2009届厦门六中高三(上)期中考理科数学模拟试卷(一)

2009届厦门六中 高三（上）期中考 理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1、sin 480的值为（ ） A ．12-B． C ．12 D2、已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则A B = （ ） A.{|1}x x ≥- B.{|2}x x ≤ C. {|02}x x <≤ D. {|12}x x -≤≤ 34、函数x x y 2cos2sin ππ=的最小正周期是（ ）A ．2π B ．πC ．2D ．15、函数)3(,)2(2)2()2()(-⎩⎨⎧≥>+=-f x x x f x f x则的值为（ ）A ．2B ．8C ．81 D ．21 6、有一个正三棱柱，其三视图如图，则其体积等于 （ ） A ．3 B ．1C ．233 D ．47、已知函数)]2([,sin )(0πf f xdx a f a则⎰== （ ）A ．1B ．1－cos1C ．0D ．cos1－18、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l l ,γβ =∥m m 和αα⊂,,⊥γ，那么必有 (A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ9、在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=( )A ．23-B ．32- C ．32 D ．2310、设ABC 是坐标平面上的一个三角形，P 为平面上一点且5251+=，则 的面积的面积ABC ABP ∆∆=（ ） .A.21 B. 51 C.52 D. 3211、定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ） A . 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B . 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D . 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示.则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在题中横线上.13、二面角AB αβ--中，,,P AB PM PN αβ∈⊂⊂，且045,BPM BPN ∠=∠=060MPN ∠=，则二面角AB αβ--的大小是14、函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示，则ω= ； ϕ= ．15、若从点O 所作的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2与点N 1，N 2，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆.如图，若从点图2俯视图正视图E DCA PO 所作的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ 和OR 上分别有有点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论为 16、如图是函数f(x)及f(x)在点P 切线，则/(2)(2)f f +=三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，)cos ,(cos ),,2(C A y a c b x -=-=，且x ⊥y. （I ）求角A 的大小； （II ）当)62sin(sin 22π++=B B y 取最大值时，求角B 的大小；18、已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点。

（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;19、袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． （Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望． 20、 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C —PB —D 的大小； （4）求F 点的坐标；（5）求A DEF V -C21、某化工企业生产某种化工原料，在生产过程中对周边环境将造成一定程度的污染，过去没有采取任何治理污染的措施，依据生产和营销的统计数据发现，该企业每季度的最大生产能力为2万吨，且每生产x 万吨化工原料，获得的纯利润y （百万元）近似地满足：y=(x +1)ln(x +1).自2007年3月人民代表大会召开后，该企业认识到保护环境的重要性，决定投入资金进行的污染治理，计划用于治理污染的资金总费用为y 1=2px （百万元）（其中x 为该工厂的生产量，p 为环保指标参数，p ∈]1,0(. （I ）试写出该企业进行污染治理后的利润函数)(x f ；（II ）试问p 控制在什么范围内，该企业开始进行污染治理的第一个季度，在最大生产能力的范围内始终不会出现亏损？22、已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1． （1）求直线l 的方程及m 的值；（2）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （3）当0b a <<时，求证：()(2)2b af a b f a a-+-<．2009届厦门六中 高三（上）期中考 理科数学模拟试卷（一）参考答案 一、DABCC DBA DC AB二、（13）090 （14）12，38π （15）212121222111OR OR OQ OQ OP OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅=--（16）9817．（I ）解：由x ⊥y 得 x ·y=0，从而（2b －c ）cosA －acosC=0，……………………1分由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC=0，…………………………2分 ∴2sinBcosA －sin(A+C)=0，………………………………………………………3分∴2sinBcosA －sinB=0，…………………………………………………………4分∵.3,21cos ,0sin ),0(,ππ=∴=≠∴∈A A B B A ……………………6分 （II ）)62sin(sin 22π++=B B y分得由分分分10,67626,320,)(9).62sin(182cos 212sin 23176sin2cos 6cos 2sin )2cos 1( πππππππ<-<-∴<<++=-+=++-=B B I B B B B B By B B ,3262时时即πππ==-∴取得最大值.………………………………12分18、（1）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅= (2) 不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形∴BD ⊥AC ∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC 又∵AC PC C = ∴BD ⊥平面PAC ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 19、（Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件A ，∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有26C 种， ……1分 其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有211322C C C ， ……3分∴()21132226C C C 3224C 355P A ⨯⨯===⨯． ……4分 解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为B ，则事件A 与事件B 是对立事件．∵()1326C 31C 155P B ===， ……2分 ∴()()415P A P B =-=． ……4分 （Ⅱ）解：由题意，ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，6． ……6分()2226C 12C 15P ξ===，()112226C C 43C 15P ξ===，()21122226C C C 54C 15P ξ+===， ()112226C C 45C 15P ξ===，()2226C 16C 15P ξ===． 故随机变量ξ的概率分布为 ……10分因此，ξ的数学期望145412345641515151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分 20、（3）060 （4）2,,333a a a ⎛⎫⎪⎝⎭（5）336a解： 方法一：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDBAC（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥ ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥ ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角由（2）知，PD EF DE ⊥⊥,设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=PC DE 2221==在PDB Rt ∆中，aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=在EFD Rt ∆中，233622sin ===a aDF DE EFD ，∴3π=∠EFD所以，二面角C —PB —D 的大小为3π 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC = （1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG依题意得2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa 且 )2,0,2(),,0,(aa EG a a PA -=-=∴EG PA 2=，这表明PA//EG而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB（2）证明；依题意得)0,,(a a B ，,,(a a a PB -=)2,2,0(a a =，故022022=-+=⋅a a∴DE PB ⊥由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD（3）解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，PB PF λ=，则,,(),,(000a a a a z y x -=-λ从而z a y a x )1(,,000λλλ-===所以))21(,)21(,()2,2,(000a a a z a y a x ---=---=λλλ 由条件PB EF ⊥知，0=⋅，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(aa a ，且 )6,6,3(a a a FE --=，)32,3,3(aa a FD ---=∴03233222=+--=⋅a a a FD PB即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角 ∵691892222a a a a =+-=⋅，且 a a a a 6636369||222=++=，a a a a 369499||222=++=， ∴236666||||cos 2=⋅==a a a FD FE EFD ∴3π=∠EFD所以，二面角C —PB —D 的大小为3π21、解：（I ）该企业进行污染治理后的利润函数为)0.(2)1ln()1()(1>-++=-=x px x x y y x f .………………3分（II ）.21)1ln()(p x x f -++='令.1,0)(12-=='-p e x x f 得…………………………………………4分 ①当.0)(],2,0(,210,120>'∈≤<≤<x f x p p 对时即 所以f (x )在[0，2]上为增函数，且.0)0()(=≥f x f即当0<p ≤21时，对所有x ∈]2,0(，都有.2)1ln()1(px x x ≥++…………8分 ②当2p >1，即21<p<1时，e 2p －1－1>0. 则当)1,0(12-∈-p e x ]2,0(时，0)(<'x f .…………………………11分 所以f (x )在（0，e 2p －1）上为减函数，且)(x f <f (0)=0则(x +1)ln(x +1)<2px .………………………………………………13分综合可知，当0<p ≤21时，生产的第一季度始终不会出现亏损现象.……14分22、解：（1）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===， 所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩， 得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）；（2）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以1()111x h x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；（3）当0b a <<时，102b a a--<<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．。