数学人教选修4-4(A)坐标系与坐标变换 综合练习2

坐标系与坐标变换 综合练习2一、选择题（每小题4分，共48分） 1．与(ρ, θ)表示同一点的坐标是（ ）。

（A ）(ρ, π＋θ) （B ）(－ρ, －θ) （C ）(－ρ, θ) （D ）(－ρ, π＋θ) 2．点P 的直角坐标是(－3, －4)，它的极坐标是（ ）。

（A ）(5, arctg 34) （B ）(5, arctg 43) （C ）(－5, arctg 34) （D ）(－5,－arctg 34)3．平面直角坐标系内有两个定点A 、B 和动点P ，若直线AP 、BP 的斜率之积 为定值m （0m ≠），则P 的轨迹不可能为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．在直角坐标系中，设(3,2),(2,3)A B -，沿y 轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，AB长为（ ）A ．6B ．24C ．52D ．1125．设点P (ρ1,θ1)和Q (ρ2,θ2)，其中ρ1＋ρ2=0, θ1＋θ2=0 ，则P 、Q 两点的位置关系 是（ ）。

（A ）关于极轴对称 （B ）重合 （C ）关于直线θ=2π对称 （D ）关于极点对称 6．在空间直角坐标系O xyz -中，有一个平面多边形，它在xOy 平面的正射影的面积为8，在yOz 平面和zOx 平面的正射影面积都为6，则这个多边形的面积为（ ）A ．46B ．462C ．34D ．3427．与圆x 2+y 2-4y =0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ). A. y 2=8x B. y 2=8x (x >0) 和 y =0C. x 2=8y (y >0)D. x 2=8y (y >0) 和 x =0 (y <0)8．A 、B 、C 是不共线的三点, O 是空间中任意一点, 向量)2(++=λ, 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ).A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心 9．抛物线y =x 2+(2m +1)x +m 2-1的焦点的轨迹是 ( ).A. 抛物线B. 直线C. 圆D. 线段 10．点(3,0,4)P 位于（ ）A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上11．点(1,1,1)P 关于x 轴的对称点为（ ）A ．(1,1,1)-B ．(1,1,1)--C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)--12．定义一个法则),(),(:y x y x f →，已知)1,0(),0,1(B A ，则线段AB 上的点在“法则f ”的作用下所形成的曲线的长度是（ ）(A)2 (B) 2 (C)4π (D)2π二、填空题（每小题3分，共18分）13．若点A (－4,67π)关于直线θ=3π的对称点为A ’，则A ’的极坐标是 .(ρ<0, －4π≤θ<－2π)14．倾斜角为4π的直线l 过点(1,2)A -和第一象限的点B ，且||AB = B坐标为 。

15．在ABC ∆中，||4BC =，若1sin sin sin 2C B A -=，则动点A 的方程为 。

16．已知点A(0，1)是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________． 17．点(0,4,3)-对应的球坐标为 。

18．在半径为45 ，经度为60 的点的直角坐标为 。

三、解答题（19~21每题6分，22、23题各8分，共34分）19．平面内，某点P 绕极点顺时针方向旋转40°后所得点与点M （4，－110°） 关于射线θ＝220°对称，求点P 的极坐标。

20．如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形， |AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．21．在三棱锥P －ABC 中，AP ＝a ，AB ＝AC=2a ，∠ PAB＝∠PAC＝45°，cos∠BPC＝32，D 是AB 的中点，DE⊥PB，垂足为E ，求CD 与BP 所成 的角。

22．有三个新兴城镇分别位于A 、B 、C 三点处，且a AC AB ==，b BC 2=，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上 的P 点处（建立坐标系如图）．（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和最小，则P 应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？23．甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可以在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是3小时和5小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

yxOB C AP(-b,0)(b,0)参考答案一、DCDCC DDCBC BD二、13．（－4，－25π）；14．(4,1)；15．221(1)3y x x -=>；16．(±31,324-)；17．34(5,,arctan )23π；18．。

三、 19．(4,230)20．如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |． 所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)．由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P )2＋2Px A =17， ① (x A －2P)2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p ． 因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p ．∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4． 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)． 21．解：由已知得PB ＝PC ＝a 故 AP⊥PB AP⊥PC 以P 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系 则A （0,0，a ） B （a 35，a 32，0） C （0，a,0）=(0，－a ，a) =(a 35，a 32，a)AD ＝21AB ＝(a 65，a 31，21a) ＝＋＝（a 65，－a 32，21a ）D 是AB 中点，DE∥AP 故E 是PB 的中点 ＝（－a 35，－a 32，0）BE ＝21BP ＝（－a 65，－a 31，0） cos<,3030652192365||||222=+-=a aa BE CD 所以CD 与BP 所成的角为arccos3030。

22．（Ⅰ）解：由题设条件a>b>0,设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为22222)()(2)(y b a y b y f --++= =2222223b a y b a y ++--所以，当322b a y -=时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是)3,0(22b a -（Ⅱ）解：记22b a h -=P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b x g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*hb h y -= 于是⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b x g 当当 y xOB C AP (-b,0)(b,0)当0222*≥-=hb h y ，即b h ≥时， 因为22y b +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数.所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 点P 的坐标是)2,0(22hb h - 当0222*<-=hb h y ，即b h <时，因为22y b +在[),*+∞y 上当y=0函数)(y g 取得最小值b ，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数,且 b ||>-y h ，所以0=y 时, 函数)(y g 取得最小值.答：当b h ≥时，点P 的坐标是)2,0(22hb h - 当b h <时，点P 的坐标是)0,0(，其中22b a h -=。

23．解：以甲船到达泊位的时刻x ，乙船到达泊位的时刻y 分别为坐标轴，则 由题意知 （0≤x，y≤24）设事件A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B={甲船停靠 泊位时必须等待一段时间}，事件C={乙船停靠泊位时必须等待一段时间} 则A= B∪C，并且事件B 与事件C 是互斥事件 ∴P(A)= P(B∪C)= P(B)+ P(C)而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0<x-y≤5，乙船停靠泊 位时必须等待一段时间需满足的条件是0<y-x≤3， 在如图所示的平面直角坐标系下，点（x ，y ）的 所有可能结果是边长为24的正方形，事件A 的可能 结果由图中的阴影部分表示，则S 正方形=242=576 S 阴影=242-21×(24-5)2-21×(24-3)2 =175∴由几何概率公式得P(A)=576175∴有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是576175。