[实用参考]初中数学动点问题专题讲解.doc
(完整版)中考数学动点问题专题讲解(可编辑修改word版)
36 - x 2 PH 2+ MH 2动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA,垂足为 H,△OPH 的重心为 G.(1) 当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2) 设 PH = x ,GP = y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围).(3) 如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO 、GP 、GH 中,2有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= 32 ⋅ 13 2 BOP=2.(2) 在 Rt△ POH 中 ,OH = = ,∴MH = 1 OH = 136 - x 2.2 2OMHA在 Rt△MPH 中,MP = =图 1= 1 36 + 3x 2 .2OP 2 - PH 2 x 2+ 9 - 1 x 2 4 PNG yx6 A2 1 ∴ y =GP= MP=36 + 3x 2 (0< x <6).3 3(3) △PGH 是等腰三角形有三种可能情况:1①GP=PH 时, 3 36 + 3x 2 = x ,解得 x = . 经检验, x = 是原方程的根,且符合题意.1②GP=GH 时,336 + 3x 2 = 2 ,解得 x = 0 . 经检验, x = 0 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时, x = 2 .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 或 2.二、应用比例式建立函数解析式例 2 如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x , CE= y .(1) 如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2) 如果∠BAC 的度数为,∠DAE 的度数为,当, 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.A解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC, ∴ AB = BD ,图 2∴ 1 = x CE AC, ∴ y = 1 . y 1 x(2)由于∠DAB+∠CAE= -,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90︒ -,且函数关系式成立,2∴ 90︒ -= -, 整理得-2= 90︒ .2当- 如= 90︒ 时,函数解析式 y = 2 1 成立. x三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y .,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点B 、C(1) 求 y 关于 x 的函数解析式,(2) 以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积. 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H.BO H C6 6 2 DEB C3 ∵∠BAC=90°,AB=AC= 2 11, ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4-x . 2∵ S ∆AOC= OC ⋅ AH , ∴ y = -x + 4 2( 0 < x < 4 ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在 Rt△AOH 中,OA= x + 1,OH= 2 - x , ∴ (x + 1)2 = 22 + (2 - x )2 . 解得 x = 7. 6此时,△AOC 的面积 y = 4 - 76②当⊙O 与⊙A 内切时,= 17 .6在 Rt△AOH 中,OA= x - 1,OH= x - 2 , ∴ (x - 1)2 = 22 + (x - 2)2 . 解得 x = 7. 2此时,△AOC 的面积 y = 4 - 7 2 = 1.217 1综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为或 .62动态几何特点 --- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学动点问题专题讲解(1)
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。
关键：动中求静.数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动"等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲:（1）运动观点；(2）方程思想；（3）数形结合思想；(4）分类思想;（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向．只的这样，才能更好的培养学一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海）如图1,在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段，并求出相应的长度.（2）设PH x =，GP y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围）。
初一动点问题专题
初一动点问题专题动点问题是初一学生学习数学时经常遇到的难题，也是他们在数学学习中的一个难点。
动点问题涉及到的知识点较多，包括速度、时间、距离等，要求学生在解题时综合运用多种数学知识。
本文将结合初一学生的学习特点和解题心得，为大家详细讲解初一动点问题。
一、动点问题的基本概念1、动点问题的概念动点问题指的是一个或多个点在动。
在数学中，我们常常要解决某个点在运动中的位置、速度、时间等问题，这就是动点问题。
在解决动点问题时，常常需要利用速度和时间的关系来确定距离或者位置。
2、常见的动点问题类型在初一数学教学中，动点问题是比较常见的一个问题类型。
常见的动点问题有：两点同时运动、两点交替运动等。
下面我们将结合具体的例子来详细介绍这些类型的动点问题。
二、两点同时运动的问题两点同时运动的问题是初一学生比较容易遇到的一个问题类型。
这类问题的解题步骤一般包括：确定关系式，列方程，解方程，找答案等。
下面我们通过一个例题来详细介绍这类问题的解题方法。
例题：甲、乙两地相距150千米，甲乙两车同时出发相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，问几小时能相遇？解：假设相遇时，甲车行驶了x小时，乙车行驶了y小时。
则根据距离=速度*时间得出60x + 40y = 150 （1）又根据x+y=？得出60x + 60y = 150 （2）将两个方程相减得出20y=0y=3则x=2所以相遇时，甲车行驶了2小时，乙车行驶了3小时。
答：2小时。
三、两点交替运动的问题另一类常见的动点问题是两点交替运动的问题。
这类问题的解题步骤一般包括：列方程，解方程，找答案等。
下面我们通过一个例题来详细介绍这类问题的解题方法。
例题：两列火车从两地同时开出，两地相距150千米，一列火车以50千米/小时的速度开往另一地，另一列火车以40千米/小时的速度开往另一地，问几小时两列火车相遇？解：假设相遇时，快车行驶了x小时，慢车行驶了y小时。
则根据距离=速度*时间得出50x+40y=150 （1）又根据x+y=？得出50x+50y=150 （2）将两个方程相减得出10y=0y=3则x=0所以相遇时，快车行驶了0小时，慢车行驶了3小时。
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲:（1)运动观点；（2）方程思想；（３)数形结合思想；（4）分类思想;（５）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向．只的这样，才能更好的培养学一、应用勾股定理建立函数解析式例1（2０00年·上海)如图1,在半径为6，圆心角为9０°的扇形O ＡＢ的弧AB 上,有一个动点P ，ＰH ⊥OA,垂足为H,△ＯPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(２)设ＰH x =,ＧＰy =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3）如果△ＰGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长． 二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东)如图２，在△ABC 中,A Ｂ＝AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设ＢD=,x C Ｅ=y .（１）如果∠BAC=3０°,∠D ＡE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2）如果∠BAC 的度数为α,∠D ＡＥ的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(１)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.例３(20０5年·上海)如图3(1)，在△AB Ｃ中,∠Ａ4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,点D,交线段O Ｃ于点E.作EP ⊥E Ｄ,交射线AB 于点P Ｂ于点F. (１)求证: △ＡDE ∽△ＡEP ． (2)设OA=x ，AP=y ,求y 关于x 的定义域.(3）当BF=１时,求线段AP 的长.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（２０0４年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=9０°，A Ｂ＝AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动（与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .(１)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2）以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时, △A ＯＣ的面积.动态几何特点-－--问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中, .∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,AEDCB图2HM NGPOAB图1∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式A3(2)A3(1)C例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学动点问题专题讲解(22页)
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中消失一个或多个动点,它们在线段.射线或弧线上活动的一类凋谢性标题.解决这类问题的症结是动中求静,灵巧应用有关数学常识解决问题.症结:动中求静.数学思惟：分类思惟函数思惟方程思惟数形联合思惟转化思惟重视对几何图形活动变更才能的考察从变换的角度和活动变更来研讨三角形.四边形.函数图像等图形,经由过程“对称.动点的活动”等研讨手腕和办法,来摸索与发明图形性质及图形变更,在解题进程中渗入渗出空间不雅念和合情推理.选择根本的几何图形,让学生阅历摸索的进程,以才能立意,考察学生的自立探讨才能,促进造就学生解决问题的才能．图形在动点的活动进程中不雅察图形的变更情形,须要懂得图形在不合地位的情形,才干做好盘算推理的进程.在变更中找到不变的性质是解决数学“动点”探讨题的根本思绪,这也是动态几何数学问题中最焦点的数学本质.二期课改后数学卷中的数学压轴性题正慢慢转向数形联合.动态几何.着手操纵.试验探讨等偏向成长．这些压轴题题型繁多.题意创新,目标是考察学生的剖析问题.解决问题的才能,内容包含空间不雅念.应用意识.推理才能等．从数学思惟的层面上讲：（1）活动不雅点;（2）方程思惟;（3）数形联合思惟;（4）分类思惟;（5）转化思惟等．研讨积年来各区的压轴性试题,就能找到本年中考数学试题的热门的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教授教养中研讨对策,掌控偏向．只的如许,才干更好的造就学生解题素养,在本质教导的布景下更明白地表现课程尺度的导向．本文拟就压轴题的题型布景和区分度测量点的消失性和区分度小题处理手段提出本身的不雅点．函数揭示了活动变更进程中量与量之间的变更纪律,是初中数学的重要内容.动点问题反应的是一种函数思惟,因为某一个点或某图形的有前提地活动变更,引起未知量与已知量间的一种变更关系,这种变更关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们如何树立这种函数解析式呢?下面联合中测验题举例剖析.一.应用勾股定理树立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上活动时,线段GO.GP.GH 中,有无长度保持不变的线段?假如有,请指出如许的线段,并求出响应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域(即自变量x 的取值规模).(3)假如△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上活动时,OP 保持不变,于是线段GO.GP.GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=,∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中, .HM NGPO AB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情形: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经磨练,6=x 是原方程的根,且相符题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经磨练,0=x 是原方程的根,但不相符题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,假如△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二.应用比例式树立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,BD=,x CE=y . (1)假如∠BAC=30°,∠DAE=105°,试肯定y 与x 之间的函数解析式;(2)假如∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β知足如何的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试解释来由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)因为∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,AED CB图2 3(1)∴290α-︒=αβ-, 整顿得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)贯穿连接OD.依据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE ADAP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时,①若EP 交线段CB 的延伸线于点F,如图3(1),则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE.A3(2)∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三.应用求图形面积的办法树立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上活动(与点B.C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 动态几何特色----问题布景是特别图形,考察询题也是特别图形,所以要掌控好一般与特别的关系;剖析进程中,特别要存眷图形的特点（特别角.ACO 图8HC特别图形的性质.图形的特别地位.）动点问题一向是中考热门,近几年考察探讨活动中的特别性：等腰三角形.直角三角形.类似三角形.平行四边形.梯形.特别角或其三角函数.线段或面积的最值.下面就此问题的罕有题型作简略介绍,解题办法.症结给以点拨. 一.以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为极点作B EDF ∠=∠,分离交边AB 于点E ,交射线CA 于点F ．（1）当6=AE 时,求AF 的长;（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE 的长． [题型布景和区分度测量点]本题改编改过教材九上《类似形》24.5(4)例六,典范的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基本上改编出第一小题,当E 点在AB 边上活动时,渗入渗出入圆与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了第二小题,参加直AB CDEOlA ′线与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的地位关系和圆与圆的地位关系,从而应用方程思惟来求解．[区分度性小题处理手段]1．直线与圆的相切的消失性的处理办法：应用d=r 树立方程．2．圆与圆的地位关系的消失性(相切问题)的处理办法：应用d=R ±r(r R >)树立方程．3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解]解：（1） 证实CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF =,代入数据得8=CF ,∴AF=2 （2）设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=应用（1）的办法xCF 32=,相切时特别切和内切两种情形斟酌： 外切,xx 321010+-=,24=x ;内切,xx 321010--=,17210±=x ．100<<x∴当⊙C 和⊙A 相切时,BE 的长为24或17210-． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,320=BE ． （二）线动问题在矩形ABCD 中,AB ＝3,点O 在对角线AC 上,直线l 过点O,且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形ABCD 的对称中间A ＇重合,求BC 的长;(2)若直线l 与AB 订交于点F,且AO ＝41AC,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值规模;ABCDE O lF ②摸索：是否消失如许的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若消失,请求出x 的值;若不消失,请解释来由．[题型布景和区分度测量点]本题以矩形为布景,联合轴对称.类似.三角等相干常识编制得到．第一小题考察了学生轴对称.矩形.勾股定理三小块常识内容;当直线l 沿AB 边向上平移时,寻找面积函数解析式为区分测量点一.参加直线与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了区分度测量点二．[区分度性小题处理手段]1．找面积关系的函数解析式,规矩图形套用公式或用割补法,不规矩图形用割补法．2．直线与圆的相切的消失性的处理办法：应用d=r 树立方程． 3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中间∴A ’B ＝AA ’＝21AC∵AB ＝A ’B,AB ＝3∴AC ＝6 33=BC(2)①92+=x AC ,9412+=x AO ,)9(1212+=x AF ,x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=,xx x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切,则941432+=-x x ,01=x (舍去),582=x ∵3582<=x ∴不消失如许的x ,使圆A 与直线l 相切．（三）面动问题如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D .E 分离是边AB .AC 上的两个动点（D 不与A .B 重合）,且保持BC DE ∥,认为DE 边,在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积;（2）当边FG 与BC 重应时,求正方形DEFG 的边长;（3）设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域;（4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长． [题型布景和区分度测量点]本题改编改过教材九上《类似形》24.5(4)例七,典范的共角类似三角形问题,试题为了形成坡度,在原题的基本上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上活动时,正方形DEFG 整体动起来,GF 边落在BC 边上时,正好和教材中的例题对应,可以说是类似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的消失性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手段]1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的症结,如上图3-1.3-2重叠部分分离为正方形和矩形包含两种情形．2．准确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图3-3.3-4.3-5用方程思惟解决．C3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解]解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ,则446a a -=,解得512=a . （3）当20≤x 时, 22253656x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 当52 x 时, ()2252452455456x x x x y -=-⋅=. （4）720,1125,73125=AD . [类题]改编自09奉贤3月考25题,将前提（2）“当点M .N 分离在边BA .CA 上时”,去失落,同时加到第（3）题中.已知：在△ABC 中,AB =AC ,∠B =30º,BC =6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC上,DE =3,△DEF 是等边三角形,边DF .EF 与边BA .CA 分离订交于点M .N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ;（2）设BD =x ,△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出界说域．（3）当点M .N 分离在边BA .CA 上时,是否消失点D ,使以M 为圆心,BM 为半径的圆与直线EF 相切,假如消失,请求出x 的值;如不消失,请解释来由．例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径,点C 在⊙O 上变更（不与A.B ）重合,求∠ACB 的大小 .ABF DEMNC剖析：点C 的变更是否影响∠ACB 的大小的变更呢?我们无妨将点C 转变一下,若何变更呢？可能在优弧AB 上,也可能在劣弧AB 上变更,显然这两者的成果不一样.那么,当点C 在优弧AB 上变更时,∠ACB 所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB 的一半,是以很天然地想到它的圆心角,贯穿连接AO.BO,则因为AB=OA=OB,即三角形ABC 为等边三角形,则∠AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21∠AOB=300,当点C 在劣弧AB 上变更时,∠ACB 所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB 的一半,由∠AOB=600得,优弧AB的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500,是以,本题的答案有两个,分离为300或1500.反思：本题经由过程点C 在圆上活动的不肯定性而引起成果的不独一性.从而须要分类评论辩论.如许由点C的活动变更性而引起的分类评论辩论在解题中经常消失.变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形,若32=AB ,求∠C 的大小.本题与例1的差别只是AB 与圆的半径的关系产生了一些变更,其解题办法与上面一致,在三角形AOB中,232121sin ==∠OB AB AOB ,则06021=∠AOB ,即0120=∠AOB , 从而当点C 在优弧AB 上变更时,∠C 所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB 的一半,即060=∠C ,当点C 在劣弧AB 上变更时,∠C 所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB 的一半,由∠AOB=1200得,优弧AB的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200,是以060=∠C 或∠C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A.B,若AB=1,断定∠AOB 的大小是否会随点A.B 的变更而变更,若变更,求出变更规模,若不变更,求出它的值.四边形ABCD 的面积的最大值.解：（1）因为AB=OA=OB,所以三角形AOB 为等边三角形,则∠AOB=600,即∠AOB 的大小不会随点A.B 的变更而变更.（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形构成,个中三角形AOB 的面积为43,而三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=⨯+⨯,又由梯形的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21,要四边形ABCD 的面积最大,只需EH 最大,显然EH ≤OE=23,当AB ∥CD 时,EH=OE,是以四边形ABCD 的面积最大值为43+23=433.对于本题同窗们还可以持续思虑:四边形ABCD 的周长的变更规模.变式3:别为A.B,另一个极点C 在半圆上,问如何截取才干使截出的三角形的面积最大？请求解释来由（广州市2000年考题）剖析：要使三角形ABC 的面积最大,而三角形ABC 的底边AB 为圆的直径为常量,只需AB 边上的高最大即可.过点C 作CD ⊥AB于点D,贯穿连接CO,因为CD ≤CO,当O 与D 重合,CD=CO,是以,当CO 与AB垂直时,即C 为半圆弧的中点时,其三角形ABC 的面积最大.本题也可以先猜测,点C 为半圆弧的中点时,三角形ABC 的面积最大,故只需另选一个地位C1（不与C 重合）,,证实三角形ABC 的面积大于三角形ABC1的面积即可.如图显然三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D,而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D<21AB ×C1O=三角形 ABC 的面积,是以,对于除点C 外的随意率性点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最大.本题还可研讨三角形ABC 的周长何时最大的问题.提醒：应用周长与面积之间的关系.要三角形ABC 的周长最大,AB 为常数,只需AC+BC 最大,而（AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC ×BC=AB2+4×ΔABC 的面积,是以ΔABC 的面积最大时,AC+BC 最大,从而ΔABC 的周长最大.从以上一道题及其三个变式的研讨我们不难发明,解决动态几何问题的罕有办法有:一、 特别探路,一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图,⊙O1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合）,直线PA 交⊙O2于点C,PB 切⊙O2于点B,则PC BP 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26剖析：本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是准确的,是以可以取一个特别地位进行研讨,当点P 知足PB ⊥AB 时,可以经由过程盘算得出PB=221322=- BC ×AP=BP ×AB,是以 BC=62462288162822==+=+⨯BP AB BPAB ,在三角形BPC 中,PC=36222=-BC BP , 所以,PC BP =3选（B ） 当然,本题还可以依据三角形类似得BP AP PC BP =,即可盘算出结论.作为一道选择题,到此已经完成,但假如是一道解答题,我们得出的结论只是一个特别情形,还要进一步证实对一般情形也成立.AA例3：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分离在边AB.AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A.C重合,点E 不与B.A 重合.断定∆OEF 的外形,并加以证实.断定四边形AEOF 的面积是否随点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.∆AEF 的面积是否跟着点 E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.剖析：本题结论很难发明,先从特别情形入手.最特别情形为E.F 分离为AB.AC 中点,显然有ΔEOF 为等腰直角三角形.还可发明当点E 与A 无穷接近时,点F 与点C 无穷接近,此时ΔEOF 无穷接近ΔAOC,而ΔAOC 为等腰直角三角形,几种特别情形都可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形.一般情形下成立吗？OE 与OF 相等吗？∠EOF 为直角吗？可否证实.假如它们成立,即可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等,一般情形下这两个三角形全等吗？不难从标题标前提可得：OA=OC,∠OCF=∠OAE,而AE=CF,则ΔOEA ≌ΔOFC,则OE=OF,且∠FOC=∠EOA,所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900,则∠EOF 为直角,故ΔEOF 为等腰直角三角形.二、着手实践,操纵确认例4（2003年广州市中测验题）在⊙O 中,C 为弧AB 的中点,D 为弧AC 上任一点（与A.C 不重合）,则（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不肯定剖析:本题可以经由过程着手操纵一下,器量AC.CB.AD.DB 的长度,可以F E O C B A测验测验换几个地位量一量,得出结论（C ）例5：如图,过两齐心圆的小圆上任一点C 分离作小圆的直径CA 和非直径的弦CD,延伸CA 和CD 与大圆分离交于点B.E,则下列结论中准确的是（ * ）（A ）AB DE = （B ）AB DE >（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不肯定剖析：本题可以经由过程器量的办法进行,选（B ）本题也可以可以证实得出结论,贯穿连接DO.EO,则在三角形OED 中,因为双方之差小于第三边,则 OE —OD<DE,即OB —OA<DE,是以ED AB <,即AB DE >三、 树立接洽,盘算解释例6：如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,且DM=1,N 为对角线AC 上随意率性一点,则DN+MN 的最小值为 .剖析：可否将DN 和NM 进行转化,与树立三角形双方之和大于第三边等问题,很天然地想到轴对称问题,因为ABCD 为正方形,是以贯穿连接BN,显然有ND=NB,则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了,一般情形下：BN+NM ≥BM,只有在B.N.M 三点共线时,BN+NM=BM,是以DN+MN 的最小值为BM=522=+CM BC 本题经由过程树立平面上三个点中构成的三角形中的双方之和大于第三边及共线时的双方之和等于第三边的特别情形求最小值,最后经由过程勾股定理盘算得出结论.例7：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分离在边AB.AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A.C 重合,点E 不与B.A 重合.断定四边形AEOF 的面积是否随点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.∆AEF 的面积是否跟着点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值. （即例3的第2.第3问）剖析：(2)本题的办法许多,其一,可以树立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式,如设AE=x,则AF=x -22, 而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积B M N DC B A F E O C B A之比=x 22,而三角形AOB 的面积=221=⨯⨯OA OB ,则三角形AOE 的面积=2x ,同理三角形AOF 的面积=222x-,是以四边形AEOF 的面积=22)22(=-+x x ;即AEOF 的面积不会随点E.F 的变更而变更,是一个定值,且为2.当然,本题也可以如许思虑,因为三角形AOE 与三角形COF 全等,则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等,而AOC 的面积为2,是以AEOF 的面积不会随点E.F 的变更而变更,是一个定值,且为2.本题经由过程树立函数关系或有关图形之间的关系,然后经由过程简略的盘算得出结论的办法应用比较普遍.第(3)问,也可以经由过程树立函数关系求得,∆AEF 的面积=1)2(21)22(212+--=-x x x ,又x 的变更规模为220<<x ,由二次函数常识得∆AEF 的面积的规模为:<0∆AEF 的面积1≤.本题也可以依据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系肯定∆AEF 的面积规模:不难证实∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,它们公用边EF,取EF 的中点H,显然因为∆OEF 为等腰直角三角形,则OH ⊥EF,作AG ⊥EF,显然AG ≤AH=AG （=EF 21）,所以∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,而它们的和为2,是以<0∆AEF 的面积1≤.本题包涵的内在十分丰硕,还可以提出许多问题研讨：比方,比较线段EF 与AO 长度大小等（可以经由过程A.E.O.F 四点在以EF 为直径的圆上得出许多结论）例8：如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB 边从点A 开端向点B 以2厘米/秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开端向点A 以1厘米/秒的速度移动.假如Ｐ.Ｑ同时动身,用t 秒暗示移动的时光（0≤ t ≤6）,那么：（1）当t 为何值时,三角形QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积,提出一个与盘算成果有关的结论;（3）当t 为何值时,以点Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？剖析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时,因为∠A 为直角,只能是AQ=AP,树立等量关系,t t -=62,即2=t 时,三角形QAP 为等腰三角形;（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积 =6)212(211221612⨯--⨯⨯-⨯x x =36,即当P.Q 活动时,四边形QAPC 的面积不变.（3）显然有两种情形：△PAQ ∽△ABC,△QAP ∽△ABC, 由类似关系得61262=-x x 或12662=-x x ,解之得3=x 或2.1=x树立关系求解,包含的内容多,可所以函数关系,可所以方程组或不等式等,经由过程解方程.或函数的最大值最小值,自变量的取值规模等方面来解决问题;也可所以经由过程一些几何上的关系,描写图形的特点,如全等.类似.共圆等方面的常识求解.作为练习同窗们可以分解上述办法求解：点动.线动.形动构成的问题称之为动态几何问题. 它重要以几何图形为载体,活动变更为主线,集多个常识点为一体,集多种解题思惟于一题. 这类题分解性强,才能请求高,它能周全的考察学生的实践操纵才能,空间想象才能以及剖析问题息争决问题的才能. 个中以灵巧多变而著称的双动点问题更成为本年中测验题的热门,现采撷几例加以分类浅析,供读者观赏. 1 以双动点为载体,寻找函数图象问题 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm(如图1). 动点P,Q 同时从点B 动身,点P 沿BA,AD,DC 活动到点C 停滞,点Q 沿BC 活动到点C 停滞,两点活动时的速度都是1cm/s. 而当点P 到达点A 时,点Q 正好到达点C. 设P,Q 同时从点B 动身,经由的时光为t(s)时,△BPQ 的面积为y(cm)2(如图2). 分离以t,y 为横.纵坐标树立直角坐标系,已知点P 在AD 边上从A 到D 活动时,y 与t 的函数图象是图3中的线段MN.(1)分离求出梯形中BA,AD 的长度;(2)写出图3中M,N 两点的坐标;(3)分离写出点P 在BA 边上和DC 边上活动时,y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值规模),并在图3中补全全部活动中y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的活动进程中形成的函数解析式与其响应的函数图象有机的联合在一路,二者相辅相成,给人以清爽.淡雅之感. 本题彰显数形联合.分类评论辩论.函数建模与参数思惟在解题进程中的灵巧应用. 解决本题的症结是从函数图象中肯定线段AB.梯形的高与t的函数关系式,树立起y与t的函数关系式,进而依据函数关系式填补函数图象.2 以双动点为载体,寻找结论凋谢性问题例2 (2007年泰州市)如图5,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30°.它的极点A的坐标为(10,0),极点B的坐标为(5,53),AB=10,点P从点A动身,沿A→B→C的偏向匀速活动,同时点Q从点D(0,2)动身,沿y轴正偏向以雷同速度活动,当点P到达点C时,两点同时停滞活动,设活动的时光为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上活动时,△OPQ的面积S(平地契位)与时光t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图6),求点P的活动速度.(3)求(2)中面积S与时光t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)假如点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边活动时,∠OPQ的大小跟着时光t的增大而增大;沿着BC边活动时,∠OPQ的大小跟着时光t的增大而减小,当点P沿这双方活动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请解释来由.解 (1)∠BAO=60°.(2)点P的活动速度为2个单位/秒. 评析本题是以双点活动构建的集函数.凋谢.最值问题于一体的分解题. 试题有难度.有梯度也有区分度,是一道具有很好的提拔功效的好题. 解决本题的症结是从图象中获取P的速度为2,然后树立S与t的函数关系式,应用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4),考生要从标题标信息中肯定树立以B为直角极点的三角形,以B为临界点进行分类评论辩论,进而肯定点的个数问题.3 以双动点为载体,寻找消失性问题例3 (2007年扬州市)如图8,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点动身,分离沿B→A,B→C活动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分离交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停滞活动.设活动时光为t秒.(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=厘米;(2)若a=5厘米,求时光t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的类似比;(3)若在活动进程中,消失某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值规模;(4)是否消失如许的矩形：在活动进程中,消失某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若消失,求a的值;若不消失,请解释来由.评析本题是以双动点为载体,矩形为布景创设的消失性问题.试题由浅入深.层层递进,将几何与代数常识完善的分解为一题,侧重对类似和梯形面积等常识点的考察,本题的难点主如果题(3),解决此题的症结是应用类似三角形的性质用t的代数式暗示PM,进而应用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式,再应用t的规模肯定的a取值规模. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用,在解决此问题的进程中,要有全局不雅念以及对问题的整体掌控.4 以双动点为载体,寻找函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中,E.F是对角线AC上的两个动点,它们分离从点。
初中数学动点问题专题讲解
线 l 过点 B，把△ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A＇重合，求 BC 的长；
(2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO＝ 1 AC，设 AD 的长为 x ，五边
4
l
形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范 A
E
D
P B
义域.
F
●
EO
A
(3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长.
解:(1)连结 OD.
D
根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△ C
●
EO
A
AEP.
3(2)
(2) ∵ ∠ ABC=90 ° ,AB=4,BC=3, ∴ AC=5. ∵ ∠ ABC= ∠
MH 1 OH 1 36 x2 .
2
2
O
在 Rt△MPH 中,
MP PH 2 MH 2 x 2 9 1 x 2 1 36 3x 2 . 42
N
y Gx
MHA 图1
∴ y =GP= 2 MP= 1 36 3x2 (0< x <6). 33
(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:
中考动点专题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动 观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我 们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.HM NG POAB图1xy解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. AEDCB 图2(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ).AC 3(2)C 3(1)(3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,ABCO 图8H在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年²上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236xPH OPOH -=-=, ∴2362121xOH MH -==.在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x+ (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x=+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年²山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =,2222233621419xxx MHPHMP +=-+=+=AED CB 图2HMNG POAB图1x y∴11x y=, ∴xy 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立.例3(2005年²上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE ADAP AE =, ∴xxyx585458=. ∴x y 516=(8250≤<x ).(3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式A3(2)OA3(1)C例4（2004年²上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-.②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．[区分度性小题处理手法]1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]ABCO 图8HABCDEOlA ′ABCDEO lF 解：（1） 证明CDF ∆∽EBD ∆∴BECD BDCF =，代入数据得8=CF ，∴AF=2（2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法xCF 32=，相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，xx 321010+-=，24=x ；内切，xx 321010--=，17210±=x ．100<<x∴当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为24或17210-． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，320=BE ．类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题． （二）线动问题2,在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．[区分度性小题处理手法]1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝21AC∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC (2)①92+=x AC ，9412+=x AO ，)9(1212+=x AF ，xx AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEF xx 96)9(22+=，xx x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-=(333<<x )②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-x x ，01=x (舍去)，582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切．[类题]09虹口25题． （三）面动问题3.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长． [题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]图3-5图3-4图3-3图3-1C C C CC1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ，则446a a -=，解得512=a .C（3）当20≤x 时， 22253656x x y =⎪⎭⎫⎝⎛=，当52 x 时， ()2252452455456x x x x y -=-⋅=.（4）720,1125,73125=AD . 解决动态几何问题的常见方法有:一、 特殊探路，一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A ，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合），直线PA 交⊙O2于点C ，PB 切⊙O2于点B ，则PC BP的值为（A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB ⊥AB 时，可以通过计算得出PB=221322=-BC ³AP=BP ³AB ，因此BC=62462288162822==+=+⨯BPABBPAB ，在三角形BPC 中，PC=36222=-BCBP，所以，PC BP=3选（B ）当然，本题还可以根据三角形相似得BP APPCBP=，即可计算出结论。
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数解析式还成立?试说明理由.
A
解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,
D
E
B
C
∴△ADB∽△EAC, ∴ AB BD ,
运动(与点 B、C 不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y .
(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域.
A
3
B
C
(2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时,
△AOC 的面积.
解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H.
∵∠BAC=90°,AB=AC= 2 2 , ∴BC=4,AH= 1 BC=2. ∴OC=4- x . 2
P B
义域.
F
●
EO
A
(3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长.
解:(1)连结 OD.
D
根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△ C
●
EO
A
AEP.
3(2)
(2) ∵ ∠ ABC=90 ° ,AB=4,BC=3, ∴ AC=5. ∵ ∠ ABC= ∠
①GP=PH 时, 1 36 3x2 x ,解得 x 6 . 经检验, x 6 是原方程的根,且符合题意. 3
②GP=GH 时, 1 36 3x2 2 ,解得 x 0. 经检验, x 0是原方程的根,但不符合题意. 3
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中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中,22236x PH OP OH -=-=,∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中, .H M NGPOAB图1∴y =GP=32MP=233631x +(0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x .经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC,∴ACBD CEAB =,∴11x y =,∴xy 1=. AED C B图2(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-,整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O 是边AC 上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证:△ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD ∥BC,∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54.∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP,∴AE ADAP AE =,∴x x yx 585458=.∴x y 516=(8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.E A3(2)OOE 3(1)∵∠ADE=∠AEP,∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2),则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22,∴BC=4,AH=21BC=2.∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21,∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2,∴222)2(2)1(x x -+=+.解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x ,∴222)2(2)1(-+=-x x .解得27=x . ABCO 图8HC此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
初中数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NGPOAB图1x y(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.A3(2)3(1)AC(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
初中数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠AEDCB 图2A3(2)3(1)ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. AB CO 图8HC动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
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中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(20XX 年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式例2（20XX 年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NG PO AB图1xyBD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立.例3(20XX 年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.AEDCB 图2A3(2) 3(1)又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（20XX 年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,ABCO图8HC在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入AB CDEOlA ′圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法]1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]解：（1） 证明CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF =，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法xCF 32=，相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，xx 321010+-=，24=x ；内切，x x 321010--=，17210±=x ．100<<x∴当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为24或17210-． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，320=BE ． 类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题． （二）线动问题在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长；(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请ABCDEO lF 说明理由．[题型背景和区分度测量点]本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法． 2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝21AC ∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC(2)①92+=x AC ，9412+=x AO ，)9(1212+=x AF ，x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEF x x 96)9(22+=，x x x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-x x ，01=x (舍去)，582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切． [类题]09虹口25题． （三）面动问题如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）试求ABC ∆的面积；C（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设xAD=，ABC∆与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG∆是等腰三角形时，请直接写出AD的长．[题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD[图3-5图3-4图3-3图3-1C C C CC1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.[ 略解]解：（1）12=∆ABCS.（2）令此时正方形的边长为a，则446aa-=，解得512=a.（3）当20≤x时，22253656xxy=⎪⎭⎫⎝⎛=，当52x时，()2252452455456xxxxy-=-⋅=.（4）720,1125,73125=AD.[类题]改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．（1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出G 的值；如不存在，请说明理由．例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。