矩阵的相似
5[1].2矩阵的相似
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得特征向量 对 λ2 = 5 ，由
⎛1⎞ α1 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4 −4 −2 ⎞ ⎛2 ⎜ ⎟ ⎜ 5E − A = ⎜ 0 8 −4 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 → ⎜ 0 −4 2 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 0 −1⎞ ⎛ 1 −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 1 ⎟ ⎯⎯ ⎜ 0 −2 → → ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 2⎞ 得特征向量 α2 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 数学科学学院
于是有：
, λnα n ) ,
Aαi = λαi i
(i =1,2, , n).
列向量 α i是A的对应于特征值 λ i 的特征向量。
数学科学学院 徐
λ 由此可得： i是A的特征值，而相似变换矩阵P的
鑫
2008年11月1日星期六
n {α i }1为A的n个线性无关的特征 由于P可逆，故
向量.
n {α i } 1 充分性：设A有n个线性无关的特征向 充分性
2008年11月1日星期六
性质2 若A相似于B，则A与B有相同的特征多项式， 从而有相同的特征值。
−1 〖证〗设A相似于B,且存在可逆阵P,使 P AP = B,
于是
λ E − B = λ E − P−1 AP = P−1 (λ E − A) P
=| P −1 || λ E − A || P |=| λ E − A |
2 3 3 = − (λ + 1 ) −2−λ
所以A的特征值为 λ1 = λ 2 = λ 3 = −1. 把λ = −1代入( A − λE ) x = 0, 解之得基础解系 T ξ = (1,1,−1) ,
故A 不能化为对角矩阵.
矩阵的相似标准形
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感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P， 则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ)， 并求出其全部根，即矩阵A的 全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi，构造一个 以λi为主对角线元素的对角矩 阵Di，并将矩阵A与Di进行初 等行变换，得到一个与A相似 的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行 初等列变换，得到一个最简形 式的矩阵C，则C即为所求的相 似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特 征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行 施密特正交化，得到一个正交 矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理 ，得到一个新的正交矩阵P。
通常，这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法，如幂法、反幂法等，求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵，并将其应用于原矩阵，得到相
似标准形。
实例演示：Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库 定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。
第6章 矩阵的相似变换
6 3 6 A= 6 3 6 −6 −6 −9
2
求特征值 A − λ E = − ( λ − 3 )( λ + 3 ) = 0
λ1 = λ2 = −3, λ3 = 3.
第2步 求线性无关的特征向量， 即求 ( A − λi E ) x = 0 的基础解系
λ1 = λ2 = −3,
⇔ Api = λi pi ( i = 1,L , n)
说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量， 就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。
-19-
定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。
Ap = λ p
特征值 λ 的特征向量。 把(1)改写为
(1)
则称λ 为A的特征值, 非零向量p称为A的对应于(或属于)
( A− λE) p = 0
⇔ A− λE = 0
(2)
λ 是A的特征值 ⇔ λ 使得 ( A − λ E ) x = 0 有非零解
( A − λ E ) x = 0 的所有非零解向量都是对应于 λ 的特征向量.
µ2
的特征值 O µn
解: 特征多项式
µ1 − λ A− λE = µ2 − λ O
对角阵的特征值 就是对角线元素
µn − λ
= ( µ1 − λ )( µ2 − λ ) L ( µn − λ ) = ( −1)n ( λ − µ1 )( λ − µ2 ) L ( λ − µn )
x1 = − x3 同解方程组为 ，令 x3 = 1, 得基础解系 x2 = x3 −1 基础解系的个数与 p3 = 1 特征值重数相等 1
判断两个矩阵相似的条件
判断两个矩阵相似的条件矩阵是现代数学研究的基础之一，它在线性代数、微积分、物理学、工程学等领域中发挥着重要的角色。
在矩阵运算中，相似矩阵是一个非常重要的概念。
本文将围绕“判断两个矩阵相似的条件”进行讲解。
一、什么是相似矩阵？相似矩阵是指一个矩阵经过线性变换后得到的形式不变的矩阵，在线性代数中有着广泛的应用。
例如，一些计算问题，例如求解线性方程组、特征值和特征向量，都可以通过相似变换将矩阵化为更容易求解的形式。
二、判断两个矩阵相似的条件1. 维数相同两个矩阵相似必须要求它们的维数相同，也就是它们具有相同的行数和列数。
2. 矩阵A和B的特征多项式相同在线性代数中，特征多项式是一个方阵特征值的一个函数。
如果矩阵 A 和 B 的特征多项式相同，那么它们就有着相同的本质性质，即它们具有相同的特征值和特征向量，如果这两个矩阵的特征值相同，则它们就是相似的。
3. 矩阵A和B的Jordan标准型矩阵相同任何一个矩阵A可以通过初等变换、相似变换化为Jordan标准型（简称Jordan型）。
设相似矩阵为 $P^{-1}AP=B$，则 $P^{-1}$ 一定可以写成若干个初等矩阵的乘积，即 $P^{-1}=E_1E_2\cdots E_k$ 。
如果A和B的Jordan标准型矩阵相同，那么它们就是相似的。
三、相似矩阵的性质如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 两个相似矩阵，则它们具有以下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量；2. 相似矩阵的行列式相等；3. 相似矩阵的秩相等；4. 相似矩阵的迹相等；5. 相似矩阵具有相同的正则型矩阵。
相似矩阵在数学中有着广泛的应用，如矩阵的特征值分解主要就是将矩阵转化为对角矩阵，然后进行计算，从而达到更加轻松方便的计算效果。
同时，相似矩阵也是计算机图形学和图像处理一些重要算法的基础，如PCA算法等等。
通过以上几个步骤，我们就可以判断两个矩阵是否相似，并且为接下来的计算和问题解决奠定基础。
矩阵相似的判定条件
矩阵相似的判定条件矩阵相似是一个概念，它指的是多个矩阵之间有相似性的情况。
它是一个重要的数学概念，被广泛用于线性代数和科学计算中。
本文将讨论矩阵相似的判定条件，并给出一个典型的例子。
矩阵相似的定义是两个矩阵之间存在一种可以将一个矩阵变换到另一个的变换，以及这两个矩阵的行列式相等。
具体来讲，如果A 和B是两个n阶矩阵，那么A和B是矩阵相似的，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵P，令B=PAP-1。
这个变换矩阵P可以是正交的、对称的或者是单位矩阵，并且行列式det(P)可以是任意非零值。
举一个典型的例子，让我们来看一下矩阵A和矩阵B：A=begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix},quadB=begin{bmatrix}-1 & 2 & 3-4 & 5 & 6-7 & 8 & 9end{bmatrix}矩阵A和B之间有一种可以将A变换到B的变换，即变换矩阵P 为单位阵：P=begin{bmatrix}-1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}可以看到，B=PAP-1，也就是说矩阵A和矩阵B是矩阵相似的。
除了上面的例子外，可以看到，矩阵相似的判定条件是由三个方面组成的：（1）存在一个可逆的变换矩阵；（2）变换矩阵的行列式不为0；（3）矩阵A和矩阵B之间存在一种可以将A变换到B的变换，即B=PAP-1。
此外，在实际应用中，也存在非可逆矩阵和正交变换矩阵，也可以用来检验矩阵相似性。
给定一个非可逆矩阵P，如果B=PAP-1，那么A和B也是矩阵相似的。
除此之外，正交矩阵也可以检验矩阵相似性。
如果P是一个正交矩阵，那么B=PAPT，其中PT是P的转置矩阵，也就是说A和B是矩阵相似的。
矩阵相似的性质：矩阵相似例题
1 矩阵的相似1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。
（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。
令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。
?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。
两个矩阵相似的充分必要条件
两个矩阵相似的充分必要条件在线性代数中，矩阵相似是一个重要的概念。
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征多项式和特征值。
然而，要确定两个矩阵是否相似并不容易。
本文将介绍两个矩阵相似的充分必要条件，并解释其背后的原理。
充分必要条件一：两个矩阵的特征多项式相同。
特征多项式是一个与矩阵的特征值相关的多项式。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式可表示为：det(A-λI)，其中det表示行列式，λ表示一个变量，I表示单位矩阵。
如果两个矩阵的特征多项式相同，即det(A-λI) = det(B-λI)，那么它们可能是相似的。
充分必要条件二：两个矩阵具有相同的特征值。
特征值是一个矩阵的特征多项式的根。
如果两个矩阵具有相同的特征值，那么它们可能是相似的。
特征值的个数等于矩阵的阶数，且每个特征值的重数（即特征值的代数重数）等于其对应的特征值的几何重数。
充分必要条件三：两个矩阵的特征向量具有一定的关联性。
特征向量是与特征值相关联的向量。
对于一个n阶矩阵A和其特征值λ，如果存在一个非零向量v使得Av = λv，那么v就是A的一个特征向量。
如果两个矩阵具有相同的特征值，并且它们的特征向量之间存在一定的线性关系，那么它们可能是相似的。
充分必要条件四：两个矩阵的相似矩阵存在。
相似矩阵是一个矩阵与另一个矩阵相似的矩阵。
如果两个矩阵相似，那么它们一定存在相似矩阵。
相似矩阵可以通过矩阵的特征向量来构造。
基于以上充分必要条件，我们可以判断两个矩阵是否相似。
首先，我们可以计算两个矩阵的特征多项式，如果它们相同，则满足充分必要条件一。
然后，我们计算两个矩阵的特征值，如果它们相同，则满足充分必要条件二。
接下来，我们可以求解特征值对应的特征向量，并判断它们之间是否存在一定的线性关系，如果存在，则满足充分必要条件三。
最后，我们可以构造相似矩阵，如果存在相似矩阵，则满足充分必要条件四。
总结一下，两个矩阵相似的充分必要条件包括：特征多项式相同、特征值相同、特征向量具有一定的关联性以及存在相似矩阵。
证明矩阵相似的五种方法
证明矩阵相似的五种方法矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。
在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。
方法一：矩阵相似的定义矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][12 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]因此，A和B是相似的。
方法二：矩阵的特征值和特征向量矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
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m
m1
a x a .
1
0
f (A) am Am am1 Am1
f
(B)
a a0E. a1 B a0E.
A ~ B B P1AP Bm (P1AP)m P1AP P1AP
P1AmP, 因此，
P1AP
f (B) am Bm am1Bm1 a1 B a0E
相似对角形
特征值与特征向量 一般矩阵的相似对角化 实对称矩阵的相似对角化
矩阵的相似
一、矩阵的相似：
1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个n阶可逆阵P，
使
B P1 AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B
可逆阵P称为相似变换矩阵。
(1)相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。
(2) A~B AB,反之不对。
相似与等价的关系。
2.相似矩阵的简单性质：
(i) A ~ B r(A) r(B).
B P1AP
(ii) A ~ B A B .
(iii) A ~ B A与B同时可逆或同时不可逆，且当可逆时A1 ~ B1.
(iv) A ~ B f (A) ~ f (B),
f (x) a xm a xm1
3
A
2
2 6
4 2
21
?
21
.
4
2 3 2
2
3 2 4 2 4
2
A
2
4
6 2
2 3
1 2
2
4
2
1. 2
8
练习
1 2 2
A
2 2
2 4
4 , 2是否为A的特征值？
2
1 2 2
2
A 2E 2 2 2 4 0?
2 4 2 2
1 2 2 2 4 4
4 0
0 2
,
P
1 1
15.
验证 P1 AP并求Ak .
为验证 P1AP，只需计算AP和P.
A PP1 Ak (PP1)k PkP1,
k
4k
0
0
(2)k
,
P1
1 6
5 1
1 1 ,
Ak
1 5 4k (2)k
6 5 4k 5(2)k
4k (2)k .
4k 5 (2)k
2 4 4
1 1 0
B
4
3
0 , 2是否为B的特征值？
1 0 2
是的。
思考题 矩阵的特征值与特征向量怎么求？
二、矩阵的特征值与特征向量：
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量， 使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
思考题
矩阵的特征值与特征向量怎么求？
3
A
2
2 6
4 2 ,
2
1
4 2 3
2
问 是否为 A的特征向量？
(1) A满足什么条件时能与对角阵相似？ (2) A与对角阵相似时，可逆阵P及对角阵怎样求？
A
3 5
11,
4 0
02,
P
1 1
15. P1 AP.
A11
3 5
1 1 11
4 11 ,
A
1 5
3
5
11
15
2
15.
A
1 2
3 5
1 1
1 2
5
3
k
1 2
.
问题 你会关心哪一种情形？
am (P1AP)m am1(P1AP)m1 a1 (P1AP) a0E
am P1Am P am1P1Am1P a1 P1AP a0P1EP
P1(am Am am1Am1 a1 A a0E)P
P1 f ( A)P.
3.相似矩阵的简单应用：
例：A
3 5
1 1,