上海市闸北区2015届高三二模数学理试题(含详细答案).

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2015年上海市闸北区高考物理二模试卷讲解

上海市闸北区2014学年度第二学期高三物理学科期中练习卷本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

全卷包括六大题，第一、二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。

考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号。

2、第一、第二和第三大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

第四、第五和第六大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

3、第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．单项选择题（共16分，每小题2分，每小题只有一个正确选项。

）1．下列属于国际单位制的基本单位的是( ) A．开尔文B．库仑C．伏特D．焦耳2．除了氦以外，恒星中最常见的化学元素是( ) A．碳B．钠C．铁D．氢3．下列说法符合历史事实的是( ) A．贝可勒尔通过对天然放射现象的研究，发现了原子中存在原子核B．汤姆孙通过阴极射线在电场中偏转的实验，发现了阴极射线是由带负电的粒子组成的C．查德威克发现中子促使原子的核式结构模型的建立D．相对论的创立表明经典力学已不再适用4．根据热学知识，下列说法正确的是( ) A．为了增加物体的内能，只能对物体做功，从而向它传递热量B．不可能使热量从低温物体传向高温物体C．功转变为热的实际宏观过程是不可逆的D．物体的分子势能只与物体的体积有关5．一台电风扇，只有白天有人接近时，电风扇才转动，实现这一功能所需要的传感器为( )A．声传感器和温度传感器B．光照传感器和红外线传感器C．温度传感器和触发传感器D．声传感器和触发传感器6．关于中子，下列说法正确的是( ) A．科学家用α粒子轰击氮核，通过人工转变发现了中子B ．中子能从石蜡中打出质子，γ光子不能从石蜡中打出质子C ．中子电离作用最大，贯穿本领也最大D ．中子的衰变方程：2351951381920385403U n Sr Xe n +→++7．如图，用一定频率的单色光照射光电管时，电流表指针会发生偏转，则 ( ) A ．电源右端应为正极B ．流过电流表G 的电流大小取决于照射光的频率C ．流过电流表G 的电流方向是a 流向bD ．普朗克解释了光电效应并提出光子能量E =h ν8．如图，关于闭合电路，下列说法正确的是 ( ) A ．电荷在电源外部受静电力作用而运动，在电源内部受非静电力作用而运动B ．图中a 、b 两薄层之间所夹的区域是非静电力做功的区域C ．电压和电动势这两个概念包含的能量转化方向相反D ．静电力和非静电力都使电荷做定向运动，对循环回路来说两者使电荷沿电路运动的方向相反二．单项选择题（共24分，每小题3分，每小题只有一个正确选项。

2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)含详解

2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=．2．（4分）函数的定义域是．3．（4分）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．4．（4分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=．5．（4分）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．6．（4分）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是．7．（4分）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为．8．（4分）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）9．（4分）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．10．（4分）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为．11．（4分）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为．12．（4分）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有个．13．（4分）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=．14．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要16．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D．a 不能被5 整除17．（5分）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．218．（5分）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，]B．[2﹣2，2+2]C．[，]D．[3﹣2，3+2]三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．20．（14分）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n 项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．（14分）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f （x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上Γ，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线Γ与x轴的交点是M、N，抛物线Γ′：y=x2+1与y轴的交点是G，直线MG与曲线Γ′交于点P，直线NG与曲线Γ′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线Γ与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线Γ在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i（i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若iY中只有一个元素，则其是其自身）得到255个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n的值，使得y1n+y2n+…+y255n是与变数a及变数x i（i=1，2，…8）均无关的常数．2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m= 0．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】根据幂函数的性质，可得m2+2m﹣3＜0，解不等式求得自然数解，即可得到m=0．【解答】解：由幂函数y=x m2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，则m2+2m﹣3＜0，解得﹣3＜m＜1．由于m∈N，则m=0．故答案为：0．【点评】本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题．2．（4分）函数的定义域是（0，1] ．【考点】33：函数的定义域及其求法；4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]【点评】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．3．（4分）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．【解答】解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，∴•BC•ACsinC=12∴sinC=∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×=故答案为：【点评】本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用．属基础题．4．（4分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】把n代入方程，利用复数相等的条件，求出m，n，即可．【解答】解：关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，可得n2﹣（2+i）n+1+mi=0所以，所以m=n=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题．5．（4分）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．【解答】解：∵椭圆的焦距为4．∴2c=4，即c=2∵在椭圆中，a2=b2+c2①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案为：4或8．【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题．6．（4分）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=2π，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴此圆锥的表面积=π×（1）2+π×1×3=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法．7．（4分）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为﹣3≤a≤9．【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，可得a=﹣x在x∈[1，5]上有解，利用a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，所以a=﹣x在x∈[1，5]上有解，因为a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，所以﹣3≤a≤9，故答案为：﹣3≤a≤9．【点评】本题主要考查方程的根与函数之间的关系，考查由单调性求函数的值域，比较基础．8．（4分）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．[可以原文理解为：三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三．二十三用五去除余数又恰好是三]9．（4分）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开并利用即可得出直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开为，化为x+y﹣1=0，∴极点O到这条直线的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（4分）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为3．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，由Eξ=，得×，由此能求出口袋中白球的个数．【解答】解：设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∵Eξ=，∴×，解得x=3．∴口袋中白球的个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．11．（4分）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的数量积公式分别判断x，y，z的符号，得到大小关系．【解答】解：由题意，x=•=AB×ACcos∠BAC＞0，y=•=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD，又∠BAD＞∠BAC所以cos∠BAD＜cos∠BAC，所以x＞y＞0z=•=AB×AEcos∠BAE＜0，所以x＞y＞z．故答案为：x＞y＞z．【点评】本题考查了向量的数量积的公式；属于基础题．12．（4分）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．【考点】3C：映射．【专题】51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】分别求出sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，∴它的对应法则为f：x→sin x，f（x）的值域为{0，﹣，1}，sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=这样的函数共有：（C+C）（）（）=31×15×3=1395故答案为：1395【点评】本题考查了映射，函数的概念，排列组合的知识，难度不大，但是综合性较强．13．（4分）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=0．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据等式，确定a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，即可得出结论．【解答】解：根据（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，可得x1999•x2000的系数a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，所以a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0，故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；5M：推理和证明．【分析】由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．可得|AM|+|BN|=+，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和，即可得出结论．【解答】解：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．∴|AM|+|BN|=+设2a=x，则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x，0）与（﹣5，）和（﹣1，）的距离和，∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣5，）和（﹣1，﹣）的距离，即2．故答案为：2．【点评】本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】可举个例子来判断：比如A={1}，B={1，2}，α：x＞0，β：x＜3，容易说明此时命题α是命题β的既非充分又非必要条件．【解答】解：命题α是命题β的既非充分又非必要条件；比如A={1}，α：x＞0；B={1，2}，β：x＜3；显然α成立得不到β成立，β成立得不到α成立；∴此时，α是β的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】考查真子集的概念，以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法．16．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D．a 不能被5 整除【考点】FC：反证法．【专题】5M：推理和证明．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．17．（5分）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】56：三角函数的求值．【分析】x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，∴x﹣y．故选：C．【点评】本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，]B．[2﹣2，2+2]C．[，]D．[3﹣2，3+2]【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，最小距离为AD到球心的距离﹣半径．【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2．最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）﹣半径=2﹣2．∴点O到直线AD的距离的取值范围是：[2﹣2，2+2]．故选：B．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B1C1=，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q、QR、QP两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．【点评】本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（14分）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n 项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由数列递推式可得数列{b n}为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得T n，再由作差法证明T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2求出首项，进一步得到n≥2时的通项公式，再把数列{a n}，{b n}的通项公式代入c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围．【解答】解：（1）由b n+1=16b n，得数列{b n}为公比是16的等比数列，又b1=1，∴，因此，则=，∵T n+12﹣T n•T n+2=．于是T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2，当n=1时求得a1=S1=6；当n≥2时，=4n．a1=6不满足上式，∴a n=．当n=1时，c1=a1﹣log d b1=6﹣log d1=6，当n≥2时，可得c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，要使数列{c n}是递增数列，则，解得：0＜d＜1或d＞4．综上，d∈（0，1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题．21．（14分）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．【考点】F1：归纳推理；GP：两角和与差的三角函数．【专题】15：综合题；57：三角函数的图像与性质；5M：推理和证明．【分析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，则振幅是=，由=1，即可求得φ1﹣φ1的值．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得cosφ1=﹣，可取φ2=（或φ2=﹣等），证明f1（x）+f2（x）+f3（x）=0．（3）由题意可得f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，从而可求f n（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【解答】解：（1）f1（x）+f2（x）=sin（x+φ1）+sin（x+φ2）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，振幅是=则=1，即cos（φ1﹣φ2）=﹣，所以φ1﹣φ2=2kπ±，k ∈Z．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=Asinx+Asin（x+φ1）+Asin（x+φ2）=Asinx（1+cosφ1+cosφ2）+Acosx（sinφ1+sinφ2）=0恒成立，则1+cosφ1+cosφ2=0且sinφ1+sinφ2=0，即有：cosφ2=﹣cosφ1﹣1且sinφ2=﹣sinφ1，消去φ2可解得cosφ1=﹣，若取φ1=，可取φ2=（或φ2=﹣等），此时，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+）（或f3（x）=Asin（x﹣）等），则：f1（x）+f2（x）+f3（x）=A[sinx+（sinx+cosx）+（﹣sinx﹣cosx）]=0，所以是平波．（3）f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，f n（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）求出a=0的解析式，再由一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1），运用函数的定义即可得到结论；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0，即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x﹣2，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，则f（）≥0且f（1）≥0，即b﹣≥0且2b﹣1≥0，解得b≥；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y1）（y1≠﹣3）和B（﹣1，y2）（y2≠﹣1）；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．令g（t）=，t∈[3，4]设u=t﹣2，u∈[1，2]，则g（t）=f（u）==∴u=1，即t=3时，g（t）取最小值，∴t=3时，a2+b2的最小值为．【点评】本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f （x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上Γ，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线Γ与x轴的交点是M、N，抛物线Γ′：y=x2+1与y轴的交点是G，直线MG与曲线Γ′交于点P，直线NG与曲线Γ′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线Γ与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线Γ在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i（i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若iY中只有一个元素，则其是其自身）得到255个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n的值，使得y1n+y2n+…+y255n是与变数a及变数x i（i=1，2，…8）均无关的常数．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，由于f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出面积S．（2）：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．分别与抛物线方程联立可得P，Q．直线PQ的方程为：，令x=0，可得y=3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=0．恒表示平行线x﹣y=，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0．可以利用扇形归纳法证明：对于Y p的元素和y p与Y q的元素和y q，当n为奇数时，=0．即可得出．【解答】解：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，∴f（x，y）=0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S=4．（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．联立，解得P，同理可得Q．∴直线PQ的方程为：令x=0，则y===3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1=0．恒表示平行线x﹣y=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，则=，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i，取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0．以下证明：对于Y p的元素和y p与Y q的元素和y q，当n为奇数时，=0．先证明：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n，用数学归纳法证明．1°当n=1时，成立；2°假设当n=k（奇数）时，x+y能够整除x k+y k，则当n=k+2时，x k+2+y k+2=x k+2﹣x k y2+x k y2+y k+2=x k（x2﹣y2）+y2（x k+y k），因此上式可被x+y整除．由1°，2°可知：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n．又∵当n为奇数时，=（y p+y q）M，其中M是关于y p，y q的整式，∵Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，∴每一个集合“对”（Y p，Y q）都满足y p+y q=0．则一定有=（x+y）M=0，M∈N*，于是可得y1n+y2n+…+y255n=0是常数．【点评】本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性、扇形归纳法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

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黄埔18. 如图4-1，点P是以r为半径的圆O外一点，点在线段OP上，若满足，则称点是点P关于圆O的反演点．如图4-2，在Rt△AB O中，，AB=2，BO=4，圆O的半径为2，如果点、分别是点A、B关于圆O的反演点，那么的长是▲．奉贤18．如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点处，点A落在点处，联结，如果点A、C、在同一直线上，那么∠的度数为▲；虹口徐汇18．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则O到折痕EF的距离为▲ ．静安、青浦区18．如图，⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，O1O2＝5，⊙O分别与⊙O1外切、与⊙O2内切，那么⊙O半径的取值范围是▲ ．宝山嘉定18．在矩形中，，点在边上，联结，△沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为点，如图5，如果，那么▲．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，BD平分∠ABC，BD交AC于点D.如果将△ABD沿BD翻折，点A落在点A′处，那么△D A′C的面积为_______________cm2.长宁18.如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，且juxingABCD4BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM 是等腰三角形时，BE= ▲ .18．如图，在中，，，点是的中点，将沿着直线EF折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，那么的值为▲．闵行18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C = 90º，AC = BC = 1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF =▲ ．浦东新区18．如图，已知在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC=4，BC=2，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，联结AE，那么线段AE的长度等于▲．普陀区18．如图6，在矩形纸片中，<．点、分别在边、上，沿直线将四边形翻折，点恰好与点重合．如果此时在原图中△与△的面积比是1︰3，那么的值等于▲．杨浦18．如图，钝角△ABC中，tan∠BA C=，BC=4，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点C，处，点B落在点B，处，若C、B、B，恰好在一直线上，则A B的长为▲ .闸北18．在矩形中，，，把矩形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于▲。

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）（2015•闸北区二模）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】M228 算术平方根、立方根【难度】容易题【分析】利用立方根的定义：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【解答】B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．（4分）下列属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】M223 最简二次根式【难度】容易题【分析】A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【解答】A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．（4分）（2015•闸北区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】M242 一元二次方程的根的判别式M253 分式方程M254 无理方程【难度】容易题【分析】A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【解答】C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．（4分）（2015•闸北区二模）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC 相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】M33L 三角形重心、内心、外心M33H 比例的性质M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，又DE∥BC得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC=6．故选B．【解答】B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．均属于中考常考知识点，考生要注意掌握！5．（4分）（2015•闸北区二模）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】M524 中位数、众数M522 平均数、方差和标准差【难度】容易题【分析】12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【解答】A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．（4分）（2015•闸北区二模）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC 的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】M346 等腰梯形的性质与判定M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】中等题【分析】如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【解答】D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2015•闸北区二模）计算：2﹣2=．【考点】M213 整数指数幂的运算【难度】容易题【分析】根据负整数指数幂的定义：a﹣p=（a≠0，p为正整数）求解得2﹣2==，故答案为．【解答】．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．（4分）（2015•闸北区二模）用科学记数法表示：3402000=．【考点】M123 近似计算以及科学记数法【难度】容易题【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．则3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【解答】3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．（4分）化简分式：=．【考点】M215 分式的基本性质M217 因式分解【难度】容易题【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即原式==．故答案为．【解答】．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．（4分）（2015•闸北区二模）不等式组的解集是．【考点】M236 解一元一次不等式（组）【难度】容易题【分析】由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【解答】x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．（4分）（2015•闸北区二模）方程x+=0的解是．【考点】M254 无理方程【难度】容易题【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方变形为：x=x2即x2﹣x=0 ∴（x﹣1）x=0 ∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．（4分）（2015•闸北区二模）已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）【考点】M124 实数大小比较M414 用待定系数法求函数关系式M432 反比例函数的的图象、性质【难度】容易题【分析】设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【解答】减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．（4分）（2015•闸北区二模）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】M511 事件M512 概率的计算【难度】容易题【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【解答】．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015•闸北区二模）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．【考点】M122 实数的运算【难度】容易题【分析】根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【解答】9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（4分）（2015•闸北区二模）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|=．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M339 等腰三角形的性质和判定M33D 直角三角形的性质和判定M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】中等题【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可利用锐角三角函数求得AB=BC=3又由=，=，可得﹣=﹣=，则|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【解答】3．【点评】此题主要考查了平面向量的知识，属于中考常考知识点，解题时要注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）（2015•闸北区二模）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）【考点】M122 实数的运算M123 近似计算以及科学记数法M124 实数大小比较M522 平均数、方差和标准差【难度】中等题【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，∵S2红＞S2黄，∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【解答】黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．（4分）（2015•闸北区二模）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．【考点】M339 等腰三角形的性质和判定M33O 三角形面积M33E 勾股定理M354 圆的有关性质M357 正多边形与圆【难度】较难题【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△ABC=×6×9=27，当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，S△ABC=×6×1=3，故答案为：3或27．【解答】3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．（4分）（2015•闸北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比=．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M373 图形的翻折与轴对称图形【难度】中等题【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，利用三角函数求出则AC=x，BD=x，=．则：故答案为：．【解答】．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和翻折变换等知识点，考生要注意理解并灵活运用，对于本题掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2015•闸北区二模）计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】M122 实数的运算M125 绝对值M213 整数指数幂的运算M226 二次根式的加、减、乘、除及其混合运算M227 分数指数幂M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+ (3)=2﹣+﹣1+1+ (6)=2+． (10)【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．（10分）（2015•闸北区二模）解方程组：．【考点】M233 二元一次方程（组）的概念、解法M255 简单的二元二次方程（组）M217 因式分解【难度】中等题【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y， (2)由②得，x+y=±2， (4)则，，， (7)解得，，，，． (10)【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．（10分）（2015•闸北区二模）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】M33E 勾股定理M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M241 一元二次方程的概念、解法【难度】容易题【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a， (1)在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a． (3)在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6， (5)∴tan∠ECD===． (6)（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6． (8)∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10． (10)【点评】本题主要考查的是勾股定理，矩形的性质、判定等知识点；熟知勾股定理即是在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．（10分）（2015•闸北区二模）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准（公里）的函数解析式；（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】M124 实数大小比较M422 一次函数的的图象、性质M423 一次函数的关系式M424 一次函数的应用【难度】容易题【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，即可得出；（2）根据题意得出等量关系，列出函数解析式即可。

上海市2015嘉定区高三数学(理)二模试卷与答案

2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ，},01{2R ∈≥-=x x x B ，则=B A ________．2．抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．3．若bi i ai -=+2)1(，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则=+||bi a _________． 4．已知函数xx g 2)(=，若0>a ，0>b 且2)()(=b g a g ，则ab 的取值范围是_______．5．设等差数列{}n a 满足115=a ，312-=a ，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，则lg M =__________． 6．若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ），且565=a ，则=++++8210...a a a a _______________．7. 已知对任意*N ∈n ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n a a a a d 211,41都是直线x y =的方向向量，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，则=∞→n n S lim _____________．8．已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ，若函数()f x 的反函数为)(1x f -，则不等式51)2(21<+--x f的解集为．9. 已知方程1cos 3sin +=+m x x 在],0[π∈x 上有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是____________．10. 随机变量ξ的分布律如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，若31=ξE ，则D ξ的值是___________．11．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，点),(P P y x P 和点),(Q Q y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P Q P P Q y x y y x x 按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”m OQ OP =||，向量OP 与OQ 的夹角为θ，其中O 为坐标原点，则θsin m 的值为____________． 13. 设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,2,0,|lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是____________．14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015=n a ，则n =________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在△ABC 中，“21sin =A ”是“6π=A ”的……………………………………（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ，)23,(-=→m m b ，且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数），则实数m 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞17．极坐标方程0))(1(=--πθρ（0≥ρ）表示的图形是…………………………（）A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线18．在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCDV -的体积之比为……………………………………………（） A ．6:1 B ．5:1 C ．4:1 D ．3:1三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中，已知12cos 2sin 22=++C BA ，外接圆半径2=R ．（1）求角C 的大小；（2）若角6π=A ，求△ABC 面积的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，︒=∠60BAD ，E 为BC 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x（时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围；（2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{n a 中，31=a ，52=a ，}{n a 的前n 项和为n S ，且满足 11222---+=+n n n n S S S （3≥n ）．（1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令112+-⋅=n n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，证明：61<n T ；（3）证明：对任意给定的⎪⎭⎫⎝⎛∈61,0m ，均存在*∈N 0n ，使得当0n n ≥时，（2）中的m T n >恒成立．E P AC D。

2015年4月上海市闸北区第二学期高三二模数学练习卷(理)及参考答案

闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1. 设幂函数()f x 的图像经过点()8,4，则函数()f x 的奇偶性为____________．2. 设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB ，则向量AB 对应的复数所对应的点的坐标为____________．3. 已知定义域为R 的函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称，()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=，则()()12g x g x +=___________．4. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，其中,,(0,1)a b c ∈．已知投篮一次得分的期望是2，则ab 的最大值是____________．5. 设⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n 数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ___________．6. 设函数⎩⎨⎧<+≥+-=.0,4,0,66)(2x x x x x x f 若存在互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是_____________． 7.若二项式nx ⎛⎝展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．8. 从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则M O M T -的值是____________．9. 已知集合(){},,U x y x R y R =∈∈，(){},M x y x y a =+<，()(){},P x y y f x ==，现给出下列函数：①a y x -=；②log a y x = ；③()sin y x a =+；④cos y ax =．若01a <<时，恒有U PC M P =，则所有满足条件的函数()f x 的编号是___________．10. 把正整数排列成如图()a 的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图()b 的三角形数阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2015k a =，则__________.k =1 12 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 ()a ()b二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11. 下列命题中，正确的个数是……………………………………………………………【】（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2） a 、b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．A 、0B 、1C 、2D 、3 12. 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭的下列判断中正确的是……………【】A 、曲线C 关于直线56πθ=对称B 、曲线C 关于直线3πθ=对称C 、曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D 、曲线C 关于极点()0,0对称13. 已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OA C ∆的面积与OAB ∆的面积之比是…………………………………………………………………………………【】 A 、32 B 、23C 、2D 、1三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，AB 是圆柱体1OO 的一条母线，已知BC 过底面圆的圆心O ，D 是圆O 上不与点,B C 重合的任意一点，5AB =，5BC =，3CD =．（1）求直线AC 与平面ABD 所成角的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 旋转一周，求ACD ∆的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．15. （本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）如图所示，某市拟在长为8km 道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>[]()0,4x ∈的图像，且图像的最高点为(3,S ，赛道的后一部分为折线段MNP ，且120MNP ∠=．（1）求M 、P 两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP 长度的最大值．16. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．17. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数()x g t =，使得函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍是A ，那么称()x g t =是函数()y f x =的一个等值域变换．（1）判断下列函数()x g t =是不是函数()y f x =的一个等值域变换？说明你的理由；① ()2log ,0f x x x =>，()1,0x g t t t t==+>； ② ()21,f x x x x R =-+∈，()2,t x g t t R ==∈．（2）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1A ，那么“1D A =”是否为“()x g t =是()y f x =的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；（3）设()2log f x x =的定义域为[]2,8x ∈，已知()2231mt t nx g t t -+==+是()y f x =的一个等值域变换，且函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数m n 、的值．18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）我们把一系列向量()1,2,,i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a 满足：()1,11=a ，()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+()2n ≥．（1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设2log n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；（3）设n θ表示向量1n a -与n a 间的夹角，若2n n n bθπ=，对于任意正整数n，不等式()11log 122a ab +>-恒成立，求实数a 的范围．理科答案一．填空题1、偶函数；2、()1,1-3、2-4、165、55186、()1,6-7、478、b a - 9、①②④ 10、1030 二．选择题11、B 12、A 13、B 三．解答题14、（1）arcsin10………………………………………………………5分（2）15π ………………………………………………………………7分15、解（1）依题意，有A = …………………………………………1分又34T =，而2T πω=， 6πω∴= ………………………1分s i n 6y x π∴=当4x =时，2s i n 33y π==，()4,3M ∴，又()8,0P5MP ∴= ………………………………………3分（2）解：法一：在MNP ∆中，120MNP ∠=，5MP =.设PMN θ∠=，则060θ<<.……………………………………1分由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MNθθ==-，NP θ∴=，()60MN θ=-，……………………………………………………3分故()()10360sin 60NP MN θθθ+=-=+……3分060θ<<，∴当30θ=时，折线段赛道MNP 最长为3310.……………2分解法二：（2）在MNP ∆中，120MNP ∠=， 5.MP =由余弦定理得2222MN NP MN NP COS MNP MP +-⋅⋅∠=，即2225MN NP MN NP ++⋅=；…………………………3分故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤…4分即3MN NP +≤，当且仅当MN NP =时等号成立.………………2分亦即，设计为MN NP =时，折线段赛道MNP最长为3310.注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①N⎝⎭；②N ⎝⎭；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等.16、（1）2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ，2PQ PC ∴=.………………1分2111122P C P C P Q P C Q C C+=+=>=，所以动点P 的轨迹W 是以点1C 、2C 为焦点的椭圆.…………………………2分设椭圆的标准方程为22221xy a b +=()0a b >>，则22a =22c =，2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2212x y +=…………………………………………………………2分（2）直线l 的方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得221132y kx xy ⎧=-⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，即 ()2291212160k x kx +--=，易知点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交于两点. …1分设()()1122,,,A x y B x y ，则()()121222416,312912k x x x x k k +==-++，……………………2分假设在y 轴上存在定点()0,D m 满足题设，则()()1122,,,DA x y m DB x y m =-=-. 因为以AB 为直径的圆恒过点D ，则()()1122,,0DB x y DA m x y m ⋅=-⋅-=.……………………2分即()()()12120*x x y m y m +--=，因为112211,33y kx y kx =-=-，所以(*)变为()()()12122121212121221213111333x x y m y m x x y y m y y m kx m kx kx x x kx m ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫=+--=+-++⋅---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()()()()()2121222222189121133186199521m k m k x x k x m m x m m k +⎛⎫=+--+-+++++= ⎝⎭+⎪.………3分由假设得对于任意的k ∈R ，0DA DB ⋅=恒成立，即221818096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =. 因此，在y 轴上存在点D ，点D 的坐标为()0,1………………………………………………3分17、（1）①不是……………………………………………………………………2分②()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，当t ∈R 时，()21332244t f g t ⎛⎫=-+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以()x g t = 是()f x 的一个等值域变换.………………………………………………2分（2）不必要性的反例： ()[)2,,0,x x D B f ===∞+R ()()1121,,1,t g t D B =-==-+∞R此时1B D ⊂，但()()221tf g t =-⎡⎤⎣⎦的值域仍为[)0,B =+∞，即()()21t g t x =-∈R 是()()2f x x x =∈R 的一个等值域变换.（反例不唯一）………………3分（3）()2log f x x =定义域为[]2,8，因为()x g t =是()f x 的一个等值域变换，且函数()f g t ⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，所以()22,13t mt x g t t t n+==+-∈R 的值域为[]2,8，……………………2分()()22222328213811mt t n t mt t n t t -+≤≤⇔+≤-+≤++，……………………………………1分所以，恒有()()()()12289422094880m m n m n ⎧<<⎪∆=---=⎨⎪∆=---=⎩，………………………………………………3分解得55m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.……………………………………………………………………3分18、（1）()()22221122n n a x y x y x y a -=-++=+= ∴数列{}n a 是等比数列 ………………………………………………3分（2）122222nnna--⎛==⎭，22222nnnc--∴=⋅………………2分假设{}n c中的第n项最小，由12c=，2c=，210.c c∴≤<当3n≥时，有0nc<，又由1n nc c+≤可得()()212222122222nn nn-+--+-⋅≤⋅，即12221nn--≥-，22112nn-⎛⎫≥⎪-⎝⎭.2670n n-+≥，3n≥3n≤，5n∴≥.…………2分即有567c c c<<<；由1n nc c+≥，得35n≤≤，又210c c≤<，541c c c∴<<<；………………2分故数列{}n c中存在最小项，最小项是325322c-=-⋅………………………………1分(3) 112cos2n nnn na aa aθ--⋅==⋅，4nπθ∴=……………………………………1分24nnb∴=………………………………………………………………1分不等式化为：()32221log121222an n n+++>-++对任意正整数n恒成立.设222122nTn n n=++++.又()122222212112122n nT Tn n n n n+-=+-=->+++++，数列{}n T单调递增……………………………………………………2分()1min1nT T∴==，要使不等式恒成立，只要()311log122a>-，……1分120a->，12a∴<<，212a a->，01a∴<<所以，使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是()1.…………2分。

2015届闸北区高三英语二模试卷及答案(官方版)

闸北区2015年第二次高考模拟考试试卷高三英语I. Listening Comprehension（30分）Section ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversation and the question will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1.A. She should watch on her weight. B. She can sometimes eat at will.C. She is already overweight.D. She should avoid sweet food.2. A. At the Emergency Room. B. At the grocery store.C. At the dentist’s.D. At a decade-old toast shop.3. A. 20. B. 30. C. 35. D. 45.4. A. On the phone. B. By text. C. Online. D. Face to face.5. A. Furniture shop assistant. B. House agent.C. Insurance agent.D. Carpenter.6. A. Tickets bought online are cheaper.B. It’s hard to buy the tickets at the box office.C. Free pamphlets provide discounts for the Ballet.D. The Ballet show could be watched online.7. A. There are all together three sections for the exam.B. She failed to finish the exam within time.C. She was poor at multiple choices.D. She performed well in the physics exam.8. A. It is too expensive a trip.B. It’s a pity he can’t take his family with him on the trip.C. The trip takes too much time.D. He doesn’t enjoy going to New Zealand for a trip.9. A. Stay up late for exams.B. Don’t pay too much attention to exams.C. Study hard throughout the term.D. Give up on the math test.10. A. Relaxed B. Calm. C. Excited. D. Nervous.Section BDirections: In section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on eachof the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. Relationship problems. B. Low working productivity.C. Poor income.D. Depression.12. A. 6%. B. 10%. C. 15%. D. 26%.13. A. The poor treatment received from National Health Service.B. Patients’ inability to go to bed with a teddy bear.C. The bad quality of the mattress patients use.D. The tension they suffer from in lives.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. Because they were in need of clothes and food.B. Because they wanted to find honey.C. Because they wanted to take revenge.D. Because they intended to occupy the village.15. A. Because they migrated from Africa.B. Because they are a rare group surviving on the Andamans.C. Because they store precious honey.D. Because their DNA is valuable for scientific study.16. A. They want to learn local language. B. They come to see the outside world.C. They are chasing away outsiders.D. They need drinks and cigarettes.Section CDirections:In section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you hear.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation:Complete the report form. WRITE ONE WORD for each answer.House let MemoSecurity measures: Gate ___17___ & security company.Kitchen facilities: Stove, fridge, toaster, NO ___18___.Garden maintenance : Watering & removing ___19___.Rent: 1000 per month with ___20___ excluded.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation:Complete the form. WRITE NO MORE THAN TWO WORDS for each answer.Long distances from ___21___.What was the shortage of the four existing presidentiallibraries in Kennedy’s time?What did Kennedy Library primarily hold? ___22___of Kennedy government.What was the Library intended to become? ___23___Where did the construction fees come from? ___24___.II. Grammar and VocabularySection ADirections: Read the following two passages. Fill in the blanks to make the passage coherent. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word. For the other blanks, fill in each blank with one proper word. Make sure that your answers are grammatically correct.(A)Being skinny is not beautiful but being healthy is. Most young people, unfortunately, (25)______(convince) that being thin, and therefore being stylish is a major way of maintaining self-worth. To make the matter worse, they might take this so far that they are likely to end up (26)______ eating disorders.Eating disorders are psychological illnesses defined by abnormal eating habits, (27)______ may involve either insufficient or too much food intake to the damage of an individual's physical and mental health. Bulimia nervosa(暴食症) and anorexia nervosa（食欲匮乏）are the (28)______(common) forms of eating disorders.(29)______ diagnosed with anorexia nervosa are well under a healthy bodyweight. But patients with bulimia nervosa may have a body weight that falls within the range from normal to overweight.(30)_____ primarily thought of as affecting females, eating disorders influence males as well.The precise cause of eating disorders is not entirely understood, but (31)______ is agreed that the disease is linked to other medical conditions and situations. Besides, cultural idealization of thinness and youthfulness also contributes to (32)______(reduce) weight forcefully. The problem has affected a large population worldwide.(B)A new report said middle class workers could still be working (33)______ ______ they are at the age of 70, to help out their grown up children.Middle class workers (34)______(age) 50 and above are being forced to delay their retirement, with many blaming their children, a report revealed yesterday.To many middle class workers, (35)______ bothered them from work couldn't compare with the possibility that they might postpone their retirement date by around five years.It is not just the rising cost of living that is causing the delay. Many pointed to the fact that they are constantly having to provide for their grown-up children at an age (36)______ they assumed they should be financially independent.Actually, one in five middle class workers (37)______ keep working in order to support their children.Many workers struggled all along to the retirement date, only (38)______(realize) that they had to switch to a part-time working pattern, also called semi-retirement. Rarely (39)______ people hear of the concept of semi-retirement in the past but now semi-retirement has become the routine among wealthier people in their 50s and 60s, regarded as (40)______ sign of the country’s on-going worsening economy.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can be used only once. Note that there is one word more than you need.A peak B. prospect C. intense D. indicating E. mildF. uncertaintyG. unusuallyH. complicatedI. appliedJ. prepareK. modelA drop in the sun's radiation can cause cold winters in parts of North America and Europe, scientists say, a finding that could improve long-range forecasts and help countries ___41___ for storms.Scientists have known for a long time that the sun has an 11-year cycle during which radiation from the sun reaches a(n) ___42___ then falls. But detecting a clear link of the cycle to the weather has proved much ___43___ ."Our research notices a link between solar activities and regional winter climate," lead author Sarah Ineson of the UK Met Office told the reporters in an email.Her team focused on the data from the recent minimum solar radiation period during 2008-10, which was a(n) ___44___ calm period for the sun but at the same time, ___45___ winters in the U.S and Europe were recorded which brought troubles to many businesses and made people’s lives difficult.The researchers found that a reduction in radiation from the sun can affect wind patterns , ___46___ cold winters."While radiation levels won't tell us what the day-to-day weather will be, they provide the exciting ___47___of improved prediction for winter conditions for months and even years ahead. These predictions play an important role in long-term weather planning," Ineson said.Ineson's team used the data in a complex computer to ___48___ long-term weather patterns. It successfully reproduced what scientists had observed happening in the upper atmosphere during changes in solar radiation. More study was needed, though. The key ___49___ in the experiment lay in the satellite data used, because it spans(跨度) only a few years. "So there are still questions concerning whether the current research results are accurate and whether they can be ___50___ to other solar cycles," she said.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Recently, Pew Research Center announced that over a quarter of Americans have shared a selfie online. Unsurprisingly, the practice of photographing oneself and sharing that image via social media has ___51___ among all age groups. Evidence of its mainstream nature is seen in other aspects of our culture too. Last year, "selfie" was not only added to the Oxford English Dictionary, but also named Word of the Year.Yet, despite the huge number of people practicing it, ___52___ is also surrounding selfie. An assumption that sharing selfies is embarrassing runs throughout the journalistic and scholarly coverage on the topic. Negative words like "self-centered" and "___53___" have inevitably become a part of any conversation about selfies among scholars.But, over a quarter of all Americans are relying on it. Why? The usual reasons given by scholars—self-center and fame-seeking—seem too ___54___ to explain such a crowd acting. There is always more to a social cultural practice than what ___55___.Simply put, physical and digital technology make it possible. The idea that technology ___56___ the social world and our lives has been recognized by people. To some extent, world is shaped by technological revolutions. The selfie is not a(n) ___57___ form of expression. Artists have created self-portraits for centuries, from cave to oil paintings, to early photography and modern art. People are ___58___ their feelings and thoughts through certain media. What's original about today's selfie is its public popularity. Technological advancement ___59___ the self-portrait used to be restricted to the art world and gave it to the masses. Those digital front-facing cameras, social media platforms, and wireless communications conveniently available make selfie a job ___60___ any time anywhere.Besides, We are not ___61___ beings living by ourselves. We are social beings who live in social communities, and as such, our lives are fundamentally formed by social relations with other people. As photos meant to be ___62___, selfies are not individual acts; they are social gestures. Selfies, as well as our presence on social media generally, are a part of “identity work"--the work that we do on a daily basis to ___63___ that we are seen by others as we wish to be seen. In fact, the crafting and display of identity has long been understood as a social process. The selfies we take and show are to present a ___64___ image of us so as to become a part of our identity formation and ___65___.51. A. flowered B. returned C. imposed D. functioned52. A. negotiation B. criticism C. regret D. punishment53. A. self-contained B. self-evident C. self-absorbed D. self-financed54. A. necessary B. smart C. certain D. shallow55. A. meets the eye B. takes the lead C. raises the alarm D. makes the point56. A. operates B. produces C. structures D. ruins57. A. advanced B. new C. intelligent D. available58. A. offering B. revising C. inspiring D. conveying59. A. liberated B. tagged C. honoured D. maintained60. A. at length B. with ease C. at large D. with regards61. A. isolated B. courageous C. traditional D. civilized62. A. saved B. shared C. updated D. deleted63. A. claim B. suppose C. ensure D. signal64. A. fashionable B. skillful C. mysterious D. particular65. A. summary B. evaluation C. monitoring D. exhibitionSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits bestaccording to the information given in the passage you have just read.(A)Jack looked up and saw in the distance red and green navigation lights coming towards them and knew it must be a naval patrol(巡逻) boat because of its speed. As the humming of the boat’s powerful engines drew closer, Jack bent down.Jack then let out a frightened cry as the brilliant beam of a searchlight broke the darkness and swept the fishing boat from head to tail. By its reflected light, Jack could clearly see the similar looks on the faces of other bent ones.Jack knew that if the patrol boat came close enough, its men would surely see the people hidden in the fishing boat. To collect himself, he leaned his head a little so that he could see Derek standing in the head of the boat, holding the tiller(舵柄). Derek managed to wave back at the patrol boat as if he had not a care in the world. How imperturbable he was!Someone on board the patrol boat switched on a loud speaker and a voice, made harsh and thin by its horn, demanded,” Where are you bound?”Derek shrugged and shouted back, “Tell me where the fish run and I’ll tell you where I am bound.”The noise of idling engines drowned his voice.“Say again!” barked the speaker.“Anywhere where there’s fish!” Derek shouted back. There was a pause. The boats drifted closer to each other.“Why aren’t you showing navigation lights?”Jack watched as Derek pretended to look puzzled and leant out over the side as if to see what they said were true. “They must have blown out,” he apologized with a shrug. “I’ll light them again as soon as you stop rocking me about like this.”Aboard the patrol boat, the captain was wondering if it would be worthwhile searching this old fishing boat for stowaways as how many breathing souls could such a shabby boat hide? The radio suddenly cackled. Abruptly, without another word being exchanged, the light went out and the patrol boat started its engines, speeding off into the dark, leaving the fishing boat floating about in the water.66. Jack let out a scared cry because he ______.A. saw something in the seaB. was afraid of being discoveredC. was blinded by the bright lightsD. was scared by the faces of companions.67. The patrol boat captain did not search the fishing boat as he ______.A. didn’t find it worthwhileB. looked down upon the shabby old fishing boatC. trusted Derek very much.D. was called to another place via the radio68. The underlined word “imperturbable” in the passage is closest in meaning to ______.A. anxiousB. nervousC. calmD. sociable69. Which of the following statements is TRUE according to the passage?A. Derek didn’t realize that Jack and others hid in the fishing boat.B. The captain was suspicious of what Derek told him.C. The patrol boat approached the fishing boat to inspect illegal goods.D. Derek succeeded in covering up for the Jack and others on the boat.(B)You may read the questions first：Our booklet is bringing to you the world’s top sceneries:GrenadaKnown as the Island of Spice for its abundance of spicy plants and leaves,Grenada is one of the southernmost Windward Islands in the Caribbean Sea.Many of its spices have been destroyed by hurricanes in the last decade,though its spicy relics(遗迹) are still the inspirations of many master chefsworldwide. The central mountainous land’s cooler air and waterfalls producea near-constant cloud cover of freeze.Tucson, ArizonaA seeming paradise that claims to have 350 sunny days a year, Tucson boastsgeological beauty and hiking so fantastic that visitors can be tempted into afalse sense of security. Be warned: Get prepared for the heat as it isn’t unusualfor temperatures to rise higher than 110ºF (43ºC) in summer months, whenthe rocks can hold that heat well into the evening hours. Even your huntingdog will get sunburnedSouthern BelizeWith flash rainstorms that instantly fill the dirt roads and the wet that makes itone of the greenest places on Earth, this Maya wonderland is home to thelongest barrier reef(堡礁) in the Western globe, the unique uropygialis birdsand the deepest diving—the Blue Hole. Nonetheless it is the back roads of theToledo district, where rain forest meets the jungle, that truly inspire awe andjoy.Newfoundland, CanadaThis Canadian province, which sits at the eastern edge of North America,plays the home for 22 whale species and dozens of seabirds that play ingroups. While the capital city of St. John’s can be quite gentle, the actualisland of Newfoundland has more extreme and unpredictable weather moods.Don’t forget to bring your windbreakers and thick sweaters.GrimseyThis island across the Arctic Circle is the northernmost point of inhabitablespace in Iceland. It is a small, rocky island with little vegetation, only a fewhundred permanent residents, and cliffs teeming with arctic birds known aspuffins, which seem insensitive to the local extreme chill as they dive-bombfrom high on the rocks into the Arctic Ocean for food.Cuenca, SpainUniquely known as the walled city because of its “hanging houses” atop (oractually part of) walls carved out of a rocky hillside in the 15th century,Cuenca’s castle-like front sits above the Jucar River Valley, attracting visitorsworldwide. The houses, which bake in the high summer temperatures, arenow home to an abstract art museum reached by crossing a woodenpedestrian swinging bridge.70. The two places of interest that enjoy high temperatures are ______.A. Tucson and NewfoundlandB. Grenada and GrimseyC. Newfoudnland and CuencaD. Tucson and Cuenca71. The creature(s) mentioned in the booklet that is not afraid of cold weather is ______.A. uropygialis birdsB. whales and seabirdsC. puffin birds.D. hunting dog72. Cuenca’s major tourist attraction is ______.A. the hanging rocky face of an art museumB. a naturally formed castleC. the famous bakery in the summer timeD. a wooden pedestrian swinging bridge73. Which of the following statements is TRUE according to the booklets?A. There are no people living in Grimsay due to the extreme whether.B. Grenada would especially appeal to the cooking fans.C. The most impressive focus of attraction in Southern Belize is the Blue Hole.D. People’s safety in Tucson can’t be guaranteed by the local government.(C)Trade has a pretty bad name in some quarters. Trade robs poor people of a proper living, and keeps them trapped in poverty. There is a widely held popular view that trade is unfair.Though many claim that a freer trade would change the current indecent reputation of world market, the cure-all free trade is the dream of most textbook economists. In fact, "Free trade" has been usedsuccessfully by powerful countries to land their mass-produced goods on fresh overseas dumping grounds and squeeze out local household businesses and craftsmanship.At home the story is different. Large firms have little appetite for free trade and competition in their own backyard. They prefer to enjoy the advantages and protections for which they have carefully earned. Free thus fierce competition has little appeal for those who understand that they will make more profit if they can corner the market, whether at home or abroad.By contrast, making trade fairer is about addressing both outcomes and processes of trade. Fairness is not just moral request. It affects behaviour. Actually the concept of fairness increases steadily as societies achieve greater market uprightness: Businessmen from upright societies are willing to punish those who do not play fair, even if this is costly to themselves.Fairer trade rather than freer trade could partly mend mal-administering of resources in certain areas. Though thought of as evil economic policies in the west world, carefully planned special preferences and protectionism could be used intelligently to help to block the economic robbery of the rich class in African countries, and to improve the lives of the bottom billion.Fairness is also important in the control of trade. The current International trade negotiations have resulted in rules favouring the powerful. The rules are made in negotiations in which the countries in control call the shots, and do not always do so in good faith. Industrialized countries were often found to have obtained definite and far-reaching commitments from developing countries, in exchange for vague promises, such as to liberalise agriculture, which they have not kept. On the other hand, the essence of the fair trade lies in the promise that every party benefit from the business, rich or poor, powerful or weak.Making trade fairer is important to avoid a further public hate against trade. It is also important so as better to balance trade goals with other important national goals such as environmental and social protection. Finally, the so-called free trade system needs to be made fairer so that it does not block competition, and crush innovation and business spirit. It needs to offer a more level playing field to commercial newcomers and competitors in rich and poor countries alike.74. Free trade is a concept at rich countries’ service to ______.A. open up new markets abroadB. define trade in the economic textbooksC. dump pollutants in poor countriesD. learn the skills from local household businesses.75. The key mechanism of fair trade is ______.A. punishing the rich countries when they cheat the poor countriesB. making sure that rich countries provide more chances for poor countriesC. promoting special preferences and protectionism in poor areasD. guaranteeing the common interests of all the dealers76. The underlined word “mal-administering” in the passage is closest in meaning to ______.A. macro-managementB. overall collectionC. uneven distributionD. negative mining77. Which of the following statements is TRUE according to the passage?A. Large firms earn huge profits from free trade on domestic markets.B. Honest dealers would sacrifice their own interest to discipline the dishonest.C. Special preferences and protectionism are occasionally adopted in western countries.D. A fairer trade helps to ease competition between the rich and the poor.Section CDirections: Read the passage carefully. Then answer the questions or complete the statements in the fewest possible words.Few would argue that there has not been significant technological progress in the field of self-driving cars in recent years. Aside from the technology question, the legislative issue gives the world a worse headache. The content of the trouble centres on the question of who is to blame in a crash. The legal field tends to have the owners take responsibility for the messes their cold lifeless machine makes, for which case an explosion of lawsuits are well expected.Today, many of the car manufacturers and their suppliers are researching self-driving technology, but it is unclear why they would want to roll it out quickly. A consumer in America, for example, uses his or her car for approximately one hour per day. There is, therefore, a large amount of "free capacity" in the personal vehicle use market. Imagine a world where you can be driven to work, and where your car can then turn around and drive home so that your partner or anybody else can use it during the day. This shared use pattern could certainly stop the need to own a second car. Taken to its logical conclusion, it could even be the biggest reason to eliminate the need to own a car at all. The effects on car sales volumes could be destructive.The possible violation of privacy is also a big issue on the map. We all know that consumer data is big business. A self-driving car would easily log where you visited, the time of the day you went, and much more. Though your purchase preferences might escape secret peeping, the leakage of your whereabouts seems inevitable as it’s hard to do what you are always doing to your smartphone toward the sole tool of transportation. Power off the big steel fellow and you are stuck on the road. The now excitedly expecting public are sure to be annoyed soon.Much discussed, the poor application of the technology outweighs the previous factors. In car industry, new vehicle features take a long time to get to broad market mass. Features are typically launched first on high-end vehicles, and then trickle down once there is sufficient space in the market to generate the scale affordable for the volume vehicles. With a car model's life cycle being between five and seven years, it is hard to see self-driving technology being fitted as standards of the mass-market brands.We still have a long way off from a world of completely self-driving cars.(Note: Answer the questions or complete the statements in NO MORE THAN EIGHT WORDS.)78. The likelihood to take the car owners as the guilty party in traffic accidents will give rise to _________.79. What feature of the self-driving car would mainly affect car sales?80. How can we prevent our personal data from being monitored by the self-driving car?81. The most serious problem facing the self-driving car is ____________.II卷（共47分）I. Translation（22分）Directions: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1．语言运用需要足够的词汇量为基础。

上海市静安、青浦、宝山区2015届高三下学期教学质量检测(二模)数学(理)试题 Word版含答案

静安、青浦、宝山区2015届高三第二学期教学质量检测（二模）数学试卷（理科） 2015.04.（满分150分，考试时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p = ．2．已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ． 3．复数34ii-（i 为虚数单位）的模为． 4．函数2y x =的值域为． 5．若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，31x 的系数是．7．方程)cos (lg )sin 3(lg x x -=的解集为．8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为45，则他得分的数学期望是分． 9．过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为． 10．在极坐标系中，点P (2，6π11)到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离等于． 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．12．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是． 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且53427A A B B -=-，则5353a ab b +=+．14．已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（）（A ）0AE FC ⋅= （B ）0AE DF ⋅> （C ）FC FD FB =+ （D ）0FD FB ⋅<16.已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（）（A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ⋅（C ）)(sin )(x f x f ⋅（D ）2)](sin [x f 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（）（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始（B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.定义：最高次项的系数为1的多项式1110n n n p (x)x a x a x a --=++鬃?+（*∈n N ）的其余系数(0,1,,1)=⋅⋅⋅-i a i n 均是整数，则方程()0=p x 的根叫代数整数．下列各数不是代数整数的是（）三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ．（1）求四棱锥111A BCC B -的体积；F（2）求二面角111C C A B --的大小．20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数)(),(x g x f 满足关系)()()(α+⋅=x f x f x g ，其中α是常数. （1）若x x x f sin cos )(+=，且2πα=，求)(x g 的解析式，并写出)(x g 的递增区间；（2）设1()22x x f x =+，若)(x g 的最小值为6，求常数α的值．21. (本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某公园有个池塘，其形状为直角ABC ∆，090C ∠=，AB 的长为2百米，BC 的长为1百米．（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(1)，使得EF//AB ，EF ED ⊥，在DEF ∆内喂食，求当DEF ∆的面积取最大值时EF 的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(2)，建造DEF ∆连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF ∆为正三角形，记FEC α∠=，求DEF ∆边长的最小值及此时α的值．(精确到1米和0.1度)22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．图(2)图(1)A C BC A F E FE A 1A 1在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，若{}n a 中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{}n a 是封闭数列. （1）若123a q ==，，判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明{}n a 为封闭数列的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1m a q =；（3）记n ∏是数列{}n a 的前n 项之积，2log nn b =∏，若首项为正整数，公比2q =，试问：是否存在这样的封闭数列{}n a ，使1211111lim 9n n b b b →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，若存在，求{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由．1． 4； 2．5； 3．5； 4．[)1,+∞； 5． 2； 6． 126； 7．（文）{|,}6x x k k Z ππ=+∈ 8.（文）13；（理） 5{|2,}6x x k k Z ππ=+∈ （理）12.8；9. （文）1； 10．；（理）210x y -+= ； 1； 11． 9.6； 12. 4；13. （文）2-； 14. 916-.（理）45-二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. A ；16. B ； 17． D ；18. A .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分.19．解：（文科）(1) 因为三棱柱的体积为16AA =，从而2ABC S ∆== 因此BC =………………………2分该三棱柱的表面积为2+ABC S S S ∆=⋅=全侧………4分(2)由（1）可知BC =因为1CC //1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………8分在Rt 1BC C ∆中，1tan 63BC C ∠==，所以1BC C ∠=6π.异面直线1BC 与1AA 所成的角6π……………………………………………12分解：（理科）(1)因为AB ⊥BC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以11AB BCC B ⊥，从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高. ……………………………………2分四棱锥111A BCC B -的体积为1822233V =⨯⨯⨯=…………………………4分（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2），B 1（0，0，2），C 1（0，2，2）， …………………………………………………6分设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴BM C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x n =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A …8分,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x A x B A令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴， …………………………………………9分设法向量与BM 的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．||1cos |cos |,.23||||n BM n BM πθφθ⋅====⋅解得111.3B AC C π∴--二面角的大小为………………………………………………12分20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.20.解：（1） x x x f sin cos )(+=，2πα=∴x x x f sin cos )(-=+α；∴x x g 2cos )(=………………………………………………………………4分递增区间为1,2k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）（注：开区间或半开区间均正确） ……………………………………………………………………………6分（2）（文）()()1g x x x α=⋅+≥，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，1x xα≥-………8分令1()h x x x=-，则函数()y h x =在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上递减………………10分所以max 13()()22h x h ==………………………12分因而，当32α≥时，()1g x ≥在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立………………………14分（理） 1111()2222222222x x x xx x x x g x αααα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………8分 ()()22111()2222262222x x g x αααααα=⋅+++≥++=⋅…………………10分解得22α=… ……………………………………………………………12分所以(2log 2α=………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.21.解：(1)设EF x =，则2x CE =，故12xBE =-，所以12x DE ⎫=-⎪⎝⎭，……2分1,(0,2)2DEF x S x x ∆⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，……………………………………………………4分因为211122422DEFx x x x S ∆⎛⎫⎛⎫=-≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当1x =时等号成立，即()max DEF S ∆=．………………………………………………………6分 (2)在Rt ABC ∆中，030A ∠=，设FEC α∠=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则090EFC α∠=-，000018060(90)30AFD αα∠=---=+，…………………………8分所以000018030(30)120ADF αα∠=--+=- 设CF x =，则AF x =，在ADF ∆中，0sin 30DF =10分又由于sin sin x EF DF αα==，所以0sin 30DF =11分化简得0.65DF =≥≈百米=65米………………………………13分此时tan ϕ=，040.9ϕ≈,049.1α≈…………………………………………………14分解法2：设等边三角形边长为EF ED DF y ===，在△EBD 中，60B ∠=，EDB α∠=，…………………………………………8分由题意可知cos CE y α=，…………………………………………………………9分则1cos EB y α=-，所以1cos sin 60sin y y αα-=，……………………………………11分即0.65y =≈，………………………………………………13分此时tan ϕ=，040.9ϕ≈,049.1α≈…………………………………………………14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.22.解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=，因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分（2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………………………………………………………………5分解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………………………………………………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（文）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y ………………………………… 16分（3）（理）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．………………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分（方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.23.解：（1）{}n a 不是封闭数列，因为123n n a -=⋅，…………………………………… 1分对任意的,m n N *∈，有243m n n m a a +-⋅=⋅，…………………………………… 2分若存在p ，使得n m p a a a ⋅=，即132p m n --+=，31log 2p m n --+=，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项(),s t a a s t ≠，若存在k a 使s t k a a a =，则211s t k a q q +--⋅=，解得11k s t a q --+=.故存在1m k s t Z =--+∈，使1m a q =，…… 6分下面证明整数1m ≥-．对1q ≠，若1m <-，则取2p m =-≥，对1,p a a ，存在u a 使1p u a a a =，即11m p u q q q --⋅=，11u q q --=，所以0u =，矛盾，故存在整数1m ≥-，使1m a q =．…………………………………… 8分（充分性）若存在整数1m ≥-，使1m a q =，则1n m n a q +-=，对任意*,s t N ∈，因为(1)11s t m m s t s t m a a q a ++-+-++-==，所以{}n a 是封闭数列. …………………………………… 10分（3）由于(n 1)21212n nn n a a a a -∏=⋅⋅⋅⋅=⋅，所以21(n 1)log 2n n b n a -=+，……………11分因为{}n a 是封闭数列且1a 为正整数,所以，存在整数0m ≥，使12ma =，若11a =，则(1)2n n n b -=，此时11b 不存在．所以12111lim()n n b b b →∞+++没有意义…12分若12a =，则(1)2n n n b +=，所以1211111lim()29n n b b b →∞+++=>，………………… 13分- 11 - 若14a =，则(3)2n n n b +=，于是12(3)n b n n =+，所以1211111lim()9n n b b b →∞+++=，…………………………………… 16分若14a >，则(3)2n n n b +>，于是12(3)n b n n <+，所以1211111lim()9n n b b b →∞+++<，…………………………………… 17分综上讨论可知：14a =，1*42,()n n a n N -=⋅∈，该数列是封闭数列．……… 18分。

闸北区2015年高三数学一模试卷

2014学年度第一学期高三物理学科期末练习卷（2014.12）本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

全卷包括六大题，第一、二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。

考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号。

2、第一、第二和第三大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

第四、第五和第六大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

3、第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．单项选择题（共16分，每小题2分，每小题只有一个正确选项。

）1. 下面物理量中不．属于标量的是（）（A）电流强度（B）电场强度（C）功（D）磁通量2. 在牛顿第二定律公式F=kma中，比例系数k的数值（）（A）在任何情况下都等于1（B）与质量m、加速度a和力F三者均无关系（C）是由质量m、加速度a和力F三者的大小所决定的（D）是由质量m、加速度a和力F三者的单位所决定的3．在下列公式中选出加速度a的定义式（）（A）Fam=（B）vat∆=∆（C）22sat=（D）2saT∆=4. 奥斯特发现电流的磁效应的这个实验中，小磁针应该放在（）（A）南北放置的通电直导线的上方（B）东西放置的通电直导线的上方（C）南北放置的通电直导线同一水平面内的左侧（D）东西放置的通电直导线同一水平面内的右侧5. 如图，一个物体在O点以初速度v开始作曲线运动，已知物体只受到沿x轴方向的恒力F作用，则物体动能的变化情况是（）（A）不断减小（B）先增大后减小（C）先减小后增大（D）先减小后不变6. 在国际单位制（简称SI制）中，力学和电学的基本单位有：m（米）、kg（千克）、s（秒）、A（安培）。

上海市闸北区高三数学二模(理)试卷及解析

闸北区2015学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．设函数()(01x xf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是．2．已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．3．如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是． 4．在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，则34a b -的值是．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元．6．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b = ．7．ABC ∆中，,,a bc 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且222ac c b a +=-，若ABC ∆最大边长sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为．8．在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________． 9．如右图，A 、B 是直线l 上的两点，且2AB =，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是．10．设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )CBAlD 1 . A 1CEABCD B 1A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件12．已知,,,SA B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == BC =O 的表面积等于（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动. （1）探求AE 等于何值时，直线1D E 与平面11AA D D 成45角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足42+=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1(6PP +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 16．（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求证：存在0(,)64x ππ∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x ⋅能按照某种顺序．．．．成等差数列．17．（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）若动点M 到定点(0,1)A 与定直线:3l y =的距离之和为4．（1）求点M 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点(0,)()B t t R ∈对称的不同点有几对？请说明理由．18．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；（3）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n mm n -<+，其中1,2,,m n =，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+的所有n 的值．高三数学（理科）期中练习卷参考答案一、填空题1、122、3a ≥ 3 4、2 5、50006、37、18、1+ 9、(0,2]2π- 10、2m ≤-或2m ≥填空题详解： 1、解：22122(2)()2(1)37f a aa a f --=+=+-=-=，∴原式23712=++=2、解：{|22}A x a x a =-<<+，{|13}B x x =-<<，B A ⊆ 2123a a -≤-⎧∴⎨+≥⎩⇒3a ≥3、解：由||1z =可知2||1z =，221a b ∴+= 222()2()2a b a b ∴+≤+=2a b ==取等a b ∴+≤4、解：<法一>：向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影分别为||OA OB OC ⋅，||OB OCOC ⋅，由条件OA OB OB OC ⋅=⋅，即3464a b +=+，342a b ∴-=<法二>：向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，AB OC ∴⊥，即0AB OC ⋅=3(2)4(1)0a b ∴-+-=，即342a b -=5、解：设获得的奖金为ξ元，则ξ=7000,5600,4200(7000)P a ξ==，(5600)2P a ξ==，(4200)4P a ξ==，71a =17a ∴=1247000560042005000777E ξ∴=⨯+⨯+⨯=6、解：12PF PF ⊥，12PF F ∆的面积为9，12121||||9,||||182PF PF PF PF ∴⋅⋅=∴⋅= 由椭圆定义，222121122||||2||2||||||4PF PF a PF PF PF PF a +=⇒++=2221212,||||(2)PF PF PF PF c ⊥∴+=代入上式得，2212(2)2||||(2)c PF PF a +=，2212(2)(2)2||||a c PF PF ∴-=，2121||||92b PF PF ∴==，3b ∴= 7、解：222ac c b a +=- 1cos 2B ∴=-，23B π∴=，最大边为b又sin 2sin C A =，2c a =，∴最小边为a由余弦定理2221422()2a a a a =+-⋅⋅⋅-解得1a =8、解：联立方程组得(2)21ρρρ-=⇒=±0ρ≥，故所求为1+9、解：两圆半径r →∞时，点C 趋向直线AB ，此时0S →两圆外切时，1r =，2=14S π∴⋅扇形，=2-2=2-42S ππ∴⋅，0,2-]2S π∴∈（10、解：依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立。

2015届上海市长宁区、嘉定区高三二模理科数学试卷

2015届上海市长宁区、嘉定区高三二模理科数学试卷学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 已知集合,,则________．2. 抛物线的焦点到准线的距离是______________．3. 若,其中、,是虚数单位,则_________．4. 已知函数,若,且,则的取值范围是_______．5. 设等差数列满足,,的前项和的最大值为,则=__________．6. 若（）,且,则_______________．7. 已知对任意,向量都是直线的方向向量,设数列的前项和为,若,则_____________．8. 已知定义在上的单调函数的图像经过点、,若函数的反函数为,则不等式的解集为_______________．9. 已知方程在上有两个不相等的实数解,则实数的取值范围是____________．10. 随机变量的分布列如下表所示,其中,,成等差数列,若,则的值是___________．11. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．12. 在平面直角坐标系中,点和点满足按此规则由点得到点,称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下,若,向量与的夹角为,其中为坐标原点,则的值为____________．13. 设定义域为的函数若关于的函数有个不同的零点,则实数的取值范围是____________．14. 把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，若a=2015，则_________．n二、单选题15. 在△中,“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16. 已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．17. 极坐标方程（）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线18. 在四棱锥中,分别为侧棱的中点,则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（）A．B．C．D．三、解答题19.在△中,已知,外接圆半径．（1）求角的大小；（2）若角,求△面积的大小.20. 如图,四棱锥的底面为菱形,平面,,,为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值．21.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,,其中是与气象有关的参数,且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作．（1）令,,求的取值范围；（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标．22.已知椭圆（）的左、右焦点分别为、,点,过点且与垂直的直线交轴负半轴于点,且．（1）求证：△是等边三角形；（2）若过、、三点的圆恰好与直线：相切,求椭圆的方程；（3）设过（2）中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点．在轴上是否存在一个定点,使得、、三点共线,若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．23. 已知数列中,,,的前项和为,且满足（）．（1）试求数列的通项公式；（2）令,是数列的前项和,证明：；（3）证明：对任意给定的,均存在,使得当时,（2）中的恒成立．。

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷及参考答案

2015年上海市闸北区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．（4分）下列属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．3．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．（4分）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．（4分）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．（4分）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2=．8．（4分）用科学记数法表示：3402000=．9．（4分）化简分式：=．10．（4分）不等式组的解集是．11．（4分）方程x+=0的解是．12．（4分）已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．（4分）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．（4分）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|=．16．（4分）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．（4分）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比=．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．（10分）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．（12分）已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．（12分）已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．2015年上海市闸北区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选：B．2．（4分）下列属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．3．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选：C．4．（4分）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选：B．5．（4分）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选：A．6．（4分）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2=．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．8．（4分）用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．9．（4分）化简分式：=．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．10．（4分）不等式组的解集是x≥3．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．11．（4分）方程x+=0的解是0．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．12．（4分）已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；13．（4分）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．14．（4分）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9万元．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．15．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．16．（4分）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，∵S2红＞S2黄，∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．17．（4分）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△ABC=×6×9=27，当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，S△ABC=×6×1=3，故答案为：3或27．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比=．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．20．（10分）解方程组：．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．21．（10分）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC 的长，在Rt△ABE中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．22．（10分）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，∴y A=2.5x．故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，∴y A＞y B，∴选择B运输队．23．（12分）已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD 上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．24．（12分）已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG 解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，=2S△ADE，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，两边平方得：2x2+24x+72=2x2+8，移项合并得：24x=﹣64，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．25．（14分）已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

2015届上海市高考数学·二模汇编解析几何

2015届高中数学·二模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·二模汇编解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是．2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于．3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.7. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.8.（2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.9．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是．10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是．11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为． 12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为．xy2F 1F A BO13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON ⋅的取值范围为．15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为．16.（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为．17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为． 18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是．19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________．20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（）A.3B.4C.6D.9βαP BA DCABDy xCP NMO3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或24．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ．（1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)(第22题图）F 2F1y xPQ O 3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=， O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时，求直线AB 的方程．8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM △面积S 的最大值．9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；（3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标．11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k，当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．22465NMPyxAOBS RPQDC BAO12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）13.（2015年杨浦文23理23）已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值；（2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值；（3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.14.（2015年闸北二模文17理16）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2015长宁二模文22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．16.（2015长宁二模理22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

上海市闸北区高三二模数学(理)试题(含解析)

2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）（2013•闸北区二模）设为虚数单位，集合A={1，﹣1，i，﹣i}，集合，则A∩B={﹣1，i} ．=2．（6分）（2013•闸北区二模）函数的反函数为．（﹣∵函数==sinx）3．（6分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为﹣6 ．4．（6分）（2013•闸北区二模）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= 1 ．个球，得到黑球的概率是可得到黑球的个数；利用“从袋个球，得到黑球的概率是，∴黑球的个数为，则其对立事件﹣．解得=，==．=15．（6分）（2013•闸北区二模）半径为r的球的内接圆柱的最大侧面积为2πr2．）h=2R•=4r6．（6分）（2013•闸北区二模）设M（x，y，z）为空间直角坐标系内一点，点M在xOy平面上的射影P的极坐标为（ρ，θ）（极坐标系以O为极点，以x轴为极轴），则我们称三元数组（ρ，θ，z）为点M的柱面坐标．已知M点的柱面坐标为，则直线OM与xOz平面所成的角为．点的柱面坐标为中，∠PON=，OP=ONcos=3PN=ONsin=3，=，==故答案为：7．（6分）（2013•闸北区二模）设y=f（x）为R上的奇函数，y=g（x）为R上的偶函数，且g（x）=f（x+1），g（0）=2．则f（x）= 2sin．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）．8．（6分）（2013•闸北区二模）某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为2000 ．9．（6分）（2013•闸北区二模）设，，x∈[1，2），且，则函数的最大值为0 ．，，且，==，时，函数二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分．11．（6分）（2013•闸北区二模）设函数f（x）=lg（a x﹣b x）（a＞1＞b＞0），若f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞），则a，b满足（），得（）），由于（）＞12．（6分）（2013•闸北区二模）在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），…，对于所有正整数n，点P n位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点P n为圆心的⊙P n与x轴相切，且⊙P n与⊙P n+1又彼此外切，若x1=1，且x n+1＜x n．则=（）间的距离就等于两半径之和进而得到=2=y整理可得，三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（14分）（2005•山东）已知向量和，θ∈（π，2π），且，求的值．+，然后表示出+的模，利用同角三角函数间的基本关让模等于）的方程，两边平方即可得到）的值，根据二倍角的余弦函），得到++）的正负，开方即可求出值．，得．，∴．14．（14分）（2013•闸北区二模）某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？，AM=DN=4cos60°=2，答：该粮仓可储存15．（16分）（2013•闸北区二模）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系O﹣xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．设F1、F2为空间中的两个定点，|F1F2|=2c＞0，我们将曲面Γ定义为满足|PF1|+|PF2|=2a（a ＞c）的动点P的轨迹．（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O﹣xyz，求曲面Γ的方程；（2）指出和证明曲面Γ的对称性，并画出曲面Γ的直观图．两边平方，整理得，得的方程为16．（16分）（2013•闸北区二模）设数列{a n}与{b n}满足：对任意n∈N*，都有，．其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）当b=2时，求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）当b≠2时，求数列{a n}的前n项和S n．时，说明时，利用，通过，利用是以为首项，，且两式相减得即于是=又，所以故知，，再由．=，，数列为首项，以故，时，时，∵∴令，即由∴是以为首项，∴17．（18分）（2013•闸北区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点P的轨迹，曲线C 2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的．（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；（2）过定点M0（m，0）（m＞2）的直线l2交曲线C2于A、B两点，已知曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．答：．，）和，化为又焦点到的距离为．方程为，即=构造函数，，当，即。

2015上海浦东高三二模理科数学含答案

浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．不等式32x >的解为 .2．设i 是虚数单位，复数)1)(3(i i a -+是实数，则实数a = . 3．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= .4．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a .5．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 .6．已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 .7．在极坐标系中，已知圆θρsin 2r =（0>r ）上的任意一点),(θρM 与点),2(πN 之间的最小距离为1，则=r .8．若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是 .9．已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是cm .10．已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率)1(=ξp 与)3(=ξp 相等，且方差13D ξ=，则概率)2(=ξp 的值为 .11．若函数223()4f x x x =+-的零点(),1,m a a a ∈+a 的值为 .12．若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 .13．等比数列{}n a 的首项1a ，公比q 是关于x 的方程2(1)2(21)0t x x t -++-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为 .14．给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；① xx g x f xsin )(,121)(=+=； ② x x g x x f 1)(,)(3-==； ③ x x g x x x f lg )(,1)(=+=； ④ x x g x f x =-=)(,212)(其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分. 15．已知,a b 都是实数,那么“0a b <<”是“11a b>”的（） )(A 充分不必要条件)(B 必要不充分条件)(C 充分必要条件 )(D 既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为（）)(A 平行 )(B 相交 )(C 平行或重合 )(D 平行或相交17．若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0)(B 1)(C 2 )(D 1或218．如图，若正方体12341234PP P P Q Q Q Q -的棱长为1，设ji T S Q P x ⋅=11，},{,j i j i Q P T S ∈，（}4,3,2,1{,∈j i ），对于下列命题：P 1P 2P 3P 4①当i j i i S T PQ =时，1x =；②当0x =时，(),i j 有12种不同取值； ③当1x =-时，(),i j 有16种不同的取值； ④x 的值仅为1,0,1-.其中正确的命题是（）)(A ①② )(B ①④ )(C ①③④ )(D ①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤．19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. 已知函数(),(0),af x x x a x=+>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.20．（本题共有2个小题，满分14分）；共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2， ⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan．（1）求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B 到平面PCD 的距离．21．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.PA CDA 点的正上空A '，12:03时卫星通过线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03（精确到1千米）；（2）求此时天线方向AC 分）.22．（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直线l 与圆锥曲线C 相交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足AD EA 1λ=、2λ=.（1）已知直线l 的方程为42-=x y ，抛物线C 的方程为x y 42=，求21λλ+的值；（2）已知直线l ：1+=my x （1>m ），椭圆C ：1222=+y x ，求2111λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，22212ba =+λλ，试问D 是否为定点？若是，求出D 点坐标；若不是，说明理由.23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列.浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式32x >的解为 3log 2x > .2．设i 是虚数单位，复数)1)(3(i i a -+是实数，则实数a = 3 .3．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 2 .4．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a n 2 .5．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 210 .6．已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 1 .7．在极坐标系中，已知圆θρsin 2r =（0>r ）上的任意一点),(θρM 与点),2(πN 之间的最小距离为1，则=r23. 8．若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是),21(+∞+.9．已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是.10．已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率)1(=ξp 与)3(=ξp 相等，且方差13D ξ=，则概率)2(=ξp 的值为23. 11．若函数223()4f x x x =+-的零点(),1,m a a a ∈+a 的值为1或2-.12．若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 . 13．等比数列{}n a 的首项1a ，公比q 是关于x 的方程2(1)2(21)0t x x t -++-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为130,,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭.14．给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；① x x g x f xsin )(,121)(=+=； ② x x g x x f 1)(,)(3-==； ③ x x g x x x f lg )(,1)(=+=； ④ x x g x f x =-=)(,212)(其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 ①③④ .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分. 15．已知,a b 都是实数,那么“0a b <<”是“11a b>”的（ A ） )(A 充分不必要条件)(B 必要不充分条件)(C 充分必要条件 )(D 既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为（ D ）)(A 平行 )(B 相交 )(C 平行或重合 )(D 平行或相交17．若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( C ) )(A 0)(B 1)(C 2 )(D 1或218．如图，若正方体12341234PP P P Q Q Q Q -的棱长为1，设ji T S Q P x ⋅=11，},{,j i j i Q P T S ∈，（}4,3,2,1{,∈j i ），对于下列命题：①当i j i i S T PQ =时，1x =；②当0x =时，(),i j 有12种不同取值； ③当1x =-时，(),i j 有16种不同的取值； ④x 的值仅为1,0,1-.其中正确的命题是（ C ）)(A ①② )(B ①④ )(C ①③④ )(D ①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤．19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. 已知函数(),(0),af x x x a x=+>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值. 解：（1）由条件：1()f x x x=-在()1,+∞上单调递增.…………………………2分任取()12,1,x x ∈+∞且12x x <1212121212111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=--+=-+ ……………………4分 211x x >>，∴121210,10x x x x -<+>∴ 12()()f x f x < ∴ 结论成立 …………………………………………6分（2）当0a =时，()y f x =的最小值不存在； …………………………………7分当0a <时，()y f x =的最小值为0；………………………………………9分当0a >时，()ay f x x x==+≥x = P 1P 2P 3P 4Q 12Q 3Q 4()y f x =的最小值为12分20．（本题共有2个小题，满分14分）；共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2， ⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan．（1）求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B 到平面PCD 的距离．解：方法１,（1）因为底面ABCD 为边长为2的正方形，⊥PA 底面ABCD , 则 ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥CD A PA AD PA CD ADCD 平面PAD ，所以CPD ∠就是CP 与平面PAD 所成的角．……………………………………………2分在CDP Rt ∆中，由22tan ==∠PD CD CPD ，得22=PD ，…………………………3分在PAD Rt ∆中，2=PA ．分别取AD 、PA 的中点M 、N ，联结MC 、NC 、MN ，则NMC ∠异面直线AE 与PD 所成角或补角． (4)分在MNC ∆中，2=MN ，MC =，3NC =，由余弦定理得，2223cos 10NMC +-∠==-，所以NMC π∠=-6分即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos ．……7分（2）设点B 到平面PCD 的距离为h ，因为BCD P PCD B V V --=，…………………………9分所以，11113232CD PD h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，得h =14分方法２，（1）如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得2=PA ，……………3分则有关点的坐标分别为()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D ，()2,0,0P ．………………………5分PA CDPA CD EMN所以()2,1,0AE =，()2,2,0-=．设θ为异面直线AE 与PD 所成角，则()101085202102cos =⨯-⨯+⨯+⨯=θ，所以，1010arccos=θ，即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos．…………………………………7分（2）因为()2,2,0-=PD ，()0,0,2=CD ，()0,2,0=BC ，设()w v u n ,,=，则由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅w v u u w v 002022，………………………………………………11分可得()1,1,0=n，所以2n BC d n⋅===14分 21．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.A 点的正上空A '，12:03时卫星通过线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03（精确到1千米）；（2）求此时天线方向AC 分）.解：（1）设人造卫星在12:03时位于AOC θ∠=，33609120θ=︒⨯=︒，…2 在ACO ∆中，222=6370+8000-2AC 1977.803AC ≈ 即在下午12:03（2sin 9sin(90)19788000ϕ︒+︒=，8000sin(90)sin 90.63271978ϕ+︒=︒≈，…………………9分即cos 0.6327ϕ≈，5045'ϕ≈︒，……………………………………………………11分即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为5045'︒.………………………………12分22．（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直线l 与圆锥曲线C 相交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足AD EA 1λ=、2λ=.（1）已知直线l 的方程为42-=x y ，抛物线C 的方程为x y 42=，求21λλ+的值；（2）已知直线l ：1+=my x （1>m ），椭圆C ：1222=+y x ，求2111λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，22212ba =+λλ，试问D 是否为定点？若是，求出D 点坐标；若不是，说明理由.解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E ，…………………………………………………………………………2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由BD EB 2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1，由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ，同理由BD EB 2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-by a x 得到:()()022*******=-++-b a t mty b y a m b ()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mt b y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ (1) 而由AD EA 1λ=、2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ (2) 22212ba =+λλ (3) ……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222b a a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=，所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者a t a -=1λ，at a +-=2λ，都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列.解：（1）因为数列{}n a 从第2项起单调递增，1231,0,3a a a ===，所以112101b a a =-=-=；213132b a a =-=-=-；………………………2分当3n ≥时，154n n n b a a n +=-=-()()2,254,13n n b n n n -=⎧⎪=⎨-=≥⎪⎩或 ……………………………………………………4分（2）数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，∴n b 递减且0n b <.由定义知，1,n n n n A a B a +≥≤……………………………………………………6分 10n n n n n b A B a a +>=-≥-∴1n n a a +>，数列{}n a 递增，即121n n a a a a +<<<<<………………8分 21112111()()()()()n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ++++++++---=--+-=-+=-- ()()12122n n =-----=⎡⎤⎣⎦…………………………………………………10分（3）①先证数列{}n a 递增，利用反证法证明如下：假设k a 是{}n a 中第一个使1n n a a -≤的项， 1221k k k a a a a a --<<<<≥，……………………………………………………12分111,k k k k k A A a B B ---==≤111()()k k k k k k b b A B A B ----=---()()1110k k k k k k A A B B B B ---=-+-=-≤与数列{}n b 是公差大于0的等差数列矛盾.故数列{}n a 递增.……………………………………………………………………14分 ② 已证数列{}n a 递增，即12n a a a <<<<， n n A a =；1n n B a +=，………………………………………………………………16分设若{}n b 的公差为b ，则2111211111()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a A B A B b b b b b++++++++++---=--+-=--+-=-+=--=- 故{}1n n a a +-是等差数列.………………………………………………………18分。

2015高三二模难题数学

xi (i 1, 2,3,..., n) ，则 x1 x2 x3 ,..., xn
【解析】转化为 g(x) N (3x 1) 与 h(x) 2x 1 的 2
交点问题；如图所示：有两个交点，计算得，
x1
7 4
，
x2
9 4
，∴
x1
x2
4
4. 虹口
13. 已知向量 a,b ，满足| a || b | a b 2 ，且 (a c) (b c) 0 ，则| 2b c | 的最小值为
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
an ，若 an 2015 ，则 n _______．
1 23 4 56 789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
2
2
2
( 2 cos( ), 2 sin( )) ，化简后为 N ( 2 sin , 2 cos ) ，点 P(2, 0) ，所以
2
22
2
2
2
PM ON (
2 cos 2,
2 sin ) (
2 sin ,
2 cos )
2 sin [
2,
2]
2
2
2
2
（文）已知点 P 是半径为 1 的 O 上的动点，线段 AB 是 O 的直径，则 AB PA AB PB
的取值范围为
；
【解析】 AB PA AB PB AB 2PO ，易知同向时最大，反向时最小，答案[4, 4]
x2 x k, x 1
14.
已知函数
f

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闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有18道试题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1.设幂函数()f x 的图像经过点()8,4，则函数()f x 的奇偶性为 .2.设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB ，则向量AB 对应的复数所对应的点的坐标为 .3.已知定义域为R 的函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称，()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=，则()()12g x g x += .4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，其中(),,0,1a b c ∈，已知投篮一次得分的期望是2，则ab 的最大值是 .5.设12,12,N 1,3,N 3n n nn n a n n -⎧≤≤∈⎪=⎨≥∈⎪⎩数列{}n a 的前n 项和n S ，则lim n n S →∞= .6.设函数266,0,()4,0.x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若存在互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围 .7.若二项式1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是 .9.从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是 .10.把正整数排成如图（a ）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b ）三角形数阵，现将图（b ）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列{},2015,n k a a k ==若则 .123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536124579101214161719212325262830323436（a ） (b)二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律零分 11.下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）,a b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（） A.0 B.1 C.2 D.312.在极坐标系中，关于曲线C :4sin()3πρθ=-，下列判断中正确的是（）A.曲线C 关于直线56πθ=对称 B.曲线C 关于直线3πθ=对称 C.曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.曲线C 关于点()0,0对称13.已知O 是正三角形ABC ∆内部的一点，230OA OB OC ++=,则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是（） A.32 B.23C.2D.1 三、解答题（本题满分75分）本题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要步骤14.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图AB 是圆柱体1OO 的一条母线，已知BC 过底面圆的圆心O ，D 是圆O 上不与,B C 重合的任意一点，5,5,3AB BC CD ===（1）求直线AC 与直线BD 所成角的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 旋转一周，求ACD ∆的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积DOB1O AC15.（本题满分13分，第（1）小题各5分，第（2）小题各8分）如图所示，某市拟在长为8km 道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()[]()sin 0,00,4y A x A x ωω=>>∈的图像，且图像的最高点为()3,23S ，赛道的后一部分为折线段MNP ，且120MNP ︒∠=. （1）求M P 、两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP 长度的最大值.16.（本题满分16分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）已知圆()221:18C x y ++=，点()2:1,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P （1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.17. （本题满分18，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题9分）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数()x g t =，使得函数[]()y f g t =的值域仍xyoSM NP 84是A ，那么称()x g t =是函数()y f x =的一个等值域变换.（1）判断下列函数()x g t =是不是函数()y f x =的一个等值域变换?说明你的理由； ①2()log ,0f x x x =>，()x g t =1,0t t t=+>；②2()1,R f x x x x =-+∈，()x g t =2,R t t =∈.（2）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1A ，那么“1D A =”是否是“()x g t =是()y f x =的一个等值变换”的一个必要条件？说明理由.（3）设()2log f x x =的定义域为[]2,8，已知()2231mt t n x g t t -+==+是()y f x =的一个等值变换，且函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数,m n 的值.18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）我们把一系列向量()1,2,,i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a .已知向量列{}n a 满足：()11,1a =， ()()()11111,,22n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥. （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设2log n n n c a a =，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由.（3）设n θ表示向量1n a -与n a 间的夹角，若2n n n b θπ=，对于任意的正整数n ，不等式()1221111log 122a n n n ab b b +++++>-恒成立，求实数a 的取值范围.理科答案一．填空题1、偶函数；2、()1,1-3、2-4、165、55186、()1,6-7、478、b a - 9、①②④ 10、1030 二．选择题11、B 12、A 13、B 三．解答题 14、（1）32arcsin10………………………………………………………5分（2）15π ………………………………………………………………7分15、解（1）依题意，有23A = …………………………………………1分又34T =，而2T πω=， 6πω∴= ………………………1分 23s i n 6y x π∴=当4x =时，223s i n 33y π==，()4,3M ∴，又()8,0P22435MP ∴=+= ………………………………………3分（2）解：法一：在MNP ∆中，120MNP ∠=，5MP =.设PMN θ∠=，则060θ<<.……………………………………1分由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MNθθ==-，103sin 3NP θ∴=， ()103sin 603MN θ=-，……………………………………………………3分故()()103103103sin sin 60sin 60333NP MN θθθ+=+-=+……3分060θ<<，∴当30θ=时，折线段赛道MNP 最长为3310.……………2分解法二：（2）在MNP ∆中，120MNP ∠=， 5.MP =由余弦定理得2222MN NP MN NP COS MNP MP +-⋅⋅∠=，即2225MN NP MN NP ++⋅=；…………………………3分故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤…4分即1033MN NP +≤，当且仅当MN NP =时等号成立.………………2分亦即，设计为MN NP =时，折线段赛道MNP 最长为3310.注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①123943,26N ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭；②123943,26N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等.16、（1）2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ，2PQ PC ∴=.………………1分211112222P C P C P Q P C Q CC C+=+==>=，所以动点P 的轨迹W 是以点1C 、2C 为焦点的椭圆.…………………………2分设椭圆的标准方程为22221x y a b +=()0a b >>，则222a =，22c =，2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2212x y +=…………………………………………………………2分（2）直线l 的方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得221132y kx xy ⎧=-⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，即 ()2291212160k x kx +--=，易知点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交于两点. …1分设()()1122,,,A x y B x y ，则()()121222416,312912k x x x x k k +==-++，……………………2分假设在y 轴上存在定点()0,D m 满足题设，则()()1122,,,DA x y m DB x y m =-=-. 因为以AB 为直径的圆恒过点D ，则()()1122,,0DB x y DA m x y m ⋅=-⋅-=.……………………2分即()()()12120*x x y m y m +--=，因为112211,33y kx y kx =-=-，所以(*)变为()()()12122121212121221213111333x x y m y m x x y y m y y m kx m kx kx x x kx m ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫=+--=+-++⋅---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()()()()()2121222222189121133186199521m k m k x x k x m m x m m k +⎛⎫=+--+-+++++= ⎝⎭+⎪.………3分由假设得对于任意的k ∈R ，0DA DB ⋅=恒成立，即221818096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =. 因此，在y 轴上存在点D ，点D 的坐标为()0,1………………………………………………3分17、（1）①不是……………………………………………………………………2分②()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，当t ∈R 时，()21332244t f g t ⎛⎫=-+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以()x g t = 是()f x 的一个等值域变换.………………………………………………2分（2）不必要性的反例： ()[)2,,0,x x D B f ===∞+R ()()1121,,1,t g t D B =-==-+∞R此时1B D ⊂，但()()221tf g t =-⎡⎤⎣⎦的值域仍为[)0,B =+∞，即()()21t g t x =-∈R 是()()2f x x x =∈R 的一个等值域变换.（反例不唯一）………………3分（3）()2log f x x =定义域为[]2,8，因为()x g t =是()f x 的一个等值域变换，且函数()f g t ⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，所以()22,13t mt x g t t t n +==+-∈R 的值域为[]2,8，……………………2分()()22222328213811mt t n t mt t n t t -+≤≤⇔+≤-+≤++，……………………………………1分所以，恒有()()()()12289422094880m m n m n ⎧<<⎪∆=---=⎨⎪∆=---=⎩，………………………………………………3分解得33523352m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.……………………………………………………………………3分18、（1）()()22221111111122222n n n n n n n n a x y x y x y a -------=-++=+= ∴数列{}n a 是等比数列 ………………………………………………3分（2）1222222n n n a --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 22222nn n c --∴=⋅ ………………2分假设 {}n c 中的第 n 项最小，由 122c =，20c =，210.c c ∴≤< 当3n ≥时，有0n c <，又由1n n c c +≤可得()()212222122222n nn n -+--+-⋅≤⋅，即12221n n --≥-，22112n n -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭. 2670n n -+≥，32n ≥+或32n ≤-（舍），5n ∴≥.…………2分即有567c c c <<<；由1n n c c +≥，得35n ≤≤，又210c c ≤<，541c c c ∴<<<；………………2分故数列{}n c 中存在最小项，最小项是325322c -=-⋅………………………………1分(3) 112cos 2n n n n na a a a θ--⋅==⋅，4n πθ∴=……………………………………1分24n n b ∴=………………………………………………………………1分不等式化为：()32221log 121222a n n n +++>-++对任意正整数n 恒成立. 设222122n T n n n=++++. 又 ()122222021*******n n T T n n n n n +-=+-=->+++++，数列{}n T 单调递增……………………………………………………2分()1m i n 1n T T ∴==，要使不等式恒成立，只要()311log 122a >-，……1分120a ->， 102a ∴<<，212a a -> ，021a ∴<<- 所以，使不等式对于任意正整数恒成立的a 的取值范围是()0,21.-…………2分。

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