反比例图象和性质

x 0
y
0
x
1.反比例函数的图像是双曲线;
2.图像性质见下表： y=
图 象
当k＞0时，函数图像 的两个分支分别在第 一、三像限，在每个 像限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图像 的两个分支分别在第 二、四像限，在每个 像限内，y随x的增大 而增大.
k x
K>0
K<0
性 质
反比例函数的图象和性质
１、这几个函数图象有什 么共同点？
X
２、函数图象分别位于哪 几个象限？ ３、y随的x变化有怎样的 变化？
y
反比例函数的性质
1.当k>0时,图象的两个分 支分别在第一、三象限内， 在每一个象限内，y随x的 增大而减小； 2.当k<0时,图象的两个分 支分别在第二、四象限内， 在每一个象限内，y随x的 增大而增大。
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数 的图象上, x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2 .
-2
y
-1 y3
A
B
o y1 y2
C 4
x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一
３.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均 速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
练一练
1
20 y x
函数
一、三 的图象在第________象限,
减小 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 二、四 函数 y 30 的图象在第________象限,
2.已知点A（－3，a），B（－2，b）， 2 在双曲线 y＝－ 上，则 a___b(填>、 x < =或<)。
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题: (1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
x
增大 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 函数
y

x
,当x>0时,图象在第____象限, 一
减小 y随x 的增大而_________.
k＋1 ２.若关于x,y的函数 y 图象位于第一、三象限， x
k>－1 则k的取值范围是_______________
３.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均 速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
(C)
(D)
解析式的确定
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的 增大如何变化?
(2)点B(3,4) 、C(-2.5,-4.8)和D(2,5)是否在这个 函数的图象上?
当堂训练1
k 1.反比例函数 y= 的图象过点(-4,-2), x 8 y= x 那么它的解析式为________.当x=1时, y=____. 8
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 y 关系式是 x .
p
y
N
o x
M
练习3
1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= k 在同 x 一坐标系中的图象 大致是 ( D )
y
y
(A)
0
x (B)
0
x
y
y x (D) y
0
2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k k 与y2= x 在同一坐标系中 (A) 的图象大致是 ( C )
y2的大小关系(从大到小)为 y2＞ y1 .
3.已知点 A(x ,y ),B(x ,y )且x ＜0＜x 1 1 2 2 1 2 都在反比例函数 y k (k＜0) 的图象上,
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y1 ＞0＞y2
x
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
练一练
4
2 x
考察函数 y 的图象,当x=-2时,y=
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
练一练
3
函数y=kx-k 与 y k k 0 在同一条直角坐标系中的
x
图象可能是
y
o x
D :
y
o x
y
o x
y
o x
(A)
(B)
特征:它们都由两条曲线组成,并且随着x的不断 增大(或减 小),曲线越来越接近坐标轴. 反比例函数的图象属于双曲线.
k x 函数 y=－ 的图象在哪些 象限由什么因素决定?它可 能与x轴或y轴相交吗?
y
6 5 4
3 y x
y
3 x
y =- x
-5 -4 -3 -2 -1
6
3
y= 6 x
2
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6
___ -1
,当x<-2
时,y的取值范围是 -1<y<0 ;当y﹥-1时,x的取值范围 _____ 是 _________ . X<-2或x>0
练一练
5
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y 的图象上，则（ B ） x
A、y1>y2>y3 B、y2>y1>y3
二四 象限
二四 象限
在每个象限内， y随x的 增大而增大
K<0
增 减 y随x的增大而减小 性
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ x y y
A：
o x
D ）
x
B：
o
y y
C：
x o
D：
o x
k＋1 ２.若关于x,y的函数y x
图象位于第一、三象限，
k>－1 则k的取值范围是_______________
-4
-5 -6
曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
y
6 5
请大家仔细观察反比例函数
y= 6 x
6 y =- x
4 3 2 1
6 6 y 和 y 的函数 x x
图象，找找看，他们有什么共同
5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
x
的特征？ 再让我们仔细看看，这两个 函数图象在位置上有什么关系？ 关于x轴对称,也关于y轴对称.
﹑
y y
k
x
在同
(A)
(B)
x
0
x
y
y
(C)
0
(D)
x
0
x
比较正比例函数和反比例函数的区别 函数 正比例函数
y=kx ( k≠0 的常数)
反比例函数
k y = x ( k≠0的常数 )
解析式
图象形状
直线
位 一三 置 象限
双曲线
一三 象限
在每个象限内，y随x的增 大而减小
K>0
增 减 y随x的增大而增大 性 位 置
(C)
y
0
0
x
x
(B)
0
x
y y 3.设x为一切实数，在下列 函数中，当x减小时，y的 (C) 0 0 x (D) x 值总是增大的函数是( C ) (A) y = -5x -1 ( B)y= x (C)y= -2x+2； (D)y=4x. 2
下课了!
结束寄语
• 函数来自现实生活,函数是描述现实 世界变化规律的重要数学模型. • 函数的思想是一种重要的数学思想, 它是刻画两个变量之间关系的重要 手段.
减小 Y 随x 的增大而_________.
4.下列函数中,图象位于第二、四象限 的有(3)、(4) ；在图象所在象限内，y的 值随x的增大而增大的有 (2)、(3)、(5) .
2 2x (1)y (2)y 3x 3 (5)y 2x 3 2 (3)y 3x 2x (4)y 3
形状 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线; 位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
b’
b B A a’ a
0 书本练习P53. 1 .2
x
•比大小
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数
为
y1＞ y2
4 y x
的图象上,
则y1与y2的大小关系(从大到小) .
2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
k 都在反比例函数 y (k＜0) 的图象上,则y1与 x
当堂训练
4 的图象在第________象限, 一、三 1.函数y= x
减小 在每一象限内，Y 随x 的增大而_________.
-4 2. 函数y= x
二、四 的图象在第________象限,
增大 在每一象限内，Y 随x 的增大而_________.
5 一 3. 函数y=—— ,当x>0时,图象在第____象限, x
操作一：
画出反比例函数
的函数图象。
6 y 和= x
描 点 连 线
y=
6 x
描点法:
列 表
x
y= 6 x y= 6 x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x
… -6 1
y
6 5 4 3 2 1
-5 -4
-3 -2
-1 -6 6
1 6
2 3
3 2
4
5
6 1
… … …
y= 6 … x y= 6 … x
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.2 1.5
1.5 1.2
2
3
-6 -3
-2 -1.5 -1.2 -1
y
6 5 4 3 2 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
5
6
x
-6 -5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3
0
1
2
3
4
5
6x
对称性 反比例函数 y 与 y k的图象关于x轴对称,也关于 x
y轴对称。
x
k
2、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象 （A）y=5x
（B）y=2x+3
4 （C） y x
3 （D） y x
思前想后
已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2= 一坐标系中的图象大致是 ( D )
练一练
2
4k 已知反比例函数 y x
(1)若函数的图象位于第一三象限，
则k_____________; <4
(2)若在每一象限内，y随x增大而增大， >4 则k_____________.
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2