数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1)

《数学物理方程》模拟试题

一、填空题（3分⨯10=30分）

1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.

2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n

u

S

=+∂∂)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边

界.

5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程2

2

222x u a t u ∂∂=∂∂的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有

=)(0x J dx

d

（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3

1)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分

=⎰

-dx x P 2

1

1

2)]([（ ） .

9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .

二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：

1.⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<∂∂=∂∂====30,0,3,000,30,20032

2222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u

2.⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x u

t u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,16200202

2

2

22x t u t x x u t u t t x x u u u

三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）

⎪⎩

⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0

,2sin 0,,cos 0022

2

22t t t u x u t x x x u a t u

四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,

1,

10,0,1002y x u y u y x y x u

五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：

)(1)()('

0'

'02x J x

x J x J -=

六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足

θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:

.

0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222

πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r u

r r u r r r

(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)

《数学物理方程》模拟试题参考答案

一、 填空题：

1.初始条件，边值条件，定解条件.

2. )(222222

2z

u y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(12

22=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u . 4. 三.

5.U a dt U d 2

22

2ω-=. 6.)(1x J -.

7.2x .

8.5

2.

9.)1(212-x dx

d . 10.2

02

0)

()(1

ln

y y x x u -+-=.

二、试用分离变量法求以下定解问题

1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：

0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到

2222

3πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(π

n B x X n n =，再解)(t T ，得到

32sin

32cos )(;

;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos (),(1

x

n t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞

=再由初始条件得到

0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为

,

3sin )32cos )1(18(),(11

x

n t n n t x u n n πππ+∞

=-=∑

2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：

0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对

λ的情况讨论，

只有当0>λ时才有非零解，令2

βλ=，得到22

22

4

πβλn ==为特征值，特征函数4

sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16

;

22)(t n n n e

C t T π-=，

于是,4

sin

(),(16

1

22x

n e

C t x u t n n n ππ-

∞

=∑=再由初始条件得到

140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C π

π，所以原定解问题的解为

,4sin

)1(16

),(16

11

22x

n e n t x u t n n n ππ

π-

+∞

=-=∑

3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此

212''''22222)(16)(416)]([4c x c x x w x w x w x

v

t v ++-=⇒=⇒++∂∂=∂∂，再由边界条件有8)2(,0)0(==w w ，于是0,821==c c ，x x x w 82)(2+-=.再求定解问题

⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪⎨⎧<<=∂∂-===><<∂∂=∂∂====20,0),(,000,20,200

3

2

2

222,0x t v x w x t x x v t v t t x v v v 用分离变量法求以上定解问题的解为

,2sin cos ])1)1[(32)1(16(

),(331

x

n t n n n t x v n n n ππππ--+-=∑∞

=故

,2sin cos ])1)1[(32)1(16(28),(3312

x n t n n n x x t x u n n n πππ

π--+-+-=∑

∞

=

三.解：

令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程齐次化，因此

x a x w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2

'

'2''22

222=⇒=+⇒++∂∂=∂∂，再求定解