第7 章 点的合成运动a(牵连平动)

O x´ O´ x
人 （动点）
点 相对 运动
牵连点
一点（动点） 在任一瞬时， 二系（动系、静系） 三运动（绝对、相对、牵连） 动系上与动点 重合的点。 三种运动的“关系”： 具体表示三种运动的量: 绝对运动 ＝ 牵连运动 ＋ 相对运动 绝对轨迹、绝对位移、绝对速度、绝对加速度 ——运动合成与分解
直接联系人绝对运动与 相对运动的因素是座位， 即在牵连运动中，直接 影响点的运动的因素是： 牵连点的运动。
~ dvO ' d vr aa dt dt
aa aO' ar
aa ae ar
加速度合成定理
上页公式
讨论：上面两个矢量式即牵连运动为平动时，点运动合成法的基本方程。
问题：在平面问题中，两个定理各能解几个未知量？为何种量？
注：速度图总为平行四边形，故一般借助几何关系求解（几何法）。
ve va tv tan v sin tan R OA R sin
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讨论：①由上面解法得到启示，例2-1也可选C点为动点，同学试解； ②事实上，本题选凸轮与杆的接触点(几何点)为动点也可解，同学试解。
例3：例7-4(老书例8-4)（求加速度） 平行四连杆机构 （双曲柄机构）。 AB = CD = r，BC = AD=l，，，。 求小环M的加速度。
注意各种运动的主体，尤其注 意牵连运动的概念。
相对轨迹、相对位移、相对速度、相对加速度 牵连轨迹、牵连位移、牵连速度、牵连加速度
针对牵连点的！
3
例2 汽车轮子上点的运动。
4
旋轮线运动OM 复杂运动 （绝对运动）
直线运动OM1 ＋ 简单运动 ＋
圆周运动M1M 简单运动 （相对运动）
（牵连运动） ＋
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考虑其他点。显然凸轮圆心O是一个特殊点，试试看。动系如何选？显然选 杆。此时，绝对运动：沿水平直线运动；相对运动：与AB平行的直线运动； 牵连运动：转动。三种轨迹易知，故可解牵连速度，AB角速度即知。
y
va
vr
ve
v
解：动点O，动系AB，（静系地面），画速度图。va = v 。由速度图，
如果上述运动过程很短，如Δt，在此时间段内， 绝对轨迹即OM，相对轨迹即M1M，牵连轨迹即 OM1，如图。由此易得三种位移之关系：
va ve vr
OM OM1 M1M
速度合成定理
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但加速度合成定理不易直接得到，需用矢量法(见后)。
§7-2 矢量的绝对导数和相对导数
问题：标量函数对时间的导数与坐标系选取有关吗？
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解：选AB上A点为动点，凸轮为动系，画速度图。由 条件易知： = 30
ve OA 0 2e 0
由速度图，va ve tan 即AB杆速度。 注1：在能清楚表达的前提下， 可在原图上画运动图。 注2：在能清楚表达的前提下， 一般不用画出坐标系，但必须 说明动系、静系是如何选的。
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三、动系转动时绝对导数和相对导数的关系 当动系转动时，i '、j '、k ' 在动系中为常矢量，但在静系中不再为常矢量。 di ' dA dx' dy ' dz ' dj ' dk ' db x' i ' j ' k ' y' z' b 泊松公式 dt dt dt dt dt dt dt dt ~ dA 为动系转动角速 x' ( i ' ) y ' ( j ' ) z ' ( k ' ) dt 度矢量 ~ dA A dt
当牵连运动为平动时，
drO ' dvO ' d 2 rO ' ve vO ' ，ae aO ' , 2 dt dt dt ~ ~ dvr dvr dr ' dr ' vr , ar dt dt dt dt
7
一、速度合成定理
例 （用绝对法求解） 半径为r、偏心距为e的圆形凸轮以匀角速度ω绕定轴O转动，AB 杆长l，其A端置于凸轮上。图示位置AB水平，OA铅直，OC水 平，求此瞬时AB杆角速度、角加速度。
有些问题用绝对法求解较繁，尤其求特殊位置上的运动规律时。 而用合成法可能很简单。
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第7章 点的合成运动
本章为重点内容之一。 本章和下章应特别注意概念的重要性（严格、准确掌握）。
r rO' r '
求导
dr drO' dr ' dt dt dt
~ dr ' v a vO ' dt
速度合成定理
va ve vr
上页公式 事实上，与
动系运动形 式无关。
二、加速度合成定理
dva dve dvr va ve vr dt dt dt 求导
解题步骤： （一）选动点、动系（及静系——可默认为地面）； （二）分析动点的各种运动，画运动图（速度、加速度图）； （三）求解。
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例1：例7-1(老书例8-1)（求速度）
凸轮顶杆机构。 已知凸轮偏心 距OC = e，半 径 ve r 3e, 匀角 速度 0 。当 OC与CA垂直 时，求AB的速 度。
矢量函数对时间的导数与坐标系选取有关吗？ 矢量 A xi yj zk x' i ' y' j ' z' k ' 一、定义
z
A
z
x
y
静系中 动系中 y dA Δ A dx dy dz 绝对导数 lim i j k x dt t 0 Δ t dt dt dt ~ ~ ~ ~ ~ dA ΔA d x' dy' dz ' dx ' dy ' d z ' 相对导数 lim i ' j ' k ' i ' j ' k' dt Δt 0 Δt dt dt dt dt dt dt ~ ~ ~ dx ' d x ' dy ' d y ' dz ' d z ' , , 这里 标量变量对时间导数与坐标系无关 dt dt dt dt dt dt
二、动系平动时绝对导数和相对导数的关系 A x' i ' y' j ' z' k ' 当动系平动时，i '、j '、k ' 在动系和静系中均为常矢量。 ~ 动系平动时： dA dx ' dy ' dz ' dA i ' j ' k '0 dt dt dt dt dt 矢量的绝对导数 = 相对导数
§7-1 点的合成运动的有关概念
例1 汽车内行走的人。
汽车以速度 v 向前运动， 人以速度 u 相对汽车向前
运动，研究人的运动。从
车厢观察，人的速度为
从地面观察，人的速度为 u ＋ 。v u
，
2
分析这一问题，有以下事实：
y
y´
点 绝对 运动
地面 （静系） 牵连 刚体 运动 汽车 （动系）
ae a B r , a a r
n e n B


2

n ae
由加速度合成定理， n aa ae ae ar 在y轴上投影：
n aa ae cos ae sin
2
aa r cos r sin
作业：7-11、12、15、17
a B n aB
ae
aa ar

aen
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分析：（易分析，略） 解：动点小环M，动系BC杆， 画加速度图。牵连加速度与B点 相同：
a e a r , B
n aen a B r 2
a B n aB
ae
aa ar

aen
va
vr
问题：先考虑用绝对法如何求？
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分析： 运动机构的目的是传递运动和将运动状态改 变。在用合成法求解问题时，动点一般选在两 物体接触的部位（具体如何选后面将逐步讨 论），而且总选特殊点。
ve 首先看清机构如何构成，各物体作何种运动，
va
vr
已知和待求量。 欲求AB速度，因其作平动，故只求其上一点 的速度即可，而AB上A点在二物体的接触部位， 故试选AB上A点为动点；在选动点的同时，应 选动系，动系一般选在另外的刚体上，显然选 凸轮；静系选地面。 这种选法是否可行，要作进一步分析。分析三种运动和三种轨迹，若较简 单和易分析，则可行。绝对运动：沿AB的直线运动；相对运动：沿凸轮边 缘的圆周运动；牵连运动：绕O点的定轴转动。故均较简单。三种轨迹也 易知。试画速度图（注：一定为平行四边形），已知ve，故可求va。
§7-3 牵连运动为平动时速度、加速度合成定理
速度合成定理 在前面已经得 到，这里再系 统推一下。 动点M，静系Oxyz，动系O'x'y'z'。
dv a d 2 r dr v 2 静系中， a ，aa dt dt dt ~ ~ ~ d vr d 2 r ' dr ' v ，ar 2 动系中， r dt dt dt
16
11
2e 0 3
ve va vr
例2：(老书例8-3)（求速度） 图示机构，半圆凸轮半径为R， 速度为v，已知θ。求AB杆的 角速度。