例谈数形结合思想在数学解题中的应用 (3)
浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用
浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用——从2003年全国数学高考题看数学解题中的“数形结合”思想数学是研究现实世界的空间形式和数学关系的一门学科。
数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维而产生的结果，是对数学事实与理论的本质认识。
数学思想是数学学科的精髓，是素质教育的要求，是数学素养的重要内容，是获取知识、发展思维能力的重要工具，同时也是数学解题中的良方。
“数”和“形”是数学研究的两个基本的对象。
是在数学解题中，通过建立坐标系，使数和形互相渗透，互相转化，以“数解形”与以“形助数”的思想方法得到极佳的效果，寻求解题中的技巧和捷径。
这就是数学思维中所谓的“数形结合”思想。
“数形结合”思想是高中数学众多数学思想中最重要的，也是最基本的思想之一，它在高中数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的有效思想。
数和形是数学研究客观物体的两个方面，数侧重研究物体数量方面，具有精确性；形侧重研究物体形的方面，具有直观性。
数和形互相联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系，“数形结合”就是将两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题。
以“数解形”是从特殊到一般，从直观到抽象的发展过程，以“形助数”是利用图形的直观帮助探求解题思路。
通过已知条件和探求目标联想甚至是构造出一个恰当的图形，可利用图形探索解题思路，甚至有时能估计出结果。
历年来，数学高考中都十分重视考查学生对数形结合思想的运用。
2003年数学高考试题中对运用这种方法的考查体现得十分突出。
如试题中第1题、第2题、第3题、第5题、第6题、第8题、第11题、第12题、第15题、第16题、第17题、第18题、第19题、第20题、第21题等，都可以借助这种思想方法求解，在整个试题中占分值达108分。
可见必须充分重视“数形结合”方法的运用。
一、“数形结合”思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一，通过坐标系把“数”和“形”结合起来，利用函数图像研究函数的性质，由函数的解析式画出其几何图形，由此相互依托，可以解决许多问题。
例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀例谈 数形结合 思想在高考数学中的应用∗◉湖北江汉大学数学与大数据系㊀周㊀岭㊀许㊀璐㊀㊀著名数学家华罗庚曾说过: 数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休 ．所谓 数形结合 就是把抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系结合起来,通过 以形助数或 以数解形 ,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果．下面将结合高考数学试题实例,分析说明 数形结合 思想在解决问题中的作用和简捷．１数形结合思想在解析几何中的应用例１㊀(２０２３年全国新高考Ⅰ卷)过点(０,－２)与圆x ２＋y ２－４x －１＝０相切的两条直线的夹角为α,则s i n α＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．１５４㊀㊀C ．１０４㊀㊀D．６４分析:此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得s i n α的值,但是计算相对复杂．解析:依题意,圆的方程可化为(x －２)２＋y ２＝５．图１如图１,得到圆心C (２,０),r ＝５,P (０,－２)．所以|P C |＝２２．设过点P 的两条切线为P A 和P B ,则øA P B ＝α,可得s i nα２＝r |P C |＝５２２＝１０４,c o sα２＝１－(s i n α２)２＝６４．所以s i n α＝２s i nα２c o s α２＝１５４．故选:B ．例２㊀(２０２３年新高考I 卷)已知双曲线C :x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F １A ңʅF １B ң,F ２A ң＝－２３F ２B ң,则C 的离心率为．分析:此题常见解法是设出点A ,B 的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A ,B 的坐标,进而得出双曲线C 的离心率．这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算．解析:由F ２A ң＝－２３F ２B ң,得|F ２A ||F ２B |＝２３．设|F ２A |＝２x ,则|F ２B |＝３x ,|A B |＝５x ,|F １B |＝|F ２B |＝３x ．由双曲线的定义,得|A F １|＝|A F ２|＋２a ＝２x ＋２a ．设øF １A F ２＝θ,则s i n θ＝３x ５x ＝３５,所以c o s θ＝４５＝２x ＋２a５x,解得＝a ,则|A F １|＝４a ,|A F ２|＝２a ．图２如图２,在әF １A F ２中,由余弦定理,可得c o s θ＝１６a ２＋４a ２－４c ２１６a２＝４５．整理,得５c ２＝９a ２．故e ＝c a ＝３５５．点评:这类题目考查了学生 数学抽象 的核心素养．解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义㊁公式即可快速解题．２数形结合思想在立体几何中的应用例３㊀(２０２２年新高考I 卷)已知正方体A B C D ＧA １B １C １D １,则(㊀㊀)．A．直线B C １与D A １所成的角为９０ʎB ．直线B C １与C A １所成的角为９０ʎC ．直线B C １与平面B B １D １D 所成的角为４５ʎD．直线B C １与平面A B C D 所成的角为４５ʎ分析:此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐．解析:选项A ,B 的判断略．９３∗基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目 基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究 ,项目编号为K Y C X J J ２０２３５０;教育部产学合作协调育人２０２２年第一批立项项目 基于P y t h o n 的大数据分析与应用课程混合教学模式探索 ,项目编号为２２０５０６６２７２４２０５７．学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,连接A１C１,设A１C１ɘB１D１＝O,连接B O．由B B１ʅ平面A１B１C１D１,C１O⊂平面A１B１C１D１,得C１OʅB１B．因为C１OʅB１D１,B１D１ɘB１B＝B１,所以C１Oʅ平面B B１D１D,所以øC１B O为直线B C１与平面B B１D１D的夹角．设正方体棱长为１,则C１O＝２２,B C１＝２,于是s i nøC１B O＝C１O B C１＝１２．所以直线B C１与平面B B１D１D所成的角为３０ʎ,故选项C错误．因为C１Cʅ平面A B C D,所以øC１B C为直线B C１与平面A BC D的夹角,易得øC１B C＝４５ʎ,故选项D正确．综上所述,此题选:A B D．点评:本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角㊁直线与平面的夹角,是对学生 逻辑推理 直观想象核心素养的考查．此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取 传统 方法,结合图形并运用立体几何㊁三角函数相关知识,即可快速㊁直观作出判断．３数形结合思想在函数中的应用例４㊀(２０２１年全国乙卷)设aʂ０,若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则有(㊀㊀)．A．a＜b B．a＞b C．a b＜a２D．a b＞a２分析:此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂．如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[１]．解析:若a＝b,则f(x)＝a(x－a)３为单调函数,无极值点,不符合题意,故aʂb．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点,且在x＝a附近左右两侧不变号,在x＝b附近左右两侧变号．因为x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,所以f(x)在x＝a附近左右都小于０．①当a＜０时,由x＞b,f(x)ɤ０,画出f(x)的图象如图４所示．由b＜a＜０,得a b＞a２．图４㊀㊀㊀图５②当a＞０时,由x＞b,f(x)＞０,画出f(x)的图象如图５所示．由b＞a＞０,得a b＞a２．综上a b＞a２成立．故选:D．例５㊀(２０２１年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(１,０),P１(c o sα,s i nα),P２(c o sβ,－s i nβ),P３(c o s(α＋β),s i n(α＋β)),则(㊀㊀)．A．|O P１ң|＝|O P２ң|B．|A P１ң|＝|A P２ң|C．O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ңD．O Aң O P１ң＝O P２ң O P３ң分析:此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷．图６解析:如图６,可得|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,故选项A正确．仅当α＝－β时,|A P１ң|＝|A P２ң|成立．故选项B错误．由O Aң O P３ң＝|O Aң| |O P３ң|c o s(α＋β),O P１ң O P２ң＝|O P１ң| |O P２ң| c o s(α＋β),|O Aң|＝|O P３ң|＝|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,可知O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ң．故选项C正确．观察图象,易得‹O Aң,O P１ң›＝α,‹O P２ң,O P３ң›＝α＋２β．故选项D错误．此题应选:A C．例６㊀(２０２１年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x的两条切线,则(㊀㊀)．A．e b＜a B．e a＜bC．０＜a＜e b D．０＜b＜e a分析:此题要求作出曲线y＝e x的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确．解析:作出y＝e x的图象．易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y＝e x的下方和x轴上方,如图７,即b＜e a．图７㊀㊀图８但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图８．所以点(a,b)需在y轴上方,即b＞０．综上,可得０＜b＜e a．故选:D．综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算㊁提高解题效率的作用．因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[２],从而达到数学抽象思维具象化㊁发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的．参考文献:[１]常国良．数学教学中渗透直观想象素养的三重境界[J]．教学与管理,２０２０(３１):６２Ｇ６４．[２]李兆芹．探究数形结合思想如何有效运用于高中数学教学[J]．数学学习与研究,２０１８(５):４３．Z０４。
数形结合思想在小学数学教学中的应用方法例谈
随笔数形结合思想在小学数学教学中的应用方法例谈武墨超摘要：在小学数学的教学过程中，有一个重要的教学思想就是数形结合，需要教师掌握并熟练地运用数形结合思想，并利用它对学生进行数学教学，这可以使教学效果达到最佳，帮助到了小学生很容易地理解数学知识，学会并可以运用数与形的结合的思想来解决数学问题。
人们都知道，数与形的关系是相互转化、相辅相成且密不可分的，在小学数学教学过程中，数形结合的思想有利于帮助学生对抽象的数学概念与直观形态的相互转换与理解，学生可以在理解并掌握了知识原理的前提下进行数学运算，从而复杂的问题就得到了进一步的剖析，知道解决，这种教学方式在数学教学中达到的效果是事半功倍的。
关键词：小学数学教学；数形结合；教学方式；教学思想当前的每一位小学数学老师在进行小学数学教学时，都应十分密切地关注如何将数形结合思想逐步深入到日常的数学教学中去。
采用数形结合的思想教学，使小学生对数学的学习产生浓厚的兴趣，对他们对学习数学的积极性和主动性要从小培养，这对于小学生现阶段的数学学习以及未来的长远发展的影响非常重要。
因此，小学教师需要对数形结合思想有着充分的了解，在实际的教学过程中还要进行不断的实践和摸索，这种教学方式对学生更加直接地理解学习和掌握数学知识有着很大的帮助。
一、数形结合思想在小学数学教学中的作用和价值小学生由于自身年龄、认知、思维等方面的限制，其理解能力是相对较弱的，在数学学习过程中，其枯燥性与复杂性很容易导致小学生在学习过程中感到困难，注意力不集中，因此，面对这种情况，数形结合思想起到了很大额度作用，通过这种数学概念与图形相结合的方式，将抽象的数量关系进行一定程度的转化分解，从而在一定程度上降低数学问题的难度，对学生在理解数学题目中的数量关系上有很大的帮助，在学习数学的过程中，使学生可以感受到来自数字的魅力，对学生学习数学知识起到了激发吸引的作用。
现如今，小学数学教学普遍运用数形结合的思想，这种教学方式能够根据数与形之间的联系与转化，有效地对学生的思维逻辑能力以及抽象思维能力进行培养，使数学知识的理解与记忆在学生的脑海里得到深化，从而培养了学生思考问题、分析以及解决问题的能力，进而使小学数学课堂的教学效率得到了提升。
例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用
课程篇例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用张守军（山东省东营市垦利区郝家镇中学）数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观意义，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，让“形”变为“象”。
在初中数学教学中如果利用这种结合，寻找解题思路，可以让问题化难为易，化繁为简，从而轻易得到解决。
下面就以教学中的数学问题谈谈数形结合思想的渗透与妙用。
第一，利用数形结合解决物体运动位置、数的绝对值、二次根式等方面的问题：这类问题往往是确定大小、化去绝对值、判断二次根式的取值范围等，利用数形结合方法解决此类问题更直观准确。
【例1】对于正数a、负数b，若有|a|<|b|，试判断a、b、-a、-b的大小。
【观察与思考】根据正数a、负数b，|a|<|b|，可以在数轴上标记出四个数字所在的位置，如下图，故可以轻易判断a、b、-a、-b的大小。
b-a0a-b【归纳】此类问题由于引进了数轴，就把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”进行结合，二者相互补充，相辅相成，把复杂的问题转化为简单的问题。
因此，此类题中要注意渗透并运用数形结合思想。
第二，利用数形结合解决与方程相关的实际应用题：在研究实际应用问题的过程中，我们常常结合具体问题由数思形、由形化数，特别是在列方程解决应用题时，常采用画线段示意图和交叉列表关系图的方法展示问题中的数量关系，从而使我们更形象、更直观地理解问题。
【例2】某省甲、乙两个地区同时发生了灾害，恰好另外A、B 两地库存紧缺物资分别有2000吨、3000吨，现要把这些物资最快时间内全部运往甲、乙两地，从A地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨200元和250元；从B地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨1500元和2400元，现甲地需要物资2400吨，乙地需要物资2600吨，如果这两批物资让你来调运，怎样安排总运费最少？【观察与思考】从题意中可以看出，这是一道关于物资分配问题的应用题，那怎么去分配物资呢？数据太多，似乎看起来杂乱无章，无从下手。
谈数形结合思想在小学数学教学中的灵活运用
谈数形结合思想在小学数学教学中的灵活运用摘要：小学数学是一门基础学科，它主要以学生掌握数学知识为目的。
而数形转换这一概念又是一个重要的基础知识和基本方法。
因此，如何将抽象复杂、枯燥难懂的内容转化为简单直观、易于理解的语言符号就显得尤为重要了。
小学数学教学不仅要提高小学生对基本概念、基本原理的认识水平，而且还要引导他们学会从生活中来解决实际问题，培养其良好的思维品质。
那么如何把这些知识有效地转化成具体的表达形式呢？数形结合教学法就是这样的一条途径。
它以形象生动、通俗易懂的方式让孩子们在轻松愉快中学习数学知识。
本文就此谈点浅见。
关键词：数形结合思想；小学数学；运用策略随着素质教育的深入发展，要求我们加强教育和改革，促进每个儿童都能得到全面而又有个性的发展。
为此必须坚持以学定教，因材施教的原则，才能真正实现教书育人的目的。
小学数学教学过程是一个循序渐进的渐进过程，应遵循由简到繁、由易到难的规律，同时还要注意教学内容与能力水平相适应。
因此，数学课不仅要备好教材，更要备好教案。
应突出能力训练与创新意识相结合的特点，做到学以致用，为学生终身受用；同时还应该将其教学内容生活化，贴近生活，贴近学生；还要关注学生情感态度与价值观方面的变化。
因此,实施数学与几何相结合的方法是十分必要的。
一、概述所谓数形结合，就是围绕着数（量）、形（图）、用三个或多个概念来概括事物的本质，并使它们之间相互联系起来，从而完成复杂的计算任务。
它强调应用知识解决问题，要把抽象的数字转化为用具体数字来表示的形式或概念；使之成为现实世界中所存在的事物和现象的一种重要表现形式；培养人们认识客观事物和分析解决问题的思维能力；以图形为主线，通过对数学知识和技能的综合运用而达到解决特定问题的目的。
它要求在课堂上创设情境，引导学生自主探索学习；加强师生交流，营造和谐氛围。
这样做有利于促进教学效果。
二、当前小学数学教学数形结合主要体现在以下几个方面（一）加强基础知识和基本技能的学习，促进数学知识和技能的发展。
浅谈数形结合思想在数学解题中的应用
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２
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叵。
３ ａ ２
心 ， １为 半 径 的 圆 ， 图 所 示 ， 的 以 如 ｌ Ｉ 最 大 值 就 是 此 图 上 的 点 到 原 点 的 距 离 的最大值 ， 接 Ｏ 并延 长 Ｏ 连 Ｃ， Ｃ交 网 于 Ｂ， 则 的最 大 值 为 Ｊ ＢＩ ． Ｏ
、
借 助 于数 轴 或 直 角 坐 标
动 点 （ Ｙ 与 定 点 （ ， ） 距 离 等 于 ｌ 可 以看 作 动 点 的 轨 ， ） ３２ 的 ，
迹 是 一 个 圆 ， 求 ｌ Ｉ 最 大 值 ， 以 理 解 为 在 此 圆 上 找 一 而 的 Ｚ 可
点 到 原 点 的距 离 为 最 大 ． 解 复数 满足点 Ｉ 一３—２ Ｉ ， ｉ ＝１ 则
即 ｌ… ＝ １ ３＋１ ．
、
总之 ， 形结合思想在 数学解题 中的应用 非 常广泛 ， 数 只
要 教 师 在 平 时 的 教 学 中善 于 引 导 ， 步 渗 透 ， 学 生 对 系 统 逐 在 理论知识熟透 于心 的情 况下 ， 只有 这 样 才 能 使 学 生 在 今 后
２。６ ＝ ｝ ， 号ｃ ＡＢ Ｎ
的 解 题 中更 加 游 刃 有 余 ， 得 良好 的 学 习 效 果 ． 取
（） ≥ ， Ⅱ ６ ， ＝ ． ３ ÷ ３ 即 ≥ 时 ｎ
二 、 助 曲线 方 程 图像 ， 抽 象 为 形 象 借 化
我 们 知 道 “ 线 方 程 ” 概 念 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 之 曲 的 当 后 ， 面 上 的 点 Ｍ 与 实数 对 （ Ｙ 建 立 丁 一 一 对 应 的 关 系 ， 平 ， ） 点 的 运 动 形 成 了 曲线 ｃ 与 之 对 应 的 是 实 数 对 的 变 化 ， 形 就 成 方 程 Ｆ ， ）＝０ 我 们 利 用 这 个 关 系 使 数 与 形 之 间 得 到 （ Ｙ ， 转 化．
例谈数形结合思想在解题中的应用
中 的应 用
程组｛ Ｌ 戈 ： 十 ： Ｖ 一 — ３ ｊ ： ＝ ０ Ｕ 得
＝
—
３
０ 雪
曰
根据 函数的图像 ，讨论方程 的解 的个数是一种 重要 的思想方法 ，基本 思想是把方程两边 的代数式 看作是两个熟悉函数的表达式 ，然后在 同一坐标系 中作 出两个 函数的图像 ，图像 的交点个数 即为解 的 个数 。 例１（ ２ ０ １ ２ 辽 宁卷 ） 设 函数厂 （ ） （ Ｒ） 满 足 ） ＝ 厂 【 ） ， ） ＝ ２ ） ， 且 当 ∈［ ０ ， １ ］ 时， ） ， 又 函数 （ ） ＝ ｌ ｃ ｏ ｓ （ ） Ｉ ， 则 函数ｈ （ ） （ ） － ｆ （ ） 在
实数ｃ 的取 值范围 是（ 一 ， 一 ２ ］ ｕ ｆ 一 １ ， 一 ÷１ 。 故选Ｂ 。
运用 数形结 合 的思想解 决一些 抽象 的数 学 问 题， 可起到事半功倍的效果 。 一方面借助“ 形” 的生动 ｆ ｘ ＋ ｙ 一 ３≤０ 性和 直观性来 阐述 “ 数” 的联系 ， 另一 方面 ， 也借助 点（ ， ＇ ， ） 满足约束条件｛ 【 一 ２ 一 ３ ≤０ ， 则实数ｍ 的最大 “ 数” 的精确性 ， 规范性及 严密性来 阐明“ 形” 的某些 ≥ 属性。重点是研究 “ 以形助数 ” ， 在学习中要争取“ 胸 值为 （ ） 有成图” ， “ 见数想图” ， “ 依图判性” ， 以开拓 自己解题
ｒ １ １
１ ， 所 以ｍ≤Ｉ ， 故
／
－ ｙ 一 ３ ＝ ０
选Ｂ 。
一 ２ ｒ － ３ ＝ ０ 戈 ：
三、 数 形 结 合 思 想 在 求 参 数 取 值 范 围 中 的 应 用
例３ （ ２ ０ １ １ 天 津卷 ） 对 实 数ｎ 和ｂ ， 定 义 运 算
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。
本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。
【关键词】数形结合数学教学以形助数以数辅形数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。
华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。
因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。
下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。
1.以形助数1.1 数形结合思想在集合中的应用。
对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。
例1：有48名大学生，每人至少参加一项公益活动，参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？分析：一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，尤其在初中数学中的应用更为广泛。
数形结合通过将数学问题与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解和解决问题。
下面就以几个具体的例题来说明数形结合在初中数学解题中的应用。
例题一：设正方形ABCD的面积为16平方厘米，点E是边AB的中点，连接DE交BC于点F。
如果BE的长度为2厘米，求△DEF的面积。
解析：首先根据题目中给出的信息，我们可以画出如下的图形：```A------F-------------B| || || |D------E-------------```根据平行四边形面积公式，△DEB的面积可以通过三角形的底边DE和高EB来计算，即：△DEB = 1/2 × DE × EB = 1/2 × 4 × 2 = 4平方厘米。
所以，△DEF的面积等于△DEB的面积的一半，即：△DEF = 1/2 × 4 = 2平方厘米。
△DEF的面积为2平方厘米。
通过这个例题，我们可以看到，数形结合的方法可以帮助我们更好地理解问题，并且能够直观地画出图形，从而更好地解决问题。
例题二：已知折线ABCDE是一个凸五边形，AB=BC=CD，∠BCD=108°，连接AC，求∠ABC 的度数。
解析：我们可以通过解题思路问自己：如果折线ABCDE是一个凸五边形，那么角ABC、角BCD、角CDE、角EDA的度数分别是多少？由于AB=BC=CD，所以∠ABC=∠CD E。
又因为折线ABCDE是一个凸五边形，所以∠BCD < 180°。
已知∠BCD=108°，所以∠BCD< 180°。
根据凸五边形内角和公式，我们可以得到：∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠EDA+∠DAB=360°。
将已知条件代入，即可得到：2∠ABC+2×108°=360°。
浅谈“数形结合”思想在解决数学问题中的妙用
。
的数 学 家华 罗庚说 过 ： “ 数形 结 合 千般 好 数 形 分离万 事
，
断
，
。
一
、
“ 数 形结合 ” 思想在 解 决集合 问题 中的 妙用
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利用韦思图法能直观地解 决有关集合之 间的关系 的问题
如 ： 。
Ａ
力 日 、 ６ 人
，
．
、 釜 令 别 ５ ０ 名 为 学 ３ ｏ 生 ， 每 人 至 少 参 加 一 个 活 动 小 组 ， 参 加 数 理 化
四、 “ 数形 结合 ” 在 求 函数的零 点 问题 中的妙用
３ Ｏ＋ ２ ５＋ １ ５— ８ — ６— ７ ＋ｎ （ ａｎ ａｎｃ ） ： ５ ０
‘
兰 呈 复 数 ＿ 般 为 一 个 复 杂 函 数 ， 解 方 程 比 较 繁 琐 甚 数 方 程转 化成 基 本初 等
，
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．
ｎ （ Ａｎａ ｎＣ ）＝ １ 。
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正确地作出图像 ， 从而判断出结果
…
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”
…
’
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即 同时参加 数理 化小组 的有 １ 人 二、 “ 数形 结合 ” 思 想在 三角 函数 问题 中的妙用
懑 数 球 学 冒
教
Hale Waihona Puke 例２ ： 解不等式 Ｉ ｃ 。 钳Ｉ ＞ｆ ｓ ｉ 眦Ｉ ， ∈ ［ ｏ， ２ 订】
＋
图 １
。
，
的 二 对 ［ Ｐ ． Ｂ 称 ， Ｉ 有 最 小 值 。 如 图 ３ ， 由 于 船在 轴 析 ’ 贝 ｎ ． ！ ． 我 三 圆 可 的 用 公 圆 共 Ａ 部 、 召 、 ｃ 分 别 表 示 参 加 数 理 化 小 组 的 人 数 ， ： 点 ｃ （ ０ ， 一 １ ） ， 故 （ Ｉ Ｉ ＋ Ｉ 肋 Ｊ ） Ｉ ’ 二 分 正 好 表 示 同时 参 加 数 理 化 小
例谈数形结合思想在解题中的应用
蠲
・ 解题思想万法
２ ０ １ ３ 年第 １ 期
数 形 结 合 是 中学 数 学 解 题 的 一 种 重 要 思 想 方 法 ， 本 文 通
由此可得 ±
≤ ±
过 一 个 例 题 的 两 种 不 同解 法 ， 体 现 出 数 形 结 合 思 想 在 数 学 解
题中的重要作用 ， 值得我们学 习、 总结 、 提高． 题目 已知 抛 物 线 —ｄ 。 ， 直线 ｌ ， ２ 都过点 （ １ ， 一２ ） 且 互相垂直 ， 若 抛物线与直线 ｌ ， ｌ 。 中至少一条相交 ， 求 实 数 ａ的 取值范围．
不成立 ， 即 方 程 。 一４ ａ ｋ 一８ ａ 一 ０的 正 根 不 大 于 方 程 ８ ａ ｋ
４ ａ ｋ 一１ —０的 正 根 ．
很 少有 学 生 能 够根 据 图像 ， 分 析得 出不 等 式 ， 进 而 完整 地 解 决
问题 ． 解 法 ２比 较 有 特 点 ， 很 少 同 学能 想 到 ， 用此方法 ， 后面 的
１
综上 可得 ， “ ＜ｏ或 ０ ＜ｎ ≤÷ ．
ｏ
评析 ： 解 法 １较 基 本 ， 同学们 大都能够按 此思路 求解 ， 但
当点 Ａ 应 该 在 点 Ｂ 的 右边 时 ， 对任意 的 ＞ｏ ， 当 取 Ａ， Ｂ 两 点 之 间 的值 时 ， 有 厂 （ ） ＜０ ， ｇ （ ） ＞０ ， 此 时， ① ② 两 式 都
若口 ＜Ｏ ， 因为 ｋ ＞０ ， 所 以① 式 必 成立 ， 现设 ａ ＞０ ．
记 厂（ ） 一 一 ４ ａ ｋ ～８ ａ ， ｇ（ ） 一８ ａ ｋ 。 ４ ａ ｋ — ｌ，
设 过 点 Ｍ 引 两 条 切 线 与 抛 物 线 的 切 点 坐 标 分 别 为
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
数形结合是指通过数学问题中的图形和几何概念来解决数学问题的一种解题方法。
在初中数学中，数形结合常常用于解决与图形和几何有关的问题，如面积、周长、相似等方面的问题。
下面我将以几个常见的例子来说明数形结合在初中数学解题中的应用。
第一个例子是关于面积和周长的问题。
题目如下：一个矩形的长是宽的3倍，如果周长是64，求面积。
这道题可以用数形结合的思想来解答。
设矩形的长为3x，宽为x，则2(3x+x)=64，解得x=8，那么长就是24，宽就是8，面积就是24×8=192。
通过以上几个例子可以看出，数形结合在初中数学解题中有着广泛的应用。
它通过将数学问题转化为几何图形，利用图形的性质和关系来解决数学问题，不仅可以加深学生对数学知识的理解和记忆，还可以培养学生的几何直观思维和解决问题的能力。
在初中数学教学中，教师应该重视数形结合的教学，引导学生从图形中去寻找问题的线索和解决问题的方法，从而提高学生解题的效率和准确性。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合 初中数学 应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。
二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。
数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。
谈数形结合思想在解题中应用论文
谈数形结合思想在解题中的应用数形结合是数学中一种重要的思想方法，形是数的翅膀，数是形的灵魂。
华罗庚先生曾指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。
数量关系借助几何图形可以使许多抽象问题变得直观形象，有利于解题思路的扩展，而有些涉及几何图形的问题如能借助数的辅助，转化为数量关系，则可获得简洁的解法，因此，数与形二者相结合便能优势互补，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
下面就几种常见的应用谈谈自己的体会。
1. 将数的问题转化为形的问题例1 已知：0求证： a2+b2+ （1-a）2+b2+ a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22 。
分析一：该题若单纯地看作一个代数不等式问题，是一个很复杂的不等式证明问题，整体把握不等式左端的结构特点，可以联想到勾股定理和四条线段的长度， 2 可以联想到边为1的正方形的对角线长，不难找到下面的简单证明方法：证明：构造以1为边长的正方形如图（1）所示，则o1a= a2+（1-b）2；o1b= （1-a）2+b2；o1c=（1-a）2+（1-b）2 ；o1d=a2+b2 ；ac=bd=2 。
∵o1a+o1b+o1c+o1d=（o1a+o1c）+（o1b+o1d）≥ac+bd=2 2 （当且仅当点o，o1重合时，等号成立）∴结论成立。
分析二：该题也可以联想到两点间的距离公式，构造点的坐标，用解析几何简单地证明。
证明：在坐标系内，设o（0，0），m（1，0），n（1，1），p（0，1），q（a，b），如图（2）所示：则：|oq|= a2+b2 |mq|= （1-a）2+b2|pq|= a2+（1-b）2 |nq|= （1-a）2+（1-b）2左边=|oq|+|mq|+|pq|+|nq|=（|oq|+|nq|）+（|pq|+|mq|）=≥|on|+|pm|=2 2 =右边当q点与pm、on的交点重合时，“=”成立∴原不等式成立上面一题是一个不等式证明题，分别用平面几何和解析几何较简单地给予了证明。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合在初中数学教学中的运用例谈
探索篇•方法展示一、中学生在解题过程中的困难对于正值青春年华的中学生来说，数学在他们看来是一门枯燥无味的学科。
中学生面对数学的学习没有学习热情，无法对数学的学习产生兴趣。
同时，面对抽象的数学题，他们不知如何下手，传统的教学中，老师向学生讲解题目，让学生不断练习，然而学生并没有完全理解题目，且不知道该从哪个方面去突破它们，效果不显著。
经过多年的研究表明，老师利用数形结合的方式向学生讲解，学生更容易接受，相对于传统的教学来说这种方式教学效果更为显著。
二、数形结合的百般好1.将抽象的问题具体化数形结合是解决数学问题中常用的思想，利用数形结合的思想可以让一些抽象的数学问题变得直观化、生动化，可以将抽象思维变为形象思维，有利于把握数学问题的本质。
观察多年来的试题，利用数形结合的思想方法去解决一些抽象的数学难题，可以得到事半功倍的效果，数形结合通过“以形助数”来简化问题。
2.去解决实际问题数形结合的思想方法被广泛应用，最为常见的，比如在求解不等式问题中，在求函数的值域、最值极值问题中，以及在复数和三角函数解题中，通过数形结合思想，可以更加容易发现解题途径。
三、数形结合在初中数学教学中的运用例谈在初中的学习中，数形结合的方法运用主要包括两方面的内容：一是运用代数、三角形之间的联系来处理几何图形中的问题；二是应用几何图形，通过对图形的研究，来处理数量关系的问题。
第一方面常用的数学方法有解析法、三角法、复数法以及向量法等；第二方面的主要方法是图解法。
而初中代数类的问题实际上是研究数字和文字的代数运算理论和方法。
代数式的求值问题一直都伴随着代数式的学习，无论是整式加减和整式乘除，还是分式，都离不开代数式的求解问题。
学好代数不仅仅是为了目前所面对的考试，对于以后的数学学习也是至关重要的。
在初等代数的不断研究和发展过程中，通过对解方程的研究，去探索关于数的概念以及关于数与图之间的关系。
例如其中的工程类问题，实则工程类问题就可以看成行程问题。
浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用
０ ｆ （一 ）＞
） ≤ｏ
Ｌ ｆ （ １ ）＞ ０
数问题与图形之间的相互 转化 ， 它 可 以使 代数 问题几何 化 ， 几 何问题 代
数化。在运用数 形结合 思想分析 和解决 问题 时， 要注 意三点 ： 第一要 彻 底明 白一些概念和运算 的几何意义 以及 曲线的代数 特征 ， 对数学题 目中
例５ 、 试求 不等式 ｘ 一 ｘ 一 ６ ≤０的解集 解： 分析 Ｙ ＝ ｘ 一 ｘ 一 ６ 的 图像 ， 结合开 口方 向，
２ ． 利用数轴解决集合的有关运 算和集合 的关 系问题
我们可 以得到答案
ｘ的解 集为 ｛ Ｘ Ｉ 一２ ≤ｘ ≤３｝ 三、 利用数 形结 合思想 比较 函
从而解的 ａ的取值 范围为 ａ ≥
ａ≤ 一
孚 且 ａ ≠ ± １ 图 像 女 口 图
对 于一些
的条件和结论既分析其几何意 义又分 析其代 数意 义； 第二 是恰 当设参 、
２ ． 利 用 函数 图像 解 决 方程 的
近似 解 的 个 数 问 题 。
合理用参 ， 建立关系 ， 由数思形 ， 以形思数 ， 做好数形转 化 ； 第三是 正确确
分析： 我们 可以看 出此方程 为不规 则方程 ， 为学 生不熟悉 的方程 ， 但
方程 变形为 ａ ＝ ２ ｘ＋１ ， 我们便可 以联想但两个 函数 ， Ｙ＝ａ ｘ与 Ｙ＝ ２ ｘ＋１ ，
做出这两个函数的图像 ， Ｙ ＝ ａ 图像经过 （ ０ ， １ ） Ｙ ＝ ２ ｘ ＋１ 图像也经 过 （ ０ ， １ ） ， 通过 图像我们 可 以看 出 ａ＞１ 时还 有另 外一 个交 点 ， 即方程 有两 个
、
例４ 、 若方程 ａ 一 ２ ｘ 一 １ ＝ ０ （ ａ ＞１ ， ｔ ｆ ． ≠１ ） 有两个 零点 ， 试求 ａ 的取值
论数形结合思想在高中数学解题中的应用
探索篇•方肉畏示淹教形结合思想在高中教学解题中的应用谢亚强(甘肃省镇原县孟坝中学，甘肃镇原)摘要:“数形结合”思想在解决数学问题上发挥着重要的作用，灵活运用这种思想可以快速、准确地应对出现的问题，并且数形结合有利于化抽象为具体、由点到面，更好地帮助学生透彻理解数学，增强学生的形象思维能力和抽象思维能力，从而培养数学素养。
通过对高中数学的研究，发现这一思想贯穿于集合、排列组合以及函数部分，于是将这些利用到"数形结合”思想的部分做了较为完整的总结。
以“数形结合”思想在高中解题中的应用为主要课题，通过总结经典习题的解决方法，提供一些见解，以便于高效处理数学问题和增强数学思维能力，为解题有困难的学生提供一种更为容易理解的方法。
关键词：数形结合思想;高中数学学习；数学解题一、数形结合思想之我见数值和几何是数学的基本元素，是构成数学大厦的砖瓦。
它们并不是彼此之间毫无关系的个体，相反，两者几乎如影随形。
例如体积、周长的计算都属于数值关系的内容;而数值关系又可以通过几何图形来进行形象的描述和表达，比如数轴、矢量等。
可以看出两者并不是单独的个体。
将两者结合起来，可以从两种不同的维度思考问题，可以化繁为简,便于理解和掌握数学本质。
二、数形结合思想在高中解题中的应用(一)集合中的应用集合问题是我们高中数学中经常碰到的问题,会考一些关于集合的交、并问题.此时运用数形结合的解题方法可以将数值型问题转化为更为具体的图形问题，从而使问题得到简化。
我们可以以这样一道题目为例：P={x e N,1<x<6],Q=(x>4或x<2],求PQ Q在解答这类题目时,应该想到利用数轴将数值问题简化。
具体为在数轴上标出1,2,4,6这四个数字，然后根据题目要求，在数轴上画出目标区域，两者之间的重叠部分即是题目所求集合。
从这道题目可以看出这道题的突破口就是将数值与几何图形互相转化，从而高效、准确地解决问题。
数形相依促发展——例谈数形结合思想在小学数学中的运用
数形 "相依 "促发展——例谈数形结合思想在小学数学中的运用摘要：数学中所特有的一些抽象知识点以及复杂的逻辑都会让小学生感到难以掌握，这与数学本身的知识特点有很大关系。
而数形结合的建立可以有效帮助学生解决较多的抽象难点，将数学中一些难以理解的内容转化为直观的图形，提高学生兴趣的同时，让他们更加直观地看到数学要点，以此找到解题思路。
利用数形结合思想能够有效促进学生数学思维的建立，为其今后数学学习奠定更坚实的基础。
关键词：数形结合；小学数学；运用策略数学一向是教学重点所在，数学知识在各个学科中都有着较深的运用，在小学阶段帮助学生建立数学思维，能够对其未来发展起到良好的促进作用。
本文针对数形结合思想在小学数学中的运用进行探究，对其相关的注意事项做了一定说明，最终提出了一些应用措施，旨在进一步加强小学数学教学质量。
再者小学阶段更需要注重学生数学兴趣的掌握，利用数形结合，降低数学难度，能够让降低小学生对数学的抵触感。
1.数形结合思想在实际教学应用时的注意事项数形结合思想的运用能够有效帮助学生更好的掌握数学知识和规律等，数学往往有着较强的逻辑性，且较为抽象，学生理解起来有一定难度，通过数形结合这一方式能够加强学生理解。
如今这一教学方式已经被更多的教师所认同，且已经将其融入到教学中，但是相对来讲，小学生年龄较小，无法自如地利用这一思想解决数学问题，甚至在解答数学问题过程中并不能够意识到什么问题可以采用数形结合方式。
这就要求教师进一步培养学生数形结合能力，不仅仅需要在课堂中向学生传授这一知识，更需要带领学生在日常数学问题的解决中应用这一解题方式，潜移默化地引导学生掌握该内容要点。
再者教师还需要认识到小学生好动的性子，所以可以适当采用多媒体教学等工具，引导学生在数形结合思想之下认识掌握更多的抽象概念。
例如在学习到人教版六年级下册内容《负数》时，教师可以将生活中的负数融入到教学中，像平时都能够见到的天气预报视频，可以将其呈现在学生面前，让学生充分理解负数这一概念，同时可以制作相应的数轴动画，让学生在数轴上找到相关负数，提高学生对数学知识的理解认识。
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函授业余本科毕业论文题目例谈数形结合思想在数学解题中的应用系别数学系专业数学与应用数学姓名陈小凡学号201222020导师金永荣职称字数6113字成绩年完成日期2013 年12 月12 日独创性声明本人声明所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得合肥师范学院或其他教育机构的毕业证书或学位证书而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
作者签名：签字日期：年月日指导教师签名：签字日期：年月日目录摘要： (4)Abstract: (4)1 前言 (6)2 数学结合思想的意义 (6)3 数形结合原则 (7)4 数形结合思想在解题中的应用 (7)4.1数形结合思想在解方程中的应用 (7)4.2数形结合思想在解不等式题中的应用 (8)4.3 数形结合思想在解决三角函数问题中的应用 (10)4.4 数形结合思想(代数方法)解决解析几何问题 (11)4.5 数形结合思想在解决线性规划和值域中的应用 (12)4.6 数形结合思想在解概率题中的应用 (13)4.7 利用数形结合解题应注意的误区 (14)5 注重对学生数形结合学习方式的应用指导 (16)结束语参考文献： (19)摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。
数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形，抽象思维为形象思维。
有助于把握数学问题的本质。
所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。
通过“以形助数”和“以数辅形”这两大题型的具体分析，揭示数与形之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。
因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。
关键词：数形结合思想；直观；解决问题Abstract:Mathematics is the study of the relationship between the number of forms of science and space, the number and shape of the relationship is very close. Combing the operation with figure is the study of mathematics and learning the important thinking and problem solving methods, which can simplify complicated problems, specify the abstract ones, and turn the abstract shapes and thought to be visual, and is accordingly helpful to grasp the essence of mathematics. The so called combination is an approach, which not only analyze meaning of algebra, but also disclose the significance of geometry according to the inside relationship of conditions and conclusions, and harmoniously combines the form of number and space as one. This article will set forth the tight contact between algebra and geometry throughout the analysis of two typical styles “Geometry helps understand algebra”and “Algebra helps understand geometry”, in order to solve relevant problems well. Therefore, counts the shape union not to take one problem solving method merely, but should take one very important mathematics thinking method, it may expand students' problem solving mentality, sharpens their problem solving ability, takes the knowledge it to transform as ability “the bridge”.Keywords : Counts the shape union thought；Intuitively ；Solve the problem例谈数形结合思想在数学解题中的应用1 前言在中学数解题中，有的题目比较抽象，不易理解；有的题目用常规方法解比较繁杂，使得问题不易解决。
通过数形结合，可以使问题化难为易、化繁为简、变抽象为具体. 在解决有关图形的问题时，我们常通过引入数字参数、角参数或建立坐标系，把图形问题转化为数字式式子的计算问题来解决。
同样，有关数字式子的问题，也可以通过画出相应的图形，根据图形的直观形象，迅速找到可靠的解题思路，使有些看似很难、很繁或很抽象的问题，得到简捷、直观的解决。
在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。
中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。
在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。
2 数形结合思想的意义数形结合思想的提出，不仅为几何学的研究提供了新的方法，使得很多难以解决的问题变得简单易解，还为几何学的发展注入了新的活力，为后来建立微积分理论奠定了基础。
使得空间几何结构实现了数量化，而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以使n维乃至无穷维。
并且可以把曲线看着是由“点”通过运动而生成的，这使人们对形的认识由静态的发展到了动态。
数形结合的思想使得把复杂问题简单化、抽象问题具体化，让人们更清楚的看清现实世界中的万事万物。
3.数形结合原则数形结合一般遵循以下三个原则：3.1等价性原则等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质应能对应，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系具有一致性。
3.2 双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析与代数计算能够互相解释。
3.3 简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图和解析式简单合理，即使几何形象清楚又使代数计算简洁明了。
4 数形结合思想在解题中的应用4.1数形结合思想在解方程中的应用处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题例 1: 已知关于x 的方程px x x =+-22)34(，有4个不同的实根, 求实数p的取值范围。
分析: 设34)34(222+-=+-=x x x x y 与px y =这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像, 如图1。
可知：图1(1)直线px y = 与)34(2+--=x x y , []3,1∈x 相切时原方程有3个根。
(2) px y =与x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线px y =应介于这两者之间, 由:⎩⎨⎧=+--=pxy x x y )34(2得03)4(2=+-+x p x , 再由0=∆得,324±=p , 当324+=p时,[]3,13∉-=x 舍去, 所以实数p 的取值范围是3240-<<p 。
例2 方程x x sin lg =的实根的个数是（）．.A 个3 .B 个4 .C 个5 .D 个6解：方程x x sin lg =的解是函数x y lg =与x y sin =的交点的横坐标，故两个函数图象交点的个数就是方程x x sin lg =解得个数，在 图2同一直角坐标系中作出x y lg =与x y sin =的函数图象，如上图所示．不难发现这两个函数图象有3个交点，所以方程x x sin lg =有3个实根，故选A ．讲评：这种通过图形得出答案的途径，由于作图的精确性难以要求很高，因此对于需要准确或精确地数值为答案的情形就不适用，只能用于答案比较粗略或者说是示意性的题目。
这顺便也说明，数形结合方法的使用并不是万能的，有一定的局限性，只能根据具体问题灵活使用。
4.2 数形结合在解不等式题中的应用处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路；有些不等式问题，当用代数方法讨论比较繁杂时，可以利用图形将代数问题转换成几何问题，结合几何知识探求，可以使问题更容易解决。
例 3: 若不等式0log 2<-x x a , 在)21,0(内恒成立, 则a 的取值范围是什么? 分析: 原不等式可化为x x a log 2<，)21,0(∈x ，设21x y =与x y a log 2=，在坐标系中作出21x y =，)21,0(∈x 的图像，如图当21=x 时，4121==x y ，显然, 当)21,0(∈x 时，411<y 就恒成立。
①当1>a 时, 在)21,0(上x y a log 2=图像( 如图3 )在21x y =的图像下方, 不合题意。
图3②当10<<a 时，x y a log 2=在)21,0(上的图像（ 如图4）是减函数。
只需412≥y ，就可以使x x a log 2<， )21,0(∈x 恒成立。
图4 故4121log ≥a ，4log 21≤a ，所以161)21(4=≥a , 综上有)1,161⎢⎣⎡∈a 。
例4 设a 为实数，求证：.11122<---++a a a a证明：原不等式可变形为：.1)23()21()23()21(2222<+--++a a设)23,21(+a A ，)23,21(-a B ，见右图， 显然A 、B 两点不重合，且O 、A 、B 不共线，故有 ABOB OA <- 即.1)23()21()23()21(2222<+--++a a 图5 4.3数形结合思想在解决三角函数问题中的应用有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。