从一道试题的改编谈试题命制的科学性

从一道试题的改编谈试题命制的科学性
作者：庞灵锋
来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第06期
摘要：试题编制的科学性是编题试题最基本的准则，它要求教师从解题者——变式研究者——试题创新者之间慢慢地成长，在模仿、学习和创新之间学会编制问题的科学性、正确性、逻辑性、简洁性等，在充分考虑问题入口宽广、解法可行的基础上，确实保障不能与中学数学的定理、概念矛盾，不能与将来高等数学内容冲突.
关键词：编题；科学性；专业化发展
数学编题研究，是数学教师的日常教学工作的一种延伸，在教师专业化道路上不可或缺；多年来的教学经历告诉笔者，对高中数学教学工作的理解不能仅限于教学、答疑、解题、应试，而应该站在系统的角度去审视.经历了教材改革和课程改革之后，新的问题会常常在教学中体现出来，每每看到新的问题总是觉得自己的知识是多么的浅薄！曾经一位哲人这么形容：“人的知识好比一个圆内的部分，圆的外部都是不懂的，每当自身知识越多时，圆就会越大，圆周与外界接触（即不懂的知识）也越大，因此觉得自己越是浅薄.” 因此在教师专业化道路上的成长，笔者认为教师需要做些理性的思考，提高自身的思维层次——即需要对编题进行一定的尝试和摸索.
另一方面来说，对数学编题的研究是一位中学教师在拥有多年教学经验后慢慢成长起来的，优秀的数学教师不仅在高效课堂教学、双基教学、变式教学、解题教学等方面出类拔萃，还能在对数学编题的研究上有所建树. 近年来，对数学编题、命题的研究也有一些成果，诸如文[1]～[4]等等，笔者拜读后发现此类文章在对命题的构成、命题的心理机制、高观点下的命题思路等等做出了一定的分析和阐述. 本文将从编制试题的一个基本准则出发，将编题尝试与科学性原则相结合，略谈一二.
■编题的科学性准则
数学考查的总要求是由考试大纲与课程标准决定的，在命题编制时如何将对知识、方法、能力的要求具体贯彻到实际试题中去，则是依据一定的准则进行操作的，即所谓命题准则. 经过多年教学历练，有些教师具备一定的试题分析水准，加上自身的理论学习和教学经验，对试题编制研究有一定的积累，对命题编制的原则有所了解. 特别地，对近年来非常流行的高等数学背景下的试题研究要求更高. 因此笔者认为，从专业化的眼光来看，命题的编制必须首要注重科学性.
案例：点O是锐角三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，∠A=■，若■=x■+y■，则
x+y=________.
原解：如图1，点O在AB，AC上的射影是D，E点，他们分别是边AB，AC的中点；对式子■=x■+y■两边数乘■，由向量数乘的几何意义即■·■=■·■=3·6，得
3·6=x·6·6+y·6·10·cosA，即6x+5y=3；同理，对式子■=x■+y■两边数乘■，得3x+10y=5.联合解得x=■且y=■，即x+y=■.
错误改编：随后，在本校一次月考试卷命题时，本校一位教师对上述解法有深刻的欣赏体验，尤其对运算3·6=x·6·6+y·6·10·cosA情有独钟. 注意到如果3-6x=6y的话，cosA=■就可以求得.这样，就随意把上述的试题进行改变，变为：点O是锐角三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，若■=x■+y■，且2x+2y=1，则cosA=__________.
分析：这是对原题的一个逆向改编，但又是对命题较为疏忽的随意改编，导致问题产生双重的解答. 其实，他还没有检验另一个运算，对式子■=x■+y■两边数乘■，得
5=x·6·cosA+y·10，结合2x+2y=1就得cosA=■，显然是有两重错误的结果：cosA=■是大于1的数且与上一个运算式子结果cosA=■相矛盾.
思考：随意编制试题，其原因基于教师对问题本质、内部的条件联系、相互之间的量的制约没有充分弄清楚，因此往往值得教师进一步地思考. 笔者思考的着眼点：点O是任意△ABC 的外心，AB=6，AC=10，若■=x■+y■，则系数x，y应该满足的条件是什么？或在直角坐标平面上，点（x，y）的轨迹是什么？那么我们继续探究下去.
探究：利用向量的两次数乘运算，可得6x+10ycosA=3，6xcosA+10y=5，求得
cosA=■=■，它等价于下列的结果：
■-■=1且3-6x
用几何画板在直角坐标系内画出，如图2. 图中，上述结果所要求的是第一象限的实线部分不包括端点0，■是双曲线的一部分.
■
图2
双曲线■-■=1与直线2x+2y=1的交点恰好是0，■和■，0，它们在图中实线之外，既不满足cosA=■=■这个式子，也在不等式3-6x
本质：当△ABC的三个内角确定的话（所有这样的三角形是相似的），x，y是唯一且确定的. 即可得下面的问题：已知△ABC的外心为O，求证：■■+■■=2■.
为了展示此类问题的多解方法，下面采取的是有别于上面的方法.
证明一（向量数乘法）：如图3所示的图形，角大小如图标记，具体计算忽略. 设
2■=■=x■+y■，在这一式子两边分别乘以向量■，■得
2RsinC=xc+ybcosA，2RsinB=xccosA+yb，
解得x=■=■，y=■=■，
即■■+■■=2■.
■
图3
证明二（向量基本定理法，解三角形）：当如上图所示的图形时，角大小如图标记，具体计算忽略. 2■=■=■+■，通过计算■=■·sin■-B=■，则有■=■·■=■·■；同理，■=■，■=■·■=■·■.
这样就有■■+■·■=2■.
当如图4所示的图形时，角大小如图标记，此时，■π-B是负值的角了，具体计算忽略.
2■=■=■+■，通过计算-■=■·sin■-B=■，则有■=-■·■=■·■；
同理，■=■，■=■·■=■·■.
这样就有■■+■·■=2■.
上述说明了改编试题必须全方位思考、验证，只有这样，才有完美的结果，符合科学性的原则.
■推动教师专业化成长
数学与其他学科不同在于除研究对象之外，是数学对象的内部规律真实性与表象背后的本质属性，必须用逻辑推理的方式来证明. 因此，数学试题的编制需要一定的数学知识、数学内涵和学习的耐心，这其中隐含的数学素养对教师自身发展有较大的决定性作用.
一方面，就内容而言，数学课程内容的绝大部分都可以说是数学命题的学习和延伸，数学课程的核心内容就是由数学命题组成的. 高中数学教学的整个阶段都离不开解题，解题需要运算，离不开运算法则，从运算中提高教师的计算能力；要计算图形的面积、体积，离不开数学公式，加强对公式的熟练运用并能融会贯通中提高教师的想象能力；要学习数学证明，必然先介绍公理，而后再有定理和推论，提高教师的推理能力；对试题变式的研究，大大提高了教师在数学知识点交汇处演变问题的能力；对一个高考试题的背景分析、探讨和学习，能迅速提升
教师看待中学数学问题的高度；对优秀试题编制进行总结和反思，大大提升了教师教学与科研的水平和能力. 因此，数学试题编制的研究推动着教师的专业化成长.
另一方面，从再认知理论的角度来说，荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：数学学习是一种再创造学习，反思是数学思维活动的核心和动力. 笔者认为利用“再创造学习理论”进行试题编制的研究，一方面回顾问题中出现的基本知识，另一方面通过变式等研究对知识进行了重组，从而优化了知识在脑海中存储，久而久之，产生了“创新”，教师水平的提高也大大提升了试题编制的能力，两者是相辅相成的！
随着新一轮课程改革的起航和不断变革中的高考，将来的高中数学教学应该向着更注重教学应用、综合能力的方向不断前行. 今天能解决中学数学问题的教师是一名合格的教师，但在不久的将来可能这样的基本要求很难适合教师的生存，这势必要求教师自身拥有更扎实的基本功、更开拓的眼界、更系统的知识、更高人一筹的研究能力才能胜任. 以计算辅助教学来说：多年前PPT是CAI的主流，近年来，几何画板、超级画板、Cabri3D、Flash等等越来越普遍使用在教学中，更为专业的如Mathematica、MathCAD等等也在慢慢渗透进数学教学中来，教师也要有与时俱进的研究来带动自身的成长，向欧美发达国家一样，随处可见利用iPad在学习、利用网络收发作业等等.
借本文与读者共勉，追求不断的发展——期待不断对试题编制进行尝试，在教师专业化的成长路上做到轻舟已过万重山.。