B．(0,8) D．(－∞，0) )．
x2 y2 【例题7】►如果直线y＝kx－1与椭圆 ＋ ＝1相切，那么a与k的取值范围 4 a 分别是( )．
1 1 A．(0,1)，－2，2 1 1 B．(0,1]，－2，2 1 1 － ，0∪0， C．(0,1)， 2 2 1 1 D．(0,1]，－2，2
－
解析
(排除法)∵f(x)＝loga(x＋1)的定义域为{x|x>－1}，
∴排除 A、B.
1x 1 (a>0，a≠1)是定义域为 R 的增函数，∴ >1，∴0<a<1. 又∵f(x)＝a ＝ a a
－x
∴f(x)＝loga(x＋1)为定义域内的减函数，排除 C. 答案 D
【例题 6】►若 0<b<1＋a，若关于 x 的不等式(x－b)2>(ax)2 的解集中的整数 恰有 3 个，则( A．－1<a<0 C．1<a<3 解析 )． B．0<a<1 D．3<a<6
【例题12】►如图所示，P是正四面体VABC的面VBC上一点，点P到平面 ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是( )．
A．直线 B．抛物线 C．离心率为 2 2 的椭圆 3
D．离心率为3的双曲线
解析
A易排除，综合选项及题干，我们知道该题考查的是圆锥曲线的统
一定义，即曲线上的点到定点和定直线的距离比是否为常数，常数值是多 少？设VP＝PD＝t，作PE⊥BC于E，则∠PED就是面VBC与面ABC所成的 1 3 2 PV 2 2 二面角的平面角．易求cos∠PED＝ ，所以PE＝ t，所以 ＝ <1.动 3 4 PE 3 2 2 点P的轨迹是离心率为 的椭圆． 3 答案 C
解析
直线与椭圆相切，则点(0，－1)不在椭圆内，得0<a≤1，∴排除A、
1 C；当k＝ 时，直线和椭圆相交，∴排除D. 2 答案 B
点评：排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多 于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再 ，直到得出 正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近 几年高考选择题中占有很大的比重．
答案
B
点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广．一 般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法．只要 运算正确必能得出正确的答案．提高直接法解选择题的能力，准确地把握 题目的特点，用简便方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础 上的，在稳的前提下求快．一味求快则会快中出错．
π ∴向量 a 与向量 a＋b 的夹角为 . 6 答案 B
点评：在题设条件都成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求， 从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般 规律，是解答本类选择题的最佳策略．近几年高考选择题中可用或结合特 例法来解答的约占 30%.因此，特例法是求解选择题的绝招．
3．由于选择题80%以上的题目都可以用直接法通过思考、分析、运算得出 结论．因此直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较 大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根 本无法解答．因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题方法．解选择题 的特殊方法有直接法、特例法、排除法、数形结合法、极限法、估值法 等．
数形结合法
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思 维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作 用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．
【例题8】►设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，B C 2＝16，|A B ＋ A C |＝|A B －A C |，则|AM |等于( A．8 C．2 解析 B．4 D．1 根据|A B ＋A C |＝|A B －A C |，两边平方可得A B · C ＝0，则A B ⊥ A
2．选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和 深度等特点．选择题主要考查对基础知识的理解、对基本技能、基本计 算、基本方法的熟练运用，以及考查考虑问题的严谨性，解题速度等方 面．解答选择题的基本策略是充分利用题设和选项两方面提供的信息作出 判断．一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特 殊值判断的，就不要采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接 法解；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；对于具 有多种解题思路的，宜选最简解法．解题时应仔细审题、深入分析、正确 推理、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确．
依题意得点P(t，sin