吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮复习 专题五平面向量教案
高考数学第二轮复习 平面向量教学案
2011年高考其次轮专题复习（教学案）：平面对量考纲指要：重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
考点扫描：1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。
2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。
3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面对量的基本定理。
4．平面对量的坐标表示。
5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：假如与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。
考题先知：例1．已知二次函数f（x）＝x2－2x＋6，设向量a＝（sin x，2），b＝（2sin x，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）>f（c·d）的解集为___________．解：a·b＝2sin2x＋1≥1， c·d＝cos2x＋1≥1，f（x）图象关于x＝1对称，∴f（x）在（1，＋∞）内单调递增．由f（a·b）>f（c·d）a·b>c·d，即2sin2x＋1>2cos2x＋1，又∵x∈[0，π] ，∴x∈（）．故不等式的解集为（）．例2．求函数的值域.分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关学问求函数的值域。
解:由于，所以构造向量,,则,而,所以,得,另一方面:由,得,所以原函数的值域是.点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。
类比一：已知，求的最值。
解：已知等式可化为，而，所以构造向量，则，从而最大值为42，最小值为8。
高考数学第二轮专题复习平面向量教案
高考数学第二轮专题复习平面向量教案一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
高考数学知识点《平面向量》复习教案
高考数学知识点《平面向量》复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2021届高考数学知识点«平面向量»温习教案，希望能给大家带来协助!平面向量的坐标运算一.温习目的：1.了解平面向量基本定理，了解平面向量的坐标概念，会用坐标方式停止向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标方式的平行的条件;2.学会运用分类讨论、函数与方程思想处置有关效果。
二.主要知识：1.平面向量坐标的概念;2.用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算战争行等等;3.会应用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹效果.三.课前预习：1.假定向量 ,那么 ( )2.设四点坐标依次是，那么四边形为 ( )正方形矩形菱形平行四边形3.以下各组向量，共线的是 ( )4.点 ,且有 ,那么。
5.点和向量 = ,假定 =3 ,那么点B的坐标为。
6.设 ,且有 ,那么锐角。
四.例题剖析：例1.向量，，且，务实数的值。
小结：例2. ，(1)求 ;(2)当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向?小结：例3.点 ,试用向量方法求直线和 ( 为坐标原点)交点的坐标。
小结：例4.点及 ,试问：(1)当为何值时, 在轴上? 在轴上? 在第三象限?(2)四边形能否能成为平行四边形?假定能,那么求出的值.假定不能,说明理由。
小结：五.课后作业：班级学号姓名1. 且，那么锐角为 ( )2.平面上直线的方向向量，点和在上的射影区分是和，那么，其中 ( )2 -23.向量且，那么 = ( )(A) (B) (C) (D)4.在三角形中，，点在中线上，且，那么点的坐标是 ( )5.平面内有三点，且∥ ，那么的值是 ( )1 56.三点共线的充要条件是 ( )7.假设 , 是平面内一切向量的一组基底，那么以下命题中正确的选项是 ( )假定实数使，那么空间任一向量可以表示为，这里是实数对实数，向量不一定在平面内对平面内任一向量，使的实数有有数对8.向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ ____.9. ，那么与平行的单位向量的坐标为。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮复习 专题五《平面向量》教案
2013东北师大附中高考第二轮复习：专题五《平面向量》【考点梳理】一、考试内容1.向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。
2.平面向量的坐标表示，线段的定比分点。
3.平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。
4.平移及平移公式。
二、考试要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加法与减法。
3.掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
三、考点简析1.平面向量知识结构表2.向量的概念（1）向量的基本概念①定义既有大小又有方向的量叫做向量。
向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
③表示法几何法：画有向线段表示，记为AB或α。
坐标法：AB=xi+yj=(x,y)。
AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)（2）向量的运算①向量的加法与减法定义与法则（如图5－1）：a+b=(x1+x2,y1+y2),a－b=(x1－x2,y1－y2)。
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5－2）：λa=λ(x,y)=(λx, λy)运算律λ（μa ）=(λμ)a ,( λ+μ)a =λa +μa , λ(a +b )= λa +λb 。
③平面向量的数量积定义与法则（如图5－3）： a ·b =|a ||b |cos θ(a ≠0,b ≠0,0≤θ≤π) 0·a =0,a ·b =x 1x 2+y 1y 2[a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)]。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第二轮复习 第12讲 平面向量的基本性质与运算导学案
第12讲 平面向量的基本性质与运算一、复习目标（1）理解平面向量的几何及坐标表示的实际意义，会进行向量的代数几何运算。
（2）掌握向量共线与垂直的充要条件，会用分类讨论、函数与方程、数形结合思想解决有关问题。
二、课前热身1、若c b a,,为任意向量，R m ，则下列等式不一定成立的（ ）A 、)()(c b a c b aB 、b a c a c b a )(C 、b m a m b a m )(D 、)()(c b a c b a2、已知向量1, e e a 满足对任意R t 恒有e a e t a则（ ） A 、e a B 、)(e a a C 、)(e a e D 、)()(e a e a3 、若b a c b a ,2,1且a c 则向量a 与b的夹角为（ ）A 、6 B 、3C 、32D 、654、已知向量)10,(),5,4(),12,(k C O B O k A O若A 、B 、C 三点共线则 k5、点O 是ABC 所在平面中的一点，满足A O C O C O B O B O A O则点O 是ABC 的( )A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 三、【例题探究】 例1. 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）（1）若|c |52 ，且//，求c 的坐标；（2）若)2,2( b，且m 与m 垂直，求实数m 的值.例2、已知平面上三个向量a 、b 、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.（1）求证：)(b a ⊥c；（2）若1|| c b a k)(R k ，求k 的取值范围.例3．已知向量))42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2( x x b x x a。
求b a x f)(函数)(x f 的最大值、最小正周期，并写出)(x f 在 ,0上的单调区间。
备用题：如图,在平面斜坐标系xoy 中,∠xoy =60º,平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的: 若21e y e x ,(其中21,e e 分别为与x 轴,y 轴同方向的单位向量),则P 点斜坐标为 y x ,.1若P 点斜坐标为 2,2 ,求P 到O 的距离PO ;2求以O 为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程.四、方法点拨：1、 向量的平行、垂直的充要条件；向量的模、向量的数量积是高考考查的重点；2、 向量的模如何转化成实数间的运算是本题的关键（2a a）； 3、 向量中涉及到三角的基础知识、基本化简。
高三数学复习教案设计： 《平面向量》
人类的心正是凭借着希望而得到宽慰，一直生活到生命的最后时刻。
下面是为您推荐高三数学复习教案设计：《平面向量》。
【知识网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时，建议：1. 注意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.3. 学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化.【考点指津】1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念.2.掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则.3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.【知识在线】1.（2a 8b）-（4a-2b）=2.在△ABC中，BC→=a，CA→=b，则AB→=3.设a表示向东3km，b表示向北偏东30o走3km，则a b表示的意义为4.画出不共线的任意三个向量，作图验证a-b-c=a-（b c）.5.向量a、b满足|a|=8，|b|=10，求|a b|的最大值、最小值.【讲练平台】例1 化简以下各式：①AB→ BC→ CA→ ；②AB→ -AC→ BD→ -CD→ ；③OA→ -OD→ AD→ ；④NQ→ QP→ MN→ -MP→ .结果为0的个数为（）分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.答 D.点评本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.注意：AB→=-BA→ ，CB→=AB→ .变题作图验证A1A2→ A2A3→ A3A4→ … An-1An→=A1An→ （n≥2，n∈N）.例2 如图，在δABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→=3a，CB→=2b，求CD→ ，CE→ .分析本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根据AD→ 、AE→ 、AB→ 均为共线向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .解AB→=AC→ CB→=-3a 2b，因D、E为AB→ 的两个三等分点，故AD→=AB→=-a b=DE→ ，CD→=CA→ AD→=3a-a b=2a b，CE→=CD→ DE→=2a b-a b=a b.点评三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→=mPA→ nPB→ ，且m n=1.分析 A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得AC→=λAB→ .很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC→ 、AB→ ，对此，我们不妨利用PC→=PA→ AC→ 来转化，以便进一步分析求证.证明充分性，由PC→=mPA→ nPB→ ， m n=1，得PA→ AC→=mPA→ n（PA→ AB→ ）=（m n）PA→ nAB→=PA→ nAB→ ，∴AC→=nAB→ .∴A、B、C三点共线.必要性：由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC→=λAB→ ，即AP→ PC→=λ（AP→ PB→ ）.PC→=（λ-1）AP→ λPB→=（1-λ）PA→ λPB→ ，m=1-λ，n=λ，m n=1，PC→=mPA→ nPB→ .点评逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识.变题在δA BC 所在平面上有一点P ，满足PA→ PB→ PC→=AB→ ，试确定点 P的位置.答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点（距 A点较近）例4 （1）若点 O是三角形ABC的重心，求证：OA→ OB→ OC→=0；（2）若 O为正方形ABCD的中心，求证：OA→ OB→ OC→ OD→=0；（3）若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA→ OB→ OC→ OD→ OE→=0.若 O为正n边形A1A2A3…A n的中心，OA1→ OA2→ OA3→ …OAn→=0 还成立吗？说明理由.分析本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似.正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究.看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A1A2→ A2A3→ A3A4→ … An-1An→ AnA1→=0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也转化成首尾相接的形式呢？运用向量相等的定义试试看.解证（3）以 A为起点作AB′→=OB→ ，以B′为起点作B′C′→=OC→ ，以C′为起点作C′D′→=OD→ ，以D′为起点作D′E′→=OE→ .∵∠AOB=72o，∴∠OAB′=108o.同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o，故∠D′E′A=108o.|OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |，故E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形.OA→ OB→ OC→OD→ OE→=OA→ AB′→ B′C′→ C′D′→D′E′→=0.正三角形，正方形、正n边形可类似获证.点评本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA→ OB→ 与OC→ OD→ 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.【知能集成】1. 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.【训练反馈】1.下列各式正确的是：（）A.∣a-b∣≤∣a∣ ∣b∣B. a b∣>∣a∣ ∣b∣C.∣a b∣>∣a-b∣D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣2.下面式子中不能化简成AD→ 的是（）A.OC→ -OA→ C D→B.PB→ -DA→ -BP→C.AB→ -DC→ BC→D.（AD→ -BM→ ）（BC→ -MC→ ）3.正方形ABCD的边长为1，AB→=a，BC→=b，AC→=c，则a b c、a-b c、-a-b c 的摸分别等于 .4.设a、b 为已知向量，若3x 4y=a，2x-3y=b ，则 x=.y=.5. 已知 e1、e2 不共线，AB→=2e1 ke2，CB→=e1 3e2，C D→=2e1-e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k .6.在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA→=a，OE→=b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，结果分别为（），-b-a，-a B. b，-a，b-a，a，，-a，a b7. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.8.已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP→=，则P在（）A.∠AOB的平分线所在直线上B. 线段AB的中垂线上C. AB边所在的直线上D. AB边的中线上.9.设O是平面正多边形A1A2A3…A n 的中心，P为任意点，求证：PA1→ PA2→ PA3→ … PAn→=nPO→ .10.如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→ ∶BC→=2∶3，OA→=a，OB→=b，OC→=c，则OP→ ，OQ→ .为△ABC所在平面内一点，PA→ PB→ PC→=0 ，则P为△ABC的（）A.重心B.垂心C. 内心D.外心12.在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：EF→=（AB→DC→ ）.第30课向量的坐标运算【考点指津】1. 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应.2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.【知识在线】1. 若向量a的起点坐标为（-2，1），终点坐标为（2，-1），则向量a的坐标为2.若O为坐标原点，向量a=（-3，4），则与a共线的单位向量为3.已知a=（-1，2），b=（1，-2），则a b与a-b的坐标分别为（）A.（0，0），（-2，4）B.（0，0），（2，-4）C.（-2，4），（2，-4）D.（1，-1），（-3，3）4.若向量a=（x-2，3），与向量b=（1，y 2）相等，则（）A. x=I，y=3，B. x=3，y=1C. x=1，y=-5D. x=5，y=-15.已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点.（1）求证四边形ABCD为平行四边形；（2）试判断AM→ 、CN→ 是否共线？为什么？【讲练平台】例1 已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，ka b与a-3b平行？分析已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.解由已知a=（1，2），b=（-3，2），得a-3b=（10，-4）， ka b=（k-3，2k 2）.因（ka b）∥（a-3b），故10（2k 2） 4（k-3）=0.得k=- .点评坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.例2 已知向量a=（，），b=（-1，2），c=（2，-4）.求向量d，使2a，-b c及4（c-a）与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.分析四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d （x，y）的方程组，不难求得x、y.简解设向量d的坐标为（x，y），由2a （-b c） 4（c-a） d=0，可解得d=（-9，23）.点评数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.例3 已知平面上三点P（2，1），Q（3，-1），R（-1，3）.若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.分析平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.简解设S的坐标为（x，y）.（1）当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，若PQ→=RS→ ，则（3，-1）-（2，1）=（x 1，y-3），即（1，-2）=（x 1，y-3），得S点坐标为（0，1）.若PQ→=SR→ ，则S点坐标为（-2，5）.（2）当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，若PR→=SQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PR→=QS→ ，则S点的坐标为（0，1）.（3）当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，若PS→=RQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PS→=QR→ ，则S点的坐标为（-2，5）.综上所述，S点坐标可以为（0，1），（6，-3），（-2，5）.点评本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.例4 向量PA→=（k，12），PB→=（4，5），PC→=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线.分析三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→=λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.解AB→=PB→ -PA→=（4-k，-7），BC→=PC→ -PB→=（6，k-5）.当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→=λBC→ ，将坐标代入，得4-k=6λ，且 -7=λ（k-5），故（4-k）（k-5）=-42.解得k=11，或k=-2.点评向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.变题求证：互不重合的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条件是（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1）.证明必要性（略）.充分性若（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1），由A、B、C互不重合，得（x2-x1）、（y3-y1）、（x3-x1）、（y2-y1）中至少有一个不为零，不妨设x3-x1≠0.令x2-x1=λ（x3-x1），若λ=0，则x2-x1=0，此时y2≠y1（否则A、B重合）.而已知等式不成立，故λ≠0.于是（x3-x1）（y2-y1）=λ（x3-x1）（y3-y1）.因x3-x1≠0 ，故（y2-y1）=λ（y3-y1）.于是（x2-x1，y2-y1）=λ（x3-x1，y3-y1），即AB→=λAC→ ，且AC→ ≠0 .又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线.【知能集成】基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.基本思想：将向量等式转化成方程的思想；对几何图形的分类讨论思想.【训练反馈】1.若a=（2，3），b=（4，y-1），且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D. 82.已知点B的坐标为（m，n），AB→ 的坐标为（i，j），则点A的坐标为（）A.（m-i，n-j）B.（i-m，j-n）C.（m i，n j）D.（m n，i j）3.若A（-1，-1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则x=.4.已知a=（5，4），b=（3，2），则与2a-3b平行的单位向量为5.有下列说法① 已知向量PA→=（x，y），则A点坐标为（x，y）；② 位置不同的向量，其坐标有可能相同；③ 已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i-4j ；④ 设a=（m，n），b=（p，q），则a=b的充要条件为m=p，且n=q.其中正确的说法是（）A.①③B.①④C.②③D.②④6.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是（）A.a=（-1，2），b=（0，5）B.a=（1，2），b=（2，1）C.a=（2，-1）b=（3，4）D.a=（-2，1），b=（4，-2）7.设a=（-1，2），b=（-1，1），c=（3，-2），用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa qb，则（）A.p=4， q=1B.p=1， q=-4C.p=0 ， q=4D.p=1， q=48.设i=（1，0），j=（0，1），在平行四边形ABCD中，AC→=4i 2j，BD→=2i 6j，则AB→ 的坐标为 .9.已知3s inβ=sin（2α β），α≠kπ ，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan （α β）），b=（1，tanα），求证：a∥b.10.已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标（x，y）.11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→=OA→ tAB→ .（1）当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？（2）当t取何值时，点P在y轴上？（3） OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由.第31课平面向量的数量积【考点指津】1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.3. 掌握向量垂直的条件.【知识在线】1.若∣a∣=4，∣b∣=3，a？b=-6，则a与b的夹角等于（）A.150o B 120o C.60o D.30 o2.若a=（-2，1），b=（1，3），则2a2-a？b=（）A，3.已知向量 i=（1，0），j=（0，1），则与向量2i j垂直的一个向量为（）A. 2i-jB. i-2jC. i jD. i-j4.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，且c⊥a，则C点坐标为5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a与b夹角为60o，∣ka-2b∣=13，求k的值【讲练平台】例1 （1）在直角三角形ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，求AB→ ？BC→（2）若a=（3，-4），b=（2，1），试求（a-2b）？（2a 3b）分析（1）中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角容易求得，故可用公式a？b=|a||b|cosθ求解.（2）中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a？b，也可求a-2b与2a 3b 的坐标，进而用（x1，y1）？（x2，y2）=x1x2 y1y2求解.解（1）在△ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC=，AB→ 与BC→ 的夹角θ=π-∠ABC，∴AB→ ？BC→=-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3×=-9.（2）解法一 a-2b=（3，-4）-2（2，1）=（-1，-6），2a-3b=2（3，-4） 3（2，1）=（12，-5），（a-2b）？（2a 3b）=（-1）×12 （-6）×（-5）=18.解法二（a-2b）？（2a 3b）=2a2-a？b-6b2=2[32 （-4）2]-[3×2 （-4）×1]-6（22 12）=18.点评向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，（1）中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角.从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a？（b c）=a？b b？c，而（a？b）c≠a（b？c）.例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2 BC2=OB2 CA2，试用向量方法证明AB⊥OC .分析要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ ？OC→=0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→=AO→ OB→ 代换，于是只需证AO→ ？OC→=BO→ ？OC→ .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.证明由已知得OA→ 2 BC→ 2=OB→ 2 CA→ 2，即OA→ 2 （BO→OC→ ）2=OB→ 2 （CO→ OA→ ）2，整理得AO→ ？OC→=BO→ ？OC→ ，即OC→ ？（BO→ OA→ ）=0，故OC→ ？AB→=0.所以AB→ ⊥OC→ .点评用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.例3.设OA→=a=（ 1， -1），OB→=b=（，3），试求∠AOB及δAOB的面积.分析已知a、b可以求|a|、|b|及a？b，进而求得∠AOB（即a与b的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S=∣a∣∣b∣sinθ求面积.解设∠AOB=θ，δAOB的面积为S，由已知得：∣OA→ ∣=∣a∣==2 ，∣OB→ ∣=∣b∣=2 ，∴cosθ===.∴θ=.又S=∣a∣∣b∣sinθ=？2=2 ，即∠AOB=，δAOB的面积为2 .点评向量的数量积公式a？b=∣a∣∣b∣cosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）.变题设δABC的面积为S，AB→=a，AC→=b，求证S=例4.已知a与b都是非零向量，且a 3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.分析要求夹角θ，必需求出cosθ；求cosθ需求出a？b与∣a∣∣b∣的比值（不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值）.由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与a？b的关系.解∵（a 3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），∴ （a 3b）？（7a-5b）=0，（a-4b）？（7a-2b）=0.即 7a2 16a？b-15b2=0，7a2-30a？b 8b2=0.两式相减，得 b2=2a？b.故 a2=b2 ，即∣a∣=∣b∣.∴cosθ==.∴θ=60o ， a与b的夹角为60o .点评从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a？b与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.在本题求解过程中注意，b2=2a？b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b.【知能集成】基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.【训练反馈】。
[推荐精选]XX届高考理科数学第二轮复习平面向量上课学习上课学习教案
![[推荐精选]XX届高考理科数学第二轮复习平面向量上课学习上课学习教案](https://img.taocdn.com/s3/m/dc8b234502768e9951e738b9.png)
XX届高考理科数学第二轮复习平面向量教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址XX届高考数学二轮复习专题五平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。
能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。
这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。
向量的坐标表示.平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则【典型例题】.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例1.设a=,b=,c=,则•c=（）A. B.0c.－3D.－11解：，•c，选c点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字例2、已知平面向量，且∥，则=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）c.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（c）。
[小初高学习]XX届高考理科数学第二轮复习平面向量上课学习上课学习教案
![[小初高学习]XX届高考理科数学第二轮复习平面向量上课学习上课学习教案](https://img.taocdn.com/s3/m/7918c7e9d15abe23482f4dcc.png)
XX届高考理科数学第二轮复习平面向量教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址XX届高考数学二轮复习专题五平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。
能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。
这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。
向量的坐标表示.平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则【典型例题】.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例1.设a=,b=,c=,则•c=（）A. B.0c.－3D.－11解：，•c，选c点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字例2、已知平面向量，且∥，则=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）c.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（c）。
平面向量运算复习课教案
平面向量运算复习课教案一、知识概述1.向量的定义平面向量平面向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
2.向量的表示向量有多种表示方法，常用的有以下几种：- 以带箭头的有向线段表示，箭头所指的方向为向量的方向；- 以字母表示；- 以坐标形式表示。
3.向量的运算加法- 几何意义：将两个向量的初点合并，终点相连得到一个新向量；- 可以满足交换律和结合律。
减法- 几何意义：将被减向量平移至与减向量重合，然后连接两个向量的起点和终点来得到一个新向量；- 等价于加上对应的相反向量。
数乘- 几何意义：将向量的长度乘上一个实数得到一个与原向量方向相同或相反的向量，当实数为负时，向量方向相反；- 支持分配律和结合律。
数量积- 几何意义：两个向量的数量积是一个标量，它等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量上的投影长度；- 支持交换律和分配律。
二、教学目标- 理解向量的定义和表示方法；- 掌握向量的加、减和数乘运算；- 熟悉向量的数量积及其应用。
三、教学重点和难点1.教学重点- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
2.教学难点- 向量的数量积的理解和应用。
四、教学方法- 以例题带动思考；- 鼓励学生自主思考，课后布置练。
五、教学过程1.引入- 向学生提出问题：有两个向量 a 和 b，如何求它们的和？- 让学生自由讨论一段时间，然后引出向量的加法运算。
2.讲解向量的加法、减法和数乘运算- 通过几何图形演示，讲解向量加法、减法和数乘的定义、性质和计算方法。
3.讲解向量的数量积- 通过几何图形演示，讲解向量数量积的定义和计算方法；- 通过例题，讲解向量数量积的性质和应用。
六、教学效果评估1.课堂测验- 布置一些选择题和填空题，考察学生对向量的定义、表示、运算和数量积的掌握情况。
2.作业- 布置一些练题和思考题，巩固和拓展学生对向量的理解和应用。
七、板书设计- 向量的定义；- 向量的表示；- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
平面向量二轮复习教学设计
平面向量二轮复习教学设计引言：平面向量是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学竞赛中常考的内容之一。
为了帮助学生复习平面向量的知识并提升其应用能力，本文设计了一节针对平面向量的复习教学。
目标：在本节课中，我们的目标是复习和巩固平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的加法和减法、向量的数量积以及平面向量的基本运算规则。
同时，通过一些典型的习题和应用题，培养学生分析和解决问题的能力。
教学内容：1. 向量的基本概念和表示方法（15分钟）- 复习向量的定义：有大小和方向的量。
- 复习向量的表示方法：用有向线段表示。
2. 向量的加法和减法（20分钟）- 复习向量的加法和减法的定义。
- 给出几个示例，让学生进行计算和分析。
3. 向量的数量积（30分钟）- 复习向量的数量积的定义和性质。
- 解释数量积的几何意义和计算方法。
- 给出几个应用题，让学生进行计算和分析。
4. 平面向量的基本运算规则（20分钟）- 复习平面向量的基本运算规则：交换律、结合律、分配率等。
- 给出几个示例，让学生进行推导和计算。
5. 综合应用题（30分钟）- 准备一些综合应用题，让学生综合运用平面向量的知识解决实际问题。
- 强调问题分析和解决方法，引导学生思考和讨论。
教学方法：1. 理论讲解与示范：通过讲解向量的基本概念和运算规则，并通过示例演示计算方法和解题思路。
2. 互动讨论与群体合作：在讲解的过程中，引导学生积极回答问题，并鼓励学生相互交流和讨论。
3. 实际应用与综合训练：通过提供一些实际问题和综合应用题，让学生运用所学的平面向量知识解决问题，提升其应用能力。
教学评价：为了评价学生的学习效果和掌握程度，本节课可采用以下方式进行评价：1. 平时表现：包括学生在课堂上的表现、回答问题的积极性和参与度等。
2. 作业评价：布置一些与教学内容相关的练习题或作业，通过批改和讲解答案来评价学生的学习情况。
3. 小组合作评价：对学生进行小组合作评价，评估学生在群体讨论和合作中的表现和贡献。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
高考数学知识点《平面向量》复习教案
届高考数学知识点《平面向量》复习教案【小编寄语】小编给大家整理了届高考数学知识点《平面向量》复习教案，希望能给大家带来帮助!平面向量的坐标运算一.复习目标：1.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件;2.学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。
二.主要知识：1.平面向量坐标的概念;2.用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等;3.会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题.三.课前预习：1.若向量 ,则 ( )2.设四点坐标依次是，则四边形为 ( )正方形矩形菱形平行四边形3.下列各组向量，共线的是 ( )4.已知点 ,且有 ,则。
5.已知点和向量 = ,若 =3 ,则点B的坐标为。
6.设 ,且有 ,则锐角。
四.例题分析：例1.已知向量，，且，求实数的值。
小结：例2.已知，(1)求 ;(2)当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向?小结：例3.已知点 ,试用向量方法求直线和 ( 为坐标原点)交点的坐标。
小结：例4.已知点及 ,试问：(1)当为何值时, 在轴上? 在轴上? 在第三象限?(2)四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值.若不能,说明理由。
小结：五.课后作业：班级学号姓名1. 且，则锐角为 ( )2.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中 ( )2 -23.已知向量且，则 = ( )(A) (B) (C) (D)4.在三角形中，已知，点在中线上，且，则点的坐标是 ( )5.平面内有三点，且∥ ，则的值是 ( )1 56.三点共线的充要条件是 ( )7.如果 , 是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是 ( )若实数使，则空间任一向量可以表示为，这里是实数对实数，向量不一定在平面内对平面内任一向量，使的实数有无数对8.已知向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ ____.9.已知，则与平行的单位向量的坐标为。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作总结、教学总结、教学计划、教学心得、教学反思、说课稿、好词好句、教案大全、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, this store provides various types of classic sample essays for everyone, such as work summaries, teaching summaries, teaching plans, teaching experiences, teaching reflections, lecture notes, good words and sentences, lesson plans, essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!平面向量基本定理教案平面向量基本定理教案（精选10篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，时常需要编写教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。
东范大学附属高考数学二轮专题复习 平面向量教案 理
诚西郊市崇武区沿街学校第3讲平面向量【高考考情解读】从近几年高考来看，平面向量有以下几个考察特点：1.向量的加法，主要考察运算法那么、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考察运算才能和灵敏运用知识的才能；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．1．平面向量中的五个根本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都一一共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向一样或者者相反的向量叫一一共线向量(平行向量)．(4)假设直线l的斜率为k，那么a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．平面向量的两个重要定理(1)向量一一共线定理：向量a(a≠0)与b一一共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量根本定理：假设e1，e2是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3．平面向量的两个充要条件假设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4．平面向量的三个性质(1)假设a＝(x，y)，那么|a|＝＝.(2)假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么||＝.(3)假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，那么cosθ＝＝.考点一平面向量的概念及线性运算例1(1)(2021·)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.假设＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，那么λ1＋λ2的值是________．(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，那么向量在上的投影为________．答案(1)(2)解析(1)如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，那么λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.(2)由＋＋＝0，得＋＝.又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC.由||＝||＝2，知△AOC为等边三角形．故在上的投影为||cos∠ACB＝2cos＝.(1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．(2)运用向量加减法解决几何问题时，要擅长发现或者者构造三角形或者者平行四边形，使用三角形法那么时要特别注意“首尾相接〞．运用平行四边形法那么时两个向量的起点必须重合．(1)△ABC和点M满足＋＋＝0.假设存在实数m使得＋＝m成立，那么m的值是________．(2)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，假设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，那么λ＋μ的值是________．答案(1)3(2)6解析(1)∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．∴＋＝3，∴m＝3.(2)方法一如图，＝1＋1，|1|＝2，|1|＝||＝4，∴＝4＋2.∴λ＋μ＝6.方法二由＝λ＋μ，两边同乘，得2＝λ·＋0，∴λ＝4.∴＝4＋μ，两边同乘，得·＝4＋μ·，即3＝4＋(－)μ.∴μ＝2.∴λ＋μ＝6.方法三以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，那么A(1,0)，C(2cos30°，2sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1,0)，C(3，)，B(－，)．由＝λ＋μ得，∴.∴λ＋μ＝6.考点二平面向量的数量积例2(1)(2021·)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，假设·＝，那么·的值是________．(2)假设a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，那么|a＋b －c|的最大值为________．答案(1)(2)1解析(1)方法一坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，那么A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝(，0)·(x,2)＝x.又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)．∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.方法二用，表示，是关键．设＝x，那么＝(x－1).·＝·(＋)＝·(＋x)＝x2＝2x，又∵·＝，∴2x＝，∴x＝.∴＝＋＝＋.∴·＝(＋)·＝＝2＋2＝×2＋×4＝.(2)方法一由题意知a2＝b2＝c2＝1，又a·b＝0，∵(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，∴a·c＋b·c≥c2＝1，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，∴|a＋b－c|≤1.方法二设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，那么x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，那么(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x,1－y)，∴|a＋b－c|＝＝＝≤1.(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要擅长将相关向量分解为图形中模和夹角的向量进展计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．(1)(2021·)向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.假设A＝λ＋，且⊥，那么实数λ的值是________．(2)(2021·改编)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.假设||<，那么||的取值范围是________．答案(1)(2)解析(1)由⊥知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λA2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.(2)∵⊥，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝0，∴·－·－·＝－2.∵＝＋.∴－＝－＋－，∴＝＋－.∵||＝||＝1，∴2＝1＋1＋2＋2(·－·－·)＝2＋2＋2(－2)＝2－2，∵||<，∴0≤||2<，∴0≤2－2<，∴<2≤2，即||∈.考点三平面向量与三角函数的综合应用例3向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)假设α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)假设a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．解(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx，那么2sinxcosx＝t2－1，且－1<t<.那么y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－，即sin＝－，∵<x<π，∴<x＋<π，∴x＋＝π，∴x＝.∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值是.(2)∵a与b的夹角为，∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0.∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的详细要求，在向量和三角函数之间建立起联络，就可以根据向量或者者者三角函数的知识解决问题．向量a＝，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设a＝，b＝2，sinB ＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围．解(1)∵a∥b，∴cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－.∴cos2x－sin2x＝＝＝.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋，由正弦定理＝，可得sinA＝，∴A＝.∴f(x)＋4cos＝sin－，∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．∴－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤－.1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法那么进展，特别是减法法那么很容易出错，向量＝－(其中O为任意一个点)，这个法那么就是终点向量减去起点向量．2．根据平行四边形法那么，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直．3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或者者π的情况，如两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向一一共线．4．平面向量的综合运用主要表达在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要擅长根据向量知识分析解析几何中的几何关系.1．两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ(λ∈R)，那么λ＝________.答案1解析根据∠AOC＝120°，可知点C在射线y＝－x(x<0)上，设C(a，－a)，那么有(a，－a)＝(－2,0)＋(λ，λ)＝(－2＋λ，λ)，即得a＝－2＋λ，－a＝λ，消去a，得λ＝1.2．函数y＝tan(x－)(0<x<4)的图象如下列图，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，那么(＋)·＝______.答案8解析A点坐标为(2,0)，即＝(2,0)，由y＝tan(x－)的图象的对称性知A是BC的中点．∴＋＝2，∴(＋)·＝2·＝2×||2＝8.3．在△ABC中，向量m＝(2cosB,1)，向量n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，且满足|m＋n|＝|m－n|.(1)求角B的大小；(2)求sinA＋sinC的取值范围．解(1)由|m＋n|＝|m－n|，可知m⊥n⇔m·n＝0.然而m＝(2cosB,1)，n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，所以有m·n＝2cosB－sin2B－1＋sin2B＝2cosB－1＝0，得cosB＝，从而B＝60°.(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(120°－A)＝sinA＋cosA＝sin(A＋30°)．又0°<A<120°，那么30°<A＋30°<150°，<sin(A＋30°)≤1.所以<sinA＋sinC≤，即sinA＋sinC的取值范围是(，]．(推荐时间是是：60分钟)一、填空题1．以下命题中正确的序号是________．①假设λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0；②假设a·b＝0，那么a∥b；③假设a∥b，那么a在b上的投影为|a|；④假设a⊥b，那么a·b＝(a·b)2.答案④解析根据平面向量根本定理，必须在a，b不一一共线的情况下，假设λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0；②显然错误；假设a∥b，那么a在b上的投影为|a|或者者－|a|，平行时分两向量所成的角为0°和180°两种；a⊥b⇒a·b＝0，(a·b)2＝0.2．i与j为互相垂直的单位向量a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是________．答案(－∞，－2)∪解析a·b＝(i－2j)·(i＋λj)＝1－2λ>0，λ<，又a、b同向一一共线时，a·b>0，设此时a＝kb(k>0)，那么i－2j＝k(i＋λj)，∴∴λ＝－2，∴a、b夹角为锐角的λ的取值范围是(－∞，－2)∪.3．(2021·改编)点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，那么向量在方向上的投影为________．答案解析∵＝(2,1)，＝(5,5)，∴在方向上的投影为＝＝＝.4．(2021·改编)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，那么该四边形的面积为________．答案5解析∵·＝0，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝5.5．(2021·改编)a，b是单位向量，a·b＝0，假设向量c满足|c－a－b|＝1，那么|c|的取值范围是________．答案[－1，＋1]解析∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝，∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0<c2＋1≤2|c|，∴c2－2|c|＋1≤0，∴－1≤|c|≤＋1.6．假设点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，那么△ABM与△ABC的面积比为________．答案解析设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如下列图，故C，M，D三点一一共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，那么△ABM与△ABC的面积比为.7．(2021·)假设非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，那么a与b夹角的余弦值为________．答案－解析由条件得a2＝(a＋2b)2，即a·b＝－|b|2，cos〈a，b〉＝＝－.8．(2021·)向量a，b，c在正方形网格中的位置如下列图，假设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，那么＝________.答案4解析以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，那么a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa ＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.9．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°.如下列图，点C在以O为圆心的圆弧上运动．假设＝x＋y，其中x、y∈R，那么x＋y的最大值是________．答案解析设∠AOC＝α，那么∠COB＝90°－α，∴＝cosα·＋sinα·，即.∴x＋y＝cosα＋sinα＝sin≤.10．(2021·改编)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，那么BC＝________.答案解析∵·＝1，且AB＝2，∴1＝||·||cos(π－B)，∴||·||cosB＝－1.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即9＝4＋BC2－2×(－1)．∴BC＝.二、解答题11．(2021·)向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)假设|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，假设a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由条件，又0<β<α<π，cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，那么β＝π－α，sinα＋sin(π－α)＝1，sinα＝，α＝或者者α＝，当α＝时，β＝(舍去)；当α＝时，β＝.12．(2021·)向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b ＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)假设y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．解(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.故T＝＝π.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－.故f(x)＝2sin－.由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin－≤2－，故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．13．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝，且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)假设a＝，试判断bc获得最大值时△ABC的形状．解(1)由m＝(4，－1)，n＝，得m·n＝4cos2－cos2A＝4·－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3＝，解得cosA＝，∵0<A<π，∴A＝.(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc，∵b2＋c2≥2bc，∴3≥2bc－bc，即bc≤3.当且仅当b＝c＝时，bc获得最大值，此时a＝b＝c＝，△ABC为等边三角形．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013东北师大附中高考第二轮复习：专题五《平面向量》【考点梳理】一、考试内容1.向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。
2.平面向量的坐标表示，线段的定比分点。
3.平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。
4.平移及平移公式。
二、考试要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加法与减法。
3.掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
三、考点简析1.平面向量知识结构表2.向量的概念（1）向量的基本概念①定义既有大小又有方向的量叫做向量。
向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
③表示法几何法：画有向线段表示，记为AB或α。
坐标法：AB=xi+yj=(x,y)。
=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)（2）向量的运算①向量的加法与减法定义与法则（如图5－1）：a+b=(x1+x2,y1+y2),a－b=(x1－x2,y1－y2)。
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5－2）：λa=λ(x,y)=(λx, λy)运算律λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。
③平面向量的数量积定义与法则（如图5－3）：a·b=|a||b|cosθ(a≠0,b≠0,0≤θ≤π)0·a=0,a·b=x1x2+y1y2[a=(x1,y1),b=(x2,y2)]。
运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。
（3）定理与公式①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的。
任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2③两向量垂直的充要条件(i)a⊥b⇔a·b=0(ii)a⊥b⇔x1·x2+y1·y2=0（a=(x1,y1),b=(x2,y2)）④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使=α+β，其中α+β=1，O 为平面内的任一点。
⑤数值计算公式 两点间的距离公式：|21P P |=212212)()(y y x x -+-[P 1(11,y x ),P 2(x 2,y 2)] 线段的定比分点坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x[P 1 (x 1,y 1),P 2 (x 2,y 2),P(x,y), P 1 =λ2PP] 中点坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x两向量的夹角公式： cos θ=||||b a b a ⋅⋅=222221212121y x y x y y x x +⋅++[0°≤θ≤180°,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)]⑥图形变换公式 平移公式：若点P 0(x,y)按向量a =(h,k)平移至P(x ′,y ′)， 则⎩⎨⎧+=+=.''k y y hx x⑦有关结论(i)平面内有任意三个点O ，A ，B 。
若M 是线段AB 的中点，则OM =21(OA +OB ); 一般地，若P 是分线段AB 成定比λ的分点（即AP =λPB ，λ≠－1）则OP =λ+11OA +λλ+1OB ，此即线段定比分点的向量式（注意与例7（1）表述方法的不同，例7（1）用时很方便）。
(ii)有限个向量a 1,a 2,…,a n 相加，可以从点O 出发，逐一作向量1=a 1, 21A A =a 2,…, n n A A 1-=a n ,则向量n OA 即这些向量的和，即a 1+a 2+…+a n =1OA +21A A +…+n n A A 1-=n OA （向量加法的多边形法则）。
当A n 和O 重合时（即上述折线OA 1A 2…A n 成封闭折线时），则和向量为零向量。
注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。
3.向量的应用（1）向量在几何中的应用 （2）向量在物理中的应用四、思想方法向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。
向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。
【例题解析】例1 设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |·a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。
上述命题中，假命题个数是（ ）A.0B.1C.2D.3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a =－|a |a 0，故（2）、（3）也是假命题。
综上所述，答案选D 。
注 向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
例2 已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，其中k>0， （1）用k 表示a ·b ;（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小。
解 （1）要求用k 表示a ·b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得 |k a +b |2=(3|a －k b |)2k 2a 2+b 2+2k a ·b =3(a 2+k 2b 2－2k a ·b )∴8k ·a ·b =(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2a ·b =kk k 8)13()3(2222b a -+-∵a =(cos α，sin α),b =(cos β,sin β)，∴a 2=1, b 2=1,∴a ·b =k k k 813322-+-=k k 412+（2）∵k 2+1≥2k ，即kk 412+≥k k 42=21∴a ·b 的最小值为21， 又∵a ·b =| a |·|b |·cos γ，|a|=|b|=1∴21=1×1×cos γ。
∴γ=60°,此时a 与b 的夹角为60°。
注 与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a +b |2=|(a +b )2|=a 2+b 2+2a ·b 或|a |2+|b |2+2a ·b例3 已知|a |=1,|b |=1，a 与b 的夹角为60°, x=2a －b ,y=3b －a ,则x 与y 的夹角是多少？ 解 由已知|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60°,得a ·b =|a |·|b |·cos α=21。
要计算x 与y 的夹角，需求出|x|,|y|,x ·y 的值。
∵|x|2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3， |y|2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y=(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b=7a ·b －2a 2－3b 2=7×21－2－3=－23， 又∵x ·y=|x|·|y|·cos α，即－23=3·7cos α∴cos α=－1421，α=π－arccos 1421。
注 在计算x,y 的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得，如图所示，设AB =b , AC =a ,AD =2a ,∠BAC=60°。
由向量减法的几何意义，得BD =AD －AB =2a －b 。
由余弦定理易得|BD |=3，即|x|=3，同理可得|y|=7. 例4 讨论|a －b |与a ,b 的和或差的模的大小关系。
解 如图：（1）当a 与b 不平行时，a ,b 以及a －b 可以构成一个三角形，如图，于是|| a |－|b ||<|a －b |<|a |+|b | （2）当a 与b 平行时，如果a 与b 的方向相同，则有|a －b |=||a |－|b ||，其中当|a |≥|b |时，有 |a －b |=|a |－|b |，当|a |<|b |时，有|a －b|=|b|－|a|。
如果a 与b 的方向相反，则有 |a －b |=|a |+|b |注 利用几何意义（三角形的两边之和大于第三边）解向量中的有关问题是常用方法。
例5 （1）已知a ,b 是两个非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b的夹角；（2）已知：|a |=2,|b |=3,a 和b 的夹角为45°，求使向量a +λb 与λa +b 的夹角是锐角时λ的取值范围。
解 （1）∵a +3b 与7a －5b 垂直，∴（a +3b ）·(7a －5b )=0,即7|a |2+16a ·b －15|b |2=0， ①又∵a －4b 与7a －2b 垂直，∴（a －4b ）·(7a －2b )=0。
即7|a |2－30a ·b +8|b |2=0。
②①－②得46a ·b =23|b |2,得a ·b =21|b |2, 代入①可得|a |=|b |，设所求a 与b 的夹角为θ，则cos θ=||||b a b a ⋅=22||||21a a =21,∴θ=60°。