从有理数到分数
有理数及其运算知识点汇总
有理数及其运算知识点汇总一、有理数：整数和分数统称为有理数。
正整数 （非负整数） 正整数 整数 0 正有理数 负整数 （非正整数） 正分数 有理数 正分数 有理数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数 注意：正负数表示具有相反意义的量（具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思）。
0既不是正数也不是负数。
1、 正数前面可以加“+”号，也可以不加“+”号。
2、 判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“—”号，而不是看它是不是带有“—”号。
注意“—a ”不一定是负数。
3、 相反意义的量是成对出现的。
4、 0是有理数，也是整数，也是最小的自然数。
5、 奇数、偶数也可以扩充到负数，如—1，—21，—53…等都是奇数；—2，—22，—26^等都是偶数。
6、 整数也可以看作分母为1的分数。
7、 a 的相反数是a -，但—a 不一定是负数。
8、 求一个式子的相反数，一定要将整个式子加上括号，再在括号前面加上“—”号，例如y x -的相反数是—(y x -)，即x y -。
9、 多重符号的化简 化简的结果取决与正数前面负号“—”的个数，“奇负偶正”。
10、当0≥a 时，a a =，即绝对值等于它本身的是非负数；当0≤a 时，a a -=，即绝对值等于它的相反数的是非正数。
11、无论a 为正数、负数或0，0≥a ，称为绝对值的非负性。
12、几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.即0=++++m c b a ，0=====m c b a 则。
二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。
1、两方向无限延伸；三要素缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。
2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示（一般规定向右）3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。
4、数轴上的点，右边的数 > 左边的数。
如何化有理数为分数
有理数、无理数之战小鸣的小脑袋瓜里，整天琢磨着数学问题。
一天晚上，他正在一道又一道地演算数学题，忽然听到屋后“乒乒叭叭”响起枪声。
“深更半夜，哪来的枪声？”小鸣爬上屋后的小山一看，啊呀，山那边摆开了战场，两军对垒打得正凶。
一方的军旗上写着“有理数”，另一方的军旗上写着“无理数”。
小鸣记得老师讲过，整数和分数合在一起，构成有理数。
无理数则是 无限 不循环小数。
“奇怪，有理数和无理数怎么打起仗来了？”小鸣攀着小树和藤条，想下山看个究竟。
突然，从草丛中跳出两个侦察兵，不容分说就把他抓起来。
小鸣一看，这两个侦察兵胸前都佩着胸章，一个上面写着“２”，另一个上面写着“31”。
噢，他们都是有理数。
“你们为什么抓我？”小鸣喊着。
“你是无理数，是个奸细！”侦察兵气势汹汹地说。
“我不是无理数，我是人！”小鸣急忙解释。
侦察兵不听他的申辩，非要带小鸣去见他们的司令不可。
小鸣问：“你们的司令是谁？”“大名鼎鼎的整数１！”侦察兵骄傲地回答。
“那么多有理数，为什么偏偏让１当司令呢？”小鸣不明白。
侦察兵回答说：“在我们有理数当中，１是最基本、最有能力的了。
只要有了１，别的有理数都可以由１造出来。
比如２吧，2=1+1；我是31，111131++=；再比如0，0＝1-1。
”小鸣被带进１司令所在的一间大屋子里。
这里有许多被捉的俘虏，屋子的一头，摆着一架Ｘ光机模样的奇怪的机器。
“押上一个！”１司令下命令。
两个士兵押着一个被俘的人走上机器。
只见荧光屏“啪”的一闪，显示出“20502”。
“整数，我们的人。
”１司令说完，又叫押上另一个。
荧光屏显示为“133355”。
“分数，也是有理数，是你们的人！”小鸣憋不住地插嘴。
司令满意地点点头。
又押上一个，荧光屏上显示出“0.35278=10000035278”。
“有限小数；有理数，是你们的人！”小鸣继续说。
接着押上的一个在荧光屏上显示出是“0.787 878……＝9978”.“也是你们的人。
”小鸣兴奋地说，“循环小数，可以化成分数的。
第二单元有理数及其运算(归纳总结)
2.3×108
天体名称 木星 土星
天王星 海王星
围绕太阳公转的轨道 半长径/km 780 000 000
1 500 000 000
2 900 000 000
4 500 000 000
科学记数法 7.8×108 1.5×109 2.9×109 4.5×109
9. 计算1-2+3-4+5-6+… + 99-100.
23 4
(18) ( -60 )×( 3 5 ).
46
-95
8Байду номын сангаас请用科学记数法表示下表中的数据：
天体名称 水星
围绕太阳公转的轨道 半长径/km
58 000 000
科学记数法 5.8×107
金星
110 000 000
1.1×108
地球
150 000 000
1.5×108
火星
230 000 000
（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示.
4.相反数 如果两个数只有符号不同，那么称
其中一个数为另一个数的相反数.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）； （2）0的相反数是0； （3）若a、b互为相反数，则 a+b = 0.
5.倒数 如果两个有理数的乘积为1，那么称
2
3
4
负数集合
0, 2， 7, 3
整数集合
4. 比较下列每组数的大小：
（1） 1 ， 0.009； （2） 8， 7；
100
78
（3）2 ，3 ； 35
（4） 2 1， 2.3. 3
6.在如图所示的圆圈内填上彼此都不相等的数，使 得每条线上的三个数之和为零。你有几种填法?
有理数数轴化简方法
有理数数轴化简方法有理数数轴化简方法是数学中的一个重要概念，通过数轴可以直观地理解有理数的大小关系和运算。
以下是关于有理数数轴化简方法的50条详细描述：1. 有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
在数轴上表示有理数可以帮助我们更直观地理解它们的大小和关系。
2. 有理数数轴上的零点是原点，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧。
3. 如果两个有理数的绝对值相等，那么数轴上它们的位置也是对称的。
4. 可以用数轴上的距离表示两个有理数的差值，这有助于进行比较和运算。
5. 有理数数轴上的单位长度可以代表一个特定的有理数，根据需要选择合适的单位长度。
6. 当有理数是整数时，其在数轴上的位置可以直接表示，而当有理数为分数时，需要更仔细地划分单位长度。
7. 将有理数转化为数轴上的表示可以帮助我们更好地理解数值的大小和相对位置。
8. 对于有理数的加法，可以通过在数轴上从初始位置向右移动来表示正数的加法，向左移动来表示负数的加法。
9. 对于有理数的减法，可以通过在数轴上从初始位置向左移动来表示正数的减法，向右移动来表示负数的减法。
10. 有理数的乘法可以通过数轴上的倍数表示，正数的乘法会将位置向同一方向拉伸，负数的乘法会将位置向相反方向拉伸。
11. 有理数的除法可以通过数轴上的比例表示，正数的除法会将位置向同一方向压缩，负数的除法会将位置向相反方向压缩。
12. 对于有理数的相反数，可以通过数轴上的对称位置表示，即将位置沿着原点进行对称变换。
13. 将有理数进行数轴上的表示可以帮助我们更好地理解有理数的大小、运算性质以及实际应用。
14. 有理数数轴的化简也包括了对于有理数的化简运算，例如化简分数、约分等。
15. 化简有理数数轴时，可以根据具体情况选择合适的刻度和标记，便于准确表示有理数的位置。
16. 有理数数轴的化简也可以包括对多个有理数进行整体表示，例如将一系列分数在数轴上形成区间。
17. 有理数数轴的化简不仅适用于整数、分数，还可以涵盖小数的表示，例如将小数表示为分数再在数轴上表示。
初一数学第二章知识点总结
初一数学第二章知识点总结一、有理数的基本概念1. 有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数的比的数，形式为a/b，其中a和b 是整数，且b≠0。
2. 有理数的分类：- 正有理数：大于0的有理数。
- 负有理数：小于0的有理数。
- 零：既不是正数也不是负数的有理数。
3. 有理数的性质：- 封闭性：加法、减法、乘法和除法（除数不为零）在有理数集内封闭。
- 加法和乘法的交换律、结合律。
- 减法和除法的逆元存在性。
二、有理数的运算1. 加法运算：- 同号相加：取相同的符号，绝对值相加。
- 异号相加：取绝对值较大的数的符号，绝对值相减。
- 任何数与零相加等于原数。
2. 减法运算：- 减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 乘法运算：- 同号得正，异号得负，绝对值相乘。
- 任何数与零相乘等于零。
4. 除法运算：- 除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数。
- 零除以任何非零数等于零。
5. 混合运算：- 先乘除后加减。
- 同级运算从左到右进行。
三、绝对值与有理数比较1. 绝对值：- 绝对值表示一个数距离零的距离，用符号“| |”表示。
- 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
2. 有理数的比较：- 正数大于零，负数小于零。
- 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
四、有理数的简化1. 简化的概念：- 简化是有理数分数形式的最简表示，即分子和分母没有公因数。
2. 简化的方法：- 找出分子和分母的最大公因数，然后分子分母都除以这个数。
五、分数的加减乘除1. 分数的加法：- 需要找到公共分母，然后按照同分母分数的加法规则进行计算。
2. 分数的减法：- 同样需要找到公共分母，然后按照同分母分数的减法规则进行计算。
3. 分数的乘法：- 分子乘分子，分母乘分母。
4. 分数的除法：- 分子乘分母的倒数。
六、小数与有理数的互化1. 小数转化为有理数：- 根据小数点后的位数，将小数乘以10的相应次方，转化为分数形式。
有理数的知识点
有理数的知识点1. 有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不等于0。
有理数集合包括所有的整数、分数和它们的负数。
2. 有理数的性质- 封闭性：有理数集合在加法、减法、乘法和除法（除数不为零）下是封闭的。
- 有序性：任何两个有理数都可以比较大小，即对于任意两个有理数a 和b，总有a=b、a>b或a<b中的一种关系成立。
- 稠密性：任何两个有理数之间都存在另一个有理数。
3. 有理数的分类- 正有理数：大于0的有理数。
- 负有理数：小于0的有理数。
- 整数：分母为1的有理数，即形式为a/1的数。
- 分数：分子和分母都是整数，且分母不为1的有理数。
4. 有理数的运算规则- 加法：(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd- 减法：(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd- 乘法：(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)- 除法：(a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = (ad) / (bc)5. 有理数的简化通过约分，可以将有理数化为最简形式，即分子和分母没有公因数（除了1）。
6. 有理数的比较- 正有理数都大于0。
- 负有理数都小于0。
- 正有理数大于所有的负有理数。
- 两个负有理数比较大小，绝对值大的反而小。
7. 有理数的混合运算在进行有理数的混合运算时，应先乘除后加减，并注意括号的优先级。
8. 有理数的分数形式- 真分数：分子小于分母的分数。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数。
- 带分数：一个整数和一个真分数的和，形式为a + b/c，其中a和c是整数，b是大于1的整数。
9. 有理数的实际应用有理数在日常生活中广泛应用，如计算价格、测量距离、统计数据等。
10. 有理数与无理数有理数与无理数是实数的两个子集。
无理数不能表示为两个整数的比，例如√2和π。
以上是有理数的主要知识点，理解和掌握这些知识点对于学习更高级的数学概念至关重要。
第二章 有理数的运算 小结(第1课时) 教学设计-2024-2025学年人教版数学七年级上册
教学设计课程基本信息学科数学年级七年级学期秋季课题第二章小结(第1课时)教科书书名：义务教育教科书数学七年级上册出版社：人民教育出版社教学目标1．进一步加深对有理数运算法则的理解；2．能够熟练掌握有理数加法与减法、乘法与除法运算法则，并正确运算，加强运算能力．教学重难点教学重点：归纳有理数运算法则的共性与特点．教学难点：理解有理数运算与非负数运算的一致性．教学过程教学环节主要师生活动知识回顾在第一章，我们在把数的范围从非负有理数(正有理数、0统称为非负有理数)扩大到有理数，本章我们研究将小学的运算扩充到有理数的运算，从而将非负有理数系扩充成有理数系(域)．师生活动：共同回顾．设计意图：整体感受扩充到有理数的运算，体会运算的一致性．知识回顾问题1 有理数运算包含哪些基本的运算？师生活动：回顾有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则．问题2 我们是怎么研究的？我们举了很多例子，通过具体、特殊到一般进行研究．对于这些法则，我们现在看法则之间的关系可能有一些共性，也有一些各自的特点．比如加法和乘法，在研究的时候，我们发现从方法上它们是有类似的地方．同学想到了，都是通过对参与运算的数的类型进行分类来探究的．加法法则：1．同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．2．绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0．3．一个数与0相加，仍得这个数．乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等乘数的绝对值的积．任何数与0相乘，都得0．对于减法和除法，二者的研究的思路也是类似的，减法可以转化为加法．除法可以转化为乘法，都是通过转化为我们已会的运算来进行．除法除了可以转化为乘法运算之外，我们还可以从先定符号再定绝对值的角度看除法和乘法的关系．除法法则的另一种说法：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．0除以任何一个不等于0的数，都得0．通过回顾加减乘除法法则，我们发现与负数有关的运算，需要借助绝对值，转化为正数之间的运算．数轴可以帮助我们直观理解有理数的加法、减法运算．比如：随着非负有理数系扩充成有理数系(域)，通过规定负数的减法运算，任意两个有理数总能进行减法运算，结果仍然是有理数，与已有的运算保持一致，比如：－－＝121．同样从数系扩充的角度来看，通过规定乘法负负得正，保证了有理数的乘法运算与已有的非负有理数的乘法运算保持一致．比如：122－×－＝()()．在乘法的基础上，我们认识了乘方．乘方：求n 个相同乘数的积的运算．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．设计意图：进一步理解有理数的运算法则．在研究有理数的运算时，一般要考虑两个方面：一是数的符号；二是数的绝对值．实际上，与负数有关的运算，我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算．例题精讲 例1 计算：(1)－15＋25；(2)－5＋(－23)；(3)15－25；(4)－5－(－23)．例2 计算：(1)(－5)×(－9)；(2)(－23)×9； (3)5÷(－25)；(4)(－25)÷(－32)． 例3 计算：(1)6＋15⎛⎫- ⎪⎝⎭－2－(－1.5)； (2)－( 6.5)×(－2)÷13⎛⎫- ⎪⎝⎭÷－(5)． 解：(1)6＋(－15)－2－(－1.5) ＝6－0.2－2＋1.5＝5.8－2＋1.5＝3.8＋1.5＝5.3；加减混合运算可以统一为加法运算．(2)(－6.5)×(－2)÷(－13)÷(－5) ＝(－6.5)×(－2)×(－3)×(－15) ＝6.5×2×3×15 ＝395. 先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．设计意图：通过例题讲解进一步明确有理数加法、减法、乘法、除法运算法则．学以致用 1．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为1.496亿千米.试用科学记数法表示1个天文单位是( )千米．(A )1496×105(B )14.96×106 (C )1.496×108 (D )0.1496×108现实生活中，我们会遇到一些比较大的数，读、写这样大的数有一定的困难．这时我们通常采用科学记数法来表示数．一般地，10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0)，所以就可以利用10的乘方表示一些大数．把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1，且a小于10，n为正整数)，使用的是科学记数法．思考：等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？用科学记数法表示一个n位整数(n大于或等于2)，其中10的指数是n－1．设计意图：通过实例回顾科学记数法．2．结合具体的数的运算，归纳有关特例，然后比较下列数的大小：(1)小于1的正数a，a的平方，a的立方；(2)大于－1的负数b，b的平方，b的立方．师生活动：具体举例，计算后比较大小．设计意图：通过具体计算，得出结论，锻炼合情推理能力，培养抽象意识．拓展提升通过有理数的除法运算，归纳有理数就是形如pq(p，q是整数，q≠0)的数．有理数的四则运算法则可以表示为如下形式：(1)m p mq npn q nq±±=；(2)m p mpn q nq⨯=；(3)m p mqn q np=÷(p≠0)．其中，m，n，p，q均为整数，n，q均不为0．设计意图：在有理数系(域)，从有理数为分数形式的角度认识有理数的四则运算，加强对有理数运算的理解，为学有余力的学生提供抽象能力的发展空间．课堂小结1．本节课主要复习回顾了哪些内容？有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算．在有理数系(域)中，有理数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是有理数．2．在研究有理数的运算时，运用到了哪些数学思想方法？由特殊到一般、分类讨论、转化．3．在研究有理数的运算时，一般考虑哪两方面？一是数的符号；二是数的绝对值．4．随着非负有理数系扩充成有理数系(域)，这种数系的扩充，给数的运算带来了怎样的新变化呢？在不同的运算中有不同的感受．比如，乘法运算中，规定了负负得正，保证了有理数的乘法运算与已有的非负有理数的乘法运算保持一致．课后任务教科书第61页，复习题2第1，4，6题．。
有理数的小数到分数的精确转换
有理数的小数到分数的精确转换在数学中，有理数是可以用两个整数的比值来表示的数。
有理数包括整数、分数以及可以表示为分数形式的小数。
在实际应用中，我们经常会遇到将小数转换为分数的需求。
本文将介绍有理数的小数到分数的精确转换方法。
一、将有限小数转换为分数有限小数是指小数部分有限位数的小数。
将有限小数转换为分数的方法很简单，只需要将小数部分的数值作为分子，除以对应位数的10的幂作为分母即可。
例如，将0.75转换为分数，小数部分有两位数字，因此分母为10的平方，即100。
将小数部分的数值0.75作为分子，分母为100，所以0.75可以转换为75/100。
二、将循环小数转换为分数循环小数是指小数部分有限位数后，出现循环的情况。
将循环小数转换为分数的方法需要应用到一定的数学技巧。
首先，设循环小数为0.a1a2...an(n个数字)。
将该循环小数记为x，那么10^n * x = a1a2...an。
将10^n * x减去x，得到(10^n - 1) * x =a1a2...an。
即有x = a1a2...an / (10^n - 1)。
例如，将0.333...转换为分数。
将0.333...记为x，那么10^3 * x =3.333...。
将10^3 * x减去x，得到(10^3 - 1) * x = 3。
即有x = 3 / (10^3 -1) = 3/999。
三、将无限不循环小数转换为分数无限不循环小数是指小数部分无限位数且没有循环的情况。
将无限不循环小数转换为分数的方法需要借助于一些数学工具。
设无限不循环小数为0.a1a2...an(n个数字)。
将该无限小数记为x，那么10^n * x = a1a2...an。
将10^n * x减去x，得到(10^n - 1) * x =a1a2...an。
即有x = a1a2...an / (10^n - 1)。
例如，将0.141414...转换为分数。
将0.141414...记为x，那么100 *x = 14.141414...。
有理数的循环小数化为分数的推导过程
有理数的循环小数化为分数的推导过程有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数以及循环小数。
循环小数是指小数部分有规律地重复出现的小数。
在数学中，我们可以将循环小数化为分数。
下面将介绍有理数的循环小数化为分数的推导过程。
假设我们有一个循环小数x，其中循环部分为n位数，重复出现m 次。
我们可以使用代数方法推导这个循环小数对应的分数。
以循环小数0.abcabcabc...为例，其中a、b、c为循环部分的数字。
我们可以将这个循环小数表示为一个无穷不循环小数的方程，如下所示：x = 0.abcabcabc...10x = abc.abcabcabc...我们可以发现，将10倍的循环小数减去原始循环小数，小数部分的循环部分会相互抵消：10x - x = abc.abcabcabc... - 0.abcabcabc...9x = abc通过简化方程，我们可以得到：x = abc/9由此可见，循环小数0.abcabcabc...可以表示为一个分数abc/9，其中a、b、c为循环部分的数字。
对于循环小数0.ababab...的推导过程也类似。
我们可以将其表示为一个无穷不循环小数的方程：x = 0.ababab...100x = ab.ababab...通过减法运算，我们可以得到：100x - x = ab.ababab... - 0.ababab...99x = ab化简方程，我们可以得到：x = ab/99因此，循环小数0.ababab...可以表示为一个分数ab/99。
根据以上两个例子，我们可以得出结论：将一个循环小数化为分数的推导过程就是将循环部分的数字除以对应位数个9或99。
需要注意的是，推导过程中假设循环部分仅重复出现一次，而没有其他数字。
如果循环部分中含有其他数字，需要进行适当的调整。
总结起来，有理数的循环小数化为分数的推导过程是通过将循环部分的数字除以对应位数个9或99来得到。
这种方法可以通过代数运算简洁地推导出循环小数对应的分数。
有理数关于素分数的和分解
有理数关于素分数的和分解1.分数的引入为了使自然数集合中的任意两个数可以相减，我们引入0和负整数，将自然数集合展开为整数集合。
现在，为了将整数集合中的任意两个数相除(除数不为零)，必须对整数集合进行展开。
设 a,b 是整数集中的两数，以 b 去除 a ，只有当 a 是 b 的倍数，即 b\ |\ a 时，才有一个整数 q 使得 a=bq ，我们将这个整数 q 记为：q=a÷b=\frac{a}{b} 。
例如，因为：6=2×3=(-2)×(-3) ， -6=2×(-3) ，所以：3=\frac{6}{2} ， -3=\frac{6}{-2} ， -3=\frac{-6}{2} 。
现在，为了使整数集中的任意两数 a 与b(b≠0)，以 b 去除 a ，无论 a 是否是 b 的倍数都有意义，我们引入如下新数：【定义 1 】设 a,b 任意二整数，并且b≠0，则称a÷b=\frac{a}{b} 的数为分数，读为 b 分之 a ，a 称为分子，b 称为分母。
当 b\ |\ a 时， \frac{a}{b} 是一个整数；当 b \nmid a 时， \frac{a}{b} 是一个新数，称为纯分数。
现在，我们对分数的相等作如下定义：【定义 2 】设有两分数 \frac{a}{b} 与\frac{c}{d} ，当 ad=bc 时称这两个分数相等，记为 \frac{a}{b}=\frac{c}{d} 。
由分数相等的定义，可以得出分数的下述基本性质：【定理】设n是不为零的整数，那么\frac{a}{b}=\frac{na}{nb} 。
证明：因为 nab=nab ，故有 a(nb)=b(an) ，因此由定义 2 可得 \frac{a}{b}=\frac{na}{nb} 。
由此定理可知，对于一个分数 \frac{a}{b} ，当分母 b 是负整数时，有\frac{a}{b}=\frac{(-1)·a}{(-1)·b}=\frac{-a}{\vert b \vert} ，因此这个分数可以写为分母是正整数且与之相等的分数。
有理数的重点知识和题
有理数的重点知识和题有理数，这个词听起来是不是有点高大上？别担心，咱们今天就像喝茶聊天一样，轻松聊聊这个数学小怪兽。
有理数其实就是可以写成分数的那些数字，像1/2、3/4、0，都是有理数。
听上去简单吧？生活中随处可见这些数字。
比如说，买菜时如果你问：“这个苹果多少钱？”摊贩说：“五毛钱一个。
”这个五毛钱，就是个有理数。
要是你想买一斤，可能就得掏出两块钱，这时候你就要用到分数了：1块钱是2/4，这可是有理数的应用哦！说到有理数，咱们得提一下它的“家族成员”。
除了整数和分数，还有一些小伙伴，比如正数和负数。
负数，听起来有点阴郁，但其实它们在生活中也是很重要的。
想想吧，银行账户里如果你看到100，那可就说明你得欠钱了！这就是负数的“力量”，让你知道钱的流动情况。
还有个词儿，零。
它在有理数里也占了一席之地。
零就像是数学里的“中立者”，既不是正数也不是负数，简直像个和平使者，大家都对它很有好感。
哎，说到分数，很多同学可能都会皱眉头，觉得这玩意儿太复杂了。
分数就是把东西分成几份。
想象一下，一块巧克力你要和朋友分享，你可能把它切成两半，这两半就是1/2。
再比如，你吃掉了一半，剩下的就是1/2。
是不是很直观？有理数就是把这些分享的概念给了一个数学的名字。
说起运算，有理数的加减乘除也是别有一番风味。
你可能会想，加法和减法没什么大不了的，反正就是把数字往一起凑凑嘛。
但是，乘法和除法就有点意思了。
举个例子，假设你在玩篮球，得分的方式就像在玩有理数的乘法。
如果你投了三球，每球得2分，那你一共得了6分，这就是3乘2的结果，简单明了。
可是如果你把这6分平分给三个人，那么每个人就得到了2分，这又是除法的运用了。
所以说，有理数不仅仅是数字，它们还有自己的“性格”。
再说说有理数的比较，很多人总是搞不清楚哪个大哪个小。
其实很简单。
你可以把它们想象成一条赛道，跑得快的就是大的，跑得慢的就是小的。
如果有两个分数，比如3/4和2/3，直接找一个共同的分母，就可以轻松比较出谁跑得快。
初中数学 有理数的千万分数形式的计算规则是什么
初中数学有理数的千万分数形式的计算规则是什么初中数学中，有理数的千万分数形式的计算是一种重要的数学运算。
有理数的千万分数形式的计算包括千万分数的转化、千万分数之间的运算以及千万分数与整数或分数的运算。
下面将分别介绍这三个方面的计算规则。
一、千万分数的转化将一个数转化为千万分数，需要将这个数乘以10000000，并在后面加上千万分号（ppb）。
例如，将0.75转化为千万分数可以表示为75000000ppb。
将一个千万分数转化为小数，需要将千万分数除以10000000。
例如，将85000000ppb转化为小数可以表示为0.85。
将一个千万分数转化为分数，需要将千万分数的数值部分作为分子，分母为10000000。
例如，将75000000ppb转化为分数可以表示为75000000/10000000，可以简化为3/4。
二、千万分数之间的运算1. 千万分数的加减法千万分数的加减法的计算规则是先将千万分数转化为小数，然后按照小数的加减法进行计算。
最后将结果转化为千万分数的形式。
例如，计算35000000ppb + 45000000ppb：35000000ppb + 45000000ppb = 0.35 + 0.45 = 0.8所以，35000000ppb + 45000000ppb = 80000000ppb。
2. 千万分数的乘法千万分数的乘法的计算规则是将千万分数转化为小数，然后按照小数的乘法进行计算。
最后将结果转化为千万分数的形式。
例如，计算25000000ppb × 60000000ppb：25000000ppb × 60000000ppb = 0.25 × 0.6 = 0.15所以，25000000ppb × 60000000ppb = 15000000ppb。
3. 千万分数的除法千万分数的除法的计算规则是将千万分数转化为小数，然后按照小数的除法进行计算。
最后将结果转化为千万分数的形式。
有理数运算规则
有理数运算规则
1.两个有理数的加（减）法：同号相加（减），异号相减（加），结
果的符号与绝对值较大的有理数的符号相同。
2.两个有理数的乘法：同号得正，异号得负，结果的绝对值等于两个
有理数的绝对值的乘积。
3.两个有理数的除法：有理数除以非零有理数，结果的符号由被除数
和除数的符号决定，绝对值为被除数绝对值除以除数绝对值。
被除数除以
0没有意义，被除数为0的情况分为两种：0除以一个非零有理数等于0，非零有理数除以0没有意义。
4.有理数的混合运算：先括号内，再乘除，最后加减。
相同优先级的
运算，从左到右依次进行。
5.有理数的分数意义：有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，
也可以表示为分数。
分数由分子和分母两部分组成，分子和分母都是整数，且分母不为零。
分数相加（减）的运算法则是通分后分子相加（减），分
母不变。
分数相乘的运算法则是分子相乘，分母相乘。
分数相除的运算法
则是分子相乘，分母相除。
3.2 从有理数到实数七年级上册数学浙教版
3.2 从有理数到实数
七上数学 ZJ
1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充。2.会求实数的相反数、绝对值。3.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小，体会数形结合思想，发展几何直观。4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为，所以，即 。
（2）确定的小数部分：从较小整数开始，逐步加 ，并求其平方，采用与（1）类似的方法确定 的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止。（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数，如典例1中，计算到后，需进一步估算出 ）
1.概念：无限不循环小数叫作无理数。2.无理数的三种重要形式：（1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如 ；（2）圆周率 及一些化简后含有 的数，如 ；（3）具有特殊结构的数，如 （两个“1”之间依次多一个“0”）。
（2） ；
解：的相反数是，绝对值是 。
（3） 。
解： 的相反数是 ，即，绝对值是，即 。
1.实数与数轴上的点的对应关系实数和数轴上的点一一对应。（ ）
2.实数的大小比较
名称
内容
大小比较的几何方法
典例2 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？，，，，， ， （两个“3”之间依次多一个“7”）。
解：属于有理数的有：-，， 。属于无理数的有：，， ，（两个“3”之间依次多一个“7”）。
分数与有理数
分数与有理数在数学中，分数和有理数是我们常常遇到的概念。
它们在日常生活中的应用非常广泛，无论是在计算机科学、经济学还是自然科学中，都扮演着重要的角色。
本文将介绍分数和有理数的概念、性质以及它们在实际应用中的意义。
一、分数的概念与性质分数是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成。
分子表示被分成的份数，分母表示每一份的大小。
例如，对于分数$\frac{1}{2}$而言，1是分子，2是分母。
分子和分母都是整数，并且分母不能为0。
分数有许多重要的性质。
首先，分数可以表示一个数的部分。
例如，$\frac{3}{4}$表示我们将一个整体分成4份，其中3份的大小为1。
其次，分数可以进行加减乘除的运算。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，$\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{20}$。
此外，分数可以与整数进行运算，如$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。
二、有理数的概念与性质有理数是可以表示为两个整数之比的数。
换句话说，有理数可以用分数表示。
例如，$\frac{3}{4}$是一个有理数，因为它可以表示为3除以4的结果。
有理数包括正数、负数和零，且可以用分数或小数表示。
有理数具有许多重要的性质。
首先，有理数在加减乘除运算下仍然是有理数。
例如，$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$，$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
其次，有理数的乘积和除法也是有理数。
例如，$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}$，$\frac{5}{6}\div\frac{2}{3}=\frac{5}{4}$。
此外，有理数满足交换律、结合律和分配律等基本运算规律。
三、分数与有理数的应用分数和有理数在实际应用中有着广泛的应用。
首先，在经济学中，分数和有理数用于表示比例、利润、价格等问题。
有理数知识要点
有理数一、有理数负数：如-2，-5，-7，-237等正数：如3，8，41，245等，正数前面可放上“+”（读作“正”），也可以不放，如7和+7是一样的*0既不是正数，也不是负数正整数整数0负整数有理数分数正分数：31、722、4.5（即421）...负分数:-21、-272、-0.3（即-103）...正整数、0、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称有理数。
*有限循环小数叫做分数数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。
所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集（所有整数组成的数集），正数集，负数集（所有负数组成的数集），所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集。
二、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线（这三要素缺一不可）数轴能形象的表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（还可能是无理数）在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大由正、负数在数轴上的位置可知：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
三、相反数：只有符号不同的两个数称互为相反数，如-5和5互为相反数。
从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数互为相反数*0的相反数是0，数a的相反数是-a多重符号化简的结果是由“—”号的个数决定的，如果“—”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。
可简写为“奇负偶正”。
四、绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，如|+5|=5，|-6|=6*一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零由此可以看出，任何一个有理数的绝对值总是正数或0（通常也称非负数），即对任意有理数a，总有（1）在实数（有理数和无理数的总称）范围内，绝对值最小的数是零。
（2）两个相反数的绝对值相等（3）两个负数，绝对值大的反而小（比较负数先比较绝对值，再判断大小）五、有理数的大小比较在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；在表示负数的两个点中，与原点距离较远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边，所以两个负数，绝对值大的反而小。
初中数学 有理数的百万分数形式是什么
初中数学有理数的百万分数形式是什么
有理数同样可以用百万分数形式表示。
百万分数是指以百万为基准的表达方式，表示一个数相对于1000000的比例关系。
有理数的百万分数形式可以用以下方式表示：
1. 将有理数转化为分数形式：首先，将有理数表示为分数的形式，即分子除以分母。
例如，有理数1/2可以表示为1 ÷ 2。
2. 将分数转化为百万分数：将分数形式的有理数乘以1000000，即将分子乘以1000000并保持分母不变。
例如，将1 ÷ 2乘以1000000得到500000。
3. 添加百万分号：在结果后面添加百万分号符号‱‱。
例如，将500000表示为500000‱‱。
有理数的百万分数形式可以用于表示更小、更精确的比例关系，常见于金融、科学和工程领域中的精确计算。
在实际的计算中，我们可以使用百万分数转化为分数或小数进行计算，并将结果再转化为百万分数。
总之，有理数可以用百万分数形式表示，通过将有理数转化为分数形式，然后转化为百万分数形式。
有理数的百万分数形式可以进行加减乘除运算，并遵循相应的运算规则。
熟练掌握有理数的百万分数形式和运算是初中数学学习中的重要内容。
有理数的连分数表示
有理数的连分数表示有理数是数学中的一个重要概念。
有理数包括整数和分数，它们可以表示某些量的比例或关系。
在数学中，有理数有多种表示方式，而其中一种优美而且有趣的表示方式就是它的连分数表示。
什么是连分数？在数学中，“连分数”是一种分数的表示方式。
从数学的角度来看，连分数是一个无穷级数，它由一系列整数的分数构成，并且其中每个分数的分母都是前一个分数的整数部分。
比如：一个连分数可以表示为a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ...)))，其中a0,a1,a2,a3, ... 是整数。
如果一个连分数的分数项有限，那么它可以表示为一个有限的分数，因为一个有限的分数可以写为整数的比值。
例如，一个连分数a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/a3))，如果a3=5，那么这个连分数等于a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/5)) = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 5/1))。
这里，我们可以将5/1写成整数部分为5的分数1/（1/5）。
有理数可以表示为一个连分数，这个连分数也被称为“无限分数表达式”。
连分数是一种比分数更紧凑的表示方式。
这个表示方法在计算机科学、金融学、物理学、化学和许多其他领域都是有用的。
比如，任何一个正的有理数x都可以表示为一个连分数：x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ...)))，其中a0是x的整数部分，$a_1,\ a_2,\ a_3...$ 是x的递归整数部分的一系列值。
递归整数部分是指将一个实数分成整数部分和小数部分，并将小数部分的倒数表示成整数部分和小数部分的和。
通过这种分解，我们可以在无限次迭代后得到一个连分数的无限级数表示。
例如，对于有理数$\frac{13}{10}$，它的小数部分是0.3，递归整数部分的值为3，此时$\frac{1}{0.3}$的整数部分是3、小数部分是0.1，递归整数部分的值为10，此时$\frac{1}{0.1}$ 的整数部分是10、小数部分是0，递归整数部分就没有了。
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【教学目标】
★知识与能力目标：
1．了解自然数、分数的产生和发展的实际背景。
2．通过身边的例子体验自然数与分数的意义和在计数、测量、标号和排序等方面的应用。
★过程与方法目标：
会运用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题，并从实际中体验由于需要而再次将数进行扩充的必要性。
★情感与态度目标：
1．通过同学之间的交流、讨论，以面对面互动的形式，完成合作交流，培养良好的与人合作的精神，感受集体的力量，体验成功的喜悦。
2．从具体的例子使学生感受数学来源于生活，生活离不开数学，从而增加学习数学的兴趣。
【教学重点、难点】
重点：自然数和分数的意义及运用自然数、分数的计算解决简单的实际问题。
难点：用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题。
教学过程：
一、创设情景
出示材料：
请阅读下面这段报道：
2004年8月13日到8月29日，第28届奥运会在雅典召开，我国体育代表团以32枚金牌，17枚银牌，14枚铜牌，获得奖牌榜的第二名，为国家争得了荣誉。
我国金牌数约占总金牌数的。
跨栏运动员刘翔在男子100米栏决赛中以12秒91的成绩获得冠军，并打破奥运会纪录，平了世界纪录，刘翔是我国运动员在世界大赛中短距离竞赛项目获得冠军的第一人。
提问：你在这篇报道中看到了哪些数？请你把它们写下来，并指出它们分别属于哪一类数？如果将12秒91写成12.91秒，12.91又属于什么数？
（由雅典奥运会有关报道引入，既合时事形势，又具有爱国主义教育，并使学生体验到生活中处处有数学）提出课题：今天我们复习自然数、分数和小数及它们的应用
[板书课题]第1节从自然数到分数
二、提问复习
问题1：先请同学们回忆小学里学过的自然数，哪一些数属于自然数？你了解自然数最初是怎样出现的吗？（注意：自然数从0开始）
问题2：你知道自然数有哪些作用？
（让学生思考、讨论后来回答，教师提示补充）
自然数的作用：
①计数如：32枚金牌，是自然数最初的作用；
②测量如：小明身高是168厘米；
③标号和排序如：2004年，金牌榜第二。
（因为自然数在小学里已经非常熟悉，因此教师以提问的形式，帮助学生回忆有关知识）
三、做一做（幻灯片显示，学生独立思考完成后，请学生回答）
下列语句中用到的数，哪些属于计数？哪些表示测量结果？哪些属于标号和排序？
见书本P2 （1）——（3）
补充：⑷信封上的邮政编码325608；⑸刘翔在雅典奥运会中的号码1363；
⑹．今天的最高气温是35℃
（补充3小题，加强巩固自然数的作用）
四、小组讨论
问题1：我们知道小学里先学自然数再学分数，但你了解分数是怎样产生的吗？四个人分四个西瓜那就是一人一个，你能用自然数表示四人均分一个西瓜，每人可得多少西瓜吗？
（用分配等实际问题说明自然数还不能满足实际需要，使学生了解分数产生的必要性和必然性）
问题2：在解答下列问题时，你会选用分数和小数中的哪一类数？为什么？
⑴小华和她的7位朋友一起过生日，要平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？
⑵小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？
（让学生说说为什么，使学生理解什么时候用分数，什么时候用小数，关键是怎样方便简单）
问题3：分数可以转化为小数吗？怎样转化？如 = ； = ； = 。
指出：分数可以看作两个整数相除，分子当被除数，分母当除数，因此分数可以转化为小数。
问题4：小学里学过的小数怎样转化为分数？如1.68= ； 0.00062= 。
问题5：小学里还学过一种数叫什么数？（百分数）它可以看成分母是多少的分数？
指出：小学里学过的小数和百分数都可以看作分数。
五、合作学习
请讨论下列问题：
１、如图１－１（见书本P：3）
你能帮小慧列出算式吗？如果用自然数怎样列算式，用分数呢？
师：分小组进行讨论，帮助小惠合理地安排时间，在列算式之前，首先解决以下几个问题：
（1）从温州出发到21：40在杭州上火车，这一段时间包括哪几部分时间？
（2）市内的交通和检票进站要花30到40分钟，这两个数据在计算时用哪个数据？
（3）最迟的含义是什么？（由一学生回答，而后给出解题思路）
用自然数列： 400÷100=4（时） 21时40分—4时—40分=17时
用分数列： 400÷100=4（时） 21时—4时—时=17时
由上题可以看到许多实际问题可以通过自然数和分数的运算得到解决。
（让学生充分思考、讨论后请小组代表书写算式并计算，同学和教师一起批改）
注意：列式时，市内交通和检票时间选用30分还是40分，学生可能会混淆，可让学生通过联想情境，在保证不会误了上火车的情况下，小慧最迟什么时候从温州出发，那么杭州市内乘公交和检票时间应假设用最长时间。
２、某市民政局举行一次福利彩票销售活动，销售总额度为4000万元。
其中发行成本占总额度15％，1400万元作为社会福利资金，其余作为中奖者奖金。
⑴你能算出奖金总额是多少吗？你是怎样算的？
⑵为了使福利资金提高10％，而发行成本保持不变，有人提出把奖金总额减少6％。
你认为这个方案可行吗？你是怎样获得结论的？
师：请同学们思考我们要解决的问题涉及哪几个量？他们之间有怎样的数量关系？
生：有销售总额度，发行成本，社会福利资金，中奖者奖金
板书他们之间的关系：销售总额度=发行成本+社会福利资金+中奖者奖金
发行成本=15% ×销售总额度
（1）中奖者奖金总额：4000-15%×4000-1400=2000（万元）
（2）以小组为单位进行探究活动，而后由一学生回答给出解题思路
思路1：
在社会福利资金提高10%，发行成本保持不变，中奖者奖金总额减少6%的情形下: 销售总额度为：600+1400×（1＋10%）+2000×（1-6%）=4020≠4000 所以方案不可行。
思路2：在销售总额度不变的条件下，为使社会福利资金提高10%，发行成本保持不变这时中奖者奖金总额变为：4000-1400×（1+10%）-600=1860（万元）
原来的奖金总额是2000万元，减少了（2000-1860）÷2000=7%≠6% 所以方案不可行。
思路3：销售总额度=发行成本+社会福利资金+中奖者奖金在这个式子中，由于销售总额与发行成本保持不变，当提高的社会福利资金等于减少的中奖者奖金额时，这种方案可行，否则不可行。
所以问题（2）可以用如下算式求解：2000×6%=120（万元） 1400×10%=140（万元）因为120≠140，所以方案不可行。
也可以用2000×6%-1400×10%=120-140
算式中被减数小于减数，在这种情况下，能否进行运算？能否用我们已经学过的自然数和分数来表示结果？看来数还需作进一步的扩展。
（目的：一是让学生进一步体验数的运算是人们分析、判断、解决实际问题的重要工具；二是从解决实际问题的过程中让学生感受到，光有自然数和分数仍是不够的，数需作进一步的扩展。
）
六、巩固提升
见书本P4课内练习1、2、3，其中第2题，让同桌两位同学先各自估计，然后一起测量，培养同学们的合作与交流能力。
七、谈一谈收获
请学生总结这一节课主要复习了什么内容，谈一谈这节课有什么收获。
八、布置作业
1、见作业本
2、必做：课后A组题，全部学生都要完成。
选做：课后B组题，有能力学生完成。
九、板书设计
十、教学反思：。