矩阵的相似
5[1].2矩阵的相似
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得特征向量 对 λ2 = 5 ，由
⎛1⎞ α1 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4 −4 −2 ⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ ⎜ 5E − A = ⎜ 0 8 −4 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 → ⎜ 0 −4 2 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 0 −1⎞ ⎛ 1 −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 1 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 → → ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 2⎞ 得特征向量 α2 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 数学科学学院
于是有：
, λnα n ) ,
Aαi = λαi i
(i =1,2, , n).
列向量 α i是A的对应于特征值 λ i 的特征向量。
数学科学学院 徐
λ 由此可得： i是A的特征值，而相似变换矩阵P的
鑫
2008年11月1日星期六
n {α i }1为A的n个线性无关的特征 由于P可逆，故
向量.
n {α i } 1 充分性：设A有n个线性无关的特征向 充分性
2008年11月1日星期六
性质2 若A相似于B，则A与B有相同的特征多项式， 从而有相同的特征值。
−1 〖证〗设A相似于B,且存在可逆阵P,使 P AP = B,
于是
λ E − B = λ E − P−1 AP = P−1 (λ E − A) P
=| P −1 || λ E − A || P |=| λ E − A |
2 3 3 = − (λ + 1 ) −2−λ
所以A的特征值为 λ1 = λ 2 = λ 3 = −1. 把λ = −1代入( A − λE ) x = 0, 解之得基础解系 T ξ = (1,1,−1) ,
故A 不能化为对角矩阵.
矩阵的相似标准形
THANK YOU
感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P， 则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ)， 并求出其全部根，即矩阵A的 全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi，构造一个 以λi为主对角线元素的对角矩 阵Di，并将矩阵A与Di进行初 等行变换，得到一个与A相似 的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行 初等列变换，得到一个最简形 式的矩阵C，则C即为所求的相 似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特 征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行 施密特正交化，得到一个正交 矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理 ，得到一个新的正交矩阵P。
通常，这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法，如幂法、反幂法等，求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵，并将其应用于原矩阵，得到相
似标准形。
实例演示：Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库 定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。
第6章 矩阵的相似变换
6 3 6 A= 6 3 6 −6 −6 −9
2
求特征值 A − λ E = − ( λ − 3 )( λ + 3 ) = 0
λ1 = λ2 = −3, λ3 = 3.
第2步 求线性无关的特征向量， 即求 ( A − λi E ) x = 0 的基础解系
λ1 = λ2 = −3,
⇔ Api = λi pi ( i = 1,L , n)
说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量， 就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。
-19-
定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。
Ap = λ p
特征值 λ 的特征向量。 把(1)改写为
(1)
则称λ 为A的特征值, 非零向量p称为A的对应于(或属于)
( A− λE) p = 0
⇔ A− λE = 0
(2)
λ 是A的特征值 ⇔ λ 使得 ( A − λ E ) x = 0 有非零解
( A − λ E ) x = 0 的所有非零解向量都是对应于 λ 的特征向量.
µ2
的特征值 O µn
解: 特征多项式
µ1 − λ A− λE = µ2 − λ O
对角阵的特征值 就是对角线元素
µn − λ
= ( µ1 − λ )( µ2 − λ ) L ( µn − λ ) = ( −1)n ( λ − µ1 )( λ − µ2 ) L ( λ − µn )
x1 = − x3 同解方程组为 ，令 x3 = 1, 得基础解系 x2 = x3 −1 基础解系的个数与 p3 = 1 特征值重数相等 1
判断两个矩阵相似的条件
判断两个矩阵相似的条件矩阵是现代数学研究的基础之一，它在线性代数、微积分、物理学、工程学等领域中发挥着重要的角色。
在矩阵运算中，相似矩阵是一个非常重要的概念。
本文将围绕“判断两个矩阵相似的条件”进行讲解。
一、什么是相似矩阵？相似矩阵是指一个矩阵经过线性变换后得到的形式不变的矩阵，在线性代数中有着广泛的应用。
例如，一些计算问题，例如求解线性方程组、特征值和特征向量，都可以通过相似变换将矩阵化为更容易求解的形式。
二、判断两个矩阵相似的条件1. 维数相同两个矩阵相似必须要求它们的维数相同，也就是它们具有相同的行数和列数。
2. 矩阵A和B的特征多项式相同在线性代数中，特征多项式是一个方阵特征值的一个函数。
如果矩阵 A 和 B 的特征多项式相同，那么它们就有着相同的本质性质，即它们具有相同的特征值和特征向量，如果这两个矩阵的特征值相同，则它们就是相似的。
3. 矩阵A和B的Jordan标准型矩阵相同任何一个矩阵A可以通过初等变换、相似变换化为Jordan标准型（简称Jordan型）。
设相似矩阵为 $P^{-1}AP=B$，则 $P^{-1}$ 一定可以写成若干个初等矩阵的乘积，即 $P^{-1}=E_1E_2\cdots E_k$ 。
如果A和B的Jordan标准型矩阵相同，那么它们就是相似的。
三、相似矩阵的性质如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 两个相似矩阵，则它们具有以下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量；2. 相似矩阵的行列式相等；3. 相似矩阵的秩相等；4. 相似矩阵的迹相等；5. 相似矩阵具有相同的正则型矩阵。
相似矩阵在数学中有着广泛的应用，如矩阵的特征值分解主要就是将矩阵转化为对角矩阵，然后进行计算，从而达到更加轻松方便的计算效果。
同时，相似矩阵也是计算机图形学和图像处理一些重要算法的基础，如PCA算法等等。
通过以上几个步骤，我们就可以判断两个矩阵是否相似，并且为接下来的计算和问题解决奠定基础。
矩阵相似的判定条件
矩阵相似的判定条件矩阵相似是一个概念，它指的是多个矩阵之间有相似性的情况。
它是一个重要的数学概念，被广泛用于线性代数和科学计算中。
本文将讨论矩阵相似的判定条件，并给出一个典型的例子。
矩阵相似的定义是两个矩阵之间存在一种可以将一个矩阵变换到另一个的变换，以及这两个矩阵的行列式相等。
具体来讲，如果A 和B是两个n阶矩阵，那么A和B是矩阵相似的，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵P，令B=PAP-1。
这个变换矩阵P可以是正交的、对称的或者是单位矩阵，并且行列式det(P)可以是任意非零值。
举一个典型的例子，让我们来看一下矩阵A和矩阵B：A=begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix},quadB=begin{bmatrix}-1 & 2 & 3-4 & 5 & 6-7 & 8 & 9end{bmatrix}矩阵A和B之间有一种可以将A变换到B的变换，即变换矩阵P 为单位阵：P=begin{bmatrix}-1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}可以看到，B=PAP-1，也就是说矩阵A和矩阵B是矩阵相似的。
除了上面的例子外，可以看到，矩阵相似的判定条件是由三个方面组成的：（1）存在一个可逆的变换矩阵；（2）变换矩阵的行列式不为0；（3）矩阵A和矩阵B之间存在一种可以将A变换到B的变换，即B=PAP-1。
此外，在实际应用中，也存在非可逆矩阵和正交变换矩阵，也可以用来检验矩阵相似性。
给定一个非可逆矩阵P，如果B=PAP-1，那么A和B也是矩阵相似的。
除此之外，正交矩阵也可以检验矩阵相似性。
如果P是一个正交矩阵，那么B=PAPT，其中PT是P的转置矩阵，也就是说A和B是矩阵相似的。
矩阵相似的性质：矩阵相似例题
1 矩阵的相似1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。
（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。
令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。
?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。
两个矩阵相似的充分必要条件
两个矩阵相似的充分必要条件在线性代数中，矩阵相似是一个重要的概念。
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征多项式和特征值。
然而，要确定两个矩阵是否相似并不容易。
本文将介绍两个矩阵相似的充分必要条件，并解释其背后的原理。
充分必要条件一：两个矩阵的特征多项式相同。
特征多项式是一个与矩阵的特征值相关的多项式。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式可表示为：det(A-λI)，其中det表示行列式，λ表示一个变量，I表示单位矩阵。
如果两个矩阵的特征多项式相同，即det(A-λI) = det(B-λI)，那么它们可能是相似的。
充分必要条件二：两个矩阵具有相同的特征值。
特征值是一个矩阵的特征多项式的根。
如果两个矩阵具有相同的特征值，那么它们可能是相似的。
特征值的个数等于矩阵的阶数，且每个特征值的重数（即特征值的代数重数）等于其对应的特征值的几何重数。
充分必要条件三：两个矩阵的特征向量具有一定的关联性。
特征向量是与特征值相关联的向量。
对于一个n阶矩阵A和其特征值λ，如果存在一个非零向量v使得Av = λv，那么v就是A的一个特征向量。
如果两个矩阵具有相同的特征值，并且它们的特征向量之间存在一定的线性关系，那么它们可能是相似的。
充分必要条件四：两个矩阵的相似矩阵存在。
相似矩阵是一个矩阵与另一个矩阵相似的矩阵。
如果两个矩阵相似，那么它们一定存在相似矩阵。
相似矩阵可以通过矩阵的特征向量来构造。
基于以上充分必要条件，我们可以判断两个矩阵是否相似。
首先，我们可以计算两个矩阵的特征多项式，如果它们相同，则满足充分必要条件一。
然后，我们计算两个矩阵的特征值，如果它们相同，则满足充分必要条件二。
接下来，我们可以求解特征值对应的特征向量，并判断它们之间是否存在一定的线性关系，如果存在，则满足充分必要条件三。
最后，我们可以构造相似矩阵，如果存在相似矩阵，则满足充分必要条件四。
总结一下，两个矩阵相似的充分必要条件包括：特征多项式相同、特征值相同、特征向量具有一定的关联性以及存在相似矩阵。
证明矩阵相似的五种方法
证明矩阵相似的五种方法矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。
在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。
方法一：矩阵相似的定义矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][12 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]因此，A和B是相似的。
方法二：矩阵的特征值和特征向量矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
线性代数—相似矩阵
求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对角化.
1 2 3 2 ( 2) 0
解 E A 1 4 3 1
4
3
1 a 5 1 a 5
1 1 0
( 2) 1 4 3 ( 2)(2 8 18 3a) ,
1 a 5
20
E A ( 2)(2 8 18 3a)
P1AP B , 则称A与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P E 即可)；
(2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ；
证 P 1 AP B A PBP1 ( P 1 )1 BP 1 . (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C .
Pn P 1
1 2
11
11
3 0
01100
1 1
11
1 2
1 1
11
3100 0
10 11
11
1 2
3100 3100
1 1
3100 3100
11
.
25
EN D
26
1 P 1 AP
1
.
0 1 3
2 16
例4
4 判断矩阵 A 2
2 0
1 1
能否对角化，若能，
1
1
0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
c1 c2
4 2 1 解 E A 2 1 ( 2)2 ,
1 1
2 2 1 2 2 1
对
1
2
，2E
A
2
2
1 0 0 1 ,
推论2 相似矩阵的迹相等；
5.3相似矩阵
Ak Pk P 1
简化矩阵的计算
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
n
相似,则1,2,,n是A的特征值.
换言之: 若有可逆矩阵P,使得P1AP=,则
1,2,,n是A的特征值.
特别地，
若矩阵 A与对角阵 Λ 相似 (P -¹AP = Λ)，则
Ak Pk P 1
5
简化矩阵的计算
返回
二、相似矩阵的计算方法
=|EA||P1||P| =|EA||P1P| =|EA|
另外: 相似矩阵有相同的行列式. ∵P1AP=B |P1AP|=|B| |P1||A||P|=|B| |A||P1||P|=|B| |A||P1P|=|B| |A|=|B|
(kB) k(P 1 AP ) P 1 (kA)P
特别地，若矩阵 A与对角阵 Λ 相似 (P -¹AP = Λ)，则
A与B相似 ？ A与B等价。
相似与等 价的关系
定理九 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.
[证] 若A与B相似 即存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B B的特征多项式:
|EB|=|EP1AP| =|P1(E)PP1AP|
=|P1(EA)P| =|P1||EA||P|
求相似矩阵P,使得A与对角矩阵相似
的步骤:
(1)由A求出特征值i (i=1,2,,n)
(2)求出对应于i的特征向量Pi (i=1,2,,n)
(3)作出矩阵P=(P1,P2,,Pn),则AP=P
1
2
n
(4)若P可逆,则P1AP=. 即A与相似.
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵?
1 2 3 2 1 2 1 2 2
两矩阵相似的充分条件
两矩阵相似的充分条件两个矩阵相似的充分条件矩阵是线性代数中的重要概念，它是由m行n列的数按一定规律排列形成的矩形数表。
矩阵之间的相似性是矩阵理论中一个重要的概念，它描述了两个矩阵在某种变换下保持形状和结构的性质。
在矩阵相似性的研究中，有一个重要的问题是如何判断两个矩阵是否相似。
本文将介绍两个矩阵相似的充分条件。
要判断两个矩阵是否相似，首先需要了解矩阵相似的定义。
给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，那么矩阵A与矩阵B就是相似的。
根据这个定义，我们可以得到两个矩阵相似的充分条件如下：充分条件一：两个矩阵的特征值相同特征值是矩阵相似性的重要指标，它描述了矩阵在变换下的不变性。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的特征值应该相同。
特征值可以通过求解矩阵的特征方程得到，即det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，λ是特征值，I是单位矩阵。
如果两个矩阵的特征值相同，那么它们可能是相似的。
充分条件二：两个矩阵的特征向量对应相同特征向量是与矩阵特征值相关联的向量，它描述了矩阵在变换下的不变方向。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的特征向量应该对应相同。
特征向量可以通过解特征方程得到，即(A-λI)x=0，其中x 是特征向量。
如果两个矩阵的特征向量对应相同，那么它们可能是相似的。
充分条件三：两个矩阵的秩相同秩是矩阵的重要性质之一，它描述了矩阵的线性相关性。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩应该相同。
矩阵的秩可以通过求解矩阵的行最简形式得到，行最简形式是指矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵。
如果两个矩阵的秩相同，那么它们可能是相似的。
充分条件四：两个矩阵的迹相同迹是矩阵的重要性质之一，它描述了矩阵对角线上元素的和。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的迹应该相同。
矩阵的迹可以通过求解矩阵的对角线元素的和得到。
如果两个矩阵的迹相同，那么它们可能是相似的。
两个矩阵相似的充分条件包括：特征值相同、特征向量对应相同、秩相同以及迹相同。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个重要的概念。
本文将介绍矩阵的相似和对角化以及它们在数学和实际问题中的意义。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指对于两个矩阵A和B，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
其中，P被称为相似变换矩阵。
相似的概念可以帮助我们判断矩阵之间是否具有一些相似的性质。
在矩阵相似的条件下，它们具有以下几点性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值：设A和B是相似矩阵，若c是A的特征值，则c也是B的特征值。
2. 相似矩阵具有相同的特征多项式：特征多项式是一个与矩阵相关的特征方程，相似矩阵的特征多项式相同。
3. 相似矩阵具有相同的迹和行列式：设A和B是相似矩阵，它们的迹和行列式相等。
相似的概念在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。
通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和求解问题。
而且，相似关系也有助于我们研究矩阵的特征值和特征向量，进一步分析矩阵的性质和应用。
二、矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为一个对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角元素都为0。
对于一个n阶方阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，则称A可对角化。
对角化的过程可以表示为A = PDP^-1。
其中，D是由A的特征值按对角线排列而成的对角矩阵。
一个矩阵是否可以对角化，与它的特征值和特征向量密切相关。
对角化的条件如下：1. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量的个数等于n，则A可对角化。
2. 若矩阵A的特征向量的个数少于n，则A不可对角化。
对角化的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵简化为一个对角矩阵，从而更容易进行计算和分析。
对角化还有助于我们研究矩阵的性质和应用，比如求解线性方程组、计算幂矩阵等。
矩阵相似判定总结
矩阵相似判定总结引言矩阵相似判定是线性代数中的重要概念之一。
在计算机科学领域，矩阵相似判定在数据分析、图像处理、机器学习等领域中经常被使用。
本文将对矩阵相似判定进行总结，包括定义、判定方法和应用场景等方面的内容。
定义两个矩阵A和B被称为相似矩阵，是指存在一个可逆矩阵P，使得以下等式成立：PAP⁻¹ = B其中，P是可逆矩阵，P⁻¹是P的逆矩阵。
矩阵相似判定的目标就是判断给定的两个矩阵是否相似。
判定方法特征值相似性判定特征值相似性判定是矩阵相似判定中最常用的方法之一。
它基于以下定理：两个矩阵相似当且仅当它们的特征值相同。
具体的判定步骤如下：1.对于矩阵A和B，计算它们的特征值。
2.将特征值按照非递减的顺序排列。
3.比较两个矩阵的特征值是否完全相同，如果相同则判定它们相似，否则不相似。
秩相似性判定秩相似性判定是另一种常用的矩阵相似判定方法。
它基于以下定理：两个矩阵相似当且仅当它们的秩相同。
具体的判定步骤如下：1.计算矩阵A和B的秩。
2.比较两个矩阵的秩是否相同，如果相同则判定它们相似，否则不相似。
Jordan标准形相似性判定Jordan标准形相似性判定是一种更复杂但更准确的矩阵相似判定方法。
它基于以下定理：两个矩阵相似当且仅当它们具有相同的Jordan标准形。
具体的判定步骤如下：1.对于矩阵A和B，计算它们的Jordan标准形。
2.比较两个矩阵的Jordan标准形是否完全相同，如果相同则判定它们相似，否则不相似。
应用场景矩阵相似判定在各种应用场景中都有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：数据分析在数据分析中，矩阵相似判定可以用于判断两个数据集之间的相似性。
通过比较两个矩阵的相似性，可以评估它们之间的关联程度，进而进行数据聚类、异常检测等操作。
图像处理在图像处理中，矩阵相似判定可以用于图像匹配和图像变换等任务。
例如，在图像匹配中，可以通过将图像矩阵转化为特征矩阵，然后进行相似判定，以找到相似的图像。
矩阵相似的条件
Q0 = D0 ， Q1 = D1 + AQ0 ， Q2 = D2 + AQ1 ，
…………
Qk = Dk + AQk-1 ， …………
Qm-1 = Dm-1 + AQm-2 ， U0 = Dm + AQm-1 .
就行了. 用完全相同的办法可以求得 R() 和 V0 .
证毕
二、矩阵相似的条件
定理 7 设 A, B 是数域 P 上两个 n n 矩阵.
= R() ( E - A ) + V0E，- A = P0( E(6-)B ) Q0 ，
证毕(1)
U-1() - (则EA- 与B) BR(相)似，.
矩阵 A 的特征矩阵 E - A 的不变因子以后就 简称为 A 的不变因子. 因为两个 - 矩阵等价的充
分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得
U-1() - (E - B) R()
是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵)，记作 T，即
T = U-1() - (E - B) R()，
T (E - A) = (E - B) V0 .
(7)
现在我们来证明 T 是可逆的.
由
T = U-1() - (E - B) R()，
得
E = U()T + U() (E - B) R()
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节 节击想 想本 本容单 单若 若束内请 请返结节 节已想击想本本容单单若回束内请返结节 节已想击想本本容单单若回束内 内请返结 结节 节已击 击想 想本本容单 单若回束内 内结请返结结堂节已击想击按本本容单若回束内 内结请返结结堂节已击击想按本本容 容单若回束 束内 内结请返 返结 结堂节已击 击想按本容 容束单回束束课内结返返结钮堂节已击想按本容 容束单回束束课内结返返结钮堂节已 已击想按本 本容 容束单回 回束 束课内结返 返结钮堂已 已击按本本,容束回回束课.内结!返结钮堂已 已击按本本,容束回回束课.内结 结!返结钮堂 堂已 已击按 按本 本,容束回 回束课.结 结!返钮堂堂已按按本,容束回束课.结 结!返钮堂堂已按按本,容束 束回束课 课.结 结!返钮 钮堂 堂已按 按本,束 束回课课.结!钮钮堂已按本,束束回课课.结!钮钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂按,,束课..结!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
判断矩阵相似的方法
判断矩阵相似的方法
判断矩阵相似的方法主要有两种。
一种是特征值法，另一种是相似变换法。
特征值法是通过对矩阵进行特征值分解得出矩阵的特征值和特征向量，然后检查两个矩阵的特征值和特征向量是否一致。
如果两个矩阵的特征值和特征向量一致，那么它们就是相似矩阵。
相似变换法是通过构造相似变换将一个矩阵转化为另一个矩阵的形式，判断它们是否相似。
相似变换的构造可以采用线性代数中的矩阵变换理论，具体而言就是找到一个可逆矩阵，使得两个矩阵通过这个可逆矩阵进行相似变换，得到的矩阵就是相似的。
这两种方法都可以用于判断矩阵是否相似，但是侧重点不同。
特征值法更注重矩阵的本质特征，而相似变换法则更注重矩阵之间的变换关系。
需要根据具体情况选择合适的方法。
矩阵相似矩阵
矩阵矩阵的运算例：设,A B 为n 阶方阵，且22, A A BB==，2()A B A B+=+，证A BO=注意：不可222()2A B A A B BA B A B O+=++=+⇒=证：222()A B A A B B A B A A B B A B A B+=+++=+++=+，A B B A O∴+= ①，用A 左、右乘上式得：22, A B A B A A B A B A O A B A B A A B A B A O+=+=+=+=两式相减得A B B A O -= ②， 由①②式可得：A B O =例：设J 为所有元为1的n 阶方阵，X 为n 阶方阵，证：矩阵方程XX J JX=+仅有零解。
当1n =时，由x x x =+，得0x =。
当1n>时，用J左、右乘原方程，（注意2J nJ=）得：222 JX J JX J J X J nJX J JX J O=+=⇒= 用J 左乘原方程，得2JX JX J J X nJX JX O =+=⇒= 用J 右乘原方程，得2X J X JJX J nX J X J O=+=⇒=将X JJX O==代入原方程，得X O=。
例：设,A B 为n 阶正交方阵，且1A B=-，证：0A B +=因为,A B 为n 阶正交方阵()''''''A B A A A B A E B A B B B A +=+=+=+()'BB A B B A=+=+又 ()'A B A A B A +=+，A A B B B A B A B A A B∴+=+=+=-+，所以，A B +=例：设A 为3阶正交阵，0A <，B 为3阶方阵，且4B A -=，求'E A B -'''''E A B A A A B A A B A B -=-=-=--()()()3114B A B A =---=---=例：设()ij n nAa ⨯=是行列式为1-的正交矩阵，()*ij A b =为A 的伴随矩阵，求, 1,ijij a b i j n+≤≤因为1**1A A AA-==-，又1'A A-=，所以()'**'A A A A =-⇒=-即得()'*A A O+=， 0ij ij a b ⇒+=例：05104 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,BA 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B-.(D) 交换*A 的第1行与第2行得*B-.[ C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得BA E =12，于是12*11212*12***12*)(E A E E A EA A EB -=⋅===-，即*12*BE A -=,可见应选(C).例： 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1A --⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求6A242624, 1664, 2561024A A A A A A A A=-==-==-例：设121P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，()2,1,2Q =-，AP Q=，求100A 。
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m
m1
a x a .
1
0
f (A) am Am am1 Am1
f
(B)
a a0E. a1 B a0E.
A ~ B B P1AP Bm (P1AP)m P1AP P1AP
P1AmP, 因此，
P1AP
f (B) am Bm am1Bm1 a1 B a0E
相似对角形
特征值与特征向量 一般矩阵的相似对角化 实对称矩阵的相似对角化
矩阵的相似
一、矩阵的相似：
1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个n阶可逆阵P，
使
B P1 AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B
可逆阵P称为相似变换矩阵。
(1)相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。
(2) A~B AB,反之不对。
相似与等价的关系。
2.相似矩阵的简单性质：
(i) A ~ B r(A) r(B).
B P1AP
(ii) A ~ B A B .
(iii) A ~ B A与B同时可逆或同时不可逆，且当可逆时A1 ~ B1.
(iv) A ~ B f (A) ~ f (B),
f (x) a xm a xm1
3
A
2
2 6
4 2
21
?
21
.
4
2 3 2
2
3 2 4 2 4
2
A
2
4
6 2
2 3
1 2
2
4
2
1. 2
8
练习
1 2 2
A
2 2
2 4
4 , 2是否为A的特征值？
2
1 2 2
2
A 2E 2 2 2 4 0?
2 4 2 2
1 2 2 2 4 4
4 0
0 2
,
P
1 1
15.
验证 P1 AP并求Ak .
为验证 P1AP，只需计算AP和P.
A PP1 Ak (PP1)k PkP1,
k
4k
0
0
(2)k
,
P1
1 6
5 1
1 1 ,
Ak
1 5 4k (2)k
6 5 4k 5(2)k
4k (2)k .
4k 5 (2)k
2 4 4
1 1 0
B
4
3
0 , 2是否为B的特征值？
1 0 2
是的。
思考题 矩阵的特征值与特征向量怎么求？
二、矩阵的特征值与特征向量：
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量， 使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
思考题
矩阵的特征值与特征向量怎么求？
3
A
2
2 6
4 2 ,
2
1
4 2 3
2
问 是否为 A的特征向量？
(1) A满足什么条件时能与对角阵相似？ (2) A与对角阵相似时，可逆阵P及对角阵怎样求？
A
3 5
11,
4 0
02,
P
1 1
15. P1 AP.
A11
3 5
1 1 11
4 11 ,
A
1 5
3
5
11
15
2
15.
A
1 2
3 5
1 1
1 2
5
3
k
1 2
.
问题 你会关心哪一种情形？
am (P1AP)m am1(P1AP)m1 a1 (P1AP) a0E
am P1Am P am1P1Am1P a1 P1AP a0P1EP
P1(am Am am1Am1 a1 A a0E)P
P1 f ( A)P.
3.相似矩阵的简单应用：
例：A
3 5
1 1,