高中数学第三章直线与方程3与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A版必修220180731475
高中数学第三章直线与方程3_1直线的倾斜角与斜率3_1_2两直线平行与垂直的判定领学案无答案
【层次二】
5．若直线1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则有()
A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°
C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°
6．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是()
A．平行四边形B．直角梯形
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
【探究点一】
例1已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论.
〖合作探究与典例解析〗
〖概括小结〗
〖课堂检测〗教材习题3.1 组第6题
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．
2.对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
3．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值()
A．2 B．1 C．0 D．－1
4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()
【预学能掌握的内容】1．两条直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔________．
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2
探究三 平行与垂直的综合应用 [典例 3] 已知 A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点 D 的坐 标，使四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时 针方向排列)．
[解析] 设所求点 D 的坐标为(x，y)， 如图，由于 kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝ 0≠－1， 即 AB 与 BC 不垂直，故 AB、BC 都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若 CD 是直角梯形的直角腰，则 BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴ CD 的斜率不存在，从而有 x＝3. 又 kAD＝kBC，∴y－x 3＝0，即 y＝3. 此时 AB 与 CD 不平行．故所求点 D 的坐标为(3,3)．
判断两条直线是否平行的步骤：
1．根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2,1)，B(－3,5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1 经过点 E(0,1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3,4)，H(2,3)； (3)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (4)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0,5)．
课时作业
[自主梳理] 一、两条直线平行与斜率之间的关系 设两条不重合的直线 l1，l2，倾斜角分别为 α1，α2，斜率存在时斜率分 别为 k1，k2.则对应关系如下：
前提条件 α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
图示
对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2 ⇔两直线斜率都不存在
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
(3)由题意知，k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3，k1＝k2，所以直 线 l1 与直线 l2 平行或重合． (4)由题意知 l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2.
高中数学 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂
由斜率公式,得
k1=������3-2-���-���3
=
3������--���5���,k2=
������-2-3 -1-2
=
���-���-35.
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
即3-������
������-5
×
������-5 -3
=-1,解得 a=0.
综上所述,a 的值为 0 或 5.
做一做1 已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点
(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=
.
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
2.两条直线垂直与斜率的关系
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积
等于-1;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
解:(1)直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率为 0,所以 l1⊥l2.
(2)由题意,知 l2 的斜率 k2 一定存在,l1 的斜率可能不存在.
当 l1 的斜率不存在时,3=a-2,即 a=5,此时 k2=0,
则 l1⊥l2,满足题意.
当 l1 的斜率 k1 存在时,a≠5,
在,MN 与 PQ 不平行,不合题意;
当 m=-1 时,直线 MN 的斜率不存在,而直线 PQ 的斜率存在,MN
与 PQ 不平行,不合题意;
当 m≠-2,且 m≠-1 时,kPQ=������4--(���-���2) = ���4���-+������2,
kMN=������3+-21-1 = ������2+1. 因为直线 PQ∥直线 MN,所以 kPQ=kMN,
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2
4．已知△ABC 中，A(0，3)、B(2，－1)、E、F 分别 为 AC、BC 的中点，则直线 EF 的斜率为________． 解析：因为 E、F 分别为 AC、BC 的中点， 所以 EF∥AB. 所以 kEF＝kAB 答案：－2 －1－3 ＝ ＝－2. 2－0
5．已知直线 l1 的倾斜角为 45°，直线 l2∥l1，且 l2 过点 A(－2，－1)和 B(3，a)，则 a 的值为________． 解析：因为 l2∥l1，且 l1 的倾斜角为 45°， 所以 kl2＝kl1＝tan 45°＝1， a－（－1） 即 ＝1，所以 a＝4. 3－（－2） 答案：4
2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与 不存在两种情况求解．
[变式训练] 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直 线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－ 3)，D(8，－7)； (2)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； (3)l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3， 4)，H(2，3)． 5－ 1 －7＋3 4 解：(1)由题意知，k1＝ ＝－ ，k2＝ ＝ 5 －3－2 8－3 －3－1 4 － ，kAC＝ ＝－4， 5 3－2
③l1 经过点 A(－1，2)，B(－3，1)，l2 经过点 M(－1， 4)，N(1，5)． (1)解析：由题意知，k1＝tan 60°＝ 3， k2 ＝ －2 3－ 3 －2－1 ＝ 3，
k1＝k2，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合． 答案：平行或重合
1－ 2 5－4 1 (2)解： ①kl1＝ ＝－1， kl2＝ ＝－ ， kl1≠kl2， 4 2－ 1 －1－3 所以 l1 与 l2 不平行． ②直线 l1 与 l2 均与 x 轴垂直，且横坐标不同，所以 l1 与 l2 平行．
高中数学直线与方程31直线的倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定
判断两条直线是否平行的步骤：
1．根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2,1)，B(－3,5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1 经过点 E(0,1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3,4)，H(2,3)； (3)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (4)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0,5)．
[双基自测]
1．下列说法正确的有( )
①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行；
②若 l1∥l2，则 k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则两
直线垂直；
④若 l1 与 l2 的斜率都不存在，则 l1∥l2.
A．1 个 B．2 个
C．3 个
答案：B
D．4 个
2．已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，则直线 AB 与直线 CD( )
的垂直平分线的斜率为－1. 答案：－1
3．已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求 BC 边 上的高所在直线的斜率与倾斜角． 解析：设 BC 边上的高所在直线的斜率为 k， 则有 k·kBC＝－1. ∵kBC＝0－2－－11＝1，∴k＝－1. ∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为 135°.
两条直线垂直的判定条件： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为 0，那么这两条直线也垂直．
2．若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段 PQ 的
高中数学第三章直线与方程311倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定刷题课件新人教A版必修2
15．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k
满足( A ) A．k≥ 3 或k≤－4
4
B．k≥3/4或k≤ Leabharlann 1 43 C．－4≤k≤ 4
3 D. 4 ≤k≤4
解析
如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.
①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，
14．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果
l1⊥l2，则a＝_____-_6_或__5___.
解析 当k2＝0时，由两直线垂直知直线l12≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝－6.故a的值为－6或5.
3.1.1+3.1.2
刷易错
易错点 直线斜率与倾斜角关系理解不准确致误
3.1.1+3.1.2
刷基础
题型1 直线的倾斜角与斜率
1．下列说法正确的是( D ) A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180° D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
解析 对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，B错误； 对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，C错误； 对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如α＝90°时，斜率不存 在，D正确． 故选D.
3.1.1+3.1.2
题型1 直线的倾斜角与斜率
D
刷基础
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件新人教A必修21
两条直线平行的判定
[典例] 判断下列各题中直线 l1 与 l2 是否平行．
(1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)．
[解 ]
1－－2 － 1－ 4 5 (1)k1＝ ＝1，k2＝ ＝ . 2－－1 － 1－ 3 4
解析：∵E，F 分别为边 AC，BC 的中点，∴EF∥AB. － 1－ 3 ∴kEF＝kAB＝ ＝－2. 2－0 答案：－ l1 与 l2 是否垂直． (1)l1 经过点 A(－3，－4)，B(1,3)，l2 经过点 M(－4，－3)， N(3,1)； (2)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)，B(20,3)； (3)l1 经过点 A(3,4)， B(3,10)， l2 经过点 M(－10,40)， N(10,40)．
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 存在，则这两条直线垂直 (× )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线 平行 ( √ )
2．直线 l1，l2 的斜率是方程 x2－3x－1＝0 的两根，则 l1 与 l2 的位 置关系是 A．平行 C．相交但不垂直
解析：选 D
判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率 的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1 即可，但应注 意有一条直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时， 这两条直线也垂直．
[活学活用]
1．若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为________．
[点睛] (1)l1∥l2⇔k1＝k2 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存 在；②l1 与 l2 不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1 与 l2 的倾斜角都 是 90°，则 l1∥l2.
2023高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件新人教A版必修2
率kAB=3,直线CD的斜率kCD= y ,直线CB的斜率kCB=-2,
x3
直线AD的斜率kAD= y 1 ,由CD⊥AB,且CB∥AD,得
x 1
x y x
y 3 1 1,
所以点D的坐标是(0,1).
【习练·破】
1.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),
B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 ( )
A.(3,4)
B.(4,3)
C.(3,1)
D.(3,8)
【解析】选A.设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分
别为kAB,kDC,kAD,kBC,由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有
【解析】(1)若∠A=∠D=90°,如图①,由已知 AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
(2)若∠A=∠B=90°,如图②.设A(a,b),则kBC=-3,
kAD=ba
2 1
,kAB=
b a
.61 由AD∥BC⇒kAD=kBC,即
b a
=2 -3;
1
由AB⊥BC⇒kAB·kBC=-1,即ab
kAB=kDC,kAD=kBC,所以
01 3 n 10 4 m n 1 30 m 0 41
,?
解得m=3,n=4.所以
顶点D的坐标为(3,4).
2.在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0), C(5,10),AD是腰且垂直两底,求顶点D的坐标.
【解析】设D(x,y),因为DC∥AB,所以 y10 0又10，
x0 x4
=8>0,故方程有两解,有两个点符合题意;当点P在y轴上 时,PA无斜率,只有PB的斜率为0,才满足PA⊥PB,故P的 坐标为(0,2).综上可知:满足PA⊥PB的点P的个数是3.
2024-2025学年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案新人教A版必修2
作用与目的：
-帮助学生提前了解“两条直线平行与垂直的判定”课题，为课堂学习做好准备。
-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
2.课中强化技能
教师活动：
-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“两条直线平行与垂直的判定”课题，激发学生的学习兴趣。
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解两条直线平行与垂直的判定条件。
-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握判定技能。
-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
作用与目的：
-帮助学生深入理解两条直线平行与垂直的判定条件，掌握判定技能。
5.给定直线n: y = x，求直线n与x轴和y轴的交点坐标。
6.给定直线p: y = -2x，求直线p与x轴和y轴的交点坐标。
7.判断下列两条直线是否平行或垂直，并说明理由：
-直线q1: y = 4x + 6
-直线q2: y = -2x + 6
-直线q3: y = 2x - 3
-直线q4: y = -2x + 3
23.给定直线g: y = x + 5，求直线g与x轴和y轴的交点坐标。
24.给定直线h: y = -2x + 5，求直线h与x轴和y轴的交点坐标。
25.判断下列两条直线是否平行或垂直，并说明理由：
-直线i1: y = 10x + 12
-直线i2: y = -4x + 12
-直线i3: y = 2x - 10
3.学生具备一定的逻辑思维能力，能够理解和运用判定条件判断两条直线的平行与垂直关系。
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A
2017-2018学年高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A 版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3.1。
2 两条直线平行与垂直的判定[课时作业］[A组基础巩固]1．设点P（－4,2）,Q（6，－4)，R(12，6），S（2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS;④RP⊥QS。
正确的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．4解析：由斜率公式知k PQ＝错误!＝－错误!,k SR＝错误!＝－错误!,k PS＝错误!＝错误!,k QS＝错误!＝－4,k PR＝错误!＝错误!，∴PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS。
而k PS≠k QS，所以PS与QS不平行,故①②④正确，选C。
答案：C2．给定三点A（1,0)、B（－1， 0）、C（1,2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（）A．(0，1) B．（0,0） C．(－1，0) D．(0,－1）解析：∵k BC＝错误!＝1，∴过A点且与直线BC垂直的直线的斜率为－1。
又∵k＝错误!＝－1,∴直线过点(0,1)．答案:A3．以A（－1,1）,B（2，－1)，C（1，4)为顶点的三角形是（)A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB＝－1－12－－1＝－23,k AC＝错误!＝错误!，由k AB·k AC＝－1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．答案：C4．若直线l1的斜率k1＝错误!,直线l2经过点A(3a，－2），B（0，a2＋1）,且l1⊥l 2,则实数a 的值为( )A．1 B．3 C．0或1 D．1或3解析：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即错误!×错误!＝－1，解得a＝1或a＝3。
高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定检测 新人教A版必修2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定[A 级 基础巩固]一、选择题1．若l 1与l 2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，有下列说法：(1)若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2；(2)若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2；(3)若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2；(4)若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)(4)都可能是两条直线重合．(1)(3)正确，故选B.答案：B2．已知过点P (3，2m )和点Q (m ，2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3，4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：因为k MN ＝4－（－1）－3－2＝－1，所以若直线PQ 与直线MN 平行，则2m －23－m＝－1，解得m ＝－1.答案：B3．若不同的两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12解析：由直线斜率的坐标公式，得k PQ ＝3－a －b 3－b －a＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.答案：B4．已知A (－23，9)，B (63，－15)，直线l ∥AB ，则直线l 的倾斜角α为( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°解析：因为k AB ＝－15－963－（－23）＝－3， 所以α＝120°.答案：B5．由原点O 向直线l 作垂线，垂足为M (－2，1)，则直线l 的斜率为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：k OM ＝－12，因为直线l 与直线OM 垂直，所以直线 l 的斜率为2. 答案：C二、填空题6．已知直线l 1的斜率k 1＝3，直线l 2过点A (3，－1)，B (4，y )， C (x ，2)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y －（－1）4－3＝3，2－（－1）x －3＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2. 答案：4 27．经过点(m ，3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．解析：因为直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，所以m －32－m ＝14， 所以m ＝145. 答案：1458．已知点A (－1，3)，B (4，2)，以AB 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________． 解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，解得x ＝1或x ＝2，所以交点C 的坐标是(1，0)或(2，0)． 答案：(1，0)或(2，0)三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1，1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°？(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直？(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3.则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34或m ＝－1. 10．已知A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD . 解：设D (x ，y )，则k CD ＝yx －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 因为k CD ·k AB ＝－1，k AD ＝k CB ，所以 yx －3×3＝－1，y ＋1x －1＝－2， 所以x ＝0，y ＝1，即D (0，1)．B 级 能力提升1．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以点A 为直角顶点的直角三角形D ．以点B 为直角顶点的直角三角形解析：因为k AB ＝－1－12－（－1）＝－23，k AC ＝4－11－（－1）＝32， 所以k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC ，故应选C.答案：C2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，且直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)．若l 1⊥l 2，则a ＝________．解析：设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.因为直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，且2≠－1，所以l 2的斜率存在．当k 2＝0时，k 1不存在，a －2＝3，则a ＝5；当k 2≠0时，a ≠5，此时k 1存在，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1， 解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6.答案：5或－63．直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：如图所示，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m＝ m －31－m， 所以线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3. 因为l 1与l 2平行．所以k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。
2019年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定课时作业解析版新人教A版必修2
两条直线平行与垂直的判断1. 直线l 1 的斜率为a,l 1⊥l 2, 则直线l 2 的斜率为( D )(A) (B)a(C)- (D)- 或不存在分析: 若a=0, 则l 2 的斜率不存在;若a≠0, 则l 2 的斜率为-. 应选 D.2. 若l 1 与l 2 为两条直线, 它们的倾斜角分别为α1, α2, 斜率分别为k1,k 2, 有以下说法:(1) 若l 1 ∥l 2, 则斜率k1=k2;(2) 若斜率k1=k2, 则l 1∥l 2;(3) 若l 1 ∥l 2, 则倾斜角α1=α2;(4) 若倾斜角α1=α2, 则l 1 ∥l 2.此中正确说法的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4分析: 需考虑两条直线重合的特别状况,(2),(4) 都可能是两条直线重合,(1),(3) 正确.3. 已知A(m2+2,m),B(m+1,-1), 若直线AB与斜率为 2 的直线平行, 则m的值为( B )(A) (B) 或1(C)1 (D)-1分析: 由题知k AB=2,即==2,整理得2m2-3m+1=0,解得m=或m=1.4. 若A(0,1),B(,4) 在直线l 1 上, 且直线l 1⊥l 2, 则l 2 的倾斜角为( C )(A)-30 °(B)30 °(C)150 °(D)120 °分析: 由于==, 因此l 1 的倾斜角为60°. 由于两直线垂直, 因此l 2 的倾斜角为60°+90°=150° . 应选 C.5. 以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4) 为极点的三角形是( C )(A) 锐角三角形(B) 钝角三角形(C) 以A点为直角极点的直角三角形(D) 以B点为直角极点的直角三角形分析: 如下图, 易知k AB==-,k AC==, 由k AB·k AC=-1 知三角形是以 A 点为直角极点的直角三角形,应选 C.6. 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0) 四点, 若按序连结A,B,C,D 四点, 则四边形ABCD的形状是( D )(A) 平行四边形(B) 矩形(C) 菱形(D) 直角梯形分析: 由于k AB==,k CD==,k AD==-3,k BC==-,因此AB∥CD,AD⊥AB,因此四边形ABCD为直角梯形.7. 已知直线l 1 的斜率为2,l 2 过点A(-1,-2),B(x,6), 若l 1∥l 2, 则lox 等于( D )(A)3 (B) (C)2 (D)-分析: 由题意得=2, 得x=3, 因此lo3=-.8. 已知点A(-2,-5),B(6,6), 点P 在y 轴上, 且∠APB=90°, 则点P 的坐标为( C )(A)(0,-6) (B)(0,7)(C)(0,-6) 或(0,7) (D)(-6,0) 或(7,0)分析: 由题意可设点P 的坐标为(0,y). 由于∠APB=90°, 因此AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.- 1 -又k AP=,k BP=,k AP·k BP=-1,即·(-)=-1,解得y=-6 或y=7.因此点P 的坐标为(0,-6) 或(0,7), 应选 C.9. 直线l 平行于经过两点A(-4,1) 和B(0,-3) 的直线, 则直线l 的倾斜角是.分析: 直线l 的斜率k==-1,因此倾斜角为135°.答案:135 °10. 已知直线l 1 的斜率k1=3, 直线l 2 过点A(3,-1),B(4,y),C(x,2), 且l 1 ∥l 2, 则x= ,y= .分析: 由题知解得答案:4 211. 已知△ABC的三个极点坐标分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3), 点D(m,1) 在BC的高所在的直线上, 则实数m= .分析: 由题意知k AD·k BC=-1,即×=-1, 解得m=.答案:12. 若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12), 则给出下边四个结论:①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.此中正确结论的序号是.分析: 由于k AB=-,k CD=-,k AC=,k BD=-4,因此k AB=k CD,k AC·k BD=-1, 因此AB∥CD,AC⊥BD.答案: ①④2+1,m-2) 的直线:13. 当m为什么值时, 过两点A(1,1),B(2m(1) 倾斜角为135°;(2) 与过两点(3,2),(0,-7) 的直线垂直;(3) 与过两点(2,-3),(-4,9) 的直线平行.解:(1) 由k AB==-1, 解得m=-或1.(2) 明显m≠0, 由k AB=, 且=3,得=-, 解得m=或-3.(3) 令==-2, 解得m=或-1.14. 已知△ABC的极点坐标为A(5,-1),B(1,1),C(2,m), 若△ABC为直角三角形, 试求m的值. 解:k AB==-,k AC==-,k BC==m-1.若AB⊥AC,则有-·(-)=-1, 因此m=-7;若AB⊥BC,则有-·(m-1)=-1, 因此m=3;若AC⊥BC,则有-·(m-1)=-1, 因此m=±2.综上可知, 所求m的值为-7, ±2,3.15. 在平面直角坐标系中, 四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2), 此中t>0. 试判断四边形OPQR的形状.解: 由斜率公式得k O P==t,k Q R===t,k O R==-,k PQ===-.因此k OP=k QR,k O R=k PQ,进而O P∥QR,OR∥PQ.因此四边形OPQR为平行四边形.又k O P·k O R=-1, 因此O P⊥OR,故四边形OPQR为矩形.16. 已知两点A(2,0),B(3,4), 直线l 过点B, 且交y 轴于点C(0,y),O 是坐标原点, 有O,A,B,C 四点共圆, 那么y 的值是( B )(A)19 (B) (C)5 (D)4- 2 -分析: 由题意知AB⊥BC,因此k AB·k BC=-1, 即×=-1, 解得y=, 故选B.17. 已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3(A)b=a(B)b=a 3 +3 +3). 若△OAB为直角三角形, 则必有( C )(C)(b-a(D)|b-a 3)(b-a3|+|b-a3-)=03-|=03分析: 若以O为直角极点, 则B在x轴上, 则a 必为0, 此时O,B重合, 不切合题意; 若∠A=, 则b=a ≠0. 若∠B=, 依据垂直关系可知 a2·=-1, 因此a(a 3-b)=-1, 即b-a 3-=0. 以上两种状况皆有可能, 只有C知足条件. 应选 C.- 3 -。
高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件新人教A版必修2
解
得
x＝2， y＝3，
或
x＝0， y＝1.
其中
x＝0， y＝1
不合题意，舍去．
所以第四个顶点 D 的坐标为(2,3).
计算 kAB，kCD，kBC，kDA，再结合两条直线平行、垂直的判定 求解即可．
方法归纳 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参 数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味 着问题无解．
知识导图
学法指导 1.本节的重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的 条件． 2．判断直线的位置关系时，要注意斜率不存在的情形． 3．当直线的斜率含参数时，要对参数进行分类讨论 高考导航 两条直线平行与垂直的判定是高考考查的重点，一般不单独考 查，常与其他知识(直线方程等)综合考查，分值 4～6 分.
【解析】 (1)k1＝31－ －－ －43＝74，k2＝13－ －－ －34＝47，k1k2＝1，∴l1 与 l2 不垂直．
(2)k1＝－10，k2＝230－ －210＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2. (3)l1 的倾斜角为 90°，则 l1⊥x 轴；k2＝104－0－－4010＝0，则 l2∥x 轴，∴l1⊥l2. 直线斜率均存在时，直接计算所给直线的斜率，通过比较它们 的斜率之间的关系，确定其位置关系，有一条直线斜率不存在时，
②k1≠0 且 k2≠0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( × ) (2)若 l1∥l2，则 k1＝k2.( × ) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 存在，则这两条直线垂直．( × ) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线 平行．( √ )
2017-2018学年高中数学二教材用书：第三章直线与方程3.1.2 两条直线平行与垂直的判定含答案
3．1.2两条直线平行与垂直的判定两条直线平行［提出问题］平面几何中，两条直线平行，同位角相等．问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2,则它们的倾斜角α1与α2有什么关系?提示：相等．问题2:若l1∥l2,则l1，l2的斜率相等吗？提示:不一定，可能相等，也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗?提示:不一定．可能平行也可能重合．［导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1,k2,有l1∥l2⇔k1＝k2。
[化解疑难]对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时,l1与l2的倾斜角都是90°,则l1∥l2.（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是:l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．两条直线垂直［提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝错误!，k2＝－错误!.问题2：上述问题中两直线l1，l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1。
问题3：若两条直线垂直且都有斜率,它们的斜率之积一定为－1吗?提示：一定．［导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之,如果它们的斜率之积等于－1,那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1k2＝－1.［化解疑难]对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0。
(2)两条直线中,一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3）判定两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．两条直线平行的判定[例1］根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．（1）l1经过点A(2，1），B（－3，5），l2经过点C（3,－3）,D(8，－7);(2)l1经过点E(0,1),F(－2,－1)，l2经过点G(3，4)，H(2,3);（3）l1的倾斜角为60°，l2经过点M（1，3），N(－2，－2错误!);（4)l1平行于y轴，l2经过点P（0，－2），Q(0,5）．[解] （1)由题意知,k1＝错误!＝－错误!，k2＝错误!＝－错误!，所以直线l1与直线l2平行或重合，又k BC＝错误!＝－错误!≠－错误!，故l1∥l2.（2)由题意知，k1＝错误!＝1,k2＝错误!＝1,所以直线l1与直线l2平行或重合,k FG＝错误!＝1，故直线l1与直线l2重合．（3)由题意知，k1＝tan 60°＝错误!,k2＝错误!＝错误!,k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2。
(新)高中数学第3章直线与方程3_1直线的倾斜角与斜率3_1_2两条直线平行与垂直的判定教材梳理素材新人教A版必
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、两直线平行的判定1.如果两条直线的倾斜角都是90°，即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°，即斜率均存在，那么有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.3.在判断两条直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等,则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示 这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l 1、l 2可能重合时，我们得到k 1=k 2⇔⎩⎨⎧.,//2121重合与或l l l l 用上述的结论可以证明三点共线问题. 二、两直线垂直的判定1.如果两条直线l 1、l 2中的一条与x 轴平行(或重合)，另一条与x 轴垂直(也即与y 轴平行或重合)，即两条直线一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线l 1、l 2的斜率都存在，且其中一个不为0，那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.方法归纳 在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0，则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0，则二者仍垂直.问题·探究问题1 三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2 如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？ 探究:设l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，记D 1=A 1B 2-A 2B 1，D 2=B 1C 2-C 1B 2，D 3=A 1A 2-B 1B 2.当D 1≠0时，l 1与l 2相交；当D 1=0,D 2≠0时，l 1与l 2平行；当D 1=D 2=0时，l 1与l 2重合；当D 3=0时，l 1与l 2垂直.问题3 木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为l 1，为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线l 2；若平行移开，弹第三次线，记为l 3；若换成与l 2垂直方向弹线，得直线l 4，问l 1与l 2、l 3、l 4的关系如何？探究:由题意容易分析判断，l 1与l 2重合，而平行移开弹线，所以l 1与l 3平行，l 4与l 2垂直，所以l 1与l 4垂直.典题·热题例1 直线l 1：2x+my+4=0与直线l 2：(m+1)x+3y-2=0平行，则实数m 的值为( )A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3 思路解析：(方法一)当m=0时，直线l 1的斜率不存在，而l 2的斜率存在，所以l 1与l 2不平行；当m≠0时，若l 1∥l 2，则有312+=m m ，解得m=2或m=-3.经验证，当m=2或m=-3时，两条直线平行.故应选C.(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.答案:C 误区警示 在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.例2 如图3-1-2所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t ，2+t)、R(-2t ，2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状.图3-1-2思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:k OP =t t =--.010，k QR =t t t t t =--=---+-1)21(2)2(2， k OR =t t 10202-=---，k PQ =tt t t t 1221212-=-=-+-+. ∴k OP =k QR ，k OR =k PQ .从而OP∥QR，OR∥PQ.∴四边形OPQR 为平行四边形.又k OP ·k OR =-1，∴OP⊥OR.故四边形OPQR 为矩形.方法归纳 判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其中斜率相等的直线，从而确定两直线平行.例3 绕倾斜角为30°的直线l 上一点P(2，1)按逆时针方向旋转30°得到直线l 1，且l 1与线段AB 的垂直平分线互相平行，其中A(1，m-1)、B(m ，2)，求m 的值.思路解析：由题意，需求出直线AB 的斜率，而AB 的斜率与直线l 1的斜率互为负倒数，直线l 1的倾斜角可求，从而斜率也可求.如图3-1-3，直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°，所以l 1的斜率k 1=tan60°=3.图3-1-3又直线AB 的斜率为mm m m --=---13121，所以AB 的垂直平分线的斜率为3131--=---m m m m .因为l 1与AB 的垂直平分线平行，所以313--=m m .解得m=34+. 深化升华 对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式来求解，这就需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.。
2019高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率第2课时两条直线平行与垂直的判定讲义含解析新人教A版
第课时两条直线平行与垂直的判定[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～，回答下列问题：()观察教材图－，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？α之间的关系为与α提示：α＝α≠°＝时，＝，因为α；对于与之间的关系，当ααα，所以＝＝，即＝αα时，、不存在．＝.α°当α＝()观察教材图－，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？＝αα提示：°任意一外角等于不相邻两内角之和．，因为三角形＋．归纳总结，核心必记()两直线平行的判定①对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有＝.∥⇔②若直线和可能重合时，我们得到＝∥⇔或与重合．若直线和的斜率都不存在，且不重合时，得到③.∥()两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于①－；反之，如果，即它们的斜率之积等于－，那么它们垂直⊥⇔.＝－②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为时，它们互相垂直．[问题思考]()若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．()若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－吗？提示：不一定，如果两条直线，中的一条与轴平行(或重合)，另一条与轴垂直(也即与轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为°，另一条的倾斜角为°，从而一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．()怎样判定两条直线平行？；()怎样判断两条直线垂直？.[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：()∥⇔＝成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．()当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是°，则∥.()两条不重合直线平行的判定的一般结论是：∥⇔＝或，斜率都不存在．讲一讲．根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系．()经过点()，(－)，经过点(，－)，(，－)；()的倾斜角为°，经过点()，(－，－)．[尝试解答] ()由题意知＝＝－，＝＝－.因为＝，且，，，四点不共线，所以∥.()由题意知＝°＝，＝＝.因为＝，所以∥或与重合．判断两条直线是否平行的步骤练一练．试确定的值，使过点(＋)，(－，)的直线与过点(－)，()的直线平行．解：由题意直线的斜率存在，则与其平行的直线的斜率也存在．＝＝，＝＝，由于∥，所以＝，即＝，得＝－.经验证＝－时直线的斜率存在，所以＝－.名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：()⊥⇔·＝－成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②≠且≠.()两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．()判定两条直线垂直的一般结论为：⊥⇔·＝－或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲．已知直线经过点(，)，(－，－)，直线经过点()，(－，－)，如果⊥，求的值．[尝试解答] 设直线，的斜率分别为，.∵直线经过点()，(－，－)，且≠－，∴的斜率存在．当＝时，－＝，则＝，此时不存在，符合题意．当≠时，即≠，此时≠，由·＝－，得·＝－，解得＝－.综上可知，的值为或－.()一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．()二代：就是将点的坐标代入斜率公式．()三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．练一练．已知定点(－)，()，以、为直径作圆，与轴有交点，则交点的坐标是．解析：以线段为直径的圆与轴的交点为，则⊥.设()，则＝，＝，所以·＝－，得＝或，所以()或()．答案：()或()讲一讲．已知(－)，()，()，(－)四点，若顺次连接，，，四点，试判定图形的形状．(链接教材—例) [思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．[尝试解答] 由题意知，，，四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝－，＝＝－.所以＝，由图可知与不重合，所以∥.由≠，所以与不平行．又因为·＝×(－)＝－，所以⊥，故四边形为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练．已知()，(－)，()，求点的坐标，使四边形为直角梯形(，，，按逆时针方向排列)．解：设所求点的坐标为(，)，如图，由于＝，＝，∴·＝≠－，即与不垂直，故，都不可作为直角梯形的直角腰．若是直角梯形的直角腰，则⊥，⊥.∵＝，＝，由于⊥，∴·＝－.①又∥，∴＝.②解①②两式可得(\\(＝()，＝().))此时与不平行．若为直角梯形的直角腰，则⊥，且∥.∵＝，∴的斜率不存在．故＝，又∥，则＝.故点坐标为()．综上可知，使四边形为直角梯形的点的坐标可以为()或.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．．本节课要重点掌握的规律方法()判断两条直线平行的步骤，见讲.()利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲.()判断图形形状的方法步骤，见讲.．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组两条直线平行的判定及应用．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α、α，斜率分别为、，有下列命题：①若∥，则斜率＝；②若＝，则∥；③若∥，则倾斜角α＝α；④若α＝α，则∥.其中真命题的个数是( )．个．个．个．个解析：选①错，两直线不一定有斜率．．已知过(－，)和()的直线与斜率为－的直线平行，则的值是( )．－．．．解析：选由题意可知，＝＝－，所以＝－.．过点()和点(－)的直线与直线＝的位置关系为．解析：∵直线＝的斜率为＝，过()，(－)的直线的斜率＝＝, ∴两条直线平行．答案：平行．已知△中，()、(，－)，、分别为、的中点，则直线的斜率为．解析：∵、分别为、的中点，∴∥.∴＝＝＝－.答案：－题组两条直线垂直的判定及应用．(·淄博高一检测)直线，的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直解析：选设，的斜率分别为，，则·＝－.．若不同两点、的坐标分别为(，)，(－－)，则线段的垂直平分线的斜率为．解析：由两点的斜率公式可得：＝＝，所以线段的垂直平分线的斜率为－.答案：－．已知直线⊥，若直线的倾斜角为°，则直线的斜率为．解析：由题意可知直线的斜率＝°＝，设直线的斜率为，则·＝－，∴＝－.答案：－题组两条直线平行与垂直的综合应用．以(－)，(，－)，()为顶点的三角形是( )．锐角三角形．钝角三角形．以点为直角顶点的直角三角形．以点为直角顶点的直角三角形解析：选＝＝－，＝＝，∵·＝－，∴⊥，∴△是以点为直角顶点的直角三角形．．已知直线经过点(，)，(－)，直线经过点()，(－，＋)．()若∥，求的值．()若⊥，求的值．解：设直线的斜率为，则＝＝－.()若∥，则直线的斜率为＝，所以＝－，解得＝或＝，经检验当＝或＝时，∥. ()若⊥，①当＝时，此时＝，＝－，不符合题意；②当≠时，的斜率存在，＝，由·＝－得到×＝－，解得＝或＝－.．已知()，()，()，点满足⊥，且∥，试求点的坐标．解：设(，)，则＝＝，＝＝－，＝，＝.因为⊥，∥，所以·＝－，＝，即(\\(×(－)＝－，,(－)＝－().))解得(\\(＝，＝－.))即(，－)．[能力提升综合练]．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若∥，则＝；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．．个．个．个．个解析：选若＝，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．．已知点(－，－)，()，点在轴上，且∠＝°，则点的坐标为( )．(，－) ．()．(，－)或() ．(－)或()解析：选由题意可设点的坐标为(，)．因为∠＝°，所以⊥，且直线与直线的斜率都存在．又＝，＝，·＝－，即·＝－，解得＝－或＝.所以点的坐标为(，－)或()．．(·邯郸高一检测)若点(，)与(－，＋)关于直线对称，则的倾斜角为( )．° ．° ．° ．°解析：选＝＝－，·＝－，∴的斜率为，倾斜角为°.．已知点()，(－)，()，()，则以，，，为顶点的四边形是( )．梯形．平行四边形．菱形．矩形解析：选如图所示，易知＝－，＝，＝－，＝＝－，＝，所以＝，＝，·＝，·＝－，故∥，∥，与不垂直，与不垂直．所以四边形为平行四边形．．若(－)，(，－)，()，()，给出下面四个结论：①∥；②⊥；③∥；④⊥.其中正确的是．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵＝－，＝－，＝，＝－，∴∥，⊥.答案：①④．过点()，(－)，过点()，()，且∥，则＝.解析：∵∥，且＝＝－，∴＝＝－，∴＝.答案：．直线经过点()，(－)，直线经过点(，)，(－，＋)，当∥或⊥时，分别求实数的值．解：当∥时，由于直线的斜率存在，则直线的斜率也存在，则＝，即＝，解得＝；当⊥时，由于直线的斜率存在且不为，则直线的斜率也存在，则·＝－，即·＝－，解得＝－.综上，当∥时，的值为；当⊥时，的值为－.．已知△三个顶点坐标分别为(－，－)，()，()，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝.由＝知直线∥轴，∴边上的高线与轴垂直，其斜率不存在．设、边上高线的斜率分别为、，由·＝－，·＝－，即·＝－，·＝－，解得＝－，＝－.∴边上的高所在直线的斜率不存在；边上的高所在直线的斜率为－；边上的高所在直线的斜率为－.。
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定[课时作业][A 组 基础巩固]1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4， k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS . 而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C.答案：C2．给定三点A (1,0)、B (－1, 0)、C (1,2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－－＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1，∴直线过点(0,1)． 答案：A3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示，易知k AB ＝－1－12－－＝－23，k AC ＝4－11－－＝32， 由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．答案：C4．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3 解析：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3.答案：D5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以 k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直，所以四边形ABCD 为平行四边形．答案：B6．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝__________；若直线l 1⊥l 2，则a ＝__________.解析：l 1∥l 2时，a －22－1＝3，则a ＝5；l 1⊥l 2时，a －22－1＝－13，则a ＝53. 答案：5 537．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________.若l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m 2， 若l 1⊥l 2，则m 2＝－1，∴m ＝－2. 若l 1∥l 2则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2.答案：－2 28．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若点D 使直线BC ∥AD ，直线AB ⊥CD ，则点D 的坐标是________．解析：设D (x ，y )，由BC ∥AD ，得2－02－3＝y ＋1x －1，① 由AB ⊥CD ，得2＋12－1×y x －3＝－1，② ∴由①②解得x ＝0，y ＝1.答案：(0,1)9．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解析：因为A ，B 两点的纵坐标不相等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，所以－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1.当m ＝－1时，C ，D 两点的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式，得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，即2－m ＋·m ＋m ＋3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.10．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1， 解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2. 综上，m 的值为－7，－2,2或3.[B 组 能力提升]1．已知直线l 1和l 2互相垂直且都过点A (1,1)，若l 1过原点O (0,0)，则l 2与y 轴交点的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(1,0)解析：l 1的斜率为k 1＝1，设l 2与y 轴的交点为(0，y )，∴l 2的斜率k 2＝y －1－1＝－1，∴y ＝2，∴l 2与y 轴的交点为(0,2)．答案：B2．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73，B (7,0)的直线l 1与过点C (2,1)，D (3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6解析：如图所示，∵圆的内接四边形对角互补，∴l 1和l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1.∵k 1＝73－7＝－13， k 2＝k ＋1－13－2＝k ，∴k ＝3. 答案：B3．点A 是x 轴上的动点，一条直线过点M (2,3)，垂直于MA ，交y 轴于点B ，过点A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线交于点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足的关系式是________． 解析：∵PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，P (x ，y )，∴A (x,0)，B (0，y )．由MA ⊥MB ，∴k MA ·k MB ＝－1，即32－x ·3－y 2＝－1(x ≠2)，化简，得2x ＋3y －13＝0.当x ＝2时，点P 与点M 重合，点P (2,3)的坐标也满足方程2x ＋3y －13＝0，所以P (x ，y )满足的关系式为2x ＋3y －13＝0. 答案：2x ＋3y －13＝04．已知l 1的斜率是2，l 2过点A (－1，－2)，B (x,6)，且l 1∥l 2，则＝________.解析：因为l 1∥l 2，所以6＋2x ＋1＝2，解得x ＝3.所以＝－12. 答案：－12 5．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解析：由斜率公式，得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－＋t －2t －－2t ＝－t －1＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ， k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t. ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，∴四边形OPQR 为矩形．6．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m,2)，试求m 的值．解析：如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.当m ＝1时，直线AB 的斜率不存在，此时l 2的斜率为0，不满足l 1∥l 2.当m ≠1时，直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m －31－m， ∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3. ∵l 1与l 2平行，∴k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。