《一元二次方程的解法》教案

《一元二次方程的解法》教案
教学目标：
知识目标：掌握用直接开平方方法、配方法、公式法、因式分解法求解一元二次方程.
能力目标：培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力.
情感态度：理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识.
教学重难点：
教学重点：一元二次方程的四种解法.
教学难点：选择恰当的方法解一元二次方程.
教学过程：
1.开平方法
可以看到，方程a²-4=0可以转化为a²=4，方程的解就是4的平方根；对于方程（m+8）²=144，如果把m+8看做一个整体，它就是144的平方根.所以只需直接开平方，就能求出这两个方程的解.如：
（1）解方程a²-4=0.
解：方程化为
a²=4.
开平方，得
a=±2.
所以，这个方程的解是
a=2或a=-2.
（2）解方程（m+8）²=144.
解：开平方，得
m+8=±12.
由m+8=+12得，m=4.
由m+8=-12得，m=-20.
所以，这个方程的解为
m=4或m=-20.
由此可见，凡是形如x²=m（m≥0）的方程都可以用开平方得方法求出它的解，这种解
法称为开平方法.
2.配方法
我们来研究方程x ²+4x -2=0的解法.
（1）这个方程能用开平方法求解吗？
（2）这个方程能转化为形如（x +n ）²=m (m ≥0)的方程而用开平方法求解吗？如果能，怎样确定n 的值？
（3）试用这种设想去求解这个方程的解.
同学们纷纷讨论.
通过对方程的变形，完成x ²+4x -2=0向形如（x +n ）²=m (m ≥)的方程转化：
移项，得
x ²+4x =2.
方程两边同时相加4，得
x ²+4x +4=2+4.
整理得，（x +2）²=6.
用开平方法求解，得x +2=±6.
当x +2=+6时，有x =-2+6
当x +2=-6时，有x =-2-6.
所以原方程的解为x =-2+6或x =-2-6.
我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方，用配方求方程的解的方法称为配方法.
师：我们知道，在对形如x ²+px 的式子进行配方时，加上的一项应是2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛p ，也就是加上的一项应是“原式一次项系数的一半的平方”.
下面我们来研究方程2x ²-12x +7=0的解法.
师：在方程两边同时除以二次项的系数2，就能把二次项的系数转化为1，得 02
762=+-x x . 配方时，应加上的项是3 ²，得
222327-
36+=+-x x . 2
113-2=）（x . 开平方，得
2
222113-±=±=x . 所以，方程的解为
x ₁=，2226+x ₂=2
22-6. 例题解析：
例1：用配方法解方程3x ²+2x -9=0.
3.公式法
对于一元二次方程ax ²+bx +c =0（a ≠0），由于a ≠0，可以在方程两边同时除以a ，得 02=++a
c x a b x . 移项，配方，得 222)2(2a b a c a b x a b x +-=++
）（. 22244)2a
ac b a b x -=+（. 由于a ≠0，有4a ²﹥0,所以，当b ²-4ac ≥0时，可以用开平方法，得
22442a
ac b a b x -±=+. 当b ²-4ac ≥0时，原方程的解为
x ₁=a ac b b 242-+-,x ₂=a
ac b b 24-2--. 由此，我们得到了一元二次方程ax ²+bx +c =0（a ≠0）的求根公式：
x =)042422≥--±-ac b a
ac b b （. 运用这个公式求一元二次方程的解时，首先要把方程整理为一般形式，以便正确地确定方程中的各项系数和常数项.
例题解析：
例2：利用求根公式解方程2x ²-8x +3=0.
概念：利用求根公式求一元二次方程的解的方法称为公式法.
师：正确使用求根公式求解，应按照一下的步骤进行：
（1）把方程整理为一般形式ax ²+bx +c =0（a ≠0），确定a ，b ，c 的值；
（2）计算式子b ²-4ac 的值；
（3）当b ²-4ac ≥0时，把a ，b 和b ²-4ac 的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解. 例3：用公式法解下列方程：
)22(2)23(2)2(;
4)32(12
-=-=+x x x x ）（ 应当注意，如果求出的一元二次方程的两个实数根相等，我们就说，这个一元二次方程有两个相等的实数根.
思考1：能否不解方程而判断出一元二次方程是否有实数解？怎样做出这种判断？ 回答：我们用公式法求一元二次方程的解时知道，当b ²-4ac ≥0时，才能求得方程的实数根，当b ²-4ac ﹤0时，方程没有实数根.所以，我们把b²-4ac 叫做一元二次方程ax ²+bx +c =0是否有实数根的判别式，记作△=b ²-4ac .
思考2：当一个一元二次方程的求根公式可以知道，当判别式△=b ²-4ac =0时，有 x ₁=x ₂=a
b 2-，这两个实数根相等；当判别式△=b ²-4a
c ﹥0时，这两个实数根不相等. 例题解析：
例4：判断下列方程是否有实数根.有实数根时，两个实数根是否相等？
思考：如果x ₁，x ₂是一元二次方程2x ²+3x -7=0的两个实数根，那么不解方程你能知道x ₁+x ₂，x ₁x ₂的值吗？
如果一元二次方程有两个实数根，那么这两个实数根的和及这两个实数根的积与此方程的系数之间有怎样的关系呢？
当b ²-4ac ≥0时，设x ₁，x ₂是一元二次方程ax ²+bx +c =0的两个实数根，由求根公式得x ₁=a ac b b 24-2-+,x ₂=a
ac b b 24--2-. 所以，x ₁+x ₂=a ac b b 24-2-++a
ac b b 24--2-=a b -.
x ₁x ₂=a ac b b 24-2-+×a
ac b b 24--2-=a c . 因此，对于一元二次方程ax ²+bx +c =0，当b ²-4ac ≥0时，它的两个实数x ₁，x ₂满足 x ₁+x ₂=a b -，x ₁x ₂=a
c . 我们称这两个等式为一元二次方程的根与系数的关系.
4.因式分解法
交流：
观察、分析下面这两个一元二次方程的特点，有什么其他的方法能求出它们的解？
（1）x ²-3x =0；（2）（y -1）²+3（y -1）=0.
我们发现，这两个一元二次方程都是等号右边为零，左边的代数式都可以作因式分解的方程.因而，可以根据“使两个数的乘积为零”的条件来求方程的解.
“使两个数的乘积为零”的条件可以表述为“只需两个数中有一个数为零”，由此可以得到某些一元二次方程的另一种解法.
例如，方程x ²-3x =0可以化为x (x -3)=0.
由于x 和（x -3）的乘积为零时，只需x 为零或（x -3）为零，也就是x =0或x -3=0. 于是，可得方程的解为
x ₁=0，x ₂=3.
又如，方程（y -1）²+3（y -1）=0可以化为
()[]031)1=+--y y （. 所以，有（y -1）（y +2）=0
y -1=0或y +2=0.
于是，可得方程的解为y ₁=1，y ₂=-2.
这就是说，对于某些等号一边为零、另一边的代数式可以作因式分解的一元二次方程，都可以用这种方法来求解，这种方法称为因式分解.
例题解析：
例5：用因式分解法解下列方程：
（1）（x -3）²=5(x -3)；（2）（y -7）²-3y (7-y )=0.
例6：用因式分解法解下列方程：
（1）（t-3）（t +5）=-15；
（2）（y -3）²=（y -4）（3y -1）;
（3）x ²-2x -24=0.
例7：选择适当的方法解下列方程：
.
03622)3();1(4)4()2();
1(32)1(22=+--=-+=+x x y y y x x x x
课堂总结：
本节课你学会了什么？。