四年级奥数小学数学培优 第6讲 巧求计数问题doc
小学四年级经典奥数题图形计数
学员姓名：年级：四年级吧课时数：2小时辅导类型：拔高型辅导科目：数学学科教师：课题奥数题授课时间教材区域小四数学（下册）学习目标1、图形的计数问题；2、几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养思维的有序性和良好的学习习惯。
学员授课过程一、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。
练一练：数一数右图中总共有多少个角？例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
（完整版）四年级奥数速算与巧算.doc
（完整版）四年级奥数速算与巧算.doc四年级奥数知识点：速算与巧算(一 )例1 计算 9+99+999+9999+99999解：在涉及所有数字都是 9 的计算中，常使用凑整法 . 例如将 999 化成 100 0—1 去计算 . 这是小学数学中常用的一种技巧 .9+99+999+9999+99999=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)=10+100+1000+10000+100000-5=111110-5=111105.例2 计算 199999+19999+1999+199+19解：此题各数字中，除最高位是1 外，其余都是9，仍使用凑整法 . 不过这里是加 1 凑整.( 如 199+1=200)199999+19999+1999+199+19=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=22225.例3 算 (1+3+5+?+1989) - (2+4+6+?+1988)解法 2：先把两个括号内的数分相加，再相减 . 第一个括号内的数相加的果是：从1 到 1989 共有 995 个奇数，凑成 497 个 1990，剩下 995，第二个括号内的数相加的果是：从2 到 1988 共有 994 个偶数，凑成 497 个 1990.1990×497+995—1990×497=995.例 4 算 389+387+383+385+384+386+388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390 接近，所以选 390 为基准数 .389+387+383+385+384+386+388=390×7—1—3—7—5—6—4—=2730—28=2702.解法 2：也可以选 380 为基准数，则有389+387+383+385+384+386+388=380×7+9+7+3+5+4+6+8=2660+42=2702.例5 计算 (4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6 个相接近的数之和，故可选4940 为基准数 .(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6=(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6=(4940×6+6) ÷6( 这里没有把4940×6先算出来，而是运=4940×6÷6+6÷6运用了除法中的巧算方法)=4940+1=4941.例6 计算54+99×99+45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45 和 54 先结合可得 99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54+99×99+45=(54+45)+99 ×99=99+99×99=99×(1+99)=99×100=9900.例7 计算9999×2222+3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错 . 如果将9999 变为3333×3，规律就出现了 .9999×2222+3333×3334=3333×3×2222+3333×3334=3333×6666+3333×3334 =3333×(6666+3334)=3333×10000=33330000.例8 1999+999×999解法 1：1999+999×999 =1000+999+999×999=1000+999×(1+999)=1000+999×1000=1000×(999+1)=1000×1000=1000000.解法 2：1999+999×999 =1999+999×(1000 -1)=1999+999000-999=(1999-999)+999000=1000+999000=1000000.有多少个零 .总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.四年级奥数知识点：速算与巧算(二 )例1 比较下面两个积的大小：A=987654321×123456789，B=987654322×123456788.分析经审题可知 A的第一个因数的个位数字比 B 的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1. 所以不经计算，凭直接观察不容易知道 A 和 B 哪个大 . 但是无论是对 A或是对 B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B 先进行恒等变形，再作判断 .解：A=987654321×123456789=987654321×(123456788+1)=987654321×123456788+987654321.B=987654322×123456788=(987654321+1)×123456788=987654321×123456788+123456788.因为 987654321>123456788，所以 A>B.例 2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249=(240+1) ×(250 —1)=240×250+1×9;242×248=(240+2) ×(250 —2)=240×250+2×8;243×247=(240+ 3) ×(250 —3)= 240 ×250+3×7;244×246=(240+4) ×(250 —4)=240×250+4×6;245×245=(240+5) ×(250 —5)=240×250+5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 × 250 ，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245 的积最大 .一般说来，将一个整数拆成两部分 ( 或两个整数 ) ，两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大 .如： 10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5则5×5=25 积最大 .例3 求 1966 、 1976 、 1986 、 1996 、 2006 五个数的总和 .解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986 是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5=9930.例 4 2 、4、6、8、10、12?是偶数，如果五个偶数的和是320，求它中最小的一个 .解：五个偶数的中一个数320÷5=64，因相偶数相差2，故五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是 60.以上两，可以概括巧用中数的算方法. 三个自然数，中一个数首末两数的平均; 五个自然数，中的数也有似的性——它是五个自然数的平均 . 如果用字母表示更明，五个数可以作：x-2 、x—1、x、x+1、x+2. 如此推，于奇数个自然数，最中的数是所有些自然数的平均 .如：于 2n+1 个自然数可以表示：x—n，x—n+1，x-n+2 ，?，x —1， x ， x+1 ，? x+n— 1，x+n，其中 x 是 2n+1 个自然数的平均 .巧用中数的算方法，可一步推广，看下面例 .例 5 将 1～1001 各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使九个数之和等于：①1986，② 2529，③ 1989，能否到 ?如果不到，明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数 . 又因横行相邻两数相差 1，是 3 个连续自然数，竖列 3 个数中，上下两数相差 7. 框中的九个数之和应是 9 的倍数 .①1986 不是 9 的倍数，故不行 ;②2529÷9=281，是9 的倍数，但是281÷7=40×7+1，这说明281 在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行 ;③1989÷9=221，是9 的倍数，且221÷7=31×7+4，这就是说221 在数表中第四列，它可做中数 . 这样可求出所框九数之和为 1989 是办得到的，且最大的数是229，最小的数是 213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广. 同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢! 所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.四年级奥数习题：速算与巧算(一 )1.算 899998+89998+8998+898+882.算 799999+79999+7999+799+793.算(1988+1986+1984+?+6+4+2)-(1+3+5+ ?+1983+1985+1987)4.算 1—2+3—4+5—6+?+1991— 1992+19935. 1 点敲 1 下，2 点敲 2 下，3 点敲 3 下，依次推 . 从 1 点到 1 2 点 12 个小内共敲了多少下 ?6.求出从 1～25 的全体自然数之和 .7.算1000+999—998—997+996+995—994—993+?+108+107— 106—105+104+103—102—1018.算 92+94+89+93+95+88+94+96+879.算(125 ×99+125)× 1610.算3×999+3+99×8+8+2×9+2+911.算999999×7805312. 两个 10 位数 1111111111和 9999999999 的乘中，有几个数字是奇数?解答1.利用凑整法解 . 899998+89998+8998+898+88=(899998+2)+(89998+2)+(8998+2)+(898+2)(88+2)-10=900000+90000+9000+900+90-10=999980.2.利用凑整法解 .799999+79999+7999+799+79=800000+80000+8000+800+80-5=888875.3.(1988+1986+1984+?+6+4+2)-(1+3+5+?+1983+1985+1987) =1988+1986+1984+?+6+4+2-1-3- 5?-1983-1985-1987=(1988-1987)+(1986- 1985)+?+(6 -5)+(4-3)+(2-1)=994.4.1-2+3 —4+5- 6+?+1991-1992+1993=1+(3-2)+(5- 4)+?+(1991 -1990)+(1 993-1992)=1+1×996 =997.5.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=13×6=78(下 ).6.1+2+3+?+24+25=(1+25)+(2+24)+(3+23)+ ?+(11+15)+(12+14)+13 =26×12+13=325.7.解法1：1000+999—998—997+996+995—994-993+?+108+107—106—10 5+104+103—102—101=(1000+999—998—997)+(996+995 —994- 993)+?+(108+ 107—106—105)+(104+103 —102—101)解法 2 ：原式 =(1000—998)+(999 —997)+(104 —102)+(103—101)=2 × 450=900.解法3 ：原式=1000+(999—998—997+996)+(995 —994 -993+992)+?+(107— 106—105+104)+(103—102—101+100)-100 =1000—100 =900.9.(125 ×99+125)×16=125×(99+1) ×16= 125 ×100×8×2=125×8×100×2=200000.10.3 ×999+3+99×8+8+2×9+2+9= 3 ×(999+1)+8 ×(99+1)+2 ×(9+1)+9=3×1000+8×100+2×10+9=3829.11.999999×78053=(1000000—1) ×78053=78053000000—78053=78052921947.12.1111111111×9999999999=1111111111×(10000000000—1)=11111111110000000000—1111111111=11111111108888888889.这个积有 10 个数字是奇数 .四年级奥数习题：速算与巧算(二 )1.右图的 30 个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和 ( 如方格中a=14+17=31). 右图填满后，这 30 个数的总和是多少 ?2.有两个算式：①98765×98769，②98766× 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少?3.比较568×764 和567×765 哪个积大 ?4.在下面四个算式中，最大的得数是多少 ?① 1992 ×1999+1999 ② 1993 ×1998+1998③ 1994 ×1997+1997 ④ 1995 ×1996+19965.五个连续奇数的和是 85，求其中最大和最小的数 .6.45 是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数 .7. 把从 1 到 100 的自然数如下表那样排列 . 在这个数表里，把长的方面 3 个数，宽的方面 2 个数，一共 6 个数用长方形框围起来，这6 个数的和为 81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6 个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少 ?习题解答1. 先按图意将方格填好，再仔细观察，找出格中数字的规律进行巧算.解法 1：先算每一横行中的偶数之和：(12+14+16+18)×6=360.再算每一竖列中的奇数之和：(11+13+15+17+19)× 5=37 5最后算 30 个数的总和 =10+360+375=745.解法 2：把每格的数算出填好 .先算出 10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=145，再算其余格中的数 . 经观察可以列出下式：(23+37)+(25+35) × 2+(27+33) ×3+(29+31) × 4=60 ×(1+ 2+ 3+4)=600最后算总和：总和 =145+600=745.2.①98765 ×98769= 98765 ×(98768+ 1)= 98765 × 98768+98765.② 98766 × 98768=(98765+1) × 98768 =98765 × 98768+ 98768.所以②比①大 3.3. 同上题解法相同：568×764>567×765.4.根据“若保持和不变，则两个数的差越小，积越大”，则1996×1996=3 984016 是最大的得数 .5.85 ÷5=17 为中数，则五个数是： 13、15、17、19、21 最大的是 21，最小的数是 13.6.45 ÷5=9 为中数，则这五个数是：3，6，9，12，15.7.观察已框出的六个数， 10 是上面一行的中间数， 17 是下面一行的中间数，10+17=27是上、下两行中间数之和. 这个中间数之和可以用81÷3=27 求得 .利用框中六个数的这种特点，求方框中的最大数.429÷3=143(143+7) ÷2=75 75+1=76最大数是 76.。
四年级奥数培优专题第四章 数与计算(二)
四年级奥数培优专题第四章数与计算（二）第一讲定义新运算【专题导引】我们学过常用的运算有加、减、乘、除等。
如6+2=8,6×2=12等。
都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同,实质上是对应法则不同。
由此可见,一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
对应法则不同就是不同的运算。
当然,这个对应法则应该是对任意两个数。
通过这个法则都有一个惟一确定的数与它们对应。
这一周,我们将定义一些新的运算形式,它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。
【典型例题】【例1】有a、b两个数,规定a◎b=a+(b-2)。
那么5◎2= ？【试一试】1、有a、b两个数,规定a※b=a+2-b。
那么2※3= ？2、有a、b两个数,规定a＃b=a+2-b+9。
那么6＃8= ？【例2】如果规定a◎b=a-b×2 ,那么a=8、b=3时,求8◎3= ？【试一试】1、如果规定a△b=a×3+b ,那么a=3、b=10时,求3△10= ？2、如果规定a△b=（a+b）÷4 ,那么a=1、b=7时,求1△7= ？【例3】设a、b都表示数,规定是a△b表示a的3倍减去b的2倍,a△b=a×3－b×2。
试计算：①5△6,②6△5。
【试一试】1、设a、b都表示数,规定a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2、设a、b都表示数,规定a*b=3×a＋2×b。
试计算①（5*6）*7,②5*（6*7）。
【例4】对于两个数a与b,规定a※b= a×b + a+b。
试计算6※2。
【试一试】1、对于两个数a与b,规定a※b=a×b－（a+b）。
试计算3※5。
2、对于两个数A与B,规定A※B=A×B÷2。
试计算6※4。
【例5】如果2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8,按此规律计算：3△5。
【试一试】1、如果5◎2=5×6,2◎3=2×3×4,按此规律计算：3◎4= ？2、如果2◎4=24÷（2+4）,3◎6=36÷（3+6）,按此规律计算：8◎4= ？【※例6】对于两个数a与b,规定a□b=a＋（a＋1）＋（a ＋2）＋……（a＋b －1）。
四年级奥数.计数综合.几何计数
几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。
（2）对应法数图形。
例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。
【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。
【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
小学数学4年级培优奥数讲义 第06讲-变化规律(教师版)
第06讲 变化规律①学习了解和、差、积、商的变化规律； ①利用这些规律来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
()一个加数()a 另一个加数()b和()cm ±不变 m ± 不变m ±m ±m ±m不变被减数()a减数()b 差()cm ± 不变m ±不变m ± mm ±m ±不变乘、除变化规律见下表()0m ≠被乘数()a 乘数()b 积()c ×÷m 不变 ×÷m 不变 ×÷m×÷m ×÷m÷×m不变被除数()a 除数()b 商()c ×÷m 不变 ×÷m 不变×÷m ÷×m ×÷m×÷m不变教学目标知识梳理我们学习了和、差、积、商的变化规律,这一周,我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
典例分析考点一：和、差的变化规律例1、两个数相加,一个加数增加9,另一个加数减少9,和是否发生变化？【解析】一个加数增加9,假如另一个加数不变,和就增加9；假如一个加数不变,另一个加数减少9,和就减少9；和先增加9,接着又减少9,所以不发生变化。
例2、两个数相加,如果一个加数增加10,要使和增加6,那么另一个加数应有什么变化？【解析】一个加数增加10,假如另一个加数不变,和就增加10。
现在要使和增加6,那么另一个加数应减少10－6=4。
例3、两数相减,如果被减数增加8,减数也增加8,差是否起变化？【解析】被减数增加8,假如减数不变,差就增加8；假如被减数不变,减数增加8,差就减少8。
两个数的差先增加8,接着又减少8,所以不起什么变化。
四年级奥数数的规律与数学问题的解决
四年级奥数数的规律与数学问题的解决奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项广受学生喜爱和参与的数学竞赛活动。
对于四年级的学生来说，通过参加奥数可以培养他们对数学的兴趣，并提高他们的数学思维能力。
在这里，我们将探讨四年级奥数中的数的规律和数学问题的解决方法。
1. 数的规律数的规律是四年级奥数中常见的题型之一。
在这类题目中，学生需要观察数列或图形中的特征，找出其中的规律。
以一个例子来说明：例题：1, 3, 6, 10, 15, ...观察这个数列，我们发现第n个数是前n个自然数之和。
用数学符号表示就是：第n个数 = 1 + 2 + 3 + ... + n。
这个规律可以通过等差数列的求和公式来推导得到。
在解决数的规律问题时，我们可以通过列举数列中的几个数，观察它们之间的关系，并尝试找出其中的规律。
在找到规律后，可以通过递推公式或递归公式来表示数列中的每个数。
2. 数学问题的解决方法除了数的规律，四年级奥数还涉及到一些数学问题的解决方法。
这些问题可能涉及到面积、体积、时间、比例等等。
在这里，我们将介绍几种常用的解决方法。
2.1 图形问题的解决方法对于一些涉及到图形的问题，学生可以通过绘制示意图或图表来帮助解决。
例如，当遇到面积问题时，可以借助图形来计算面积。
2.2 列方程解题列方程是解决数学问题中常用的一种方法。
通过将问题抽象为数学表达式，可以更清晰地分析和解决问题。
例如，当解决关于几何问题的问题时，可以利用几何图形的性质列出方程，从而求解问题。
2.3 分析问题的实质有时候，问题的解决需要通过分析问题的实质来得到。
在解决个别问题时，可以将其拆分为更小的问题，然后逐步解决。
这种方法可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3. 奥数的意义和培养方法奥数不仅是一项竞赛活动，更是培养数学思维和解决问题能力的重要途径。
参加奥数可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维和推理能力。
以下是一些建议用于培养学生的奥数能力的方法：3.1 提供资源和指导为学生提供丰富的数学资源，包括习题集、教材、参考书籍等，以帮助他们扩展数学知识和技巧。
四年级奥数培优专题第六章 趣题与智巧
四年级奥数培优专题第六章趣题与智巧第一讲周期问题【专题导引】在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现,例如,人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断出现的；每周有七天,从星期一开始,到星期日结束,总是以七天为一个循环不断重复出现的。
我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律,找出周期。
确定周期后,用总量除以周期,如果正好有个整数周期,结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个,那么为个下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环,可以从总量里减掉不是循环的个数后,再继续算。
【典型例题】【例1】○△○△○△……,第15个是（）。
【试一试】1、●○○●○○……,第48个是（）。
2、奥林匹克奥林匹克……,第55个是（）。
【例2】有同样大小的红、白珠共32个,按红白红白顺序依次排列,第18个是什么颜色？【试一试】1、今天是星期一,30天后是星期几？2、小红、小明、小月进行报数游戏,他们围成一圈。
小红报1,小明报2,小月报3,依次报到26,26是谁报的呢？【试一试】1、有一列数,1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7……第58个数是多少？②这58个数相加的和是多少？2、小青把积存下来的硬币按先四个1分,再三个2分,最后两个5分这样的顺序一直往下排。
①他排到第111个是几分硬币？②这111个硬币和起来是多少元钱？【例4】2003年1月1日是星期三,（1）该月的22号是星期几？（2）2003年4月5日是星期几？（3）2008年1月1日是星期几？【试一试】1、2003年3月19日是星期三,8月1日是星期几？2、1996年8月1日是星期四,1996年元旦是星期几？【例5】我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号,例如,第一年如果属鼠年,第二年就属牛年,第三年就属虎年。
如果公元1年属鸡年,那么公元2001年属什么年？【试一试】我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。
小学四年级奥数计数问题及答案
小学四年级奥数计数问题及答案奥数的学习并没有我们想象的那么难，只要用心我们还是可以把奥数学习好的。
我们一起来看一下这篇小学四年级奥数计数问题吧。
如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为"迎春数".那么，小于2021的"迎春数"共有个。
【答案解析】这是一道组合计数问题.方法一：枚举法――按位数分类计算.一、两位数中，"迎春数"个数(1)十位数字是1，这样的"迎春数"有12，13，…，19，共8个;(2)十位数字是2，这样的"迎春数"有23，…，29，共7个;(3)十位数字是3，这样的"迎春数"有34，…，39，共6个;(4)十位数字是4，这样的"迎春数"有45，…，49，共5个;(5)十位数字是5，这样的"迎春数"有56，…，59，共4个;(6)十位数字是6，这样的"迎春数"有67，68，69，共3个;(7)十位数字是7，这样的"迎春数"有78，79，共2个;(8)十位数字是8，这样的"迎春数"只有89这1个;(9)没有十位数字是9的两位的"迎春数";所以两位数中，"迎春数"共有36个.二、三位数中，"迎春数"个数(1)百位数字是1，这样的"迎春数"有123-129，134-139，…，189，共28个;(2)百位数字是2，这样的"迎春数"有234-239， (289)共21个;(3)百位数字是3，这样的"迎春数"有345-349， (389)共15个;(4)百位数字是4，这样的"迎春数"有456-459， (489)共10个;(5)百位数字是5，这样的"迎春数"有567-569， (589)共6个;(6)百位数字是6，这样的"迎春数"有678，679，689，共3个;(7)百位数字是7，这样的"迎春数"只有789，这1个;(8)没有百位数字是8，9的三位的"迎春数";所以三位数中，"迎春数"共有84个.三、1000-2021的自然数中，"迎春数"个数(1)前两位数字是12，这样的"迎春数"有1234-1239，…，1289，共21个(2)前两位数字是13，这样的"迎春数"有1345-1349，…，1389，共15个;(3)前两位数字是14，这样的"迎春数"有1456-1459，…，1489，共10个;(4)前两位数字是15，这样的"迎春数"有1567-1569，…，1589，共6个;(5)前两位数字是16，这样的"迎春数"有1678，1679，1689，共3个;(6)前两位数字是17，这样的"迎春数"只有1789这1个;(7)没有前两位数字是18，19的四位的"迎春数";所以四位数中，"迎春数"共有56个.四、2021-2021的自然数中，没有"迎春数"所以小于2021的自然数中，"迎春数"共有36+84+56=176 个. 方法二：利用组合原理?小于2021的"迎春数"，只可能是两位数、三位数和1000多的数.计算两位 "迎春数"的个数，它就等于从1-9这9个数字中任意取出2个不同的数字，每一种取法对应于一个"迎春数"，即有多少种取法就有多少个"迎春数".显然不同的取法有9×8÷2=36 中，所以两位的"迎春数"共有36个.同样计算三位数和1000多的数中"迎春数"的个数，它们分别有9×8×7÷3÷2÷1=84个和8×7×6÷3÷2÷1=56 个. 所以小于2021的自然数中，"迎春数"共有36+84+56=176 个。
小学数学5年级培优奥数讲义 第06讲-分类数图形(含解析)
第06讲分类数图形学习目标认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；学会数基本图形的个数；掌握数图形的规律。
知识梳理一、学会数图形同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
二、解题策略要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
典例分析考点一：基本图形例1、数出下图中有多少条线段？例2、数出图中有几个角？例3、数出右图中共有多少个三角形？例4、数出下图中有多少个长方形？例5、数一数，下图中有多少个正方形？(每个小方格是边长为1的正方形)考点二：较复杂的问题例1、有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？例2、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？例3、求下列图中线段长度的总和。
(单位：厘米)例4、下图中共有多少个三角形？例5、数出下图中所有三角形的个数。
例6、如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？例7、数一数，下图中共有多少个三角形？➢课堂狙击1、数出下图中有多少条线段？2、数出图中有几个角？实战演练3、数出图中共有多少个三角形？4、数出下图中有多少个长方形？5、银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？6、从上海到武汉的航运线途中，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？7、数一数，图中共有多少个三角形。
四年级下册数学试题-奥数培优：利用等差规律计算(含答案)全国通用
课 题利用等差规律计算教学内容在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律． 1+2+3+---+98+99+10050101=1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（）= 101×50,即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050.按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如： 1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ； l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5．由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律： 项数=（末项首项）÷公差+1 第几项=首项+（项-1）×公差 总和=（首项十末项）×项数÷2本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式计算下面各题：(1) 2+5+8+…+23+26+29;(2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99)解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155.(2)解法一原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550 - 2500=50,解法二原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99）=l×50= 50.两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2008，2009，2010.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010= (1- 2010)×2010÷2÷2010=1000. 5此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。
四年级奥数巧解智巧巧问题
巧解智巧巧问题巧点晴——方法和技巧用“枚举法”、“类比法”、“极端性原则”、“正难则反”等方法解决非常问题。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴【例1】有一只圆桶，里面盛了一些水。
小明说桶里的水超过半桶，小红却说不到半桶。
当时又没有任何测量器具，怎样才能判定谁说的对呢？甲乙丙做一做1一城镇共有5000户居民，每户居民的子女都不超过2个，一部分家庭有1个孩子，余下的家庭一半每家有2个孩子，另一半没有孩子，问这个城镇共有多少个孩子？【例2】小燕在少年宫猜谜室里发现一个有趣的图形，9盏绿灯纵横交错地排成十行，而且每行都是3盏灯。
请画出它的排列方式。
（上海“金钥匙”少年数学竞赛四年级试题）分析与解9盏绿灯纵横交错地排成十行，而且每行都有3盏灯，这里每盏灯都被重复计算，否则是不可能的。
可画图试验，确定正确的排列方法，右图是其中方法之一。
做一做2 五年级同学把10棵树平均种成5行，每行都是4棵。
他们是怎样种的？请你画图表示出来。
【例3】某食堂买回100个鸡蛋，每袋装10个，其中9个袋里的鸡蛋，每个都是50克重，另一个袋里装的每个都是40克重，将这10袋混在一起，只准用秤称一次，就能找出哪个袋里装的每个是40克重的鸡蛋。
请问是怎么办到的？做一做3 16个外表一样的球，有10克和9克两种重量。
现在用一台天平来测定每种球各几个。
先取两个球，天平两边各放一个。
结果天平不平衡，就拿这两个球作标准，将余下的14个球分成7对，用天平与这对标准球逐一比较，结果3对较重，2对较轻，2对与标准球一样重。
那么这16个球的总重量是多少克？B级培优竞赛·更上层楼【例4】今有8升牛奶一瓶，要用5升和3升的两种容器分成4升一份的两份牛奶，怎么分？分析与解要解答本题，需要仔细设计操作方法，下面给出一个操作程序表，请读者由开始逐步分析操作的意义，直到最后得到解答，是很有趣的。
做一做4两个汽车驾驶员要平分12千克的大桶汽油，身边只有能装9千克和5千克的两只空桶。
四年级奥数题及答案：速算与巧算
四年级奥数题及答案：速算与巧算
四年级奥数题及答案：速算与巧算
速算与巧算
(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
查看答案
完整版下载：奥数专题：计数问题试题及详解.doc
解答：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的.数之和，故可选4940为基准数.
(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
=(4940×6+2+3-2-1+1+3)÷6
=(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来，而是运用了除法中的巧算方法)
=4940×6÷6+6÷6
=4940+1
=4941.
计算：(1234+2341+3421+4123)÷(1+2+3+4)的值是多少?
解答：(第五届希望杯2试试题)在1234，2341，3412，4123中，数字1，2，3，4分别在各个数位上出现过一次，(1234+2341+3421+4123)÷(1+2+3+4)=1111这是属于位值原理的题目，从题目我们观察到数字1，2，3，4分别在各个数位上出现过一次，在接着类题目的时候我们可以把所有的数加起来然后除以各个数字之和。
小学数学奥赛7-6-4 计数之递推法.教师版
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加． 依次类推可以列出下表：经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子．【答案】144【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝．【答案】89【例 3】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【考点】计数之递推法 【难度】4星【题型】解答【解析】 登 1级 2级 3级 4级 ...... 10级1种方法 2种 3种 5种 ...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律例题精讲教学目标7-6-4.计数之递推法我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A 0，那么登了1级的位置是在A 1，2级在A 2... A 10级就在A 10．到A 3的前一步有两个位置；分别是A 2 和A 1 ．在这里要强调一点，那么A 2 到A 3 既然是一步到了，那么A 2 、A 3之间就是一种选择了；同理A 1 到A 3 也是一种选择了．同时我们假设到n 级的选择数就是An ．那么从A 0 到A 3 就可以分成两类了：第一类：A 0 ---- A 1 ------ A 3 ，那么就可以分成两步．有A 1×1种，也就是A 1 种；(A 1 ------ A 3 是一种选择)第二类：A 0 ---- A 2 ------ A 3， 同样道理 有A 2 ．类类相加原理：A 3 = A 1 ＋A 2，依次类推An = An -1 + An -2．【答案】89【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 登 1级 2级 3级 4级 5级 ...... 10级1种方法 1种 2种 3种 4种...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面相隔的两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.【答案】28【例 4】 1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如果用12⨯的长方形盖2n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，22a =,对于3n ≥，左边可能竖放1个12⨯的，也可能横放2个12⨯的，前者有-1n a 种，后者有-2n a 种，所以-1-2n n n a a a =+,所以根据递推，覆盖210⨯的长方形一共有89种．【答案】89【例 5】 用13⨯的小长方形覆盖38⨯的方格网，共有多少种不同的盖法？【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如果用13⨯的长方形盖3n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，21a =,32a =,对于4n ≥，左边可能竖放1个13⨯的，也可能横放3个13⨯的，前者有-1n a 种，后者有-3n a 种，所以-1-3n n n a a a =+,依照这31⨯ 32⨯ 33⨯ 34⨯ 35⨯ 36⨯ 37⨯ 38⨯1 1234 6 9 13【答案】13【例 6】 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种1根 2根 3根 4根 5根 6根 7根 8根 9根 10根 11根 12根1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927【答案】927【巩固】 一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1个苹果有1种方法，取2个苹果有2种方法，取3个苹果有4种取法，以后取任意个苹果的种【答案】81【例 7】 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 本题可以采用递推法，也可以进行分类讨论，当然也可以直接进行枚举．(法1)递推法．假设有n 枚棋子，每次拿出2枚或3枚，将n 枚棋子全部拿完的拿法总数为n a 种．则21a =，31a =，41a =．由于每次拿出2枚或3枚，所以32n n n a a a --=+(5n ≥)．所以，5232a a a =+=；6342a a a =+=；7453a a a =+=；8564a a a =+=；9675a a a =+=；10787a a a =+=．即当有10枚棋子时，共有7种不同的拿法．(法2)分类讨论．由于棋子总数为10枚，是个偶数，而每次拿2枚或3枚，所以其中拿3枚的次数也应该是偶数．由于拿3枚的次数不超过3次，所以只能为0次或2次．若为0次，则相当于2枚拿了5次，此时有1种拿法； 若为2次，则2枚也拿了2次，共拿了4次，所以此时有246C =种拿法． 根据加法原理，共有167+=种不同的拿法．【答案】7【例 8】 如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答B A A B 1357946821235813213455891 【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【答案】89【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A 房间到达B 房间有多少种方法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 斐波那契数列第八项．21种．【答案】21【例 9】 如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答B A 【解析】 按照蜜蜂只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房的原则，运用标号法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有296种不同的回家方法．【答案】296【例 10】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止．问经过9次操作变为1的数有多少个？【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 可以先尝试一下，倒推得出下面的图：2410131112514302831643215167683421 其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1个，即4，经3次操作变为1的2个，是一奇一偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，…这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过n 次操作变为1的数的个数为n a ,则1a =1，2a =1，3a =2，…从上面的图看出，1n a +比n a 大.一方面，每个经过n 次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过1n +次操作变为1；反过来，每个经过1n +次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n 次操作变为1的数. 所以经过n 次操作变为1的数与经过1n +次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是n a ,因此后者也是n a 个.另一方面，每个经过n 次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过1n +次操作变为1，反过来.每个经过1n +次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n 次操作变为1. 所以经过n 次操作变为1的偶数经过1n +次操作变为1的奇数恰好一样多.而由上面所说，前者的个数就是1n a -,因此后者也是1n a -.经过n +1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以11n n n a a a +-=+，即上面所说的规律的确成立.【答案】34【例 11】 有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数）【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如果没有剩下的不能使质数这个条件，那么递推方法与前面学过的递推法相似，只不过每次都是前面3个数相加．现在剩下的不能是质数个，可以看作是质数个的取法总数都是0，然后再进行递推．【答案】25【巩固】有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有 种不同的方法取完这堆棋子.【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【解析】 把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成一串，用递推法把所有的方法数写出来：【答案】54【例 12】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 设第n 次传球后，球又回到甲手中的传球方法有n a 种．可以想象前1n -次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有11333333n n --⨯⨯⨯=144424443()个…(种)传球方法．这些传球方法并不是都符合要求的，它们可以分为两类，一类是第1n -次恰好传到甲手中，这有1n a -种传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给甲；另一类是第1n -次传球，球不在甲手中，第n 次持球人再将球传给甲，有n a 种传法．根据加法原理，有11133333n n n n a a ---+=⨯⨯⨯=14444244443(个…)． 由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以10a =．利用递推关系可以得到：2303a =-=，33336a =⨯-=，4333621a =⨯⨯-=，533332160a =⨯⨯⨯-=．这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种．本题也可以列表求解．由于第n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第1n +次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种．从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种．【答案】60【巩固】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中．问：共有多少种传球方式？【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 递推法．设第n 次传球后球传到甲的手中的方法有n a 种．由于每次传球有4种选择，传n 次有4n 次可能．其中有的球在甲的手中，有的球不在甲的手中，球在甲的手中的有n a 种，球不在甲的手中的，下一次传球都可以将球传到甲的手中，故有1n a +种．所以14n n n a a ++=．由于10a =，所以12144a a =-=，232412a a =-=，343452a a =-=．即经过4次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有52种．【答案】52【例 13】设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到E的方法总数为种．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空【关键词】清华附中【解析】可以使用递推法．回到A跳到B或H跳到C或G跳到D或F停在E 1步 12步 2 13步 3 14步 6 4 25步10 46步20 14 87步34 148步68 48 289步116 48其中，第一列的每一个数都等于它的上一行的第二列的数的2倍，第二列的每一个数都等于它的上一行的第一列和第三列的两个数的和，第三列的每一个数都等于它的上一行的第二列和第四列的两个数的和，第四列的每一个数都等于它的上一行的第三列的数，第五列的每一个数都等于都等于它的上一行的第四列的数的2倍．这一规律很容易根据青蛙的跳动规则分析得来．所以，青蛙第10步跳到E有48296⨯=种方法．【答案】96【巩固】在正五边形ABCDE上，一只青蛙从A点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动．青蛙在6次之内(含6次)跳到D点有种不同跳法．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空ABEC D【解析】采用递推的方法．列表如下：跳到A跳到B跳到C停在D跳到E1步 1 12步 2 1 13步 3 1 24步 5 3 25步8 3 56步13 8 5其中，根据规则，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动．所以，每一步跳到A的跳法数等于上一步跳到B和E的跳法数之和，每一步跳到B的跳法数等于上一步跳到A和C的跳法数之和，每一步跳到C的跳法数等于上一步跳到B的跳法数，每一步跳到E的跳法数等于上一步跳到A的跳法数，每一步跳到D的跳法数等于上一步跳到C或跳到E的跳法数．观察可知，上面的递推结果与前面的枚举也相吻合，所以青蛙在6次之内(含6次)跳到D点共有++++=种不同的跳法．1123512【答案】12【例 14】有6个木箱，编号为1，2，3，……，6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有种．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级组，决赛【解析】 (法1)分类讨论．如果1，2号箱中恰好放的就是1，2号箱的钥匙，显然不是“好”的方法，所以“好”的方法有两种情况：⑴1，2号箱的钥匙恰有1把在1，2号箱中，另一箱装的是3～6箱的钥匙．⑵1，2号箱的钥匙都不在1，2号箱中．对于⑴，从1，2号箱的钥匙中选1把，从3～6号箱的钥匙中选1把，共有248⨯=(种)选法，每一种选法放入1，2号箱各有2种放法，共有8216⨯=(种)放法．不妨设1，3号箱的钥匙放入了1，2号箱，此时3号箱不能装2号箱的钥匙，有3种选法，依次类推，可知此时不同的放法有3216⨯⨯=(种)．所以，第⑴种情况有“好”的方法16696⨯=(种)．对于⑵，从3～6号箱的钥匙中选2把放入1，2号箱，有4312⨯=(种)放法．不妨设3，4号箱的钥匙放入了1，2号箱．此时1，2号箱的钥匙不可能都放在3，4号箱中，也就是说3，4号箱中至少有1把5，6号箱的钥匙．如果3，4号箱中有2把5，6号箱的钥匙，也就是说3，4号箱中放的恰好是5，6号箱的钥匙，那么1，2号箱的钥匙放在5，6号箱中，有224⨯=种放法；如果3，4号箱中有1把5，6号箱的钥匙，比如3，4号箱中放的是5，1号箱的钥匙，则只能是5号箱放6号箱的钥匙，6号箱放2号箱的钥匙，有212⨯=种放法；同理，3，4号箱放5，2号箱或6，1号箱或6，2号箱的钥匙，也各有2种放法．所以，第⑵种情况有“好”的放法()1242222144⨯++++=(种)．所以“好”的方法共有96144240+=(种)．(法2)递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-．所以，6542554543225!240a a a a ==⨯==⨯⨯⨯=⨯=L ，即好的方法总数为240种．【答案】240【巩固】有10个木箱，编号为1，2，3，……，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种．【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【解析】 递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-．所以，109829989876543229!=725760a a a a ==⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯L ，即好的方法总数为725760种．【答案】725760一、现代文阅读1．现代文阅读阅读下文，完成小题。
小学奥数专题精讲计数
目录第 1 讲枚举法和加乘原理 (2)第 2 讲排列组合 (12)第 3 讲计数综合提高 (22)第一讲枚举法和加乘原理知识总结归纳一.枚举法：（1）顺序：按照一定的规律和顺序去分析问题的数学思想。
（2）分类：把一个复杂问题拆分成几个简单问题的思想。
（3）树形图：记录分类和顺序思考过程的工具。
（4）“有顺序”和“无顺序”问题：例如把10个相同的小球分成3堆和把10个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，这是两个不同的问题。
二.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数．三.加法原理的关键：（1）分类的思想；（2）分类的原则：不重复不遗漏四.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数．五.乘法原理的关键：（1）分步的思想（2）分步的原则：前不影响后。
前面采取什么样的步骤，不会影响到后面的方法数。
每层的分叉数必须一样多。
（3）对于染色问题、排数字问题、排队问题等较复杂的乘法原理问题，在分步的时候要优先考虑选择情况少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。
六.标数法：（1）标数法是加法原理和乘法原理的综合应用（2）主要用于解决路径问题和某些图形计数问题。
枚举法例题111个相同的小球分成第1堆、第2堆、第3堆，有多少种不同的分法？例题211个相同的小球分成3堆，有多少种不同的分法？例题3商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，5，，11，12元．琪琪准备买3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元．请问：小悦一共有多少种不同的买法？例题4小梦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多．请问：两种福娃的个数可能有多少种不同的情况？例题5一个三位数，百位比十位小，十位比个位小，个位不大于5，那么这样的三位数一共有几个？例题6甲、乙、丙三个人传球．第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙，……，经过4次传球后，球正好回到甲手中．那么一共有多少种不同的传球方式？加乘原理例题7（1）大雄一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？（2）大雄一家人外出旅游，需要先做火车，再乘汽车，最后坐飞机．经过网上查询，途中的火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．每种交通工具任意选择其中一个班次，有多少种选择方法？例题8（1）每个数位可以是1~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？（2）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位数有多少个？（3）每个数位可以是0~4中的一个数字（可以重复），这样的三位偶数有多少个？例题9（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？（2）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？例题10“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按要求能有多少种不同的涂色方法？如果要求相邻字母不能同色，有多少种方法？综合提高例题11商店里有三类笔，铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色．（1）要买任意一支笔，有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？（3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？例题12如右图所示，要用红、黄、蓝三色给这个图形的5个区域进行染色，每个区域染一种颜色，那么共有多少种不同的染色方法？如果相邻区域不得同色，那么共有多少种不同的染色方法？例题13某省的地图如图，共有A、B、C、D、E、F、G七个区县，用5种颜色给地图染色，要求相邻区县的颜色不能相同，共有多少种不同的染色方法？例题14 下图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？例题15 （1）如图，在一个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？ （2）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？（3）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行也至多有1枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？（4）同上图，在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，每行不作限制，那么一共有多少种不同的放法？标数法例题16 按右图中箭头所示的方向行走，从A 点走到B 点有多少条不同的路线？例题17 如右图，从A 地沿网格线走到B 地，规定只能朝右或朝上走．（1）如果每次只能走一步共有多少种不同的走法？（2）如果每次只能走一步且不能通过黑点，共有多少种不同的走法？ （3）如果每次可以走一步或两步（不能转弯），共有多少种不同的走法？思维飞跃例题18 如图，在一个34 的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法？如果放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放B BA BABA法？例题19如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走法？E作业1. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？2. 用0、1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的四位数．3. 把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排，其中1分硬币不在两边，共有_______种排硬币的方法．4. 如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．那么共有________种不同的染色方法．ABCDE5. 在右图的道路上按照箭头所示的方向行进，从甲地到乙地共有_______条不同的路线．6. 在5×5的方格纸中放入两枚相同的棋子，要求这两枚棋子既不同行也不同列，不考虑旋转，一共有_______种放法．7. 如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？8. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？第二讲 排列组合知识总结归纳一. 排列的概念：从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作m n A ．排列数的计算公式如下：二. 组合的概念：从n 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C ．组合数的计算公式如下：[(1)(1)][(1)1]m m m n n m C A A n n n m m m =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯…………例如：333553543(321)10C A A =÷=⨯⨯÷⨯⨯=三. 组合重要公式：n m m nm -=C C四. 排列、组合以及和乘法原理的联系：1. 排列是乘法原理的延续，是乘法原理在特殊情况下的应用。
四年级数学上期思维训练6速算与巧算
四年级数学上期思维训练（六）
——周期问题
例1：有一串数字432432432……的次序排列，这串数从左往右的第20个数字是几？第100个数字呢？
练习：1、有一串数：5、6、2、4、5、6、2、4……第50个数是几？第129个数是几？
2、数学奥林匹克俱乐部数学奥林匹克俱乐部……依次排列，第2003个字是什么？
3、把1~100号的卡片依次发给小红、小芳、小华、小明几个人，已知若1号发给小红，那16号发给谁？38号呢？
例2：有男女学生共60人，按照三男两女四女生的次序排成一列，这60名学生中有男生、女生各多少人？
练习：1、在一条长堤上按照“二红四蓝三黄”的顺序挂了一排彩灯。
（1）第52只灯是什么颜色？
（2）前100只中有多少只蓝灯？
2、有红、白、黑球共90个，按先3个红的，后2个白的，再1个黑的顺序排列，这其中白球共有多少个？第68个球是什么颜色？
例3：2011年1月1日是星期六，（1）该月的22日是星期几？（2）2011年4月5日是星期几？
练习：1、今天是星期天，从今天算起，第300天是星期几？
2、2012年10月1日是星期一，2012年元旦是星期几？
例4：10个2连乘的积的个位数是几？
练习：1998个7连乘，它的结果末位上的数字是几？
例5：用1、2、3、4这四张卡片可以组成不同的四位数，如果把它们从小到大依次排列出来，第15个数是多少？
练习：用2、3、4、5四个数字组成不同的四位数，把它们从大到小排列，第16个数是多少？。
小学四年级培优数学第六章第五课：计数问题之计数综合一
“一分耕耘一分收获。”
第5讲
计数综合一
巩固以前学过的各种方法，综合运用 分类与分步思想，排列与组合公式及 枚举法来解决较复杂的计数问题；学 会使用排除法、捆绑法、插空法解决 排队问题.
典型问题
1、现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1 张，面值10元的钞票2张。如果从中取出一些 钞票(至少取1张)，一共可能凑出多少种不同 的总钱数？
典型问题
2、一本书从第1页开始编排页码，到最后一页 结束时共用了1983个数码.这本书一共有多少 页？
典型问题
3、甲、乙、丙、丁4人站成一排照相，其 中甲要站在最左边或者最右边，一共有多 少种不同的站法？
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第6讲巧求计数问题
方法和技巧：日常生活中，经常会遇到有关路线的问题，它的基本思考方法就是加法原理。
例1：下图①中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A处到B处共有多少条最短路线？
做一做1：如果沿下图中的线段以最短的路程，从A点出发到B点，问共有多少种不同的走法？
例2:五（2）班少先队开展智力游戏活动。
先在大操场内用石灰画好如图所示的路线，然后从A点出发沿线走到B点，只能由北到南，从西向东走（即不能倒回走），共有多少种不同的走法？如果有21个同学都从A点到B点，问他们能不能都走不同的路线？
做一做2：从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通。
如下图，李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东或向南行进），问最多有多少种不同的走法？
例3:ABCD是一个长和宽分别为4个单位和3个单位的长方形（如下图所示），沿图中线段从A到C最短路线的长度是7个单位，那么，从A到C有几条不同的最短路线？
做一做3：下图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，问从A处到B处共有多少条最短路线？
例4:如下图，从甲地到乙地，最近的道路有几条？
做一做4：如下图，从甲地到乙地，问最近的道路有几条？
例5:明明家住在二楼，从底楼上去有9级楼梯。
如果按每步跨1级或2级的方法爬楼梯，那么爬上9级的楼梯有多少种不同的爬法呢？
做一做5：有雌雄各一的一对兔子，一个月后生了雌雄各一的一对小兔子，这对小兔子经过一个月后就长成了大兔子。
此后每对大兔子每月生一对雌雄各一的小兔子，而每对小兔子经过一个月后又长成大兔子。
问半年后共繁殖成了多少对兔子？
例6:如下图，取两排蜂巢：一只蜜蜂从A爬到B去，它爬行的方向只允许是向右、向右上、向右下这三种中的任一种，并爬到相邻的下一个蜂巢。
问从A到B有多少种不同的爬行路线？
做一做6：下图中从1到7共有多少条路线？移动时规定只能移到邻近的一格，并且总是向右移动，比如1→2→3→4→5→7就是一条移动路线。
巩固练习：
1、下图所示为某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），问共有多少种不同的走法？
2、如下图，问从P到Q共有多少种不同的最短路线？
3、沿下图中的格线，选最近的路线从A走向B，问共有多少种不同的走法？
4、如右图，从A走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方，问有多少种不同的走法？
5、在下图的街道示意图中，C处因为施工不能通行，那么从A到B的最短路线共有多少条？
6、在下图的街道示意图中，C处因为施工不能通行，那么从A到B的最短路线共有多少条？。