成都理工大学数学物理方程试题

《数学物理方程》模拟试题

一、填空题（3分10=30分）

1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.

2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） .

3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） .

4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界.

5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） .

6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） .

7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）.

8.计算积分 （ ）

.

9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） .

⨯f u n

u

S

=+∂∂)(σS ),(t x u ),(t U ω2

2

222x u a t u ∂∂=∂∂=)(0x J dx

d

)(3

1)(3202x P x P +=⎰-dx x P 2

1

12)]([)(1x P

10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） .

二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.

2.⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

<

<

=

∂

∂

=

= =

>

<

<

∂

∂

=

∂

∂

=

=

=

=

3

0,0

,

3

,0 0

,3

0,

2

3

2

2

2

2

2

,0

x

t

u

x

x

t

x

x

u

t

u

t

t

x

u

u

u

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

>

<

<

∂

∂

=

∂

∂

=

=

=

x

t

x

x

u

t

u

u

u

u

t

x

x

2

,0

,0

,4

0,

4

2

2

3.

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022

222x t u t x x u

t u t t x x u u u

三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）

四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：

⎪⎩

⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0

,2sin 0,,cos 0022

2

22t t t u x u t x x x u a t u

五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,

1,

10,0,1002y x u y u y x y x u

六、在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足，

即所提问题归结为以下定解问题（10分）:

(本题的只与有关，与无关)

)(1)()('

0'

'02x J x

x J x J -=u θ2

1cos ==r u .

0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222

πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r u

r r u r r r u θ,r ϕ

《数学物理方程》模拟试题参考答案

一、 填空题：

1.初始条件，边值条件，定解条件.

2. 3.. 4. 三.

5..

6..

7..

)(222222

2z

u y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂01)(12

22=∂∂+∂∂∂∂θ

ρρρρρu u U a dt

U

d 222

2ω-=)(1x J -2x

8..

9.. 10..

二、试用分离变量法求以下定解问题

1.解 令，代入原方程中得到两个常微分方程：

，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到

为特征值，特征函数，再解，得到

，于是再由初始条件得到

，所以原定解问题的解为

2. 解 令，代入原方程中得到两个常微分方程：

，，由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到

为特征值，特征函数，再解，得到

，于是再由初始条件得到，所以原定解问题的解为 3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此

，再由边界条件有，于是，.再求定解问题

5

2)1(212-x dx

d 2

02

0)

()(1

ln

y y x x u -+-=)()(),(t T x X t x u =0)()(2''=+t T a t T λ0)()(''=+x X x X λ0)3()0(==X X λ0>λ2βλ=2222

3πβλn ==3sin )(π

n B x X n n =)(t T 32sin

32cos )(;

;t n D t n C t T n n n ππ+=,3sin )32sin 32cos (),(1

x

n t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞

=0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ,3sin )32cos )1(18(),(11

x

n t n n t x u n n πππ+∞

=-=∑)()(),(t T x X t x u =0)()('=+t T t T λ0)()(''=+x X x X λ0)4()0(==X X λ0>λ2βλ=2222

4πβλn ==4

sin )(π

n B x X n n =)(t T 16

;

22)(t

n n n e

C t T π-

=,4

sin

(),(16

1

22x

n e

C t x u t n n n ππ-

∞

=∑=140)1(16

4sin 242+-==

⎰n n n xdx n x C π

π,4

sin

)1(16),(16

1

1

22x

n e n t x u t n n n ππ

π-+∞=-=∑

)(),(),(x w t x v t x u +=212''''22222)(16)(416)]([4c x c x x w x w x w x

v

t v ++-=⇒=⇒++∂∂=∂∂8)2(,0)0(==w w 0,821==c c x x x w 82)(2+-=