矩阵相似的性质与应用的研究

矩阵相似的性质与应用的研究

1 引言

矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。

由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。

2 矩阵相似的定义与基本性质

2.1矩阵相似的定义

令n m C S ⨯∈为非奇异矩阵，考察矩阵n

m C A ⨯∈的线性变换

AS

S B 1

-= 令线性变换B 的特征值为λ，对应的特征向量为y ，即 y By λ=

将式AS S B 1-=代入上式，即有y ASy S λ=-1

或)()(Sy Sy A λ=

令Sy x =或x S y 1-=，则式)()(Sy Sy A λ=可以写作

x Ax

λ= 比较y By λ=和x Ax

λ=两式可知，矩阵A 和AS S B 1

-=具有相同的特征值，并且矩阵B 的特征向量y 是矩阵A 的特征向量x 的线性变换，即x S y 1-=。由于矩阵

A 和AS S

B 1

-

=的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：

设 A 、B 都是n 阶方阵，若有可逆方阵S ，使B

AS S =-1，则称B 是 A 的相似矩阵。或者说矩阵A 与B 相似。对A 进行运算 Ap p 1- 称为对A 进行相似变换。可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换阵。

2.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性：A A ~。 对称性：B A ~则A B ~。

传递性：B A ~及C B ~可得：C A ~。

如果n 阶矩阵A ,B 相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。 相似矩阵另外的一些特性：

1)相似矩阵有相同的秩。 2)相似矩阵的行列式相等。

3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。 4)B A ~则k k B A ~，N k ∈、T T B A ~、11~--B A （若A ，B 均可逆）、

B E A E -=-λλ从而A ，B 有相同的特征值。

3 相似对角矩阵的有关性质

3.1矩阵可相似对角化的引入与定义

设V 是复数域C 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换。

又n e e e ,,,21 与n εεε,,,21 是V 的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是P 。则线性变换T 在这两组基下的矩阵A 与B 相似，即

AP P B 1-=

我们自然会问：矩阵A 可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基n εεε,,,21 ，使得线性变换T 在这组基下的矩阵B 是个对角矩阵呢？

我们逐步解决这个问题。

首先设想矩阵A 能相似与一个对角矩阵，即设

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢⎣

⎡=-n AP P λλλ 211

(1) 因而有 ⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢⎣⎡=n P AP λλλ 21 (2) 若把P 写成分块矩阵

),,,(21n X X X P =，

这里n X X X ,,,21 代表P 的n 个列向量。应用矩阵乘法规则，容易验证

),,,(21n AX AX AX AP =，

),,,(2121n n X X X P λλλλλλ =⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡ 故由(2)式可得

),,2,1(n i X AX i i i ==λ (3) 或

),,2,1(0

)(n i X A E i i ==-λ。

这说明，若A 能够与对角矩阵相似，则可逆矩阵),,,(21n X X X P =的每个

列向量（非零向量）i X 都满足(3)式。简言之，对于n 阶矩阵A ，n 维列向量X ，并且存在n 个线性无关的特征向量n X X X ,,,21 相应的特征值分别为

n λλλ,,,21 即有),,2,1(n i X AX i i i ==λ取),,,(21n X X X P =最终可得到 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=-n AP P λλλ

2

11

即A 与对角形矩阵相似。

3.2矩阵可相似对角化的性质

（1）如果两个矩阵A 和B 都可以相似同一个对角矩阵P ，那么B A ~。

（2）如果n 阶矩阵A 的每个i S 重特征根i λ，有i i S n A E -=-）

秩（λ则A 与对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：

证明：设n 阶矩阵A 的互异特征根为i λλλ,,,21 ，其重数分别为i S S S ,,,21 ，则有 n S S S i =+++ 21（A 必有n 个特征根），

而由i i S n A E -=-）

秩（λ式得到),,2,1()()(i i S S n n A E r n i i i ==--=--λ。 即齐次线性方程组

0=-X A E i ）（λ的基础解系有i S 个解向量。 由),,2,1()()(i i S S n n A E r n i i i ==--=--λ式知道A 有n 个线性无关的特征向量，故可得到A 与对角矩阵相似。

（3）n 阶矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是A 具有n 个线性无关的特征向量。

（4）数域P 上的n 级矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是对每个特征值均有几个重数等于代数重数。

（5）数域P 上的n 级矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积。