角平分线性质及判定

第02讲角平分线的性质与判定考点·方法·破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.
经典·考题·赏析
【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN ⊥AD.求证：PM＝PN
【变式题组】
01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.
02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.
求证：PM＝PN
【例２】如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12
(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数
【变式题组】
01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求
ACD
CBD
S S ∆∆
02．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a
与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.
【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：
CE ＝
12
BD
【变式题组】 01． 如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，
求证：AB ＝AC ＋BD .
02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE
相交于点F .
⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .
第1题图
第2题图
第3题图
第4
题图
第5题图
第6题图
第
9题图
第10题图
第8
题图
第
7题图
演练巩固·反馈提高
01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，
则△ABD 的面积是（ ）
A ．
13
mn B ．
12
mn C ． mn D ．2 mn
02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠
BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
03．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是
R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③
04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，
则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外
角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°
06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝
PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④ 07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A ．点P 到△ABC 三边的距离相等
B ．点P 在∠AB
C 的平分线上
C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°
D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝1
2
∠P
08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D 到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
09．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：
①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确
的个数有（）
A．3个B．2个C．1个D．4个
10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK 的关系是_________
11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.
第4题图
第
5题图
第3题图
l 2
第1
题图
培优升级·奥赛检测
01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条
公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处
02．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝
9:7，则D 到AB 边的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．12
03．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.
已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________
04．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD ＝__________
05．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则
两平行线AB 、CD 间的距离等于__________
06．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .
求证：∠G ＝1
2
(∠ACB －∠B )
07．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC
＞DB －DC
08．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、
BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP。