中考数学第二轮专题复习 动态
中考数学第二轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
初中数学中考复习备考方案
初中数学中考复习备考方案初中数学中考复习备考方案1数学中考复习，将围绕数学考纲要求，大致分三轮进行：第一轮复习：系统复习。
时间：3月至4月中旬。
复习内容：按代数、几何、统计与概率三个版块进行。
巩固基础知识，理顺知识点、考点，强化选择填空题的准确率。
系统复习期间，交叉进行系统测试，培养学生知识的系统性，构建初中数学的知识体系。
第二轮复习：专题复习。
时间4月中旬至5月底。
复习内容：根据黄石中考考点，按有理数计算、化简求值、解方程组、概率计算、圆的证明与计算、解直角三角形、函数应用题、直线型综合、二次函数综合九个专题进行，巩固提高学生解答题得分率。
专题复习期间，交叉进行系统知识测试，检测学生综合运用知识的能力，提高准确率。
第三轮复习;中考模拟训练。
时间：6月前三周。
复习内容：模拟测试为主，对学生掌握的知识查缺补漏。
训练学生考试的适应能力。
主要复习资料：1、系统复习教辅资料2、往年全国各地中考试卷3、自编专题练习、测试试卷初中数学中考复习备考方案2一、复习措施1.认真钻研教材、课标要求、吃透考试大纲，确定复习重点。
确定复习重点可从以下几方面考虑：⑴根据教材的教学要求提出四层次的基本要求：了解、理解、掌握和熟练掌握。
这是确定复习重点的依据和标准。
⑴熟识每一个知识点在初中数学教材中的地位、作用;⑴熟悉近年来试题型类型，以及考试改革的情况。
2.正确分析学生的知识状况、和近期的思想状况。
(1)是对平时教学中掌握的情况进行定性分析;(2)每天对学生的作业及时批改，复习过程侧重评讲(3)是对每周所复习的知识进行测试，及时发现问题和解决问题。
(4)，将学生很好的分类，牢牢的抓在手中。
(5)备课组成员每人出好两套模拟试题，优化及共享资源。
3.根据知识重点、学生的知识状况及总复习时间制定比较具体详细可行的复习计划。
二、切实抓好“双基”的训练。
初中数学的基础知识、基本技能，是学生进行数学运算、数学推理的基本材料，是形成数学能力的基石。
数学中考复习思路及设想
中考复习思路及设想我们的中考复习计划分三轮进行，按照基础练习——专项拔高——综合演练的思路进行。
第一轮复习：紧扣考点，强化基础。
复习时间（从开学到4月初）, 复习遵循的原则是：以中考说明的考试要求为主线，注重基础知识的梳理。
1、夯实基础。
紧扣课程标准，紧扣考点使每个学生对知识都能达到“理解”和“掌握”的要求，并注意这些知识的内在联系。
例如：方程与不等式的联系，函数与方程，不等式的联系，这些都是中考的热点。
切忌把知识的复习只停留在记忆层面。
其次做相应的习题，进行针对性的训练。
我们选择的是中考火线100天，当时的选择出发点是觉得该书题型紧扣中考，而且题量适中，将来的练习能更充分些。
但在实践中发现，做题时间有限，除了一课时以外，每天课外作业也是十分有限，所以只能有选择的做一些典型练习。
最后根据学生做题情况进行订正处理，培养学生的审题思路、训练学生分析问题解决问题的能力。
所以我校老师一致认为，我们的数学复习不仅要对课本重点知识让学生记住，还要让学生了解知识内在联系，同时还重视培养审题的好习惯，形成解题的方法和能力,而习题课正是培养学生这方面能力的关键。
2、重视基本方法的指导。
中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法，换元法待定系数法等操作性较强的数学方法。
在复习时应对每一种方法的内涵，它所适应的题型，包括解题步骤都应熟练掌握。
例如一元二次方程的根与二次函数图形与x轴交点之间的关系，是中考常常涉及的内容，在复习时，应从整体上理解这部分内容，从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。
又如一元二次方程与几何知识的联系的题目有非常明显的特点，应掌握其基本解法。
3、重视数学基本思想的指导。
数学思想方法包括转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想、方程函数思想，整体思想等，这些思想方法是整个教学的灵魂，掌握正确的数学思想方法，在中考中就能快速、便捷的解决问题。
中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】
二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。
考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。
图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。
在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。
在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。
下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。
（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
2022年中考数学专题复习：动态几何问题
2022年中考数学专题复习：动态几何问题1．在△ABC中，AB = AC，△ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE△AC.若PC = 4，求PE的长；(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF；(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=14AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．2．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝35．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝94，请直接写出点K被扫描到的总时长．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB△CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A 点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和△A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连结AG 、DE ．（1）猜想AG 与DE 的数量关系，请直接写出结论；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在正方形OEFG 旋转过程中，请直接写出： △当α＝30°时，△OAG 的度数；△当△AEG 的面积最小时，旋转角α的度数．5．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．6．如图，在Rt ABCAB=，4∠=︒，5AC=．动点P从点A出发，沿AB △中，90C⊥交AC或BC于点Q，以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ AB分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设PQM与ABC重叠部分的面积为t t>秒．S，点P运动的时间为()0（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC上时，求t的值．（3）当PQM与ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）点N为PM中点，直接写出点N到ABC的两个顶点的距离相等时t的值．7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．（1）CP＝cm．（用含t的式子表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，BC=5 ，△C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是________，AB的长是________．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？10．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG 与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？△请在图2中补全图形；△若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．11．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=5cm，BC=8cm，动点P从B出发沿BC 向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分△P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若△BAC＝60°，△ACD＝90°，E为CD中点，AB=△BCE的面积；（2）如图2，若△ACD＝90°，点E在线段CD上且△DAE＋△ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：BC=；（3）如图3，AB＝1，△BAC＝90°，△ACD＝105°，若BE恰好平分△AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．AE CE13．已知，如图△，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC△AB，△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s：同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图△，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）CQ＝，BQ＝，AP＝，CP＝．（2）当t为何值时，PQ∥MN；（3）设△OMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；（2）设正方形EFGH面积为S 1，正方形EFGH与ABC重叠面积为S2，当S1：S2＝2时，求t的值；（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒DM ﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．15．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为x s，△AQP的面积为y cm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：（1）a＝．（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．16．如图1，有一张矩形纸条ABCD ，边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >，E 为CD 上一点，1CE =． （1）连接AE ，BE ，试说明90AEB =︒∠．（2）如图2，M 为边AB 上一个动点，将四边形BCEM 沿ME 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C '上，边MB '与边CD 交于点N ． △如图3，当点M 与点A 重合时，求N 到ME 的距离．△在点M 从点A 运动到点B 的过程中，求点N 相应运动的路径长（路程）．17．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．（1）当3t =秒时，求AP 的长度；（2）当ABP △为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP ⊥于点E ，连接PD ，在点P 的运动过程中，当PD 平分APC ∠时，直接写出t 的值．18．如图，已知在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE △CD 交射线CB 于点E ，设AD ＝x ． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长； （2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值； （3）如果DEy DB=，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．19．已知：如图，在长方形ABCD 中，4cm,6cm AB BC ==，点E 为AB 中点．点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为 cm ， cm ；（2）若某一时刻BPE 与CQP 全等，求此时t 的值和点Q 的运动速度．20．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y 轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且△BPC＝90°，过点A作AD△x轴并与直线BC交于点D，连接PD．（1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标；（2）如图2，当t＞0时，求证：△ADC＝△PDB；（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．。
专题02 图形变化规律(解析版)中考数学二轮复习难点题型专项突破
专题02 图形变化规律一．圆点类图形变化1．（2020•绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119．解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．2．（2020•日照）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（）A．59B．65C．70D．71解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝．故选：C．3．（2020•大庆）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为440．解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．4．（2020•德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n﹣1个图案有2（1+2+…+n+1）+2（n﹣2）＝n2+5n﹣2枚棋子，第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．二．三角形类图形变化5．（2020•白银模拟）如图，用火柴棒按如图所示的方式搭一行三角形，搭1个三角形需3枝火柴棒，搭2个三角形需5枝火柴棒，搭3个三角形需7枝火柴棒，照这样的规律搭下去，搭2020个三角形需要火柴棒4041枝．解：第一个三角形需要3枝火柴棒；第二个三角形需要（3+2）枝火柴棒；第3个三角形需要（3+2×2）枝火柴棒．…第n个三角形需要[3+（n﹣1）×2]＝2n+1枝火柴棒．所以，第2020个三角形需要火柴棒＝2×2020+1＝4041（枝）．故答案为：4041．6．（2020•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形（用含n的代数式表示）．解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．7．（2020•重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，…∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．8．（2020•温州模拟）如图，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，……，则第2019个图形中有8073个三角形．解：由图可得，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有1+4＝5个三角形，第3个图形中有1+4+4＝1+4×2＝9个三角形，……，则第2019个图形中有：1+4×（2019﹣1）＝8073个三角形，故答案为：8073．三．正方形类图形变化9．（2020•聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．505解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，第2个图形19个白色小正方形，第3个图形26个白色小正方形则图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．10．（2020•娄底模拟）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（）A．400B．401C．402D．403解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个，根据题意得：5n+4＝2019，解得：n＝403．故选：D．11．（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝（2n+3）个小正方形．故答案为：2n+3．12．（2020•渌口区模拟）如图：已知正方形的边长为a，将此正方形按照下面的方法进行剪拼：第一次，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后对接为一个长方形，则此长方形的周长为4a；第二次，再沿长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，对接为新的长方形，如此继续下去，第n次得到的长方形的周长为2n﹣1•4a+2×（）n a．解：第1个长方形的周长为4a+2×a，第2个长方形的周长为2×4a+2×a，第3个长方形的周长为2×8a+2×a，……∴第n个长方形的周长为2n﹣1•4a+2×（）n a，故答案为：4a+2×a，2n﹣1•4a+2×（）n a．四．旋转跳跃类图形变化13．（2020•江西模拟）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点时，他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，他所处顶点的编号是（）A．1B．2C．3D．4解：根据题意，小宇从编号为2的顶点开始，第1次移位到点4，第2次移位到达点3，第3次移位到达点1，第4次移位到达点2，…，依此类推，4次移位后回到出发点，20÷4＝5．所以第20次移位为第5个循环组的第4次移位，到达点2．故选：B．14．（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时p是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．15．（2020•嵊州市模拟）如图1，现有8枚棋子呈一直线摆放，依次编号为①～⑧．小明进行隔子跳，想把它跳成4叠，每2枚棋子一叠，隔子跳规则为：只能靠跳跃，每一步跳跃只能是把一枚棋子跳过两枚棋子与另一枚棋子相叠，如图2中的（1）或（2）（可随意选择跳跃方向）一枚棋子最多只能跳一次．若小明只通过4步便跳跃成功，那么他的第一步跳跃可以为（）A．①叠到④上面B．②叠到⑤上面C．④叠到⑦上面D．⑤叠到⑧上面解：A、①叠到④上面，③只能叠到⑤上面，②不能按规则跳，故选项错误；B、②叠到⑤上面，④只能叠到⑥上面，③不能按规则跳，故选项错误；C、④叠到⑦上面，⑥能叠到②上面，①能叠到③上面，⑤能叠到⑧上面，故选项正确；D、⑤叠到⑧上面，⑦只能叠到③上面，⑥不能按规则跳，故选项错误．故选：C．16．（2020•赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．五．复合图形变化17．（2020•莒县二模）如图，∠AOB为锐角，在射线OA上依次截取A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A n A n+1，在射线OB 上依次截取B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝B n B n+1，记S n为△A n B n B n+1的面积（n为正整数），若S3＝7，S4＝10，则S2019＝（）A．4039B．4041C．6055D．6058解：过A3作A3C⊥OB于C，过A4作A4D⊥OB于D，过A2019作A2019E⊥OB于E，如图所示：则△OA3C∽△OA4D∽△OA2019E，设OA1＝a，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A n A n+1＝1个单位，∵S3＝7，S4＝10，B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝B n B n+1，∴＝，即＝，解得：a＝，∴＝，即＝，∴A2019E＝6055，∴S2019＝6055，故选：C．18．（2020•郓城县一模）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是（）A．（）2017B．（）2018C．（）2019D．（）2020解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长为：（）2019，故选：C．19．（2020•周村区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB 上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点M n，N n，P n分别在P n﹣1N n﹣1，BN n﹣1，BP n﹣1上，且四边形M n N n﹣1N n P n是正方形，则线段BN2020的长度是．解：∵N1P1∥AC，∴△B1N1P1∽△BCA，∴＝，设N1P1＝x，则＝，解得：x＝，∴BN1＝BC﹣CN1＝4﹣＝，同理，∵N2P2∥AC，∴△P1N1B∽△P2N2B，设P2N2＝y，∴＝，解得：y＝，∴BN2＝﹣＝＝．同理，BN3＝＝，∴线段BN2020的长度是．故答案为：．20．（2020•锦州一模）如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM 于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，……依此规律继续下去，则D n D n+1＝2n﹣1•．解：由题意D1D2＝＝＝20，D2D3＝＝2＝21•，D3D4＝＝4＝22•，…∴D n D n+1＝2n﹣1•，故答案为2n﹣1•．。
数学中考复习计划
数学中考复习计划人教版数学中考复习计划范文（通用5篇）制定详细的复习计划，复习对进一步巩固学习成绩起着重要的作用，复习的目的就在于查漏补缺，所以复习的重点应该是针对所存在的问题进行复习。
那么怎么安排好复习计划呢？下面是小编整理的人教版数学中考复习计划范文（通用5篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
数学中考复习计划1九年级数学上学期内容较多，而下学期开学时间又在三月初，离中考时间已经很近了，因此本学期不仅要完成九年级（上）数学学习任务，有必要对九年级（下）“二次函数”一章进行教学，导致本学期复习时间较短，最多只有两周左右的复习时间。
根据实际情况，特制作计划如下：（一）复习目标（1）第22章、23章“二次根式”、“一元二次方程”主要是计算，教师提前先把概念、性质、方法综合复习，加入适当的练习，特别是“一元二次方程”的三个重要题型：①一元二次方程的定义：②一元二次方程的解法；③一元二次方程的应用。
在课堂上要逐一对这些题型归纳讲解，多强调解题方法的针对性。
最后针对平时练习中存在的问题，查漏补缺。
（2）第24章、25章“相似图形”、“解直角三角形”是几何部分。
这凉章的重点是相似三角形、直角三角形的性质及其应用。
所以记住性质是关键，学会应用是重点。
要学会生活中的图形是随时都可以转化成数学问题，不同图形之间的区别和联系要非常熟悉，形成一个有机整体。
对常见的解直角三角形的题要多练多总结。
（3）第26章“随机事件的概率”，主要是要能用列表法或画树状图法求两步或以上的事件的概率。
（二）复习措施（1）强化训练这个学期计算类和证明类的题目较多，在复习中要加强这方面的训练。
特别是一元二次方程和解直角三角形，在复习过程中要分类型练习，重点是解题方法的正确选择同时使学生养成检查计算结果的习惯。
还有几何证明题，要通过针对性练习力争达到少失分，达到证明简练又严谨的效果。
（2）加强管理严格要求根据每个学生自身情况、学习水平严格要求，对应知应会的内容要反复讲解、练习，必须做到学一点会一点，对接受能力差的学生课后要加强辅导，及时纠正出现的错误，平时多小测多检查。
中考数学第二轮专题复习的实践与反思(中心发言文稿)
中考数学第二轮专题复习的实践与反思广州市玉岩中学初三数学组吴光潮一、玉岩中学初三数学备课组第二轮专题复习的几点作法1、讲什么，如何讲——题型与方法：坚持全组教师集体备课，集思广益.以《初中数学专题讲座与测评》（原名：广州市中考数学试题分析与测评）和《广州市初中毕业生学业考试指导书》为蓝本，研究广州市中考近三年常考题型和知识点，整合成十一个专题.每人主备若干专题全面负责组织老师二次分工该专题相关任务，落实备考教学案和课件；在二次分工中，先集中共同讨论该专题下的若干具体课时及内容，再分工落实，最后又一次集体讨论、修改、定稿使用.2、练什么，怎么练——知识与考技：“2+1”穿插滚动，分层训练.①“2”:即每日落实10道基础知识专项训练和每周一次综合套题限时训练，已复习的专题和正在复习的专题内容“三七开”滚动推进，力求所有学生全面过关，达到“补差”、巩固双基的目的；综合套题限时训练，达成检测全体学生知识、训练考技的目标.②“1”:对高水平的学生给“每日1题（压轴题）”，训练思维，达到培优的目的.3、评什么，怎么评——经验与不足：各班信息共享，点评到位.各班科任老师认真抓作业批改环节，互通败题、优解信息，他山之石互为借鉴.评易错点、知识盲点，大众错题、难题，典型错解、巧解新解，应试技巧以及规范表述等.此外，评讲练习必须注意时效性，反馈及时.4、比什么，怎么比——团队与境界：步调一致共同进退.统一练习资料，不搞特殊小灶，比团结；规范上课时间，不搞个人加班，比效率；客观分析成绩，不搞英雄主义，比不足；共享搜集信息，不搞独门秘笈，比境界.5、落实细节问题——细微处入手，强化训练：从知识能力、应试技巧与策略、心理素质等方面，细微处着手多角度、高密度地温馨提示、强化训练，确保学生从容应考、正常发挥.二、玉岩中学初三数学备课组第二轮专题复习课堂教学的几点反思从一道例题的变式教学的专题复习案例中，反思：在第二轮专题复习中，教师如何有效授课？如何发展学生的思维能力？1、本节课的设计思路《二次函数中的面积最值问题——2011年茂名市中考压轴题评析》这节课是我校初三年级数学备课组在进入中考二轮专题复习中的一节常规复习课.本节课是“专题十一：压轴综合问题”中的关于“由面积公式产生的二次函数关系及其最值问题”的一节内容，此内容属于广州市中考压轴题常考题型，也是我校学生十分薄弱的题型.本节课的设计思路由本人主笔，借鉴我校高三数学组陈兴祥老师的一堂示范课思路，结合我校初三年级学生的“思维水平偏低，思维节奏偏慢”的思维特点，采用“小步子、低起点、慢节奏”的教学方式按如下程序推进：试题研究（中考真题引入）——考点研究（知识分解、思路探寻、方法归纳）——变式迁移（知识技能内化，学习效果反馈）——课堂小结（知识与思想方法的提炼）——课后作业（课堂知识技能的延伸，拓展思维）.2、本节课课堂教学预设需注意的几个“点”（1）知识点：教师必须“串联”、适度延伸此题考查的相关知识点，并使学生明确、回顾熟悉.达到以点带面二轮复习的目的.比如：本例题第1问主要考查抛物线方程的求法，则应“串联”、延伸抛物线方程的三种形式及其求解方法并进一步复习总结：①一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；②顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠；③交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠.根据此题实际情况，可熟悉多种求法，最后比较并选择最优解法，从而达到知识、方法复习面尽可能覆盖以及技能、思维必须优化的功效.（2）切入点：讲题的核心是暴露思维过程，思维过程的展开必须找准切入点，切入点的寻找是需要教师引导给学生，并通过训练让学生模仿至独立完成.如本例题第2问，应该由“四边形四条边的长度为四个连续的正整数”为突破口切入——四条边的长度有已知的吗？有哪些？结合已知边长以及“四个连续的正整数”可能有哪些数字组合情况？分别列出，根据“P 为抛物线（5>x ）上的一点”的“5>x ”筛选，从而求解.（3）重难点：教师要把握解题的重点，防止均等用力；如何突破难点就是如何分解学生思维的难点，分解难点就必须巧设问铺路，降低思维的起点，形成思维的梯度，引导学生思维，引导学生全员参与.同时教学中坚持用分析法、综合法分析问题，力求教给学生分析问题的思维方法.如本例题的第3问，学生习惯直接从几何的角度直接在图像上寻找AC 边上的高最大的情形，此时的N 点即为所求点.但根据现有知识不易求解，教师可以顺势引导求最值的一种常见方法——几何法，但应点到为止，重点转到求最值的另一种方法——代数法（目标函数法），设问引导：如何设未知数（或点）、如何分割图形并表示面积的解析式？有多种方法？哪一种最简单？等等.最后优化解法，小结代数法（目标函数法）的一般步骤，优化思维.（4）关键点：在关键点处点拨，给学生思维的动力和方向，避免一言堂.如本例题的第3问，面积的分割方法以及解析式的求解方法这几个关键点教师只需点拨，其余交给学生完成即可.（5）生长点：寻找知识技能的生长点并让知识技能的拓展延伸，达到思维发散的目的.根据题目的特点，进行改编、变式是有效方法之一.学生变式训练，可以将新知识迁移内化.如本例题“变式迁移”的三个变式：①变换视角——培养学生思维的灵活性.变式1是对原题第2问考查考点“抛物线的对称性”的类题变式，同时又是对原题问题3几何法求最值问题的类题变式.这样引导学生从不同角度，不同方面思考，不满足于已有方法，从而抓住问题的本质：最值问题可以从几何的角度或者代数的角度求解，对称性条件往往可帮我们转化线段或者点的坐标.思维的灵活性得到了较好的锻炼．②变换条件——培养学生思维的严密性和深刻性。
2023年安徽中考数学总复习二轮专题课件：第一节 平面直角坐标系与函数
⑤能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义（新增）.
⑥能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
考点梳理
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征（10年2考）
1.点的坐标特征
各象限内点的坐标特征
.
A. B. C. D.
5.(2022常州)在平面直角坐标系 中，点 与点 关于 轴对称，点 与点 关于 轴对称.已知点 ，则点 的坐标是 ( )
A. B. C. D.
√
√
6.(2022抚顺)在平面直角坐标系中，线段 <m></m> 的端点 <m></m> , <m></m> ，将线段 <m></m> 平移得到线段 <m></m> ，点 <m></m> 的对应点 <m></m> 的坐标是 <m></m> ，则点 <m></m> 的对应点 <m></m> 的坐标是______.
（5）交点:表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等,这个交点是判断函数值大小关系的“分界点”.
考点小练
1.(2022恩施州)函数 <m></m> 的自变量 <m></m> 的取值范围是 ( )
A. B. C. 且 D.
√
2.(2022临沂)甲、乙两车从 城出发前往 城，在整个行程中，汽车离开 城的距离 （单位： ）与时间 （单位： ）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是 ( )
中考数学第二轮总复习课件专题09探究题运动问题(全国通用)
底边BC出发,以2cm/s的速度沿DA方向匀速平移,分别交于AB,AC,AD于点
E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为ts(t＞0)
(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形；
AБайду номын сангаас
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存
E H Fm
在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.
(1)在旋转过程中,BD的最小值为__2___； (2)当α=30º,试判断BD与⌒CD的位置关系,并给予证明；
A
(3)当C、D、B在同一直线上时,求BC的长。
A
A
D
D
D
C
O
B
O
O
C
B
E
B
D
C
强化训练
运动问题
提升能力
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC=5,在AC、BC边上分别截取CD=CE=3,
边形中,使OK与AB重合,按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺
时针旋转,使KM与BC重合,完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转,使MN与
CD重合,完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距
离可能是( D ) A.1.4 B.1.1 C.0.8
D.0.5
E
D
FN MC
A(0) B(K)
(即P、D、Q三点在同一直线上)；
P
E
B
(3)当4＜t≤10时,求y与t之间的函数关系式．
D
OQ
Cx
01
知识点
02
03
点的运动 线段的运动 图形的运动
2023年中考数学二轮专题复习频考点突破 圆的综合(含解析)
2023年中考数学频考点突破--圆的综合1．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD=CE.（1）求证：OA＝OB；（2）已知AB＝4 √3，OA＝4，求阴影部分的面积.2．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM=∠BAC=α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=53，若⊙O的半径为1，cosα=34，求AG⋅ED的值．3．如图，已知A、B是⊙O上两点，⊙OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊙AB 交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为弧AB̀的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan⊙AFE= 34，BE=BG，EG=3 √10，求⊙O的半径．4．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC=3.（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径.5．如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊙BC，且FE＝FC （CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是；（2）将图1中的⊙CEF绕点C按逆时针旋转，使⊙CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：DF＝√2FG．6．如图，已知⊙ABC，AC=3，BC=4，⊙C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.7．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊙l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分⊙DAB；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：⊙DAE=⊙BAF．8．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分⊙ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．9．如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是BD的中点，弦CE⊥AB，H是垂足，BD交CE，CA于点F，G．（1）求证：CF=BF=GF；（2）若CD=6，AC=8，求圆O的半径和BD长．10．如图所示，线段AB=1.8cm，作满足下面要求的图形．（1）到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形．（2）到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．11．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC 相交于点E，与AC相交于点F，⊙B=⊙BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．12．如图，在⊙ABC中，⊙A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若F为OA的中点，⊙O的半径为2，求BE的长.13．如图，已知AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D= 2∠CAD．（1）求∠D的大小；（2）若CD=2，求AC的长．14．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN 于点D、C，DO平分⊙ADC.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）设AD＝4，AB＝x (x > 0)，BC＝y (y > 0). 求y关于x的函数解析式. 15．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊙AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长.16．如图，在⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F。
中考数学二轮复习 专题二 跨学科问题-人教版初中九年级全册数学试题
跨学科问题一、中考专题诠释所谓“跨学科”型问题，主要是指在问题中渗透了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，或者说借用了高一级学科或者同阶段中另外学科知识，引导学生在理解的基础上能对学过知识的灵活运用，这就要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，这贵在重视学生应用新的知识解决问题的能力培养。
二、解题策略和解法精讲“跨学科问题专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理运用已学知识点进行迁移．三、中考典例剖析考点一：推理与论证例1 .（2014•某某某某，第26题6分）A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．考点：推理与论证．分析：根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．解答：每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．若A队两胜一平，则积7分．因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，每场比赛，两队得分的和是3分或2分．6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，∴最多只有两个队得7分．所以积7分保证一定出线．若A 队两胜一负，积6分．如表格所示，根据规则，这种情况下，A 队不一定出线．同理，当A 队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．总之，至少7分才能保证一定出线．点评：本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A 队可能的得分情况是关键．对应训练1．（2015某某崇左第18题3分）4个数a ，b ，c ，d 排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad ﹣bc ．若=12，则x=．解析：33-+x x 33+-x x =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1. 点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解决.本题新定义的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同类项法则等进行化简，最后转化为解方程确定结果.考点二：与物理学科有关的问题例2 （2014•某某某某,第8题3分）如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）第1题图A．12B．23C．13D．512考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：=12．故选A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．对应训练2．（2015•某某，第10题3分）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t （s）的函数图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．分析：开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．解答：解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．故选：A．点评：本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象．考点三：超出课标X围问题例3 （2014•某某某某,第20题8分）解方程：．考点：高次方程分析：先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y．解答：解：，由方程x﹣2y=2得：4y2=15x2﹣60x+60（3），将（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化简得：x2﹣6x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x﹣2y=2得：y=0或，即原方程组的解为或．点评：本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中．对应训练3. （2014·某某，第23题3分）若有一等差数列，前九项和为54，且第一项、第四项、七项的和为36，则此等差数列的公差为何？( )A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6分析：由等差数列的性质可知：前九项和为54，得出第五项＝54÷9＝6；由且第一项、第四项、第七项的和为36，得出第四项＝36÷3＝12，由此求得公差解决问题．解：∵前九项和为54，∴第五项＝54÷9＝6，∵第一项、第四项、第七项的和为36，∴第四项＝36÷3＝12，∴公差＝第五项﹣第四项＝6﹣12＝﹣6．故选：A．点评：此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用．考点四：开放题型中的新定义例4 （2014•某某某某，第25题14分）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．解答：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得 a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴，∴，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，解得或，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得 a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得 x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．点评：本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“利用其表示坐标系中两点距离”是近几年考试的热点，学生需熟练运用．对应训练4．（2015•某某庆阳，第27题，12分）定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=；（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}=，结合图象，直接写出x的取值X围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：新定义．分析：（1）根据3＞和已知求出即可；（2）根据题意得出≥k2x+b，结合图象求出即可；（3）分为两种情况：当2x+1≥x﹣2时，当2x+1＜x﹣2时，结合已知求出即可．解答：解：（1）max{，3}=3．故答案为：3；（2）∵max{，k2x+b}=，∴≥k2x+b，∴从图象可知：x的取值X围为﹣3≤x＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=2x+1，当2x+1＜x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=x﹣2．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键．四、中考真题演练1. (2012某某六盘水，8，3分)定义：(,)(,)f a b b a =，(,)(,)g m n m n =--，例如(2,3)(3,2)f =，(1,4)(1,4)g --=，则((5,6))g f -等于（ ）A ．(6,5)-B ．(5,6)--C ．(6,5)-3D ．(5,6)-2. （2013某某某某，5，3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）A ．.B ．C ．D ．3.(2013某某某某，25，4分)如图，A ，B ，C 为⊙O 上相邻的三个n 等分点，AB ＝BC ，点E 在BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与A ′重合，点B 与点B ′重合，连接EB ′，EC ，EA ′．设EB ′＝b ，EC ＝c ，EA ′＝p ．现探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当n ＝3时，p ＝b ＋c ．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当n ＝4时，p ＝______；当n ＝12时，p ______．(参考数据：sin15°＝cos75624-cos15°＝sin75624+)4. （2012某某随州，9,3分）定义：平面内的直线1l 与2l 相较于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l ，2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a,b ）是点M 的“距离坐标”。
中考数学动态几何专题复习
中考数学动态几何专题复习图形的运动变化问题。
【典型例题】例1. 已知；⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°，M 为AB ⋂的中点，MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D ，求CD 的长。
分析：连接OM 交CD 于E ，∵∠AOB ＝60°，且M 为AB ⋂中点∴∠AOM ＝30°，又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC =3∴CE CD ==323，例2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，⊙O 过AE 的中点D ，DC ⊥BC ，垂足为C 。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） （2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。
（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）） 分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠E DC 为⊙O 切线（2）若∠ABC 为直角则∠A ＝∠E ＝45°，DC ＝BCDC ∥AB ，DC ＝CE ，BE 为⊙O 的切线DC AB BE ==1212例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图的设计方案是AC ＝8，BC ＝6。
（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？分析：（1）∵AB 为半圆直径∴∠ACB ＝90°∵AC ＝8，BC ＝6 ∴AB ＝10∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x ，CM ＝h ＝4.8 则MP ＝xNF AB CPCM =NF x104848=-..NF x=-102512 S ND NF =·=-=-+=--x x x x x x ()()102512251210251224522当x =125时，水池面积最大。
备考2022年中考数学二轮复习-图形的性质_几何图形的动态问题-填空题专训及答案
备考2022年中考数学二轮复习-图形的性质_几何图形的动态问题-填空题专训及答案几何图形的动态问题填空题专训1、(2019常熟.中考模拟) 已知轴上一点，，为轴上的一动点，连接，以为边作等边如图所示，已知点随着点的运动形成的图形是一条直线，连接，则的最小值是________．2、(2018灌南.中考模拟) 如图，等边△ABC中，BC＝6，D、E分别在BC、AB上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD＝2处开始向AC平移，当点D 与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为________．3、(2018盐城.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．4、(2019金华.中考模拟) 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为________cm.5、(2019绍兴.中考模拟) 如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B 点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是________ cm．6、(2019丽水.中考模拟) 如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．7、(2018象山.中考模拟) 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为________．8、(2018杭州.中考模拟) 如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为________秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的最大值为________．9、(2018禹会.中考模拟) 如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为________．10、(2018河南.中考模拟) 如图，△ABC中，∠BAC=75°，BC=7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为________．11、(2018河南.中考真卷) 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN 上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．12、(2019武汉.中考模拟) 等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________秒．13、(2020舟山.中考模拟) 如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积的最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为，其中正确的结论是________（填写序号）.14、(2020嘉兴.中考真卷) 如图，有一张矩形纸条ABCD，AB=5cm，BC=2cm，点M，N 分别在边AB，CD上，CN=1cm。
初中数学中考二轮复习重难突破专题03 动点函数图象(含答案)
1.点P（x,y）在x轴上，y=0如图①中，点点出发沿运动到点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则AB的长为（A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】由函数图像可知:当时，，面积最大时，可以求出，最后由勾股定理求出AB的值.【详解】当时，，面积最大时，∴，∴，解得或，∴，故选A.【点拨】本题考查函数图像与几何动点问题，需要分析清楚函数图像各个拐点的意义是解题关键.2.如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线A C.B D相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路径为x，△AOP的面积为y，图②是y关于x的函数关系图象，则AB边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】根据图形，分情况分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3，推出AB•BC＝12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，可推出A B.【详解】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＞BC，所以AB＝4．故选B．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.3.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】通过分析图象，点F从点A到D用a s，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，B D=，应用两次勾股定理分别求B E和a．【详解】过点D作D E⊥B C于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为a s，△F BC的面积为a cm2．∴A D=a∴D E•A D＝a∴D E=2当点F从D到B时，用s∴BD=Rt△D BE中，B E=∵A BCD是菱形∴E C=a-1，D C=aRt△D EC中，a2=22+（a-1）2解得a=故选B.【点拨】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．4.如图甲所示，A，B是半径为2的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O以每秒一个单位长度度速度匀速运动，回到点A运动结束，设P点的运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么在图乙中可能表示y与x函数关系的是（ ）A. ①B. ②C. ②或④D. ①或③【答案】D【解析】分两种情形讨论当点顺时针旋转时，图象是③，当点逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点顺时针旋转，到达⊙O顶点时，运动过程中BP逐渐增大，从增大到4，据此可以判断，y与x函数图象是③，当点逆时针旋转，到达B点时，运动过程中BP逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是①，故①③正确，故选：D．【点拨】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．5. 如图1，四边形是轴对称图形，对角线，所在直线都是其对称轴，且，相交于点E．动点P从四边形的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P运动的时间为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据图像，以及点的运动变化情况，前两段是y关于x的一次函数图像，判断y随x的增减变化趋势，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，即可排除A,B,C选项．【详解】根据图像，前端段是y关于x的一次函数图像，∴应在A C,B D两段活动,故A，B错误，第一段y随x的增大而减小,第二段y随x增大而增大，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，∵A E=E C∴C错误故选:D【点拨】本题考查函数的图像，比较抽象，解题的关键是根据图像判断函数值随自变量的值的增减变化情况，以及理解分段函数的最值是解题的关键．6.如图，菱形ABCD的边长为5 cm，s in A＝，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿折线AB﹣BC﹣CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为5 cm，P，Q的速度都是1 cm/s，当时，，点都在运动，, 故选项A、\D错误，当时，点停止，点运动，高不变，，当时，点停止，点运动，，故选项B错误，选项C正确，故选:C．【点拨】本题考察了三角函数，菱形性质等知识点，讨论动点在不同边的情况，求出对应函数关系式，再去判断是解题关键．7.李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据“路程速度时间”可得与之间的函数关系式，再根据加完油后，加快了速度可得后面的一次函数的一次项系数更大，图象更陡，由此即可得．【详解】解：设最初的速度为千米/小时，加快了速度后的速度为千米/小时，则，由题意得：最初以某一速度匀速行驶时，，加油几分钟时，保持不变，加完油后，，，函数的图象比函数的图象更陡，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特征是解题关键．8..如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分两种情况：①当P点在OA上时，即0≤x≤2时；②当P点在A B上时，即2＜x≤4时，求出这两种情况下的P C长，则y=P C•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，A B=，∴O B=4．①当P点在OA上时，即0≤x≤2时，P C=O C=x，S△P OC=y=PC•OC=x2，是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；O C=x，则B C=4-x，P C=B C=4-x，S△P OC=y=PC•OC=x（4-x）=-x2+2x，是开口向下的抛物线，当x=4时，y=0．综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．故选：D．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．。
中考二轮复习微专题探究——含参数的二次函数中对称轴、区间、函数值之间的关系探究
中考二轮复习微专题探究含参数的二次函数中对称轴㊁区间㊁函数值之间的关系探究刘长松１㊀陈㊀超２(１.江苏省苏州高新区实验初级中学锦峰路校区ꎬ江苏苏州２１５０００ꎻ２.江苏省苏州高新区实验初级中学金山路校区ꎬ江苏苏州ꎻ２１５０００)摘㊀要:微专题的复习具有短小㊁精炼㊁实战性强等特点ꎬ文章以含参数的二次函数中对称轴㊁区间㊁函数值之间的关系为例ꎬ列举了四类基本问题:定轴定区间㊁定轴动区间㊁动轴定区间㊁动轴动区间.重点解决定轴动区间㊁动轴定区间㊁动轴动区间问题ꎬ复习巩固数形结合㊁分类讨论等思想方法ꎬ学会寻找关键界点ꎬ对照图形㊁分类讨论㊁动中取静ꎬ体会 数缺形时少直观ꎬ形少数时难入微 的数形结合思想方法ꎬ感受数学的运动美㊁对称美.关键词:二次函数ꎻ对称轴ꎻ区间ꎻ函数值ꎻ分类讨论中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００２０－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:刘长松(１９８２.９－)ꎬ男ꎬ江苏省盐城人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:本文系江苏省苏州市教育科学 十四五 规划课题 深度学习视角下初中数学微专题设计的实践研究 的阶段性成果(项目编号:２０２１/Ｃ/０２/０１９/０３)㊀㊀二次函数问题一直是中考的热点问题ꎬ其中函数的取值范围及最值问题一直是困扰学生的难点ꎬ此类问题的突破也是困扰一线教师的难点.这类问题往往穿插在综合题中ꎬ有很强的区分度和选拔功能ꎬ对学生的空间想象㊁数形结合能力要求比较高ꎬ如何依据条件合理分类讨论是关键.笔者以近５年江苏省乃至全国各地的中考试题为例ꎬ分析含参数的二次函数的区间㊁对称轴㊁函数值的关系问题ꎬ以期抛砖引玉ꎬ供读者参考.１问题背景含参数的二次函数问题主要是指二次函数关系式中含有参数或者给定的区间中含有参数.这类问题形式多样ꎬ常见的题型有:求参数的值或范围㊁讨论二次函数的最值㊁解含参数的二次不等式㊁不等式的恒成立问题㊁一元二次方程的根的分布情况㊁二次函数的图像与直线的交点个数问题等ꎬ这类问题属于高中二次函数知识点在初中的渗透.近些年在江苏省内外的中考中时常出现ꎬ如南京２０２１年第２６题㊁２０２０年第１６题㊁２０１７年第２６题ꎻ南通２０２１年第２６题㊁２０２０年第２５题㊁２０１９年第２６题㊁２０１８年第２６题ꎻ扬州２０１７年第８题ꎻ泰州２０２１年第２５题㊁２０１８年第２４题ꎻ北京２０２１年第２６题㊁２０２０年第２５题㊁２０１９年第２６题㊁２０１８年第２６题ꎻ大连２０２１年第２６题㊁２０２０年第２５题㊁２０１９年第２６题㊁２０１８年第２６题ꎻ杭州２０２１年第２２题㊁２０２０年第２２０２题㊁２０１９年第２２题㊁２０１８年第２２题ꎬ等等.２常见题型２.１定轴定区间问题例１㊀如图１ꎬ已知二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ－５. (１)当－１ɤｘɤ０时ꎬｙ的取值范围是㊀㊀ꎻ(２)当３ɤｘɤ４时ꎬｙ的取值范围是㊀㊀ꎻ(３)当０ɤｘɤ３时ꎬｙ的取值范围是㊀㊀ꎻ(４)当－５ɤｙɤ０时ꎬｘ的取值范围是㊀㊀ꎻ图１㊀例１题图请说一说二次函数的对称轴和区间之间的关系[１].本题给定了二次函数的表达式ꎬ从两个不同角度设计问题ꎬ一是已知自变量ｘ的取值范围求对应的函数值ｙ的取值范围ꎻ二是已知函数值ｙ的取值范围求对应的自变量ｘ的取值范围.共设置了４个小问题ꎬ分别是ｘ的取值范围都在对称轴的同侧(左侧或右侧)ꎬ取值范围从对称轴左侧增加到对称轴右侧ꎬ包含顶点的这种情况.设计问题(１)(２) (３)的目的是为了引导学生在已知ｘ的取值范围时ꎬ要分两种情况讨论ꎬ即在对称轴同侧和异侧ꎬ对于异侧的这种情况要找三个界点来确定函数值的取值范围.初步让学生感知对称轴确定时如何求函数值的取值范围.设计问题(４)的目的是感知函数值ｙ的取值范围一定时ꎬｘ会有两部分取值范围ꎬ进一步感受二次函数的对称美.２.２定轴动区间问题例２㊀已知二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ－５. (１)当ｍɤｘɤｍ＋１(ｍ为常数)时ꎬ函数的最小值为１ꎬ则ｍ＝ꎻ(２)若此二次函数在０ɤｘɤｍ(ｍ为常数且ｍ>０)的图像的最高点与最低点的纵坐标之差为ｈꎬ写出ｈ关于ｍ的函数关系式[２].本题已给定二次函数的表达式ꎬ由二次函数的性质易知其对称轴为直线ｘ＝２ꎬ问题(１)中给定的ｘ的取值范围是一个随着ｍ的变化而变化的动区间ꎬ在这个动区间里ꎬ函数值最小值为１ꎬ如何引导学生思考怎样确定参数ｍ的取值是关键.问题(２)中ｘ的取值范围为０ɤｘɤｍꎬ而对称轴为直线ｘ＝２ꎬ所以函数图象经过一组对称点(０ꎬ－５)ꎬ(４ꎬ－５).参数ｍ的取值需要分三种情况进行讨论ꎬ即０ɤｍɤ２ꎬ２<ｍɤ４ꎬｍ>４.２.３动轴定区间问题例３利用二次函数的性质解答下列问题: (１)已知二次函数ｙ＝ｘ２－２ｍｘ－３(ｍ为常数)ꎬ当ｘ<１时ꎬｙ随ｘ的增大而减小ꎬｍ的范围是㊀㊀. (２)二次函数ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋２ｍ２(ｍ为常数)ꎬ当２ɤｘɤ５时ꎬｙ的最小值为１ꎬｍ＝㊀㊀.本题涉及的取值范围属于一个定区间ꎬ但是二次函数关系式中含有参数ｍꎬ从而二次函数图象的对称轴是随着参数ｍ的变化而变化的动轴.在问题(１)中ꎬ当ｘ<１时ꎬｙ随ｘ的增大而减小ꎬ由二次函数的性质易求得它的对称轴是直线ｘ＝ｍꎬ而此抛物线开口向上ꎬ可以确定对称轴在直线ｘ＝１的右侧ꎬ进而可得参数ｍ的取值范围ꎻ在问题(２)中ꎬ二次函数图象的对称轴是直线ｘ＝ｍꎬ它是一条动直线ꎬ而给定的区间是２ɤｘɤ５ꎬ它是一个定区间ꎬ因此可以分为三种情况进行分类讨论:①当ｍɤ２ꎬｘ＝２时ꎬｙ取得最小值１ꎻ②当２<ｍ<５ꎬｘ＝ｍ时ꎬｙ取得最小值１ꎻ③当ｍȡ５ꎬｘ＝５时ꎬｙ取得最小值１.２.４动轴动区间问题例４㊀如图２ꎬ点ＡꎬＢꎬＣ都在抛物线ｙ＝ａｘ２－２ａｍｘ＋ａｍ２＋２ｍ－５(－１４<ａ<０)上ꎬＡＢʊｘ轴ꎬøＡＢＣ＝１３５ʎꎬ且ＡＢ＝４[３].(１)抛物线的顶点坐标为㊀㊀.(用含ｍ的代１２图２㊀例４题图数式表示)ꎻ(２)әＡＢＣ的面积为㊀㊀.(用含ａ的代数式表示)ꎻ(３)若әＡＢＣ的面积为２ꎬ当２ｍ－５ɤｘɤ２ｍ－２时ꎬｙ的最大值为２ꎬ则ｍ＝㊀㊀.本题是二次函数综合题ꎬ主要考查二次函数图象上点的坐标特征㊁等腰直角三角形的性质㊁一元二次方程的解法及二次函数最值的求法ꎬ解决本题的关键是:①利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式ꎻ②利用参数求出点Ｃ的坐标ꎻ③分别按ｍ<２ꎬ２ɤｍɤ５及ｍ>５三种情况进行分类讨论.２.５二次函数图象与直线的交点个数问题在含参数的二次函数问题中ꎬ二次函数图象与直线的交点个数问题也是近年中考的热点问题.例５㊀已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过(－２ꎬ１)ꎬ(２ꎬ－３)两点.(１)求ｂ的值ꎻ(２)设点(ｍꎬ０)是该函数的图象与ｘ轴的一个公共点.当－１<ｍ<３时ꎬ结合函数的图象ꎬ直接写出ａ的取值范围[４].本题主要考查二次函数的图象与性质ꎬ解决本题的关键在于理解二次项系数ａ对函数图象的影响ꎬ包括开口方向和开口大小ꎬ都要熟记于心ꎬ否则问题(２)很难正确解答ꎻ在问题(２)中ꎬ将(ｍꎬ０)代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中ꎬ写出判别式的值ꎬ根据图象经过(－２ꎬ１)ꎬ(２ꎬ－３)两点ꎬ分－１<ｍ<２和２<ｍ<３两种情况讨论即可.例６㊀已知二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３ａ＋２(ａ为常数).在同一平面直角坐标系中ꎬ若该二次函数的图象在ｘɤ４的部分与一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象有两个交点ꎬ求ａ的取值范围.本题是由南通市２０１９年中考题改编而来的ꎬ可根据二次函数的图象与一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象有两个交点ꎬ则方程ｘ２－４ｘ＋３ａ＋２＝２ｘ－１的判别式Δ>０ꎬ易求得ａ<２.将ｘ＝４和代入ｙ＝２ｘ－１ꎬ求得函数值ｙ＝７.将(４ꎬ７)代入ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３ａ＋２ꎬ可得到关于ａ的一元一次方程ꎬ解方程即可求得ａ＝５３.根据题意求出ａ的取值即可.本题主要考查二次函数的图象和性质㊁一次函数的性质㊁一元二次方程的根的判别式㊁一元一次方程的解法等知识ꎬ其综合性较强ꎬ具有一定的难度.３结束语中考二轮复习是一个非常关键的总结提升阶段.二轮复习不是单纯地做练习㊁讲练习ꎬ教师要深度把握中考的方向ꎬ研究中考命题规律ꎬ从学生的实际情况出发ꎬ提高复习的效率ꎬ总结出一些适合学生的学习方法.微专题就是一种很好的形式ꎬ精炼实用.这样的研究任重道远ꎬ需要一线教师系统地研究规律㊁总结方法ꎬ要善于对题型进行归类ꎬ善于引导学生进行分析㊁探索㊁归纳和总结ꎬ培养学生的思维能力ꎬ从而使学生逐步掌握自主的学习方法.参考文献:[１]施海鹰.中考复习:二次函数的考点剖析[Ｊ].科学大众(科学中考)ꎬ２０２１(８):２１－２３.[２]于彬ꎬ单雪梅.一题ꎬ一类ꎬ一课:以 二次函数专题复习铅垂高模型 为例[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(２４):３４－３５.[３]程国云.含有参数的二次函数最值问题[Ｊ].试题与研究(教学论坛)ꎬ２０１６(２６):１６－１９.[４]吕梅英.认清本质抓关键:浅析２０１２年中考二次函数考点[Ｊ].中学数学ꎬ２０１２(２４):６１－６２.[责任编辑:李㊀璟]２２。
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动态型试题例1在三角形ABC 中, 60,24,16B BA cm BC cm ∠=== . 现有动点P 从点A 出发, 沿射线A B 向点B 方向运动; 动点Q 从点C 出发, 沿射线C B 也向点B 方向运动. 如果点P 的速度是4cm /秒, 点Q 的速度是2cm /秒, 它们同时出发, 求:（1）几秒钟以后, PBQ ∆的面积是A B C ∆的面积的一半?（2）这时, ,P Q 两点之间的距离是多少？分析：本题是动态几何知识问题，此类题型一般利用几何关系关系式列出方程求解。
解：(1) 设t 秒后, PBQ ∆的面积是A B C ∆的面积的一半, 则2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程11222(162)(244)sin 601624sin 60t t ⨯--⋅=⨯⨯⨯,化简, 得214240t t -+=,解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意; (2) 当2t =时, 12,16,BQ BP ==在PBQ ∆中,作/Q Q BP ⊥于/Q ,在/Rt QQ B ∆和/Rt QQ P ∆中, //6Q Q B Q ==,所以/10,PQ PQ == 当12t =时, 18,24,BQ BP ==同理可求得11P Q =说明：本题考查了用一元二次方程、三角函数等有关知识进行几何图形的面积计算方法。
1P1QB/QPQ A C练习一1、如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12cm ，形如三角板的⊿ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm 。
半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。
设运动时间为t (s)，当t=0s 时，半圆O 在⊿ABC 的左侧，OC=8cm 。
（1）当t 为何值时，⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？（2）当⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
2、已知，如图(甲)，正方形ABCD 的边长为2,点M 是BC 的中点,P 是线段MC 上的一个动点, P 不运动到M 和C,以AB 为直径做⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交AD 于点F,切点为E.（1）求四边形CDFP 的周长；CB（2）试探索P 在线段MC 上运动时，求AF ²BP 的值；（3）延长DC 、FP 相交于点G,连结OE 并延长交直线DC 于H(如图乙),是否存在点P, 使△EFO ∽△EHG?如果存在,试求此时的BP 的长;如果不存在,请说明理由。
3、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是BA 延长线上一点，CD 切⊙O 于D 点，弦DE ∥CB ，Q 是AB 上一动点，CA=1，CD 是⊙O(1)求⊙O 的半径R 。
(2)当Q 从A 向B 运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化，若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积。
4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求∠BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
QP DCBA5、如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD 中，点O 、E 分别是AD 、AB 的中点，点F 是以点O 为圆心、OE 的长为半径的圆弧与DC 的交点，点P 是上的动点，连结OP ，并延长交直线BC 于点K .（1）当点P 从点E 沿运动到点F 时，点K 运动了多少个单位长度？（2）过点P 作所在圆的切线，当该切线不与BC 平行时，设它与射线AB 、直线BC 分别交于点M 、G.①当K 与B 重合时，BG ∶BM 的值是多少？②在点P 运动的过程中，是否存在BG ∶BM ＝3的情况？你若认为存在，请求出BK 的值；你若认为不存在，试说明其中的理由.一般地，是否存在BG ∶BM ＝n （n 为正整数）的情况？试提出你的猜想（不要求证明）.例2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0<t<5）后，四边形ABQP 的面积为S 米2。
（1）求面积S 与时间t 的关系式；（2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。
分析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强。
解：（1）过点P 作(1) 设t 秒后, PBQ ∆的面积是A B C ∆的面积的一半, 则2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程11222(162)(244)sin 601624sin 60t t ⨯--⋅=⨯⨯⨯,化简, 得214240t t -+=,解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意;(2) 当2t =时, 12,16,BQ BP == 在PBQ ∆中, 作/Q Q BP ⊥于/Q ,在/Rt QQ B ∆和/Rt QQ P ∆中, //6Q Q B Q ==,所以/10,PQ PQ ==当12t =时, 18,24,BQ BP == 同理可求得11P Q =说明：本题考查的知识点较多，考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，一元二次方程及一元二次方程及根的判别式。
练习二1、如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90º，AB ＝12cm ，BC ＝8cm,DC ＝13cm ，动点P 沿A →D →C 线路以2cm/秒的速度向C 运动，动点Q 沿B →C 线路以1cm/秒的速度向C 运动。
P 、Q 两点分别从A 、B 同时出发，当其中一点到达C 点时，另一点也随之停止。
设运动时间为t 秒，△PQB 的面积为ym 2。
（1）求AD 的长及t 的取值范围；（2）当1.5≤t ≤t 0(t 0为（1）中t 的最大值)时，求y 关于t 的函数关系式； （3）请具体描述：在动点P 、Q 的运动过程中，△PQB 的面积随着t 的变化而变化的规律。
2、如图，在Rt △ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。
⑴求x 为何值时，PQ ⊥AC ；⑵设△PQD 的面积为y(cm 2)，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式； ⑶当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积；⑷探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系。
请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)3、如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4 cm ，∠A=60°，BD ⊥AD. 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM. 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD所得图ACQ O形的面积为S cm2 .①求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值.4、已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．5、如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm 和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。
令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。
设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y2cm。
求y与x之间的函数关系式。
能力训练1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？xB2、（盐城）已知：如图所示，直线l 的解析式为343-=x y ，并且与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B 。
（1） 求A 、B 两点的坐标。
（2） 一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位／每秒的速度向x 轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l 相切； （3） 在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P 在动圆的园面（圆上和圆的内部）上一共运动了多出时间？3、已知二次函数的图象如图所示。
⑴ 求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标；⑵ 若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q 。