9-函数的表示法(2)

1.2.2 函数的表示法（2）
教材分析
学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念的过程.同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程.
初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数.根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于以后的教学过程中.教学时要让学生体会到函数三种表示法具有内在的联系，它们在一定条件下是可以相互转化的.对函数的解析式和图象表示应重点研究.
课时分配
本节内容共用2课时，在此设计第二课时的内容.
教学目标
重点: 会求函数的解析式，了解映射的概念及表示方法.
难点：求函数的解析式.
知识点：1、掌握函数的三种表示方法，明确每种方法的特点，尤其是解析法.
2、了解映射的概念.
能力点：培养学生抽象概括的能力.
教育点：感受数学的人文价值，提高学生的学习数学的兴趣，由解析式的学习感受数学的简洁美与和谐
统一美，同时通过自主探究领略获取新知识的喜悦.
自主探究点：如何选择恰当的方法求解析式.
考试点：解析式求法.
易错易混点：方法的正确运用.
拓展点：在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
教具准备 多媒体课件和投影仪
课堂模式 学案导学
一、引入新课
【师生活动】复习函数的三种表示法，提出如何求解析式.
【设计意图】激起学生的学习兴趣.
二、探究新知
（一）常见求函数解析式的方法
第一：待定系数法
（1）已知f （x ）是二次函数，且f （0）=2，f （x +1）－f （x ）=x －1，求f （x ）；
解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），由f （0）=2，得c =2.
由f （x +1）－f （x ）=x －1，得恒等式2ax +a +b =x －1，得a =
21，b =－23. 故所求函数的表达式为f （x ）=21x 2－2
3x +2. 【解后反思】已知函数类型求函数的解析式时常用待定系数法．
第二：换元法
（2）已知f （x x 1+）=2
21x x ++x 1，求f （x ）；
分析：视
x
x 1+为一整体不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解. 解：设x x 1+=t ，则x =11-t ，t ≠1. 则f （t ）=f （x x 1+）=221x x ++x 1=1+21x +x 1=1+（t －1）2+（t －1）=t 2－t +1. ∴f （x ）=x 2－x +1（x ≠1）.
第三：配凑法
（3）已知f （x +1）=x +2x ，求f （x ），f （x +1），f （x 2）；
分析：若能将x +2x 适当变形，用x +1的式子表示就好办了.
解∵f （x +1）=x +2x =（x ）2+2x +1－1=（x +1）2－1， 又∵x ≥0，x +1≥1，
∴f （x ）=x 2－1（x ≥1）.
【解后反思】1．已知f(g(x))表达式，求f(x)的表达式常用换元法．配凑法；
2．用换元法时要注意新元范围．
第四：解方程组法
（4）已知3f （x ）+2f （－x ）=x +3，求f （x ）.
分析：（1）由已知f （x ）是二次函数，所以可设f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）设法求出a 、b 、c 即可.
（4）x 、－x 同时使得f （x ）有意义，用－x 代x 建立关于f （x ）、f （－x ）的两个方程就好了.
解∵3f （x ）+2f （－x ）=x +3， ①
x 用－x 代得3f （－x ）+2f （x ）=－x +3. ②
解①②得f （x ）=x +
5
3. 【解后反思】当作用对象互为相反数、倒数、负倒数时，常用方程组法求函数的解析式．
第五：赋值法 22(0)1,()()(21)
()
:0()(0)(1)1
()1
f f a b f a b a b f x a f b f b b b b b x f x x x =-=--+=-=--+=-+-==++(5)已知求解答令则再令得 22(0)()(21)
()1,()1a b f f a a a a f a a a f x x x ==--+=++=++法二：令则即
方法技巧：求函数解析式常见的题型有：
（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意一般式〔y =ax 2+bx +c （a ≠0）〕，顶点式〔y =a （x －h ）2+k 〕和标根式〔y =a （x －x 1）（x －x 2）〕的选择.
（2）已知f ［g （x ）］求f （x ）型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法.如本例（2）、（3）.
（3）函数方程问题，需建立关于f （x ）的方程组，如本例（4）.若函数方程中同时出现f （x ）、f （x 1），则一般x 用x
1代之，构造另一方程.
特别要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域.
[设计意图]学习并归纳求解析式方法．
（二）映射概念
1． 什么叫做映射？
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．
记作“f ：A →B ”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

2． 例题：下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？
（1）A={P | P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P 是平面直角体系中的点}，B={（x ，y ）| x ∈R ，y ∈R}，对应关系f ：平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x | x 是新华中学的班级}，B={x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．
思考：
将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ： B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？
[设计意图]了解映射概念.
三、应用举例
【师生活动】
根据条件求下列各函数的解析式：
1.已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x ；
2.若()f x 满足1()2(),f x f ax x
+=求()f x ．
【点评】求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；
3．已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由：[来源:]
⑴ A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；
⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；
⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；
⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.
4．（x ，y ）在影射f 下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f 下的原象是_________
5,已知：f ：x →y=x 2是从集合A=R 到B=[0,+∞]的一个映射，则B 中的元素1在A 中的原象是_________
6．已知：A={a,b},B={c,d},则从A 到B 的映射有几个
[设计意图] 通过应用，巩固本节课所学知识. 四、归纳总结
①请同学们回顾总结，本节课学过的求解析式方法；
②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会每种方法的解题步骤．
③通过回顾学习，了解映射和函数的区别和联系.
[设计意图] 引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程．
五、布置作业
必做题课本习题1.2—6、10.
[设计意图]充分考虑到学生的差异性，让所有学生都有成功的情感体验.
六、教后反思
求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义. 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力
七、板书设计
1.2.2 函数的表示方法（2）
1.解析式求法（1）待定系数法（2）换元法（3）解方程组（4）赋值法
2.映射小结。