八年级数学上册特殊三角形的性质判定及应用(人教版)
人教版八年级上册数学教案：13.3.1等腰三角形的性质及判定
等腰三角形的性质及判定[教学目标]：1．知识与技能：理解等腰三角形的性质和判断推理过程，会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明；2．过程与方法：经历探索——发现——猜想——证明等腰三角形的性质和判定的过程，初步学习和掌握文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式；逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程．3．情感态度与价值观：理解证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是正确认识事物的重要方法。
[教学重点]：等腰三角形的性质与判定定理的证明．[教学难点]：证明过程的书写格式，用规范的符号语言描述证明过程．[教学过程]：教学环节教学内容师生活动设计意图与方法备注一、回顾知识创设情境1．什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）你能用刻度尺画一个等腰三角形吗？2．等腰三角形有哪些性质？3．上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）4．这些性质都是真命题吗？你能否从基本事实出发，对它们进行证明？引导学生复习，让学生独立思考回答温故知新。
引入课题二、新授引入自主探索活动一：定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）（文字语言）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B=∠C （符号语言）证明：从上面的证明过程中，我们可以发现：定理：等腰三角形的、、互相重合.（简称“”）组织学生小组讨论，归纳总结和表达。
引导学生分析思考逐步培养学生逻辑推理与表达书写的能力教学环节教学内容师生活动设计意图与方法备注二、新授引入自主探索把上面定理写成符号语言在△ABC中，AB=AC时，（1）∵AD⊥BC，∴∠____ = ∠____，___= ___（2）∵AD是中线，∴___⊥___ ，∠____=∠____（3）∵AD是角平分线，∴___ ⊥___ ，___ =___活动二：如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：_______________________.（文字语言）（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.（符号语言）（3）证明：通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么.（简称“”）.1.例：已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.求证：AB=AC引导学生正确使用符号语言组织学生分组讨论分析，明确命题的题设和结论，根据题设和结论画出图形，结合图形写出已知和求证引导学生充分讨论和交流，逐步完善证明的思路师生互动完成书写过程引导学生思考探究，使学生掌握文字语言，图形语言和几何语言间的互相转换。
人教版八年级上册数学几何八字三角形
人教版八年级上册数学几何八字三角形一、概述数学几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形、空间等几何对象的性质和相互关系。
在八年级上册数学中，八字三角形是其中一个重要的几何概念，通过学习八字三角形，不仅可以加深对三角形的理解，还能够锻炼学生的逻辑思维和推理能力。
本文将从八字三角形的定义、性质和应用等方面来深入探讨这一概念。
二、八字三角形的定义1. 什么是八字三角形八字三角形是指一个三角形在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为（a，0）、（-a，0）和（0，b）的三角形。
即它的边和坐标轴满足一定的条件，形状如“八”字，因此得名八字三角形。
2. 八字三角形的条件要构成一个八字三角形，需要满足以下条件：（1）三条边的长度关系：三边的长度必须满足a > b，且a² = b² + (2x)²。
（2）角度关系：其中，直角所在的两边的夹角为90°。
以上条件既是八字三角形的定义，也是构成八字三角形的基本要求。
三、八字三角形的性质1. 与直角三角形的关系八字三角形是一种特殊的直角三角形。
在八字三角形中，其中一个角为90°，而且满足勾股定理的条件。
我们可以将八字三角形看作是勾股定理的一种特殊情况。
2. 对称性八字三角形在平面直角坐标系中具有一定的对称性。
以坐标轴为对称轴，可以将八字三角形对称成一个完整的八字形。
这种对称性不仅体现在形状上，还体现在性质上，例如其边长、面积等都具有一定的对称性。
3. 边长和面积的计算对于八字三角形，其边长和面积的计算是非常重要的。
通过勾股定理和坐标系中的直线方程，我们可以求得八字三角形的各边长和面积等相关参数。
这不仅有助于加深对几何概念的理解，还有助于锻炼学生的运算能力。
四、八字三角形的应用1. 实际生活中的应用八字三角形这一概念并不是停留在书本知识中，它在现实生活中也有着广泛的应用。
比如在地理测量中，我们经常会遇到需要计算直角三角形的情况，而八字三角形作为一种特殊的直角三角形，同样适用于这类计算。
人教版八年级上册数学知识点思维导图
第十一章 三角形与三角形有关的线段与三角形有关的角多边形及其内角和相关概念三角形的定义三角形的分类三角形的三边关系①三条线段②不在同一直线上③首位顺次相接按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类三边都不相等的三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形（特殊的等腰三角形）三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边三角形的三条重要线段（高，中线，角平分线）相同点都是线段都有三条，且交于一点交点位置高线锐角三角形→三角形内部直角三角形→直角顶点钝角三角形→三角形外部 中线（交点叫做三角形的重心）角平分线位于三角形内部性质三角形的高线→直角三角形或90°的角 三角形的中线→所分的两个三角形面积相等（所分两个三角形等底同高）三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角三角形的稳定性 三角形具有稳定性，而其他多边形都不具有稳定性 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余判定有一个角是直角的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形 概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形多边形的内角和多边形的外角和各条边都相等的多边形叫做正多边形边形的内角和等于正边形的每一个内角为多边形的外角和等于360°（与边数无关）正边形的每一个外角为多边形的对角线边形的对角线的条数为第十三章轴对称轴对称用坐标表示轴对称有关概念线段的垂直平分线轴对称图形的有关性质轴对称图形：把一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形成轴对称：把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线性质判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上对应线段相等，对应角相等对称轴垂直平分连接对应点的线段关于x轴对称的两个点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数关于y轴对称的两个点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等等腰三角形等腰三角形性质轴对称图形→有一条对称轴等边对等角→在同一个三角形中证明角相等三线合一顶角平分线底边上的高底边上的中线相互重合判定定义：两边相等等角对等边→也是证明线段相等的方法等边三角形性质轴对称图形→三条对称轴三线合一→三条三线合一的线三条边都相等三个内角都相等，并且每一个角都等于60°判定三条边相等的三角形→已知三边关系用此方法三个角都相等的三角形→已知三个内角的关系用此方法有一个角是60°的等腰三角形→已知两边相等时可找一个60°的角用此方法含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半应用“已知一条直线及其同侧的两点，在直线上确定一点，使它到这两个已知点的距离之和最小”的问题，这类问题一般都是首先作出其中一个点关于直线的对称点，然后连接另一点和对称点，借助两点之间线段最短解决问题线段垂直平分线垂直且平分该线段线段垂直平分线上任意一点到该线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上第十四章整式的乘法与因式分解幂的运算法则同底数幂的乘法法则：都是正整数推广：均为正整数逆用：都是正整数幂的乘方法则：都是正整数推广：都是正整数逆用：都是正整数积的乘方法则：都是正整数推广：都是正整数）逆用：都是正整数同底数幂的除法法则：都是正整数并且推广：都是正整数并且逆用：都是正整数并且零指数幂整式的乘、除法法则单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式单项式除以单项式多项式除以单项式乘法公式平方差公式完全平方公式添括号因式分解提取公因式公式法系数×系数→积的系数同底数幂×同底数幂→积的幂只在一个单项式里含有的字母→连同指数作为积的一个因式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加公式表示：m(a+b-c)=ma+mb+m(-c)=ma+mb-m c法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加公式表示：(a+b)(m-n)=am+a(-n)+bm+b(-n)=a m-an+bm-bn被除式系数÷除式系数→商的系数被除式同底数幂÷除式同底数幂→商中的幂只在被除式里含有的字母→连同指数作为商的一个因式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加公式表示：(am+bm-cm)÷m=am÷m+bm÷m+(-c m)÷m=a+b+(-c)=a+b-c括号前“+”→括到括号里的各项都不变符号括号前“-”→括到括号里的各项都改变符号m a+mb+mc→m(a+b+c)公因式的确定方法系数→多项式中各项系数的最大公因数字母→多项式中各项中都含有的相同字母相同字母的次数→多项式中各项中相同字母的最低次幂第十五章分式分式的有关概念分式的基本性质分式方程分式的运算分式的定义分式有意义的条件分式值为零的条件基本性质约分和通分分式的乘法分式的除法分式的乘方分式的加减分式的混合运算分式方程的定义分式方程的解法分式方程的应用一般地如果表示两个整式并且中含有字母那么式子叫做分式分式无意义→B=0分式有意义→B≠0A=0B≠0缺一不可分式的式子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变式子表示其中是整式分式的通分→确定最简公分母分式的约分→确定分子和分母的公因式最简公分母的确定方法系数→各分母系数的最小公倍数字母→各分母中含有的所有字母相同字母的次数→各分母中相同字母的最高次幂不等于不等于法则：是正整数逆用是正整数）同分母相加减：异分母相加减：无括号：乘方→乘除→加减有括号：小括号→中括号→大括号结果为最简形式负整数指数幂科学记数法绝对值小于1的数→为原数第个不为零的数字前面所有零的个数包括小数点前面的零分母中含有未知数的方程是分式方程，判断一个方程是否为分式方程关键看分母中是否含有未知数去分母→方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程解整式方程检验→将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解使原分式方程的解；否则，就是原分式方程的增根，原分式方程无解审→审清题意，弄清已知量和未知量找→找出等量关系设→设未知数列→列分式方程解→解这个方程验→既要检验所求的解使分式方程的解，又要检验求得的解是否符合实际意义答→写出答案。
人教版八年级数学上《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记
《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记
一、定义与条件
1.HL判定：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，
那么这两个三角形全等。
2.ASA判定：在两个三角形中，如果两个角和它们的夹边分别相等，那么这两个
三角形全等。
二、应用与实例
1.HL判定应用：在解决实际问题时，如果已知两个直角三角形的斜边和一条直角
边分别相等，那么可以直接使用HL判定来证明这两个三角形全等。
2.ASA判定应用：当已知两个三角形中的两个角和它们的夹边分别相等时，可以
使用ASA判定来证明这两个三角形全等。
三、注意事项
1.HL判定注意事项：在使用HL判定时，必须确保两个直角三角形的斜边和一条
直角边分别相等，不能出现其他条件的不符合。
2.ASA判定注意事项：在使用ASA判定时，必须确保两个角和它们的夹边分别
相等，不能出现其他条件的不符合。
四、练习与巩固
为了巩固所学知识，可以进行以下练习：
1.给出两组条件，判断是否能够使用HL或ASA判定证明两个三角形全等。
2.给出多个三角形，选择其中两个，使用适当的判定方法证明它们全等。
五、总结与回顾
本节课学习了直角三角形全等的特殊条件，包括HL判定和ASA判定。
通过学习，我们掌握了这些判定方法的应用和注意事项。
在今后的学习中，我们将继续运用这些方法来解决实际问题。
数学八年级上册人教版知识点
第十一章：三角形一、三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
★2、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：(三角形是封闭图形)(1)三角形有三条线段(2)三条线段不在同一直线上(3)首尾顺次相接★3、三角形的三边关系定理及推论(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
★4、三角形中的主要线段(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
(平分三角形的面积)(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
(简称三角形的高)三角形的面积= 1/2×底×高注意：三角形的高不一定在三角形内部，其交点也不一定在三角形内部。
★5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：★三角形按角的关系分类如下：★把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
★6、三角形的稳定性(1)三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
(2)三角形稳定性的应用：三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(3)四边形不具有稳定性。
(4)三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
★7、三角形的内角外角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
人教版数学八年级上册《等边三角形的性质和判定》教学设计2
人教版数学八年级上册《等边三角形的性质和判定》教学设计2一. 教材分析等边三角形的性质和判定是初中数学八年级上册的教学内容，这部分内容在教材中占据重要的地位。
等边三角形是特殊类型的三角形，具有独特的性质。
本节课的教学内容主要包括等边三角形的性质及其应用，以及等边三角形的判定方法。
通过学习本节课的内容，学生能够更深入地了解等边三角形的性质，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质、分类和判定等基础知识，对于三角形的概念和性质有一定的了解。
但等边三角形作为一种特殊的三角形，其性质和判定方法与普通三角形有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。
此外，学生需要通过观察、操作、推理等过程，发现等边三角形的性质和判定方法，因此，学生的观察能力、操作能力和推理能力有待提高。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握等边三角形的性质及其应用，了解等边三角形的判定方法，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，学生能够发现等边三角形的性质和判定方法，培养他们的观察能力、操作能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，对数学产生浓厚的兴趣，培养他们的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：等边三角形的性质及其应用，等边三角形的判定方法。
2.难点：发现等边三角形的性质和判定方法，理解等边三角形性质之间的联系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物模型、图片等引导学生观察和操作，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置问题引导学生思考和讨论，培养学生的问题解决能力。
3.小组合作法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力。
4.归纳总结法：引导学生总结等边三角形的性质和判定方法，提高学生的归纳能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备等边三角形的模型、图片等教学素材。
2.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。
人教版八年级数学上册说课稿13.3等腰三角形
人教版八年级数学上册说课稿13.3 等腰三角形一. 教材分析等腰三角形是八年级数学上册第十三章《三角形》的一个小节，本节内容主要让学生掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质解决一些实际问题。
在教材中，通过引入等腰三角形的定义，让学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质，从而培养学生的动手操作能力和探究能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的概念、性质和分类，对三角形有了一定的了解。
但等腰三角形作为一种特殊的三角形，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会引导学生运用已学的知识，通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质，从而加深学生对三角形知识的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的动手操作能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在探究等腰三角形性质的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质。
2.教学难点：如何引导学生运用已学的知识，通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的相关知识，引出等腰三角形的概念。
2.探究等腰三角形的性质：（1）让学生观察等腰三角形的模型，引导学生发现等腰三角形的两腰相等。
（2）让学生用几何画板画出一个等腰三角形，并测量其角度，引导学生发现等腰三角形的底角相等。
（3）让学生分组讨论，总结等腰三角形的性质，并展示成果。
3.验证等腰三角形的性质：（1）让学生运用已学的知识，通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质。
（2）教师引导学生进行总结，得出等腰三角形的性质。
人教版八年级数学上册13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定
质 线互相重合（三线合一）
所对的角的平分线互相重合
对称轴（1条）
对称轴（3条）
A A
B
CB
C
类比探究2：
图形 判
等腰三角形 从边看：两条边相等的 三角形是等腰三角形
定 从角看：两个角相等的三
角形是等腰三角形
等边三角形 三条边都相等的三角形 是等边三角形
三个角都相等的三角形 是等边三角形，
小明等认边为三还角有形第的三判种定方方法法“：两条边相等且有一个角是60°的三角 形也是等有边一三个角角形是”60，°你的同等意腰吗三？角形是等边三角形.
变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等
边三角形吗?试说明理由. 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形.
A
D
E
B
C
习题巩固：
1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有
一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角
（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角
典例精析
例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边
三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形，
A
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
D
E
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
B
C
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
轴对称图形
二、探究新知
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
定义类比：
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等， 这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫 做等边三角形.
八年级上册人教版数学知识点7篇
八年级上册人教版数学知识点7篇八年级上册人教版数学知识点11全等三角形的对应边、对应角相等2边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等6斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上9角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合10等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)11推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边12等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合13推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°14等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)15推论1三个角都相等的三角形是等边三角形16推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形17在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半18直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半19定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等20逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上初二数学求定义域口诀求定义域有讲究，四项原则须留意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
指是分数底正数，数零没有零次。
限制条件不唯一，满足多个不等式。
求定义域要过关，四项原则须注意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
分数指数底正数，数零没有零次。
限制条件不唯一，不等式组求解集。
初中提高数学成绩诀窍很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了，但是一做到综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。
八年级(人教版)三角函数知识点总结
八年级(人教版)三角函数知识点总结.txt 八年级(人教版)三角函数知识点总结
三角函数是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将总结八年级(人教版)课程中关于三角函数的知识点。
1. 角的概念和度量
- 角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形。
- 角的度量单位是度，一个完整的角度为360度。
2. 特殊角的三角函数值
- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于某个角，其对边与斜边的比值。
- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于某个角，其邻边与斜边的比值。
- 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于某个角，其对边与
邻边的比值。
3. 三角函数的基本性质
- 正弦函数和余弦函数的值范围在-1到1之间。
- 正切函数在某些角度上没有定义。
4. 三角函数的图像和周期性
- 正弦函数和余弦函数的图像是周期性的，周期为360度或2π。
- 正弦函数的图像是一个连续的波形，从0度开始逐渐升高到
90度，然后逐渐降低到180度，以此类推。
- 余弦函数的图像与正弦函数的图像相同，只是整体上平移了
90度。
5. 三角函数的应用
- 三角函数在几何学中用于计算和描述三角形的属性。
- 在物理学中，三角函数可以用于描述物体的运动和力的作用。
- 在工程学中，三角函数可以用于计算和设计建筑、桥梁等结构。
以上是八年级(人教版)课程中关于三角函数的知识点总结。
通过研究这些知识，你可以更好地理解和应用三角函数的概念。
参考资料：
- 人教版《数学八年级上册》。
人教版八年级数学上册课件：第十三章 微专题3 巧用等腰三角形的性质与判定(共20张PPT)
解：(1)由图形旋转前后对应线段相等知 OC＝CD， ∴△COD 是等腰三角形，又由旋转知∠OCD＝60°， ∴△COD 是等边三角形． (2)当 α＝150°，即∠BOC＝150°时，△ AOD 是直角 三角形．理由：由图形旋转前后对应角相等知∠ADC＝ ∠BOC＝150°.又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC＝ 60°，∴∠ADO＝90°，即△ AOD 是直角三角形．
∴∠FEA＝∠EAC， ∴∠FEA＝∠DAF， ∴AF＝FE， ∵BE⊥AE， ∴∠FEA＋∠BEF＝90°，∠BAE＋∠FBE＝90°， ∴∠FBE＝∠BEF， ∴BF＝EF， ∴AF＝BF.
7. 如图，在△ ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是 AC 上的一点，AE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E，且 AE ＝12BD.求证：BD 是∠ABC 的角平分线．
又∵AD 平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠BAE； 又∵AE＝AE， ∴△AEF≌△AEB(SAS)， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°， 故 EB⊥AB.
9. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，
过点 A 作 EF∥BC，且 AE＝AF，求证：DE＝DF. 证明：连接 AD， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC； 又∵EF∥BC， ∴AD⊥EF； 又∵AE＝AF， ∴AD 垂直平分 EF， ∴DE＝DF.
4. 如图，△ ABC 中，∠B＝2∠C，AD 是∠BAC 的平 分线．求证：AC＝AB＋BD.
证明：在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE，易证 △ ABD≌△AED(SAS)，
∴∠AED＝∠B，BD＝ED， ∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC＋∠C， ∴2∠C＝∠EDC＋∠C， ∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC， ∴AC＝AE＋EC＝AB＋DE＝AB＋BD.
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特殊三角形的性质判定及应用
一、教学目标：
1、从应用的角度将特殊形的主要特性系统化, 为学生应用这些特性解题奠定基础。
2、通过对典型例题的解法的探讨，激活学生的解题思维，提高学生的解题水平。
二、教学重点：
掌握等腰三角形、直角三角形这两类特殊三角形的特性及应用。
三、教学难点：
活用直角三角形下述特性：斜边中线、300角所对的直角边都是斜边的一半。
四、教学主要过程提要
（一）引入
同学们，关于直角三角形和等腰三角形，我们知道，它们都是特殊的三角形。
它们的性质，判定及应用等内容掌握得怎样？请大家用下列基础练习进行检验。
（出示练习题一）
1、等腰△ABC中,AB=AC,∠A=70°，则∠C=
2、△ABC中，∠B=∠C，AB=2，则AC=
3、Rt△ABC中,∠C=90°,则c= ,∠A+∠B=
4、△ABC三边a=3，b=4，c=5时，∠C=
5、若在Rt△ABC中，∠C=90°, AB=4，则斜边中线CD=
6、如果上题中∠A=30°，那么∠B= ，BC=
（二）讲评练习后，展示有关知识要点
（三）相关问题解法探讨（进一步掌握上述内容的应用方法）
例1、已知△ABC中，∠A=36°，∠ACB=72°，当BD平分∠ABC时，图中等腰三角形有个？
例2、在△ABC中，∠A=∠C=15°，AB=10，则顶点C到AB的距离为
例3、已知△ABC中，AB=AC，D是AB上的点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于F。
求证：AD=AF。
（1）解法探讨：（得出解法一后，先给出证明过程，
再探讨其它解法）
（四）练习、小结。