新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理(2)

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苏科版数学八年级上册3.1《勾股定理》教学设计2

苏科版数学八年级上册3.1《勾股定理》教学设计2一. 教材分析《勾股定理》是苏科版数学八年级上册3.1节的内容，本节课的主要内容是让学生通过探究、发现、验证勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

教材通过丰富的情境和实例，引导学生自主探究，发现并证明勾股定理，让学生感受数学的趣味性和实用性。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识，具备了一定的观察、操作、推理能力。

但勾股定理的证明较为复杂，需要学生在探究过程中克服困难，发现规律。

此外，学生对数学史的了解较少，需要在教学中加以补充。

三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和意义。

2.掌握勾股定理的证明方法。

3.能够运用勾股定理解决实际问题。

4.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

5.感受数学的趣味性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明方法。

2.难点：学生自主探究、发现并证明勾股定理的过程。

五. 教学方法1.引导探究法：引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探究勾股定理。

2.情境教学法：通过丰富的情境和实例，让学生感受数学的趣味性和实用性。

3.讲授法：讲解勾股定理的定义、意义和证明方法。

4.小组合作学习法：学生分组讨论，共同完成探究任务。

六. 教学准备1.准备相关的情境和实例，用于引导学生自主探究。

2.准备勾股定理的证明方法，用于讲解和展示。

3.准备课堂练习题，用于巩固所学知识。

4.准备拓展任务，用于提高学生的应用能力。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用情境和实例，引导学生思考直角三角形的特点，引出勾股定理的概念。

2.呈现（10分钟）展示勾股定理的证明方法，引导学生观察、操作、推理，发现并证明勾股定理。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成探究任务，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）讲解勾股定理的定义、意义和应用，让学生理解并掌握勾股定理。

5.拓展（10分钟）布置拓展任务，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力。

苏科版数学八年级上册 3.1 勾股定理学案

课题：3.1勾股定理第 1 课时【学习目标】1．知识目标：能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用2．能力目标：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.3．情感态度价值观：通过对勾股定理历史的了解，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.【学习重难点】重点：探索勾股定理难点：利用数形结合的方法验证勾股定理【学习过程】一、预习导学环节动手操作：剪4个全等的直角三角形，你能不能用它们围成一个正方形呢？观察你拼的图思考:（1）大正方形面积怎么求？（2）如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，大正方形面积又如何求？（3）你有什么发现？二、课堂助学环节 1. 导入：1.归纳：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．那么．公式变形：练习1.求下列图形中未知正方形的面积a b c 222c b a =+弦股勾100DCB A2．求下列直角三角形中未知边的长度：3、一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( )A.3 米B.4 米C.5米D.6米2. 整体感知：例1、如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD∠︒=90DBC 12,4,3===BC AB AD ，求CD .3.合作探究：例2. 受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高?4.质疑解疑：如图，设小方格的面积是1，画出图中以格点为端点且长度为5的线段。

512178_x_9 _ 10三、当堂检测： 1、判断题(1)若a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c +=. （） (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （）2、填空: 在Rt ΔABC 中,∠C=900. ①若a=6,c=10 ,则b=____; ②若a:b=3:4,c=10,则a=____,b=____; ③若a=6,b=8,则斜边c 上的高h=______.3、选择：若直角三角形的三边为6、8、x ，则x 的长为（）A.6B.8C.10D.以上答案均不对4、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?四、课后作业1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25B 、14C 、7D 、7或252.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（） A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、60cm 23.一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里4.在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

苏科版-数学-八年级上册导学案：3.1勾股定理(2)

课题 3.1勾股定理（2）学段八上
撰稿人审核人审核
等第
优审核
时间
2014
/10/1
9
拟定学习目标1.经历探索用不同的方法验证勾股定理的过程，发展创新意识
2.体验解决问题方法的多样性，感受勾股定理的文化价值
拟定学习重点用不同的方法验证勾股定理的过程拟定学
习难点
应用勾股定理解
决问题的多样性
第一案：自学交流案
教学过程学情反馈
学习
任务
利用勾股定理解决实际问题
自我研读文本自学步骤与学法指导
1.写出勾股定理内容
2.说一说验证勾股定理的方法
学生
说课
各小组四人互相说课
自我
检测
课本81页探索和课本第82页练习
知者
加速
课本82页 4、5题
第二案：合作探究案
组织程序设计学情反馈会应用勾股定理解决实际问题
硬功
夫展
示
补充习题 47页 1—3题
小组
展示
补充习题48页 4—5题
问题
聚焦
与探
究
伴你学 58-59页 1、2题
形成
测试
知者
伴你学59页迁移应用1—3题
加速
典型
问题
教学反思小组评价表
小组参与度展示形式内容效果评价总分
小组评价
小组评价过程得分合计优秀组
小组评价五维标准（5分）
1、积极参与，态度端正
2、形式新颖，内容相符
3、内容准确，认真规范
4、彬彬有礼，团结协作
5、点评准确，公正合理。

苏科版数学八年级上册(教学设计)《3.1勾股定理》

《3.1勾股定理》这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，苏科版八年级上册第3章第一节。

勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。

【知识与能力目标】经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程；运用勾股定理解决实际问题；了解有关勾股定理的历史.【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中培养学生的思维能力和语言表达能力；通过问题的解决，提高学生的运算能力.【情感态度价值观目标】通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育.【教学重点】勾股定理.【教学难点】勾股定理的探索过程.多媒体、三角板一、情景引入：1.展示图片2．网格图中正方形的面积的求法．教材P78的图3－1中，以AB为一边的正方形的面积的常见求法有两种：（1）用“补”的方法：将边长为AB的正方形面积看成边长为_______的正方形面积与4个两直角边长分别为_______的小直角三角形面积的差；（2）用“割”的方法：将边长为AB的正方形面积看成边长为_______的正方形面积与4个两直角边长分别为_______的小直角三角形面积的和．2．勾股定理（1）直角三角形_________________________的平方和等于________________的平方．几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴_______2＋_______2＝c2．（2）我国古代把直角三角形较短的直角边称为“_______”，较长的直角边称为“_______”，斜边称为“_______”，所以勾股定理又称勾股弦定理，也叫毕达哥拉斯定理．二、典例精析例1．在△ABC中, ∠C=90°（1）若a=6，b=8，则c=________．（2）若a=9，b=12，则c=_______．（3）若a=5，c=13，则b=______________.（4）若a:b=3:4, c=20，则a=____,b=____________.练习：1、求下列图中字母所表示的正方形的面积。

最新2019-2020年度苏科版八年级数学上册：3.1勾股定理(2)教案-优质课教案

3.1勾股定理（2）教学时间：________教学目标：1.运用多种拼图方法，通过计算面积验证勾股定理；2.能正确地应用勾股定理解决一些简单问题.教学重点难点：．运用拼图方法，验证勾股定理．教学方法：教学过程：一.【情境创设】我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在《周髀算经》中给出的．图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗？图（1）图（2）2．剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形．大正方形的面积可以表示为_______，又可以表示为____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的方法（请逐一说明）．归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系．3．大家可以在课后继续研究更多的证明方法，自己阅读课本88页“勾股定理的证明”．二.【问题探究】问题1. 仔细研究下面的图形，试用不同的方法表示梯形ABCD 的面积，验证勾股定理.问题2.用8个全等的直角三角形和3个边长分别是a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如下图的两个正方形，运用面积计算，验证勾股定理.三.【拓展提升】a a a aa ab b b b b -- b c c c c cCBA DE如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求出线段CD的长.四.【课堂小结】五.【反馈练习】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是.2.若直角三角形的三边为6、8、x，则x2为.3.已知：如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求：（1）△ABE的面积；（2）BF的长.4.如图，每一个小方格的边长为1，请画出图中以格点为端点且长度为5的线段. 【教学反思】。

2019年八年级数学上册《3.1 勾股定理》学案2 (新版)苏科版 .doc

2019年八年级数学上册《3.1 勾股定理》学案2 （新版）苏科版预习目标1．在直角三角形中，已知两边，不作草图就能熟练地运用句股定理求出第三边的长．2．探索并总结用拼图验证勾股定理的一般方法：用两种不同的方法计算同一个图形的面积，从而列出等式并化简推导得到勾股定理．教材导读阅读教材P80～P81内容，回答下列问题：1．勾股定理的简单应用(1)在Rt△ABC中，∠A所对的边是a，∠B所对的边是6，∠C所对的边是c，若∠C＝90°，则_______2＋_____2＝______2．若∠A＝90°，则_______2＋_______2＝_______2；若，∠B＝90°，则_______2＋_______2＝_______2．(2)在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝13，AC＝12，则AB＝_______.在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8，AC＝10，则AB＝_______．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝61，BC＝60，则AC＝_______．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝25，AB＝20，则AC＝_______．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，BC＝7，则AC＝_______．2．勾股定理的一种验证方法一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C D'的位置，连接CC，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，利用梯形BCCD'的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.∵s梯形BCC'D＝（_______＋_______）· _______（梯形的面积公式）＝12(_______＋_______)(_______＋_______)＝12（_______＋_______）2，又∵S梯形BOC'D'＝S△ABC＋S△AC'D'＋_______＝12_______＋12_______＋12_______，∴_______＝_______，化简，得_______．例题精讲例1 如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11，求b的面积．提示：求b的面积即求AB或AD长度的平方，图中△ABC≌△DAE．解答：由题意，得AB＝AD，∠BCA＝∠AED＝90°，∠CBA＋∠CAB＝90°，∠DAE＋∠CAB＝90°，BC2＝5，DE2＝11．点评：正方形的面积就是边长的平方，此题综合考查了勾股定理及三角形全等的知识．例2 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A'，且B，C＝3，求AM的长．提示：根据图形翻折前后的特点，可知四边形ABNM与四边形A'B'NM全等，则MB＝MB'， MB与MB'可以分别看成是Rt△ABM与Rt△DB'M的斜边，因此可以运用勾股定理建立方程解决问题．点评：本题根据轴对称图形的相关性质，并灵活运用勾股定理建立方程，从而解决问题．本题较好地渗透了数形结合和方程的思想．热身练习1．若△ABC是直角三角形，它的两边长分别为8和15，则第三边长的平方是 ( )A．161 B．289 C．17 D．161或2892．等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为16 cm，则面积为 ( )A．96 cm2B．48 cm2C．24 cm2D．32 c m23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边是a，∠B所对的边是b，∠C所对的边是c．若a＝5，b＝12，则c＝_______；若a＝15，c＝25，则b＝_______；若c＝61，b＝60，则a＝_______；若a：b＝3：4，c＝10，则S△ABC＝_______．4．若△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的高为_______，最短边上的高为_______．5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．(1)求∠BAC的度数．(2)若AC＝4，求AD的长．参考答案1．D 2．B 3．13 20 11 24 4．2.4 4 5．(1)75°。

苏科版八年级数学上册勾股定理教案

勾股定理（2）教案1一、教学目的1．使学生掌握勾股定理及其证明。

2．通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，对学生进行受国主义教育、学习目的教育。

二、教学重点、难点重点；勾股定理的证明和应用。

难点：勾股定理的证明。

三、教学过程引言:直角三角形三边之间有一种特别重要的关系，早在我国古代就引起人们的兴趣。

我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。

人们还发现，在直角三角形中勾为6，股为8，弦必为10；勾为5，股为12，弦必为13，……。

而32+42=52，62+82=102，52+122=132，……即勾2+股2=弦2。

是否所有直角三角形都有这种性质呢事实上，可以证明，对于所有的直角三角形的三边都有这种关系，此关系我国把它称为“勾股定理”，现在我们就来学习这个定理。

新课勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

即a 2+b 2=c 2。

对于这个定理的证明可按教科书中所给的方法。

根据教科书中的方法事先用硬纸片拼好图形1-104。

a b b aa a c a a ba c cbb c b b b c c aa b a b图 1-104（1）先让学生观察，拼成的两个正方形边长都是a+b ，则面积相等。

再看这两个正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。

（2）分别写出左、右两个正方形的面积：在边正方形是四个全等直角三角形与两个正方形组成，其面积为22214b a ab ++⨯。

右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成，其面积为2214c ab +⨯。

（3）左、右两个正方形面积相等，即ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++， ∴ 222c b a =+。

（4）勾股定理的变形。

今后在运用勾股定理时，根据需要可将其变形为：222b c a -=或222a c b -=，从而可知，在Rt △中已知两边可求出第三边。

2017-2018学年苏科版八年级数学上册导学案：3.1勾股定理(2)

3.1勾股定理（2）【学习目标】1. 通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性。

巩固勾股定理的直接运用。

2. 通过简单实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能。

【预习研问】1. 通过面积的计算验证勾股定理：图形的面积可以整体表示，也可以表示成___________________面积之和，从而得到一个等式.2. 巩固勾股定理，勾股定理：____________________________________________.3. 勾股定理的简单应用,应用环境：___________________.4.如图，已知在△ABC中，AC＝20，BC＝15，高CD⊥AB于D，CD＝12.(1)求DB的长;(2)求AB的长.(3)求△ABC中的面积.个人或小组的预习未解决问题：【课内解问】1. 已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距km.2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A.26B.18C.20D.213. 若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（）A.6B.8C.10D.以上答案均不对4. 等腰三角形△ABC底边BC长为10cm，腰长AB为13cm，求: (1)高AD的长；（2）高CE 的长.【课后答问】1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )A．13 B．26 C．47 D．944题图5题图2．一个等腰三角形的腰长为17，底边长为16，则该等腰三角形的面积为( ) A．112 B．120 C．128 D．136 3．如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝16，AB＝8，则DE的长为( ) A．12 B．10 C．8 D．64．如图所示，以Rt △ABC 中的三边向外作正方形，其面积分别8,4,,,21321==S S S S S 且,则S 3=________；5．直角三角形两条直角边的长分别为6、8，则斜边上的高为_________.6．个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为__________.7．在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE .8．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.。

新苏科版八年级数学上册学案：3.1 勾股定理(2)

新苏科版八年级数学上册学案：3.1 勾股定理（2）【学习目标】1．能应用已有的数学知识验证勾股定理；2．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展有条理的思考与表达的能力，从中感受勾股定理的文化价值．【自主先学】阅读课本P80-P81，完成以下问题：问题一：在学习整式乘法时，我们是如何通过求图形面积得到整式乘法的运算法则的？你会利用这个图证明勾股定理吗？整体看：大正方形的面积＝，局部看：大正方形可看做四个直角三角形加一个小正方形，面积为：，从而得到：＝，整理得：．问题二：赵爽弦图：整体看：大正方形的面积＝，局部看：大正方形可看做四个直角三角形加一个小正方形，面积为：，从而得到：＝，整理得：．问题三：归纳结论,验证勾股定理的方法是 .【合作交流】活动一：交流“自主先学”中的问题.活动二：思考、交流：如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）．活动三：在以上活动中，你还有什么问题？【演练展示】活动四：例题：勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感。

他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：.证明：请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°.求证：.证明：连结，∵，又∵，∴∴.活动五：[基础练习][知者加速]在Rt△ABC中，∠C=900（1）如果BC=9，AC=12，那么AB= ；(2) 如果BC=8，AB=10，那么AC= ；（3）如果AB=13，AC=12，那么BC= ；（4）如果AB=61，BC=11，那么AC= .【拓展提升】把一个直立的火柴盒放倒（如图），你能用不同的方法计算梯形ABCD的面积，再次验证勾股定理吗？【总结评价】1.知识点：2.探究问题的方法：3.数学思想：4.存疑或想法：【当堂检测】历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上。

苏科版数学八年级上册教学设计《3-1勾股定理(2)》

苏科版数学八年级上册教学设计《3-1勾股定理（2）》一. 教材分析《3-1勾股定理（2）》是苏科版数学八年级上册的教学内容。

这部分内容是在学生已经学习了勾股定理的基础上进行进一步的拓展和应用。

本节课的主要内容是让学生进一步掌握勾股定理的运用，并能运用勾股定理解决实际问题。

教材中给出了丰富的例题和练习题，便于学生理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了勾股定理的基本概念和运用。

但是，对于一些复杂的问题，学生可能还不太会运用勾股定理进行解决。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生运用勾股定理解决实际问题，并给予学生足够的练习机会，以便学生能够更好地掌握和运用。

三. 教学目标1.知识与技能：进一步理解和掌握勾股定理的运用，能够运用勾股定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生的解决问题能力和数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握勾股定理的运用。

2.难点：解决实际问题时，能够灵活运用勾股定理。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生运用勾股定理进行解决。

2.案例教学法：通过分析典型案例，让学生理解和掌握勾股定理的运用。

3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的团队合作意识和探究精神。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示例题和练习题。

2.练习题：准备一些相关的练习题，以便学生在课堂上进行练习。

3.教学道具：准备一些教学道具，如直角三角形模型，以便学生更好地理解勾股定理。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题情境，引导学生运用勾股定理进行解决。

例如，教室的一角是一个直角三角形，直角边的长度分别是3米和4米，问这个直角三角形的斜边长度是多少？2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现教材中的例题和练习题，让学生进行观看和理解。

苏科版八年级数学上册3.1 勾股定理(2)教案

苏科版八年级数学上册 3.1 勾股定理（2）教案
3.1勾股定理（2）
课题§3.1勾股定理（2）课
型
新
授
教学目标1、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。

教学重点通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想的认识。

教学难点通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

教学
过程
教学内容
教师活动内容、方式学生活动
方式设计意图
教师活动内容、方式学生活动
方式设计意图
四、课堂小结：
从“面积到乘法公式”一章的学习中，我们把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算得到了许多有用的式子，这节课同样地我们用多种方法拼图验证了勾股定理，你有什么感受？。

苏科初中数学八年级上册《3.1 勾股定理》教案 (2)-精选.doc

勾股定理一、细心选一选．1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )A．斜边长为25 B．三角形的周长为25C．斜边长为5 D．三角形面积为202．如图，如果将△ABC的顶点A先向下平移3格，在向左平移1格到达A'点，连接A'B，则线段A'B 与线段AC的关系是 ( )A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直3．如图，已知1号，4号两个正方形的面积和为7，2号，3号两个正方形的而积和为4，则a，b，c 三个方形的面积和为 ( )A．10 B．13 C．15 D．224．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为 ( )A．2 B．2．6 C．3 D．45．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示图形，其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是 ( )A．S△EDA=S△CEB B．S△EDA +S△CEB=S△CDBC．S△四边形CDAE= S△四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB= S四边形ABCD6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1 m，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 ( )A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m7．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2．5，则ab的值是 ( ) A．1．5 B．2 C．2．5 D．3二、认真填一填．8．在△ABC中，∠C= 90°，AC= 3，BC= 4，则斜边AB上的高为。

9．(1) 在Rt△ABC中，∠C= 90°．①若AB= 41，AC= 9，则BC= ；②若AC= 1．5，BC= 2，则AB= ．(2) 如图，以直角三角形三边为直径的三个半圆面积A，B，C之间的关系是：．10．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点，若AD= 6，DE=5，则CD的长等于．11．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC= 5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为．12．如图，在一个长方形木板上截下△ABC，使AC=6 cm，BC=8 cm，则截线AB= ；点C到AB的距离= ．13．若AC=6，BC=5，将图①中的四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．三、耐心解一解．14．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜?15．如图，一个梯子AB长2．5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1．5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0．5米，则梯子顶端A下落了多少米?16．如图，直角三角形纸片的两直角边的长分别为AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合．求CD的长．17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF长．18．如图，一圆柱高8 cm，底面半径2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请求出蚂蚁爬行的最短路线长．(π取3)．19．如图，两种规格的钢板原料，图①的规格为l m×5 m．．图②是由5个1 m×l m的小正方形组成．电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件(不计加工中的损耗)，分别在图①和图②中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图 (保留要焊接的痕迹)．参考答案1．C 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．2859．(1) ① 40 ② 2．5 (2) A + B=C10．8 11．10312．4．8 cm 13．76 14．156 cm2 15．在Rt△ABC中，AB=2．5米，BC=1．5米，∴AC2=AB2－BC2=2．52－1．52=4，∴AC=2米，在Rt△ECD中，AB=DE=2．5米，CD=(1．5+0．5)米，∴EC2=DE2－CD2=2．52－22=2．25，∴EC=1．5米，故AE=AC－CE=2－1．5=0．5米． 16．CD=3 17．连接BD．∵三角形ABC是等腰直角三角形，D为AC边的中点，∴BD=DC，∠ABD=∠C=45°，BD⊥AC，∴∠BDF+∠FDC=90°，又∵DE⊥DF，∴∠BDF+∠BDE=90°，∴∠FDC=∠BDE．∴△BED≌△CFD，∴BE=FC=3，BF=BC－FC=AB－BE=AE=4，∴EF=5． 18．1019．。

八年级数学上册勾股定理学案苏科

课题：3.1勾股定理（2）学习目标:姓名：1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想；2．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值．学习过程：一.【情景创设】1．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在《周髀算经》中给出的．图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗？图（1）图（2）2．剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形．大正方形的面积可以表示为_______，又可以表示为____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．二.【问题探究】问题1：仔细研究下面的图形，试用不同的方法表示梯形ABCD的面积，验证勾股定理.问题2：问题2.用8个全等的直角三角形和3个边长分别是a、b、c的正方形，把它们拼成如下图的两个正方形，运用面积计算，验证勾股定理.问题3: 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求出线段CD的长.ccbb aaEDCBAC B AD E三.【变式拓展】问题4：1．观察下图的△ABC 和△DEF ，它们是直角三角形吗？2．观察图，并分别以△ABC 和△DEF 的各边为边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？问题5：已知：如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求：（1）△ABE 的面积；（2）BF 的长.四.【总结提升】本节课我们进一步认识了勾股定理，并用两种方法证明了这个定理，在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果不是直角三角形，应该构造直角三角形来解决五. 【课堂反馈】AB C DE FE F D C G六. 【课后作业】（选做题）八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠C=20°，AB+BD=AC ，将△ABD 沿AD 所在直线翻折，点B 在AC 边上的落点记为点E ，那么∠AED 等于( )A ．80°B ．60°C ．40°D ．30°【答案】C 【解析】根据折叠的性质可得BD ＝DE ，AB ＝AE ，然后根据AC ＝AE+EC ，AB+BD ＝AC ，证得DE ＝EC ，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．【详解】根据折叠的性质可得：BD ＝DE ，AB ＝AE ．∵AC ＝AE+EC ，AB+BD ＝AC ，∴DE ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ＝20°，∴∠AED ＝∠EDC+∠C ＝40°．故选C ．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明DE ＝EC 是解答本题的关键． 2．在实数范围内，下列多项式：(1)29x -；(2)26x -；(3)23x -；(4)()()2211x x +--，其中能用平方差公式进行分解因式的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反；完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】（1）29x -＝223x -，所以可以；（2）26x -＝226)x -，所以可以；（3）23x -＝-22(3)x ，所以可以；（4）()()2211x x +--，所以可以；综上可得，能用平方差公式进行分解因式的个数有4个．故选：D ．【点睛】3．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）A ．224x x x ++B ．2221x x +C ．21x x +D ．2x x【答案】A 【解析】分式有意义的条件是分母不为1．【详解】A. 2224=x 20x x +++>（+1），无论x 取何值，分式都有意义，故该选项符合题意；B. 当1210x -2x +≠≠，时，分式有意义，故不符合题意； C.当 20x 0x ≠≠，时，分式有意义，故不符合题意；D. 当20x 0x ≠≠，时，分式有意义，故不符合题意；故选：A【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：分母不为1时，掌握分式有意义的条件是解题的关键.4．若分式2||36x x x ---的值为零，则x 的值为（） A ．±3B ．3C ．﹣3D ．以上答案均不正确【答案】C【分析】根据分式的值为零的条件得到|x|﹣1＝2且x 2﹣x ﹣6≠2，先解|x|﹣1＝2得x ＝1或﹣1，然后把x 的值代入x 2﹣x ﹣6进行计算可确定x 的值．【详解】解：根据题意得|x|﹣1＝2且x 2﹣x ﹣6≠2，解|x|﹣1＝2得x ＝1或﹣1，而x ＝1时，且x 2﹣x ﹣6＝9﹣1﹣6＝2，所以x ＝﹣1．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为2，分母不为2，则分式的值为2．易错点是忘记考虑分母不为2的限制.5．下列四种垃圾分类回收标识中，是轴对称图形的是（） A ． B ．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念即可解决本题.【详解】由轴对称图形概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形能够判断出D为轴对称图形.故答案选择D【点睛】本题考查了轴对称图形概念，难度系数不高，解题关键在于正确理解轴对称图形概念.6．若方程组4314(1)6x ykx k y+=⎧⎨+-=⎩的解中x与y的值相等，则k为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由题意得：x=y，∴4x+3x=14，∴x=1，y=1，把它代入方程kx+（k-1）y=6得1k+1（k-1）=6，解得k=1．故选C．7．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】D【解析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等可得其它两对角相等：∠A=∠DCB，∠B=∠ACD．【详解】∵CD是直角△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，同理得：∠B=∠ACD ，∴相等的角一共有5对，故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．8．如图，已知AB ∥CD ，DE ⊥AC ，垂足为E ，∠A ＝120°，则∠D 的度数为（）A ．30°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】A 【解析】分析：根据平行线的性质求出∠C ，求出∠DEC 的度数，根据三角形内角和定理求出∠D 的度数即可．详解：∵AB ∥CD ，∴∠A +∠C=180°．∵∠A=120°，∴∠C=60°．∵DE ⊥AC ，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C ﹣∠DEC=30°．故选A ．点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C 的度数是解答此题的关键．9．如图，已知∠ACB ＝∠DBC ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（）A ．∠ABC ＝∠DCBB ．∠ABD ＝∠DCAC ．AC ＝DBD ．AB ＝DC【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】A 、∵在△ABC 和△DCB 中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；B 、∵∠ABD ＝∠DCA ，∠DBC ＝∠ACB ，∴∠ABD+∠DBC ＝∠ACD+∠ACB ，即∠ABC ＝∠DCB ，∵在△ABC 和△DCB 中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；C 、∵在△ABC 和△DCB 中BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SAS ），故本选项不符合题意；D 、根据∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC ，AB ＝DC 不能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．10．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠1的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．115°【答案】C 【分析】根据题意求出∠BCO ，再根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】如图，由题意得：∠BCO=∠ACB ﹣∠ACD=60°－45°=15°，∴∠1=∠B+∠BCO=90°+15°=105°．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．二、填空题11．已知()()2226x my x ny x xy y ++=+-，则22m n mn +的值为_________________________．【答案】-1【分析】根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出m ＋n 和mn ，然后将所求多项式因式分解，最后用整体代入法求值即可．【详解】解：∵()()2226x my x ny x xy y ++=+- ∴()222226x m n xy mny x xy y +++=+- ∴m ＋n=2，mn=-622m n mn +=()mn m n +=()62-⨯=-1故答案为：-1．【点睛】此题考查的是多项式乘多项式和因式分解，掌握多项式乘多项式法则和用提公因式法因式分解是解决此题的关键．12．如图，在△ABC 中，∠B=10°，ED 垂直平分BC ，ED=1．则CE 的长为．【答案】4所以CE=BE=4．考点：3．线段的垂直平分线的性质；4．直角三角形的性质．13．在三角形纸片ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点D （不与B ，C 重合）是BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF 的长度为a ，则DGE ∆的周长为__________．（用含a 的式子表示）【答案】6a【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠B=30°，∠EFB=∠EFD=90°，∠ACD=∠GDC=90°，然后根据三角形外角的性质和平角的定义即可求出∠GED 、∠GDE ，即可证出△EGD 为等边三角形，从而得出EG=GD=ED ，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出ED ，从而求出结论．【详解】解：由折叠的性质可知：∠EDF=∠B=30°，∠EFB=∠EFD=90°，∠ACD=∠GDC=90° ∴∠GED=∠EDF ＋∠B=60°，∠GDE=180°－∠EDF －∠GDC=60°∴∠EGD=180°－∠GED －∠GDE=60°∴△EGD 为等边三角形∴EG=GD=ED在Rt △EDF 中，∠EDF=30°∴ED=2EF=2a∴EG=GD=ED=2a∴DGE ∆的周长为EG ＋GD ＋ED=6a故答案为：6a ．【点睛】此题考查的是折叠的性质、等边三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握折叠的性质、等边三角形的判定及性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．14．如果2(2)(3)x x mx m -+-的乘积中不含2x 项,则m 为__________. 【答案】23【分析】把式子展开，找到x 2项的系数和，令其为1，可求出m 的值．【详解】()()223x x mx m -+- ＝x 3+3mx 2-mx-2x 2-6mx+2m,又∵()()223x x mx m -+-的乘积中不含2x 项,∴3m-2＝1，∴m=23. 【点睛】考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为1． 15．已知a m =2，a n =3，那么a 2m+n ＝________.【答案】12【分析】逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则计算即可.【详解】∵a m =2，a n =3，∴a 2m+n ＝a 2m ×a n =()2ma ×a n =4×3=12. 故答案为12.【点睛】本题考查了幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键，即()()n nmn m m a a a ==，特别注意运算过程中指数的变化规律,灵活运用法则的逆运算进行计算,培养学生的逆向思维意识.16．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为_______.【答案】3【分析】首先求出第三边长的取值范围，选取整数即可.【详解】∵三角形的两边长分别为1和3，∴设第三边长为x ，则第三边长的取值范围为2<x <4，且三边长均为整肃，∴第三边长为3.【点睛】本题考查了三角形第三边的取值范围，掌握三角形三边关系是解题的关键.17．函数y=31x -中的自变量x 的取值范围是____________. 【答案】x≠1【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】根据题意得，x-1≠0，解得：x≠1．故答案为x≠1．三、解答题18．计算（1）4（a ﹣b ）2﹣（2a+b ）（2a ﹣b ）．（2）先化简，再求值（a+2﹣342a a --）÷2692a a a -+-，其中a ＝1【答案】（1）﹣8ab+5b 2；（2）3aa -，﹣12．【分析】（1）先计算完全平方式和平方差公式，再去括号、合并即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】（1）原式＝4（a 2﹣2ab+b 2）﹣（4a 2﹣b 2）＝4a 2﹣8ab+4b 2﹣4a 2+b 2＝﹣8ab+5b 2；（2）原式＝（243422a a a a -----）÷2(3)2a a --＝232a aa --•22(3)a a --＝(3)2a a a --•22(3)a a --＝3aa -，当a ＝1时，原式＝113-＝﹣12．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=()060α︒<<︒，在ABC ∆内有一点D ，连接BD ，60CBD ∠=︒，且BD BC =．（1）如图1，求出ABD ∠的大小(用含α的式子表示)（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE ∆的形状并加以证明．【答案】（1）1302ABD α∠=︒-；（2）ABE ∆是等边三角形．证明见解析．【分析】（1）由等腰三角形的性质，得到∠ABC=1(180)2α⨯︒-，由60CBD∠=︒，即可求出ABD∠；（2）连接AD，CD，则BCD∆为等边三角形，然后得到ABD ACD∆≅∆，得到BCE BDA∠=∠，EBC ABD∠=∠，从而得到ABD EBC∆≅∆，则AB EB=，即可得到ABE∆为等边三角形.【详解】解：（1）AB AC=，BACα∠=，ABC ACB∴∠=∠，∴180ABC ACB BAC∠+∠=︒-∠，()111809022ABC ACB BACα∴∠=∠=︒--︒∠=，ABD ABC CBD∠=∠-∠，60CBD∠=︒，∴1302ABDα∠=︒-；（2）ABE∆是等边三角形．理由如下：连接AD，CDBC BD=，60CBD∠=︒，BCD∴∆为等边三角形BD CD∴=在ABD∆与ACD∆中AB ACAD ADBD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩ABD ACD∴∆≅∆()SSS，1122BAD CAD BACα∴∠=∠=∠=，1302ABDα︒∠=-11180********22BDA ABD BADαα︒∴∠=︒-∠-∠=-+-=︒︒150BCE∠=︒，BCE BDA ∴∠=∠，60ABD DBE ABE ∠︒∠+∠==，60EBC DBE CBD ∠+∠=∠=︒EBC ABD ∴∠=∠在ABD ∆和EBC ∆中BDA BCE BD BCABD EBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD EBC ∴∆≅∆()ASA ，AB EB ∴=，60ABE ∠=︒ABE ∴∆是等边三角形.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确找到边的关系和角的关系，从而进行证明.20．先化简代数式22321(1)24a a a a -+-÷+-，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．【答案】21a a --，2 【解析】试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a 的值时，不能使原分式没有意义，即a 不能取2和－2.试题解析：原式=232a a +-+·2(2)(2)(1)a a a +--=21a a -- 当a=0时，原式=21a a --=2. 考点：分式的化简求值.21．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD ⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ．求证：（1）△ABD ≌△CFD ；（2）BE ⊥AC ．【答案】(1)证明见解析;(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）由垂直的性质推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根据全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出结论;（2）由（1）的结论推出BD=DF，根据AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通过三角形内角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC．试题解析：（1）∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,又∵∠ACB=45°,∴∠DAC=45°,∴∠ACB=∠DAC,∴AD=CD,在△ABD和△CFD中,∠BAD=∠FCD, AD=CD∠ADB=∠FDC,∴△ABD≌△CFD;(2)∵△ABD≌△CFD,∴BD=FD,∴∠1=∠2,又∵∠FDB=90°,∴∠1=∠2=45°,又∵∠ACD=45°,∴△BEC中，∠BEC=90°,∴BE⊥AC.考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形．22．某农场急需氨肥8 t，在该农场南北方向分别有A，B两家化肥公司，A公司有氨肥3 t，每吨售价750元；B公司有氨肥7 t，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b(单位：元/千米)与运输质量a(单位：t)的关系如图所示．(1)根据图象求出b 关于a 的函数表达式(写出自变量的取值范围)．(2)若农场到B 公司的路程是农场到A 公司路程的2倍，农场到A 公司的路程为m(km)，设农场从A 公司购买x(t)氨肥，购买8 t 氨肥的总费用为y 元(总费用＝购买铵肥的费用＋运输费用)，求出y 关于x 的函数表达式(m 为常数)，并向农场建议总费用最低的购买方案．【答案】（1）b ＝3(04)58(4)a a a a ≤≤⎧⎨-≥⎩；（2）当m ＞507时，到A 公司买3 t ，到B 公司买5 t 费用最低；当m ＝507时，到A 公司或B 公司买费用一样；当m ＜507时，到A 公司买1 t ，到B 公司买7 t ，费用最低．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法分别求出当0≤a≤4和当a ＞4时，b 关于a 的函数解析式；（2）由于1≤x≤3，则到A 公司的运输费用满足b=3a ，到B 公司的运输费用满足b=5a ﹣8，利用总费用=购买铵肥费用+运输费用得到y=750x+3mx+（8﹣x ）×700+[5（8﹣x ）﹣8]•2m ，然后进行整理，再利用一次函数的性质确定费用最低的购买方案．试题解析：（1）当0≤a≤4时，设b=ka ，把（4，12）代入得4k=12，解得k=3，所以b=3a ；当a ＞4，设b ma n =+，把（4，12），（8，32）代入得：412{832m n m n +=+=，解得：5{8m n ==-，所以58b a =-；∴3? (04){58?(4)a ab a a ≤≤=->；（2）∵1≤x≤3，∴y=750x+3mx+（8﹣x ）×700+[5（8﹣x ）﹣8]•2m ，∴(507)560064y m x m =-++，当m ＞507时，到A 公司买3吨，到B 公司买5吨，费用最低；当m ＜507时，到A 公司买1吨，到B 公司买7吨，费用最低．考点：1．一次函数的应用；2．应用题；3．分段函数；4．最值问题；5．分类讨论；6．综合题． 23．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线交于点H ，且BH=AC ，则∠ABC=____．【答案】45°或135°【分析】根据题意画出三个图形，证HBD CAD ∆≅∆，推出AD DB =，推出DAB DBA ∠=∠，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出ABD ∠，即可求出答案．【详解】解：分为三种情况：①如图1， AD 、BE 是ABC ∆的高，90ADC BDH ∴∠=∠=︒，90BEC ∠=︒，90C CAD ∴∠+∠=︒，90C HBD ∠+∠=︒，CAD HBD ∴∠=∠，在HBD ∆和CAD ∆中90HBD CADBDH ADC BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()HBD CAD AAS ∴∆≅∆，BD AD ∴=，90ADB ∠=︒，45ABC BAD ∴∠=∠=︒，②如图2，AD BC ⊥，BE AC ⊥，90ADC HDB AEH ∴∠=∠=∠=︒，90H HAE C HAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，H C ∴∠=∠，在HBD ∆和CAD ∆中，HDB ADCH C BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBD CAD AAS ∴∆≅∆，AD BD ∴=，DAB DBA ∴∠=∠，90ADB ∠=︒，45ABD ∴∠=︒，18045135ABC ∴∠=︒-︒=︒；③高AD 和BE 所在的直线交于点H ，90HDB ADC HEA ∴∠=∠=∠=︒，90H DAC ∴∠+∠=︒，90H HBD ∠+∠=︒，DAC HBD ∴∠=∠，在DAC ∆和DBH ∆中ADC HDB DAC HBD AC BH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DAC DBH AAS ∴∆≅∆，AD BD ∴=，90ADB ∠=︒，45ABC CAD ∴∠=∠=︒，故答案：45°或135°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．24．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合．（1）若∠AEB=40°，求∠BFE 的度数；（2）若 AB=6，AD=18，求 CF 的长．【答案】（1）70°；（2）1．【分析】（1）依据平行线的性质可求得∠BFE=∠FED ，然后依据翻折的性质可求得∠BEF=∠DEF ，最后根据平角的定义可求得∠BFE 的度数;（2）先依据翻折的性质得到CF=GF,AB=DC=BG=6，然后设CF=GF=x ，然后在RT △BGF 中，依据勾股定理列出关于x 的方程求解即可．【详解】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠BFE=∠FED ，由翻折的性质可知：∠BEF=∠DEF ，∴∠BFE=∠FED=∠BEF∵∠FED ＋∠BEF ＋∠AEB=110°∴2∠BFE =110°-40°=140°，∴∠BFE=70°;（2）由翻折的性质可知CF=GF,AB=DC=BG=6,设CF=GF=x ，则BF=11-x,在Rt △BGF 中，依据勾股定理可知：BF 2=BG 2+GF 2，即(11-x)2=62+x 2，解得：x=1即CF=1【点睛】本题考查了翻折的性质及勾股定理，熟练掌握翻折的性质和利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 25．如图，已知AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且∠ADE=∠AED ，求证：BD=CE ．【答案】见解析【分析】由AB=AC 依据等边对等角得到∠B=∠C ，则可用AAS 证明ABE ∆≌ACD ∆，进而得到BE CD =，等式两边减去重合部分即得所求证.【详解】解：∵在ABC ∆中，AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵在ABE ∆和ACD ∆中=AED ADE B CAB AC ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ∆≌ACD ∆（AAS ）∴BE CD =，∴-BE DE CD DE =-∴BD=CE ．【点睛】本题考查三角形中等角对等边、等边对等角，三角形全等的判定及性质. 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°【答案】D【解析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．2．下列实数中,无理数是( )A．27-B．3.14159C327D8【答案】D【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：A、27-是分数，属于有理数，本选项不符合题意；B、3.14159是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；C3273=是整数，属于有理数，本选项不符合题意；D822故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数定义---无理数是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】多边形的内角和公式（n-2）·180°，多边形外角和为360°，由此列方程即可解答．【详解】解：设多边形的边数为n ，根据题意，得：()2180360n -⋅︒=︒，解得4n =．故选C ．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和为60°是解答的关键．4+ ） A ．0B ．42a -C ．24a -D ．24a -或42a - 【答案】Da =的性质进行化简．原式=2112a a -+-，当1a －1≥0时，原式=1a －1+1a －1=4a －1；当1a －1≤0时，原式=1－1a+1－1a=1－4a ．综合以上情况可得：原式=1－4a 或4a －1．考点：二次根式的性质5．一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（）A ．11B ．12C ．13D ．11或13【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论可得.【详解】①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，∵3＋3＝6＞5，∴能组成三角形，∴它的周长是：3＋3＋5＝11；②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，∵5＋3＝8＞5，∴能组成三角形，∴它的周长是：5＋5＋3＝1，综上所述，它的周长是：11或1．故选D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．6．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其全等的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D 【解析】试题分析：本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．解：设已知角为∠O ，以顶点O 为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A ，B 两点；画一条射线b ，端点为M ；以M 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线b 于C 点；以C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ；作射线MD ．则∠COD 就是所求的角．由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，∴证明全等的方法是SSS ．故选D ．考点：全等三角形的判定．7．点P(﹣2，﹣4)与点Q(6，﹣4)的位置关系是（）A ．关于直线x ＝2对称B ．关于直线y ＝2对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】A【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．【详解】解：点P （﹣2，﹣4）与点Q （6，﹣4）的位置关系是关于直线x ＝2对称，故选：A ．【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知轴对称的性质．8．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12120∠+∠=︒，则3∠的度数为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30【答案】B 【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角均等于60°，用123∠∠∠，，表示出中间三角形的各内角，再根据三角形的内角和即可得出答案．【详解】解：如图所示，图中三个等边三角形，∴1806031203ABC ∠=︒-︒-∠=︒-∠，1806011201BAC ∠=︒-︒-∠=︒-∠，1806021202ACB ∠=︒-︒-∠=︒-∠，由三角形的内角和定理可知：180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，即1203+12011202180︒-∠︒-∠+︒-∠=︒，又∵12120∠+∠=︒，∴360∠=︒，故答案选B ．【点睛】本题考查等边三角形的性质及三角形的内角和定理，熟悉等边三角形各内角均为60°是解答此题的关键． 9．若216y y m ++是完全平方式，则m 的值为（）A ．16B ．25C ．36D ．64【答案】D【解析】根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：22162y 8+m ++=+⨯⨯y y m y ,∴m=28∴m=64故选：D【点睛】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号．10．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（） A ．4x =B ．5x =C ．6x =D ．7x = 【答案】B【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．【详解】解：211(2)(2)4x x x ⊗-==--- ∴方程表达为：12144x x =--- 解得：5x =，经检验，5x =是原方程的解，故选：B ．【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．二、填空题11．如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至点E ，使CE=CD=1 ，连接DE ，则BE=________．【答案】1【分析】根据等边三角形和三角形中线的定义求出BC=AC=2CD=2，即可求得BE 的长．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC=AC ，∵BD 为中线，∴AD=CD ，∵CD=CE=1，∴BC=AC=2CD=2，∴BE=BC+CE=2+1=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形中线的定义等知识点的应用，关键是求出BC=AC=2CD=2．12．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为______cm．【答案】1【解析】试题分析：根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，∴NB=NA，△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm，∴BC+AC=7cm，又AC=4cm，∴BC=1cm，故答案为1．考点：线段垂直平分线的性质．13．如图所示，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积为8，则阴影部分的面积为_____．【答案】1．【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD 12S△ABC＝1，∵点E是AD的中点，∴S △ABE ＝12S △ABD ＝2，S △CED ＝12S △ADC ＝2， ∴阴影部分的面积＝S △ABE +S △CED ＝1，故答案为：1．【点睛】此题考查三角形中线的性质，三角形的面积，解题关键在于利用面积等量替换解答.14．函数11y x =-的自变量的取值范围是．【答案】x≠1【解析】该题考查分式方程的有关概念根据分式的分母不为0可得X －1≠0,即x≠1那么函数y=的自变量的取值范围是x≠1 15．分式2y x，23x y ，14xy 的最简公分母是_______. 【答案】11xy 1.【分析】取各系数的最小公倍数，各字母的最高次幂.1，3，4的最小公倍数为11，x 的最高次幂为1，y 的最高次幂为1，则得出最简公分母．【详解】解：分母1x ，3y 1，4xy 的最简公分母为11xy 1，故答案为11xy 1．【点睛】本题考查了最简公分母，关键是掌握最简公分母的定义，分两个部分确定．16．二元一次方程组128x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为_________．【答案】32x y =⎧⎨=⎩【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解128x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①＋②得：3x ＝9，解得：x ＝3，把x ＝3代入①得：y ＝2，则方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩，故答案为：32x y =⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．如图，BE CD 、是ABC 的高，,BD CE BE CD =、相交于O ，连接OA ，下列结论:(1) DCB EBC ∠=∠；(2) AD AE =；(3) AO 平分BAC ∠，其中正确的是________．【答案】（1）（2）（3）【分析】由HL 证明Rt △BDC ≌Rt △CEB 可得DCB EBC ∠=∠，∠ABC=∠ACB ，可得AB=AC ，根据线段和差可证明AD=AE ；通过证明△ADO ≌△AEO 可得∠DAO=∠EAO ，故可得结论．【详解】∵BE CD 、是ABC 的高，∴∠BDC=∠CEB=90°，在Rt △BDC 和Rt △CEB 中，BD CE BC CB =⎧⎨=⎩, ∴Rt △BDC ≌Rt △CEB,∴DCB EBC ∠=∠，DBC ECB ∠=∠，故（1）正确；∴AB=AC ，∵BD=CE ，∴AD=AE ，故（2）正确；在Rt △ADO 和Rt △AEO 中，AD AE AO AO =⎧⎨=⎩, ∴Rt △ADO ≌Rt △AEO,∴DAO EAO ∠=∠，∴AO 平分BAC ∠，故（3）正确．故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题18．如图，BE 平分ABC ∠，CE 平分外角ACD ∠，ABC ACE ∠=∠．（1）求证：//AB CE ；（2）若50A ∠=，求E ∠的度数．【答案】（1）详见解析；（2）25E ∠=︒．【分析】（1）由已知条件可得ABC ECD ∠=∠，根据同位角相等，两直线平行即可得；（2）根据角平分线的定义，可得出12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠，再根据外角的性质可得ACD A ABC ∠=∠+∠与ECD BEC EBC ∠=∠+∠，通过角度的计算可得出答案．【详解】（1）证明：∵CE 平分外角ACD ∠，∴ACE ECD ∠=∠，又∵ABC ACE ∠=∠，∴ABC ECD ∠=∠，∴//AB CE ．（2）解：∵BE 、CE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， ∴12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠，又∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴ACD A ABC ∠=∠+∠，∴A ACD ABC ∠=∠-∠∵∠ECD 是△BCE 的外角，∴∠=∠+∠ECD E EBC ∴1111()2222ECD EBC ACD ABC ACD ABC E A ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=，∵∠A=50°，∴1252AE∠=∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质进行角度的计算是解题的关键．19．甲、乙两车分别从相距420km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，途经C地（A、B、C三地在同一条直线上）．甲车到达C地后因有事立即按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车行驶所用的时间x（小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：（1）甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时；（2）求甲车距它出发地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；（3）甲车出发多长时间后两车相距90千米？请你直接写出答案．【答案】（1）105，60；（2）y＝105(02)105420(24)x xx x⎧⎨-+<⎩；（3）1811时，103时或92时．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以得到甲乙两车的速度；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车距它出发地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；（3）根据题意可知甲乙两车相距90千米分两种情况，从而可以解答本题．【详解】（1）由图可得，甲车的速度为：（210×2）÷4＝420÷4＝105千米/时，乙车的速度为：60千米/时，故答案为105，60；（2）由图可知，点M的坐标为（2，210），当0≤x≤2时，设y＝k1x，∵M（2，210）在该函数图象上，。

苏科初中数学八上--勾股定理教案 (2)

勾股定理教材分析：本节课在课程标准中属于空间与图形的学习，是在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上、在学生学习了勾股定理及其逆定理的基础上进行的，揭示了形与数之间的紧密联系，是对勾股定理应用的广泛性的初步认识。

既要注重知识的前后联系，也要体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。

教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的思维能力，动手能力，探究能力为重点的教学思想。

尽量为学生创设“做数学”的情境，小组合作，探究交流得到了真正体现，真正体现了新课标的理念。

一、学情分析：在知识与方法上与学生已经学习的三角形、四边形等探索图形性质活动密切相关，通过本节课的学习作为学习实数的一个重要基础；进一步培养学生推理论证的一个题材。

让学生经历探索过程，掌握勾股定理及逆定理，能运用它们解决一些简单问题，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

本节课的学习是前面知识的继续和深化，对以后无论是教学内容还是解题思维，将起十分广泛的作用。

三、教学目标：1、知识和能力：灵活运用勾股定理解决问题，会构造直角三角形或运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，从而为运用勾股定理解决问题创造条件。

2、数学思考、解决问题：在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决问题的能力及渗透归纳、分类讨论、数形结合、数学建模的思想。

通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

3、情感态度和价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣，体验数学学习的实用性，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。

四、教学重点难点：本节课的教学重点是灵活运用勾股定理解决问题，本节课的教学难点是勾股定理与几何的数形结合，以及勾股定理在实际生活中的应用。

充分运用多媒体教学手段，设置问题、探究讨论、例题讲解、课堂小结直至布置作业，有机地融入了知识归纳与讲解、典型例题剖析突出主线，层层深入，逐一突破重难点。