中国海洋大学 数学物理方程答案{其中一套试题}

本人能力有限，仅供参考，不保证全对
一、
1、线性偏微分方程
2、线性偏微分方程
3、非线性偏微分方程
4、非线性偏微分方程
二、
1、201
∆=-⨯=-0
y y
y<双曲型0
y=抛物型
y>椭圆型0
2、222
∆=-=抛物型
()0
xy x y
3、22
∆=-++⨯=>双曲型
(cos)(3sin)140
x x
4、22222
00
∆=-=-<椭圆型
x y x y
三、见第二章第二节“三、相关概念”
四、
五、
定解问题
2
22,0,0(,0)(),0(,)(0,)0,0,0
u u
a x l t t x u x x x l u l t u t t x ϕ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪
=≤≤⎨⎪∂⎪==>∂⎪⎩
下面用分离变量法求解 令(,)()()u x t X x T t =，则
`2``XT a X T = （1）
(0,)(0)()0u t X T t == （2）
`(,)
()()0u l t X l T t x
∂==∂ （3） ```
2T X a T X
λ==- （4） ``0X X λ+= （5）
当20λβ=-<时 x x X Ae Be ββ-=+ 代入（2）（3）得0A B ==无意义 当0λ=时 X A x B =+代入（2）（3）得0A B ==无意义 当20λβ=> sin cos X A x B x ββ=+代入（2）（3）得
0B = cos 0A x β= （6）
0A ≠则cos 0l β=得
21
,0,1,2,2n n n l
βπ+=
= （7） 2
21,0,1,2,2n n n l λπ+⎛⎫== ⎪⎝⎭
（8）
21
sin
,0,1,2,2n n n X A x n l
π+== （9） `20T a T λ+= （10）
将（8）代入（10）得
2
`2
2102n
n n T a T l π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（11）
2
2212n a t l n n T B e
π+⎛⎫- ⎪⎝⎭
= （12）
故
2
2
2221212221
21
sin
sin
22n n a t a t l l n n n n n n n n u X T A B e
x C e x l
l
ππππ++⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
++=== （13） 2
22120
021
sin
2n a t l n n n n n u u C e
x l
ππ+⎛⎫∞
∞
- ⎪⎝⎭
==+==∑∑ （14） 0
21
(,0)sin
()2n n n u x C x x l
πϕ∞
=+==∑ （15） 故方程的解为
2
22120
21
sin
2n a t l n n n n n u u C e
x l
ππ+⎛⎫∞
∞
- ⎪⎝⎭
==+==∑∑，其中
n
C 满足方程
21
sin
()2n n n C x x l
πϕ∞
=+=∑。

六、
记{}{}(,)(,),()()U t u x t x ωωϕ=Φ=，则原方程傅里叶变换后为
2(,)
(,)(,)(,0)()U t U t tU t t
U ωωωωωω∂⎧=-+⎪
∂⎨⎪=Φ⎩
由第一个方程得
22
12
(,)t t U t Ce
ωω-=
(,0)()U C ωω==Φ
故
22
12
(,)()t t U t e
ωωω-=Φ
作傅里叶逆变换得
2
1222
222
2
2
221
1
1142
2112424(,)()()()()()t x t t t t t x t t t
t
u x t e x e x e x e
x e d ωωτωϕϕϕϕττ
-------∞
-∞
⎛⎫
⎧⎫⎧⎫=
Φ=*=* ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭
⎩⎭⎝
⎭
⎛⎫=*=-⎪
⎪⎭
⎰。