第一章 逻辑代数基础

产生和处理数字信号的电路称为数字电路 数字电路。 数字电路
数字电路，又称为逻辑电路 基本工作信号是二进制的数字信号
分析和设计的主要工具是逻辑代数（布尔代数） 逻辑代数（布尔代数） 逻辑代数
二、数制与码
（一）数制 多位数中每一位的构成（指用哪些码）方法以及从低位到 高位的进位规则称为数制。 日常生活最常用的是十进制、七进制（星期）等 数字电路中使用的是二进制和十六进制 1.十进制 1.十进制 十进制使用十个数码：0～9 计数的基数是10，进位规则是“逢十进一”。 “逢十进一” 任意一个十进制数D可按“权”展开为：ΣkiX10i D= 其中ki是第i位的数码(0～9中的任意一个),10i 称为第i 位的权 注意：小数点的前一位为第0位，即i =0 如：103.45=1×102+0×101+3×100+4×10-1+5×10-2 × × × × × 或：103.45=1×100+0×10+3×1+4×0.1+5×0.01 × × × × ×
三、算术运算与逻辑运算
逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（Geroge.Boole）于1848年首先进行系统论 述的，也称布尔代数。 所研究的是两值变量的运算规律，即0，1表示两种 不同的逻辑状态。 算术运算：两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。 算术运算 逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进 逻辑运算 行的运算。在数字电路中二进制数码的0和1，不仅可以表示大小，还可以 表示不同的逻辑状态（将在下一节专门介绍 ）
4.十六进制 二进制转换 4.十六进制—二进制转换 十六进制 将每1位十六进制数代之以等值的4位二进制数 例：(8AF.D5)16=(100010101111.11010101) 2 5.十六进制 十进制转换 5.十六进制—十进制转换 十六进制 只要将十六进制数按公式：展开，然后把所有各项按十进制 数相加，即转换成十进制数。也可先将十六进制数转换成二 进制数，再转换成十进制数。 例：(3F)16 =3×161+15×160 =(63)10 × × 或：(3F)16=(111111)2 =1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=(63)10 × × × × × × 或：(3F)16=(111111)2=(1000000-1)2=1×26-1=(64-1)10=(63)10 ×
或者：采用的方法 — 除2取余、乘2取整 原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。 整数部分采用除 2取余法，小数部分采用乘2取整法。转换后再合并。 整数部分采用除2取余法， 先得到的余数为低位，后 得到的余数为高位。
2 44 余数 低位
小数部分采用乘2取整法， 先得到的整数为高位，后 得到的整数为低位。
低位
所以：(44.375)10＝(101100.011)2
3.二进制 十六进制转换 3.二进制—十六进制转换 二进制 十六进制实际上也应属于二进制的范畴 将4位二进制数（恰好有16个状态）看作一个整体时，它的 进位关系正好是“逢十六进一” “逢十六进一” 所以只要以小数点为界，每4位二进制数为一组（高位不足4 位时，前面补 前面补0，低位不足4位时，后面补 后面补0），并代之以等值 前面补 后面补 的十六进制数，即可完成转换 例：（10111011001.111）2 =（0101，1101，1001.1110）2 （ ） （ ， ， ） =（5D9.E）16 （ ）
(三)码制 三 码制
当数码表示不同的对象（或信息）时被称为代码 如：邮政编码、汽车牌照、房间号等，它们都没有大小的含意 为了便于记忆和处理（如查询），在编制代码时总要遵循一定的规则， 这些规则就叫做码制。
1. BCD码： 码
用4位二进制数码表示十进制数，有多种不同的码制。这些代码称 为二—十进制代码，简称BCD码。 8421码、2421码、5211码是有权码。如8421码中从左到右的权 依次为：8、4、2、1。8421码是最常用的BCD码。 、 、 、 余3码是无权码，编码规则是： 将余3码看作四位二进制数，其数值要比它表示的十进制数多3 余3循环码主要特点是：相邻的两个代码之间只有一位取值不同
几种常见的BCD码
种类
十进 制数
8421码 8421码 余3码 2421码 5211码 2421码 5211码
００００ ００１１ ０００１ ０１００ ００１０ １ １０００ ０１１０ １００１ ０１１１ １０１０ １０００ １０１１ １００１ １１００ ８４２１ 无权码 ００００ ０００１ ００１０ ００１１ ０１００ １０１１ １１００ １１０１ １１１０ １１１１ ２４２１ ００００ ０００１ ０１００ ０１０１ ０１１１ １０００ １００１ １１００ １１０１ １１１１ ５２１１
0.375 × 2 整数 0.750 ……… 0=K－1 0.750 × 2 1.500 ……… 1=K－2 0.500 × 2 1.000 ……… 1=K－3 高位
2 22 ……… 0=K0 2 11 ……… 0=K1 2 2 2 5 ……… 1=K2 2 ……… 1=K3 1 ……… 0=K4 0 ……… 5 1=K 高位
亮 灭 Y
灭 亮
（二）逻辑运算的描述 1.逻辑真值表 若条件满足用1表示，不满足用0表示；事件发生用1表示，不 发生用表示0。则可以列出逻辑关系的图表——逻辑真值表 ） 与（AND） 或（OR） 非（NOT） 2.逻辑表达式 ） ）
u
数字信号：在时间上和 数值上不连续的（即离 散的）信号。
u
t
模拟信号波形 数字信号波形
t
对模拟信号进行传输、 处理的电子线路称为 模拟电路。
对数字信号进行传输、 处理的电子线路称为 数字电路。
5V 3.5V 2.4V VH
VL
0.4V 0.2V t 高低电平的概念
数字电路的特点： • 速度快 • 精度高 • 抗干扰能力强 • 易于集成 应用领域： • 数字通讯 • 自动控制 • 测量仪表 • 电子计算机
逻辑或（逻辑加、和） 或 逻辑加、 只要有任意一个开关闭合，指示 灯就亮； + 只要条件之一满足时，结果就发生， 就 只要 这种因果关系叫做逻辑或 或 逻辑非（逻辑反、反相） 非 逻辑反、反相） 开关闭合时，指示灯不亮，而开关 断开时，指示灯亮逻辑非 非 只要条件满足，结果就不发生；而条 件不满足，结果一定发生。这种因果 关系叫做逻辑非，或者叫逻辑反 非 + A R Y B A
2 10
2.十进制 二进制转换 2.十进制—二进制转换 十进制
注意： 注意： 不要漏掉 将十进制数展成Σki×2i的形式 0 得到二进制数:knkn-1……k1k0（有小数时还会有k-1……） =1×64+1×32+1×16+1×8+0×4+1×2+1×1 =(1111011)2
例：(123)10=64+32+16+8+0+2+1
数 字 电 路
车晓镭
第一章 逻辑代数基础
1.1 概述 1.2 逻辑代数的基本运算 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 1.4 逻辑代数的基本定理 1.5 逻辑函数及其表示方法 1.6 逻辑函数的公式化简 1.7 逻辑函数的卡诺图化简法
1.1 概述
一、数字信号与数字电路 模拟信号：在时间上和 数值上连续的信号。
2、二进制 二进制仅使用0和1两个数码 计数的基数是2，进位规则是“逢二进一” 任意一个二进制数D可按“权”展开 D=ΣkiX2i 为： i是第i位的数码（0或1）2i 称为第i 位的权 其中k 如：(1010.11)2=1×23+0×22+1×21+0×20 × × × × +1×2-1+1×2-2=（10.75)10 × × （ 或 (1010.11)2=1×8+0×4+1×2+0×1 × × × × +1×0.5+1×0.25=（10.75)10 × × （ 下标2和10分别代表二进制数和十进制数，有时也用B （Binary）和D（Decimal）代替下标2和10 如：1010.11B=10.75D
）、数制转换 （二）、数制转换 请熟记2的0～10次方所对应的十进制数： ： 1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
1.二进制 十进制转换 1.二进制—十进制转换 二进制 将二进制数按“权”展开，然后把所有各项按十进制数 相加 如：(1011) =1×23+0×22+1×21+1×20=(11) × × × ×
余3 循环码
００１０ ０１１０ ０１１１ ０１０１ ０１００ １１００ １１０１ １１１１ １１１０ １０１０ 无权码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 权
8421码是BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一 8421码 BCD代码中最常用的一种。 代码中最常用的一种 个四位二进制数，各位的权依次为8 另外， 个四位二进制数，各位的权依次为8，4，2，1。另外，每个代码 的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。 的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。 2421码也是一种有权码，它的另两个特点是： 2421码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一 如十进制数“ 可以编码为 1011”或 0101”）； 可以编码为“ ）；0 （如十进制数“5”可以编码为“1011 或“0101 ）；0－9、1－8、 等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化； 2－7等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化； 余3码被看成4位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制 被看成4位二进制数时， 数码多3 如果将两个余3码相加， 数码多3。如果将两个余3码相加，所得的和将比十进制数和所对 应的二进制数多6 因此，在用余3码作十进制加法运算时， 应的二进制数多6。因此，在用余3码作十进制加法运算时，若两 数之和为10，正好等于二进制数的16，于是从高位自动产生进位 数之和为10，正好等于二进制数的16， 10 16 信号。 信号。 余3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有 循环码是一种无权码，其特点是： 是一种无权码 一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误。 一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误。