解一元二次不等式常见错误分析
一元二次不等式与基本不等式常见题型及讲解
一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。
掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。
本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。
一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。
2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。
三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。
需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。
2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。
当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。
(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。
根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。
(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。
四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
一元二次不等式及其解法典型例题透析(供参考)
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1. 解以下一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法那么解答.解析：（1）方式一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>因此方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因此不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. 方式二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩ 解得05x x >⎧⎨<⎩ 或 05x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.因此不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.（2）方式一：因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：因此，原不等式的解集是{|2}x x ≠方式二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=）因此原不等式的解集是{|2}x x ≠（3）方式一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：因此不等式2450x x -+<的解集是∅.因此原不等式的解集是∅.方式二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-<∴原不等式的解集是∅.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽可能结合二次函数图象来解决，培育并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方式，结合符号法那么解答比较简练（如第二、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法那么比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一样都转化为大于0后，再解答.触类旁通：【变式1】解以下不等式(1) 22320x x -->；(2) 23620x x -+->(3) 24410x x -+≤； (4) 2230x x -+->.【答案】（1）方式一：因为2(3)42(2)250∆=--⨯⨯-=>方程22320x x --=的两个实数根为：112x =-，22x = 函数2232y x x =--的简图为：因此不等式22320x x -->的解集是：1{|2}2x x x <->或. 方式二：∵原不等式等价于21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1{|2}2x x x <->或. （2）整理，原式可化为23620x x -+<,因为0∆>,方程23620x x -+=的解131x =-231x =， 函数2362y x x =-+的简图为：因此不等式的解集是33(1,1)33-+. （3）方式一：因为0∆=方程24410x x -+=有两个相等的实根：1212x x ==， 由函数2441y x x =-+的图象为：原不等式的的解集是1{}2.方式二：∵ 原不等式等价于：2(21)0x -≤,∴原不等式的的解集是1{}2.（4）方式一：因为0∆<，方程2230x x -+-=无实数解，由函数223y x x =-+-的简图为：原不等式的解集是∅.方式二：∵2223(1)220x x x -+-=---≤-<，∴ 原不等式解集为∅.【变式2】解不等式：2666x x -≤--<【答案】原不等式可化为不等式组226666x x x x ⎧--<⎪⎨-≤--⎪⎩ ，即221200x x x x ⎧--<⎪⎨-≥⎪⎩，即(4)(3)0(1)0x x x x -+<⎧⎨-≥⎩， 解得3410x x x -<<⎧⎨≥≤⎩或∴原不等式的解集为{|3014}x x x -<≤≤<或. 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。
习题范例解一元二次不等式的常见题型解析
习题范例解一元二次不等式的常见题型解析一、普通一元二次不等式的解法在解一元二次不等式时，我们首先要将其转化为标准形式，即将不等式中所有的项移至一侧，使得不等式左侧为0。
例如，对于如下的一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0我们需要将其转化为如下标准形式：ax^2 + bx + c - 0 > 0接下来，我们需要运用数学方法来解决这个一元二次不等式。
常见的解法有以下几种：1. 因数分解法：当一元二次不等式可以进行因数分解时，我们可以将其进行因数分解，然后求解每个因式为0时的解，最后筛选满足不等式的解即可。
2. 辅助函数法：针对某些特殊的一元二次不等式，我们可以将不等式中的项进行某种变形，然后引入一个辅助函数，通过求导等方式来求解不等式的解。
3. 图像法：我们可以将一元二次不等式对应的二次函数绘制成图像，通过观察和分析图像的性质来确定不等式的解。
以上是一些常见的解一元二次不等式的方法，具体应用时需要结合具体的题目来进行判断和推导。
二、一元二次不等式的常见题型解析1. 一元二次不等式的根的范围题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，求解x的范围。
解析：对于给定的一元二次不等式，我们可以先求解其对应的一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根，假设根为x1和x2。
根据二次函数的性质，对称轴的横坐标为 -b/(2a)，通过这个点我们可以将一元二次函数分为两个区间，分别为 (-∞, x1) 和(x2, +∞)。
接下来，我们需要确定在这两个区间内，一元二次函数是大于0还是小于0。
我们可以选取两个测试点，将这些点代入一元二次函数的表达式中，观察符号的变化。
根据符号的变化情况，我们可以得出一元二次不等式的解的范围。
2. 一元二次不等式与二次函数图像题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，利用二次函数的图像性质求解x的范围。
第二章 一元二次函数、方程和不等式【易错题型专项训练】(解析版)
第二章一元二次函数、方程和不等式【易错题型专项训练】易错点一：由已知条件判断所给不等式是否正确1．对于实数x ，y ，z ，下列结论中正确的是（）A ．若x y >，则22xz yz >B ．若0y z <<，则z y y z>C ．若0x y <<，则11x y<D ．若0x y <<，则22x xy y >>【答案】D 【分析】举反例判断选项A 、B 、C 不正确，由不等式的性质判断选项D ，即可得正确选项.【详解】对于A ：当0z =时，x y >可得22xz yz =不成立，故选项A 不正确；对于B ：取2y =-，1z =-，满足0y z <<，z yy z<，故选项B 不正确；对于C ：取2x =-，1y =-，满足0x y <<，但11x y>，故选项C 不正确；对于D ：因为x y <，0y <，所以2xy y >.又因为x y <，0x <，所以2x xy >，所以22x xy y >>，故选项D 正确，故选：D.2．如果0a <，0b >，那么下列不等式中正确的是（）A ．11a b<B <C ．22a b <D ．||||a b >【答案】A 【分析】根据0a <，0b >时110a b<<，判断A 正确，再分析其他选项错误即可．【详解】解：由0a <，0b >，可知110a b<<，所以选项A 正确；由0a <，得0a ->，无法比较a -与b 无法比较大小，选项B 错误；由0a <，0b >，无法比较||a 与||b 的大小，所以22a b <也不成立，选项C 、D 错误．故选：A ．3．已知三个不等式：①0ab >，②c da b>，③bc ad >.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_______个正确命题.【答案】3【分析】先将将②作等价变形，得0c d bc ad a b ab ->⇔>，再结合①③逐一判断即可.【详解】解析：将②作等价变形，得0c d bc ada b ab->⇔>.由0,ab bc ad >>，可得②成立，故①③⇒②；若0,0bc adab ab->>，则bc ad >，故①②⇒③.若,0bc adbc ad ab->>，则0ab >，故②③⇒①.所以可组成3个正确命题.【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了命题的真假，属基础题.易错点二：利用不等式求值或取值范围1．设实数x 、y 满足34x <<，12y <<，则2M x y =-的取值范围是（）A ．46M <<B ．47M <<C ．56M <<D ．57M <<【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】由已知得，628x <<，21y -<-<-，故427x y <-<，故选：B.2．设αβ、满足条件22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围是（）A ．(),ππ-B ．(),0π-C ．()0,πD ．,22ππ⎛⎫- ⎝⎭【答案】B 【分析】利用不等式的性质，求得αβ-的取值范围.【详解】由于ππ22β-<<，则ππ22β-<-<①，由αβ<得0αβ-<②，而ππ22α-<<③，由①②③得π0αβ-<-<.故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查两角差的取值范围的求法，属于基础题.3．已知24a <<，35b <<，那么2M a b =+的取值范围是________.【答案】{}713M M <<【分析】利用不等式的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】由已知可得428a <<，又因为35b <<，所以，7213a b <+<.因此，2M a b =+的取值范围是{}713M M <<.故答案为：{}713M M <<.易错点三：由基本不等式比较大小1．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（）A ．2a b +B 2a b +C＜2a b +D 2a b +【答案】B 【分析】利用基本不等式或作差法判断选项.【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+，而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>【答案】B 【分析】由0a b >>，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果．【详解】因为0a b >>所以22a a a ba ++=>b =；由基本不等式可得2a b+>所以2a ba b +>>>.故选：B ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基础题.3．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-.【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小.【详解】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-.【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.易错点四：用基本不等式求最值1．若x >0，y >0，且x +y =S ，xy =P ，则下列说法中正确的是（）A ．当且仅当x =y 时S 有最小值B ．当且仅当x =y 时P 有最大值24S C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值D ．若S 为定值，当且仅当x =y 时P 有最大值24S 【答案】D 【分析】通过基本不等式的性质化简进一步得出结论.【详解】∵x ，y ∈R +，x +y =S ，xy =P ，∴S =x +y x =y 时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x =y 时S 的值最小，故A ､C 错误；由①得，P ≤2()2x y +=24S ，当且仅当x =y 时取等号；∴如果S 是定值，那么当且仅当x =y 时P 的值最大，故D 正确，B 错误.故选：D.2．若正数a ，b 满足6a b +=，则ab 的最大值为（）A ．5B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭求解.【详解】由题意得：226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为9.故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.3．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则ab 的最大值是________．【答案】14【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为a ，b 均为正数，且1a b +=，所以a b +≥2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.故答案为：14【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，属于基础题.易错点五：基本不等式的恒成立问题1．已知a >b >c ，若14ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（）A ．3B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c +---，得14()(m a c a b b c-+-- ，结合基本不等式求出14()()a c a b b c-+--的最小值，得到m 的最大值．【详解】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c +--- ，得14()()m a c a b b c-+-- ，又a c a b b c -=-+-，1414()([()()]()a c a b b c a b b c a b b c∴-+=-+-+----4()559a b b c b c a b --=+++-- ，当且仅当4()a b b c b c a b --=--，即2()b c a b -=-时，14()(a c ab b c-+--取得最小值9，9m ∴ ，m ∴的最大值为9．故选：D ．2．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．8m ≤B ．8m >C ．0m <D ．4m ≤【答案】A 【分析】利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，即可得解.【详解】解：0x >、0y >()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，∴8m ≤，故选：A .【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.3．已知x 、y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(],4-∞【分析】由参变量分离法可得()11m x y x y ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出()11x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】因为x 、y 为两个正实数，由11m x y x y ≤++可得()11m x y x y ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，因为()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立.所以，4m ≤，因此，实数m 的取值范围是(],4-∞.故答案为：(],4-∞.易错点六：二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用1．不等式20x px q --<的解集是{}|23x x <<，则不等式210qx px -->的解是（）A ．1{|2x x <-或1}3x >-B ．11{|}23x x -<<-C ．11{|}32x x <<D ．{2|x x <或3}x >【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到方程20x px q --＝的两个根是2，3，再根据根与系数的关系，求出,p q ，再解不等式210qx px -->，得到解集.【详解】易知方程20x px q --＝的两个根是2，3.由根与系数的关系得2323pq+=⎧⎨⨯=-⎩，解得56p q =⎧⎨=-⎩，不等式210qx px -->为26510x x --->，得26510x x +<+，得2131()()0x x ++<，解得1123x -<<-.故选：B.【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，根与系数的关系，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|32}x x -<<,则不等式20cx bx a ++>的解集为A ．11|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{1|3x x <-或12x >}C ．{|32}x x -<<D ．{|3x x <-或 2x >}【答案】B 【分析】根据不等式的解集可知对应方程的两个根,由根与系数关系求得a 与b 、a 与c 的关系,进而得要解的一元二次不等式,解不等式即可求解.【详解】由不等式20ax bx c ++>的解集为{|32}x x -<<,得到0a <且方程20ax bx c ++=的两个根分别为3,2-由根与系数的关系得1b a =,6ca=-由20cx bx a ++>,同时除以a 可得210c bx x a a++<即不等式可化为2610x x -++<则2610x x -->因式分解可得(31)(21)0x x +->解得13x <-或12x >即不等式20cx bx a ++>的解集为{1|3x x <-或12x >}故选:B 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,一元二次方程的根与系数关系的应用,属于基础题.3．若关于x 的方程()()222210a x a x ---+=无实数解，则a 的取值范围是________．【答案】[)2,3【分析】本题可分为2a =、2a ≠两种情况进行讨论，然后借助判别式即可得出结果.【详解】当2a =时，方程()()222210a x a x ---+=即10=，无解，满足题意；当2a ≠时，20a -≠，()()222420a a 轾D =----<臌，解得23a <<，综上所述，a 的取值范围是[)2,3，故答案为：[)2,3.。
一元二次不等式恒成立问题例题
一元二次不等式恒成立问题例题摘要：一、一元二次不等式恒成立问题的背景和意义1.一元二次不等式的基本概念2.恒成立问题的提出和解决方法二、一元二次不等式恒成立问题的例题解析1.例题一：基础一元二次不等式恒成立问题2.例题二：复杂一元二次不等式恒成立问题3.例题三：特殊条件下的一元二次不等式恒成立问题三、解决一元二次不等式恒成立问题的方法和技巧1.基本解法：利用判别式和顶点公式2.进阶解法：换元法、参数分离法等3.常见错误和难点解析四、总结与展望1.一元二次不等式恒成立问题的解题思路总结2.提高解题能力的建议和展望正文：一、一元二次不等式恒成立问题的背景和意义一元二次不等式是中学数学中的一个基本概念，它涉及到许多实际问题，如几何、物理、化学等领域的许多问题都可以通过一元二次不等式来描述。
在数学问题中，一元二次不等式恒成立问题是指给定一元二次不等式，要求证明该不等式对于所有满足条件的变量值都成立。
解决这类问题需要运用一元二次不等式的基本概念和性质，同时也需要一定的逻辑推理能力。
二、一元二次不等式恒成立问题的例题解析1.例题一：基础一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0，求证该不等式对于所有x 都成立。
解析：首先根据判别式Δ= b^2 - 4ac，判断a 的符号。
当a > 0 时，Δ < 0，原不等式恒成立；当a < 0 时，Δ > 0，原不等式不恒成立。
因此，只需证明a > 0 且Δ < 0 即可。
2.例题二：复杂一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：|x - 1| + |x - 3| + |x - 5| > 6，求证该不等式对于所有x 都成立。
解析：通过绝对值不等式的性质，可以将原不等式转化为三个一元一次不等式。
然后分别求解这三个不等式，得到它们的解集，最后证明原不等式的解集包含在三个一次不等式的解集中。
3.例题三：特殊条件下的一元二次不等式恒成立问题已知一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0，其中a < 0，求证该不等式对于所有x 都成立。
高考数学考点知识专题讲解与练习45---一元二次不等式在实际问题中的应用
高考数学考点知识专题讲解与练习 一元二次不等式在实际问题中的应用学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 预习小测 自我检验1．不等式1＋x1－x ≥0的解集为________．答案 {x |－1≤x <1}解析 原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.2．不等式1x ≤1的解集为________． 答案 {x |x ≥1或x <0} 解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴⎩⎨⎧x (x －1)≥0，x ≠0，∴x ≥1或x <0. 3．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________ 台． 答案 150解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0， 即x 2＋50x －30 000≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．4．某商品在最近30天内的价格y 1与时间t (单位：天)的函数关系是y 1＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量y 2与时间t 的函数关系是y 2＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围是________________． 答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N }解析 日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)， 依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500， 解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．一、分式不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎨⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎨⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎨⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <－12. 二、一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)．(2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)． 依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2. 又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}． 反思感悟 解不等式应用题的步骤跟踪训练2 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x5有解，等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解． 由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．不等式恒成立问题典例 (1)若对∀x ∈R 不等式x 2＋mx >4x ＋m －4恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x 2>4x ＋m －4在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)原不等式可化为x 2＋(m －4)x ＋4－m >0， ∴Δ＝(m －4)2－4(4－m )＝m 2－4m <0， ∴0<m <4，∴m 的取值范围为{m |0<m <4}．(2)原不等式可化为x 2－4x ＋4＝(x －2)2>m 恒成立， ∴m <0，∴m 的取值范围为{m |m <0}．[素养提升]一元二次不等式恒成立的情况： ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，Δ≤0.1．不等式x －1x －2≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |x >2或x ≤1} 答案 D解析 由题意可知，不等式等价于⎩⎨⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1.故选D.2．不等式3x ＋1≥1的解集是( )A ．{x |x <－1或－1<x ≤2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤2}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 D 解析 ∵3x ＋1≥1，∴3x ＋1－1≥0，∴3－x －1x ＋1≥0， 即x －2x ＋1≤0，等价于(x －2)(x ＋1)<0或x －2＝0， 故－1<x ≤2.3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间 答案 C解析 设售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16， 所以每件售价应定为12元到16元之间．4．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则不等式x ＋ab －x <0的解集为__________．答案 {x |x >－a 或x <b } 解析 原不等式等价于 (x ＋a )(b －x )<0⇔(x －b )(x ＋a )>0. 又a ＋b <0，所以b <－a .所以原不等式的解集为{x |x >－a 或x <b }．5．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________． 答案 {t |3≤t ≤5}解析 设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元， 则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： ①选取合适的字母表示题目中的未知数；②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； ③求解所列出的不等式(组)； ④结合题目的实际意义确定答案． 2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．1．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2或x ≤34 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34答案 B 解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0， 即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x <2，故选B.2．与不等式x －32－x ≥0同解的不等式是( )A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0 答案 B 解析 解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确． B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确． C ．不等式2－xx －3≥0的解是2≤x <3，故不正确．D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为( )A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，故ax＋bx－2＝a(x＋1)x－2>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.∴x>2或x<－1.4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}答案 A解析由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是() A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}C．{x|15<x<20} D．{x|10≤x<20}答案 C解析设这批台灯的销售单价为x元，则[30－(x－15)×2]x>400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析 由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎨⎧b ＝－a ，c ＝－2a且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x －2a >－ax ，∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x <0，∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%， 解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析 根据题意，得118x ＋1180x 2≥40.移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为x －a x ＋1<0， 即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎨⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎨⎧ －6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内．11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( )A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2}答案 A解析 原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎨⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x <a 的解集为() A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1b 或x >1aB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1a 或x >1b D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2} B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________．答案乙车解析由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10.分别求解，得x甲<－40或x甲>30.x乙<－50或x乙>40.由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．15．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．答案20解析由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，记一月份至十月份的销售总额为y万元，则y＝3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－115(舍去)或1＋x%≥65，即x%≥20%，所以x min＝20.16．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的取值范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即销售额为y 1＝80(80－10P )，税金为y 2＝80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎨⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.(2)∵y 1＝80(80－10P )(2≤P ≤6)，∴当P ＝2时，y 1取最大值，为4 800万元．(3)∵0<P <8，y 2＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．。
一元二次不等式题-概述说明以及解释
一元二次不等式题-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述一元二次不等式是数学中常见且重要的内容之一。
它是由一个未知数的二次方程构成的不等式，表示了一个范围内的不等关系。
解一元二次不等式是我们在求解实际问题时经常遇到的需求，掌握解一元二次不等式的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对一元二次不等式的基本概念、性质以及解题方法进行详细介绍。
首先，我们将介绍一元二次不等式的基本概念，包括定义、形式以及与一元二次方程的关系。
其次，我们将介绍一元二次不等式的性质，如单调性、图像、根的性质等，这些性质是我们解一元二次不等式时的重要参考依据。
最后，我们将探讨解一元二次不等式的方法，包括图像法、代入法、等价变形法等不同的解题思路和应用技巧。
本文的目的是帮助读者通过学习和掌握一元二次不等式的基本概念和性质，以及解题方法，提高对一元二次不等式的理解和应用能力。
通过解一元二次不等式的过程，读者可以培养分析问题、抽象问题、解决问题的能力，同时也可以锻炼逻辑思维和数学推理的能力。
在文章的后续部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质，以及解一元二次不等式的方法。
通过对这些内容的学习和理解，读者将能够更好地应用一元二次不等式解决实际问题，在数学学习中迈出更加坚实的步伐。
接下来，我们将开始介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
请继续阅读下一部分：2.1 一元二次不等式的基本概念和性质。
1.2文章结构1.2 文章结构：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的主题——一元二次不等式题，并介绍文章的目的。
通过引言部分的阅读，读者可以初步了解一元二次不等式题的基本概念、性质以及解题方法的重要性。
在正文部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
首先，我们会解释什么是一元二次不等式，它在数学中的重要性以及与一元二次方程的关系。
然后，我们会探讨一元二次不等式的性质，包括判定一元二次不等式的正负性、求解一元二次不等式的基本步骤等等。
解不等式中的常见错误分析
不等式概念及性质错解档案同学们由于初学不等式，受以前等式的迁移影响以及对不等式新知识的理解不透，可能会出现这样那样的错误，从而导致学习效率的降低.本文就不等式基础知识中常出现的问题归纳存档，希望帮助大家绕出谜区，走向成功.档案1：错误理解不等式概念例1. 下列四个式子中：①0<x ②2≠a ③12>④b y ≤是不等式的有（ ）A. ①③B. ②③④C. ①②③④D. ②④ 错解: 选A.剖析:概念不清致错.要判断一个式子是否为不等式,关键是看这个式子是不是用不等号连结.常见的不等号有:≠≥≤><、、、、，所以①②③④都是不等式. 正解：选C.档案2：忽略“=”的意义 例2.用不等式表示下列语句. （1）m 的2倍不大于n 的101；（2）x 的31与y 的和是非负数.错解：（1）n m 1012<；（2）031>+y x .剖析：忽略“=”致错.“不大于”用不等号表示为“≤”，“非负数”表示为“≥”. 正解：（1）n m 1012≤；（2）031≥+y x .档案3：混淆不等式的解与解集例 3.判断正误：（1）8=x 是16>-x 的解集；（2）3<x 是152<-x 的解；（3）由于小于10的每一个数都是不等式6121<-x 的解，所以这个不等式的解集是x ＜10.错解：（1）√ （2）√ （3）√.剖析：同一个不等式的解和解集是不同的，解是指适合不等式的一个数，而解集则是指适合不等式的解的全体.（1）中8=x 是16>-x 的一个解；（2）中3<x 是152<-x 的解集；（3）中不等式的解集应是x ＜14.正解：（1）× （2）× （3）×. 档案4：不明数轴表示的方向与极点例4.不等式3253-≥-x x 的解集在数轴上表示正确的是( )A. B.D.错解:解不等式,得2≥x,所以选B.剖析:错解的原因是不明解集在数轴上表示的规则.在数轴上表示不等式的解集,应注意：①找准分界点；②方向：大于右拐,小于左拐；③极点：有等是实心点,无等是空心圈.正解：解不等式，得2≥x,所以选D.档案5：忽视“性质3”的特殊性例5.解不等式25452->-x．错解：不等式两边同除以52-，得52>x．剖析：不等式两边同除以52-，根据不等式性质3，不等号方向必须改变，而错解中未改变方向故出错．望大家从等式顺势影响中迅速脱离，铭记不等式性质3的“另类”特色.正解：不等式两边同除以52-，得52<x．档案6：粗心大意、马虎了事例6.请你求出符合解集53<≤-x的所有整数解的和.错解：符合解集53<≤-x的所有整数解是－2，－1，1，2，3，4，5.剖析：错误原因在于不仔细审题、严密思考，导致错误叠出：①漏掉－3、0，却多了5；②题目要求是求出符合解集53<≤-x的所有整数解的和，而非求所有整数解.正解：符合解集的整数解是－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 所有整数解的和为4.档案7：思维僵化、考虑不周例7.解关于x的不等式1)1(->-axa.错解：不等式两边同除以1-a，得1>x.剖析：对于不等式中未知数的系数1-a可能取正数、负数，也可能取0，因此解不等式时，要分类讨论．这也告诫我们：遇有字母系数，务必引起高度重视.正解：（1）当1>a，即01>-a时，1>x；（2）1=a，即01=-a时，不等式变为00>，显然不成立，故不等式无解（即空集）；（3）当1<a，即01<-a时，1<x.解不等式中的常见错误分析在批改同学们作业时，发现同学们常出现这样一些错误，现作分析，供参考．一、性质理解有误．我们知道，在不等式两边同乘上（约去）一个数或同一个整式，要考察其正负性或是0！它是正的，则不变不等号的方向，而负的要改变不等号的方向．例1：若a＞b，c是不为0的数，则正确的是（）A、ac＞bcB、ac＜bcC、ac2≥bc2D、（c+1）a＞（c+1）b误：选D．析与答：c可能是正，亦可能是负，A、B均错．C不一定大于－1，则D亦错．由c2的非负性知C对．例2：若(a+1)x>a+1的解集是x<1，则a的取值范围是_____________．误：由题意得(a+1)＞0，得a＞－1．析与答：这里要从解集反向推理．我们发现最终不等号改变方向，依据不等式的性质知，必有两边同约去一个负数！得a+1＜0，得a＜－1．二：解法有误．有的同学一元一次方程的解法不熟，从而在解不等式时，也出现错误．例3：解不等式44+x<61-x+1误：去分母，得3(x+4)<2(x－1)+1……析与答：在去分母时，不等式中的每一项都要乘以公分母．得3(x+4)<2(x－1)+12得x ＜－2，三：对解集的理解有误．不等式的解集是一组解的集合，在多数情况下有无数个解．在特定的条件下可能是有限个．例4：不等式2（x－2）≤x－2的非负整数解的个数是＿＿＿．误解：2x－4≤x－2 2x－x≤－2+4 x≤2则有无数个解．析与解：解法正确，但题目中要找非负整数解，而满足x≤2的非负整数解仅有0、1、2三个．四：数形结合不强．不等式的解集用数轴来表示时，一要注意曲线的“覆盖”方向，二要注意空心圆圈和实心圆圈的不同．例5：不等式521x ≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）误：解得x ≥2，选A析与答：这里包含2在内，选C ．一元一次不等式错解“诊断”解一元一次不等式需要一定的知识基础和方法技巧，初学的同学可能出现一些解题中的错误，为避免出现解不等式中的错误，提高解题能力正确率，现就常见的错误分析如下： 一、 去括号，漏用乘法分配律 例1 解不等式3x +2(2－4x )<19． 错解：去括号，得3x +4－4x <19， 解得x >－15．诊断：错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项． 正解： 去括号，得3x +4－8x <19，－5x <15，所以x >－3．二、去括号时，忽视括号前的负号 例2 解不等式5x －3(2x －1)>－6． 错解：去括号，得5x －6x －3>－6， 解得x <3．诊断：去括号时，当括号前面是“－”时，去掉括号和前面的“－”，括号内的各项都要改变符号．错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号． 正解：去括号，得5x －6x +3>－6， 所以－x >－9， 所以x <9．三、移项时，不改变符号 例3 解不等式4x －5<2x －9． 错解：移项，得4x +2x <－9－5， 即6x <－14，所以x <37-．诊断：解一元一次不等式中的移项和解一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了这一点．正解：移项，得4x －2x <－9+5， 解得2x <－4， 所以x <－2．四、去分母时，忽视分数线的括号作用 例4 解不等式72523>--x x ．错解：去分母，得6x －2x －5>14， 解得x >419．诊断：去分母时，如果分母是一个整式，去掉分母后要用括号将分母括起来．错解在去掉分母，忽视了分数线的括号作用． 正解： 去分母，得6x －(2x －5)>14， 去括号，得6x －2x +5>14， 解得x >49．五、去分母时，漏乘不含分母的项 例5 解不等式x －31-x >2x +1错解：去分母，得x －2(x －1)>3x +1， 去括号，解得x <41．诊断：去分母时，要用最简公分母去乘不等式两边的每一项．而错解在只乘了含有分母的项，漏乘了不含有分母的项． 正解：去分母，得6x －2(x －1)>3x +6， 去括号，得6x －2x +2>3x +6， 解得x >4．六、不等式两边同除以负数，不改变方向 例6 解不等式352532-<---x x x ．错解：去分母，得5(x －2)－3(5－2x )<15x －45， 去括号整理，得－4x <－20，解得x <5．诊断：根据不等式的性质3，不等式两边同除以一个负数时，不等号的方向改变，错解在两边同除以－4时，没有改变方向．正解： 去分母，得5(x －2)－3(5－2x )<15x －45， 去括号整理，得－4x <－20， 解得x >5．七、忽视了字母的范围例7 解关于x 的不等式m (x －2)>x －2． 错解：化简，得(m －1)x >2(m －1)，所以x >2．诊断：错解在默认为m －1>0，实际上，m －1还可能小于或等于0． 正解： 化简，得(m －1)x >2(m －1)，当m －1>0时，x >2；当m －1<0时，m <2；当m －1=0时，无解．不等式组错例分析解一元一次不等式组是解一元一次不等式的继续,是后继学习一些相关内容的基础。
不等式性质中常见错误
不等式性质中常见错误不等式，是高中数学的重要内容，是每年高考的重点，不等式性质比较多，因而具有较强灵活性，一不小心，就很容易出错，下面把常见的错误列举下。
一、正负，小心应付例1、判断下列命题的真假：①2x x >，则1x >，②,a b c d >>，则lg()lg()a d b c ->-，③a b >分析：①不等式中有这样的性质：⑴,0a b c >>，则ac bc >，不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，⑵,0a b c ><，则ac bc <，不等式两边乘上一个负数，改变不等号的方向。
在不等式变形过程中，乘除都要注意乘除这个数的正负，它直接影响到不等号的方向。
因为不知道x 的正负，所以不能直接除。
第①题，错误。
②关于对数的不等式，在对数中，要求真数大于0，所以要求,a d b c --大于0,但条件中，没有明确a 与d 和b 与c 的大小，所以不能确定a d -，b c -是否一定大于0，第②题，错误。
③好像是正确的，因为不等式中好像有这样的公式，但原公式是0a b >>，>0a b >>，则n n a b >，如果,a b 小于0,则这两个公式不成立，题目中的,a b 并没有确定是否大于0,所以③是错误的。
因为我们对正数很熟悉，所以在不等式中，常常把不定量默认为正数，而忽略了负数，以后我们看到不定量，一定要想到它会不会是负数或0。
二、0，特殊对待例2、判断下列命题的真假：①a b >，则22ac bc >，②a b >，则11a b< 分析：①一看到这个题，很多学生肯定认为是：不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，所以是正确的。
但20c ≥，如果0c =，则0乘以任何数都是等于0的，则22ac bc =，所以①错误。
②这个倒数法则，用特殊法来验证，两个都是正数是正确的，两个都是负数也是正确的，但忽略了0，0不能做分母的，如果a 或b ，其中一个为0,则这个命题不成立。
备战2023年高考数学考试易错题-易错点 一元二次不等式及一元二次方程
专题 一元二次不等式、一元二次不等式易错知识1．解分式不等式时要注意分母不能为零；2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零； 3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭； 4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；易错分析一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错1．不等式2x ＋1≤1的解集是________．【错解】由2x ＋1≤1得2x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1≥0，得(x －1)(x ＋1)≥0，得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |xx ≤－1或x ≥1}．【错因】因为x ＋1为分母，所以x ＋1不等于零。
【正解】由2x ＋1≤1得2x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1≥0，得x －1＝0或(x －1)(x ＋1)>0，得x ＝1或x <－1或x >1，得x <－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |x <－1或x ≥1}．二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错2.若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2]D ．[－2,2]一元二次不等式、一元二次不等式分式不等式忽视分母不为零解一元二次不等式忽视二次项系数的正负一元二次方程根的分布条件列举不全一元二次不等式恒成立忽视区间的开闭解一元二次不等式忽视两根的大小关系【错解】原不等式可整理为(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＞0，(4－2m )2－4×4(2－m )＜0，解得－2＜m ＜2.综上知实数m 的取值范围是(－2,2)， 选A ．【错因】没有对二次项系数m 讨论。
不等式问题易错点分析 佘维平
不等式问题易错点分析特级教师 佘维平不等式是高中数学的重要内容，是一种主要的运算工具，也是解决生产实践和生活实际应用问题的常见数学方法，所以不等式是高考数学命题的重点，在高考中的直接、间接的考查量很大，不少同学在不等式内容上的高考失分很多！.下面结合同学们在不等式问题求解过程中常出现的一些典型错误,充分暴露错误的思维过程，使你认识到出错的原因，在比较中对正确的思路与方法留下深刻印象，从而有效地避免出错，提高解题准确率，这应是同学们在学习与复习时不可或缺的一个环节。
举例如下：一． 忽视参变量的符号致误 这是不等式问题上的最常见错误。
对于不等式xx -+11>0，解是x< -1或x>1吗？我们一些同学在这样很基础的题目上也会出错，错因就在于忽视了未知数x 前的符号！（xx -+11>0的解应为－1<x<1）. 又如不等式xx -+11>2，有同学不考虑分母的符号就去分母，解得x>31,这也是由于明显的符号问题而求解错误的例子（求解分式不等式()()()0≠>a a x g x f ，一般应移项通分，再用曲线标根法得到结果）。
那么，在含有字母参数的问题中，再不小心字母（或式子）中隐含的符号的话，错误会更多。
例1. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0. 当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.易错点分析：1. 对［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.，未考虑a －1的值可正、可负、可为0三种情况；2.对12--a a ，未与2进行大小比较思维拓展：此题若去掉条件“(a ≠1).”，结果会有什么变化，请同学们思考。
高中数学一元二次函数方程和不等式易错知识点总结
(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式易错知识点总结单选题1、关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（）A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.由x2−(a+1)x+a<0得(x−1)(x−a)<0，若a=1，则不等式无解．若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2<a≤3．若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则−1≤a<0．综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2,3]故选：C．2、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.3、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B4、已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1)，则(a−1)2+(b−1)2的最小值为( )A．2B．1C．4D．5答案：A分析：将a-1和b-1看作整体，由a+b=ab(a>1,b>1)构造出(a−1)(b−1)=1，根据(a−1)2+(b−1)2≥2(a−1)(b−1)即可求解．由a+b=ab(a>1,b>1)得a+b−ab−1=−1，因式分解得(a−1)(b−1)=1，则(a−1)2+(b−1)2≥2(a−1)(b−1)=2，当且仅当a=b=2时取得最小值．故选：A．5、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错.故选：A.7、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B．a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2，故选：B8、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.9、若正数a,b满足a+b=ab，则a+2b的最小值为（）A．6B．4√2C．3+2√2D．2+2√2答案：C分析：由a+b=ab，可得1a +1b=1，则a+2b=(a+2b)(1a+1b)，化简后利用基本不等式可求得其最小值因为正数a,b满足a+b=ab，所以1a +1b=1，所以a+2b=(a+2b)(1a +1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab ⋅2ba=3+2√2，当且仅当ab =2ba，即a=√2+1,b=2+√22时取等号，故选：C10、a,b,c是不同时为0的实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为（）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b +2b ≤2√22b ×2b =2√2(a 2+c 2)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c 2=12， 当且仅当a 2+c 2b =2b ，且a =c 取等，即a =b =c 取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12，故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.填空题11、若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 答案：(5，6]分析：不等式化为(x −m)(x −2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围.x2−(m+2)x+2m<0可化为(x−m)(x−2)<0，该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m⩽6；所以答案是：(5，6]．12、正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.答案：[9,+∞)分析：由题得ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3，解不等式ab−2√ab−3≥0即得解.∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，所以ab−2√ab−3≥0，所以(√ab−3)(√ab+1)≥0，所以√ab≥3或√ab≤−1，所以ab≥9.所以答案是：[9,+∞)小提示：本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13、函数y=x+1+4x+1(x>−1)的最小值为______.答案：4分析：利用基本不等式直接求解即可因为x>−1，所以x+1>0，所以y=x+1+4x+1≥2√(x+1)⋅4x+1=4，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时取等号，所以y=x+1+4x+1(x>−1)的最小值为4，所以答案是：414、函数y=2√x2+1的最小值是___________. 答案：4分析：根据基本不等式可求出结果.令t=√x2+1≥1，则y=2√x2+1=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.所以函数y=2√x2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．答案：[0,4]分析：根据函数的定义域为R可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，对参数m的取值范围分类讨论，分别求出对应m 的范围，进而得出结果.因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R，所以mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，当m=0时，mx2+mx+1=1>0，符合题意；当m>0时，由Δ=m2-4m≤0，解得0<m≤4；当m<0时，显然mx2+mx+1不恒大于或等于0．综上所述，m的取值范围是[0,4].所以答案是：[0,4].16、若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．答案：{m|m≥9或m≤1}分析：根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.所以答案是：{m|m≥9或m≤1}17、方程x2−(2−a)x+5−a=0的两根都大于2，则实数a的取值范围是_____．答案：−5<a≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x2－(2－a)x+5－a=0的两根都大于2，令f(x)=x2－(2－a)x+5－a，可得{△≥0f(2)>02−a 2>2，即{a2≥16a+5>02−a>4，解得－5<a≤－4．所以答案是：−5<a≤−4.18、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________.答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)，则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4，所以函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)， 则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数， ∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞).所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.19、已知正实数x ，y 满足：x 2+xy +2x y =2，则3x +2y +2y 的最小值为_________． 答案：4√2分析：根据x 2+xy +2x y =2，可得(x +y)(x +2y )=4，再令{x +y =m x +2y =4m ，再利用基本不等式即可得出答案.解：因为x 2+xy +2x y =2， 所以x 2+xy +2x y +2=4，所以x(x +y)+2y (x +y)=4，所以(x +y)(x +2y)=4， 令{x +y =m x +2y =4m ，则3x +2y +2y =2(x +y)+(x +2y )=2m +4m ≥2√2m ⋅4m=2√8=4√2， 当且仅当2m =4m即m =√2时取等号， 所以3x +2y +2y 的最小值为4√2.所以答案是：4√2.20、若关于x 的一元二次不等式2x 2−kx +38>0对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为__________. 答案：(−√3,√3)分析：由判别式小于0可得．由题意Δ=k 2−4×2×38<0，−√3<k <√3．所以答案是：(−√3,√3)．解答题21、若x ,y 为正实数,且2x +8y −xy =0,求x +y 的最小值.答案：18解析：首先已知条件变形为8x +2y =1，再化简x +y =(x +y )(8x +2y )，利用基本不等式求最小值.2x +8y −xy =0⇒8x +2y =1 x +y =(x +y )(8x +2y )=8+8y x +2x y +2=10+(8y x +2x y)≥10+2×4=18 (当8y x =2x y 时取“=”)所以x +y 的最小值是18.小提示：本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意.22、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ．（1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值．答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cosA =12，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）∵ 2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴ 2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB ,∴ cosA =12,∵0<A <π,∴A =π3; （2）∵AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ ΔABC 的周长为：5+8+7=20；（3）∵ b sinB =c sinC =a sinA =√32=2√3a 3，∴ sinB =√32b a ，sinC =√32c a， ∴ 2b ⋅√32⋅b a +2c ⋅√32⋅c a =bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a 2⇒√3⋅12=a 2⇒ a =√3，∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ，∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当b =c ， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max =3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.。
不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)
一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ； 若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ， 又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ， 综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--， 因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立， 当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥， 则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-， 由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==， 所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立， 令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠， 当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意； 当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解， 则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<， 综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立， 所以1112m >， 则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解， 则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ， 故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解， 设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，， 对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号， 则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集 若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题， 需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥． 因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增， 所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<， 所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤， 则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。
一元二次方程问题错解分析
当 ｍ ＝ 一１时 。 程 已不是 二 次 方程 ， 方 变 为一 次方 程 ， 只有 ｍ ＝ ． 故 ４ 二 、 定理 。 结论 ， 条件 用 重 轻 例 ３ 已知关 于 的方 程
（ 一１ ？ １＋１ ＋１ ０ ａ ） 一（， ） ７ ＝
次 项 系数分 两 种情 形讨 论 ：
围是 （ ） ． （ ａ＞ Ａ） ０ （ ｎ Ｂ） ≤ １
５ Ｉ ： ２ ０ （ ＋ ）＋ ５＞ ，
从 而 由韦达 定 理转 化 为
（ ０＋ａ ５Ｘ１ ＋２ ０ ３ ）一 ｌ ５＞ ， 解得 ａ＞ ． ０
１
（０ｎ÷ （ 一＜ ÷ ｃ＜ ） ≤ Ｄ ５ｎ ） ≤
【 ．， ３ ＝ ０＋ａ＞ ． ５Ｘ ５
（ 接２ 上 ０页 ） 同理 Ｃ ・ Ｅ＝Ｃ ・ Ａ． Ｄ Ｃ Ｇ Ｃ
８Ｄ ・ ＢＥ ＢＦ ・ＢＡ ＢＦ ＡＢ — ＣＤ ．ＣＥ —ＣＧ ・Ｃ —ＣＧ ＡＣ Ａ ＡＢ：
一
证 ： ｔｔ ＜ａ ｃ ｔ— ｂ．
证 明 作 ＡＡ Ｃ 的 外 接 圆 ， 长 Ａ Ｂ 延 Ｄ
１
容。 也是 升学 考 试 的重 点 ．同学 们 在 解 一 元二 次方 程有 关 问题 时 。 容易 出错 ． 文归 本
纳几 类典 型错 误 ． 并作 评 析 。 供参 考 ．
一
由 ＝ 。一 ｌ ＝ ， ｎ ． Ｉ 士 １得 ＝± ，ｎ
评析 上 面解 答 忽视 了根 与 系数 的 关
（ ９ ５年 无锡 市 中考 题 ） １９
错解 设 方程 的两根 为 ． ｆ ＝（一ｌ ） ４ ３ △ 一 （ ０＋ｎ ≥０， １ ）
而南△Ｉ ， ｎ ＞故选（ ） Ｃ．
由｛ ｌ ＝ ＞ ＋ ， ＋ ： ｌ ５ ５ ｌ
一元二次不等式的解法易错点
一元二次不等式的解法易错点内容：一、忽视二次项的符号导致错误【例1】解不等式0322<++-x x . 错解：令0322=++-x x ，解得1-=x 或3=x ，则0322<++-x x 的解集为()3,1-. 剖析：当二次不等式的二次项系数为负值时，应先同乘1-，将二次项系数化为正值进行求解.正解：将0322<++-x x 化为0322>--x x 令0322=--x x ，解得1-=x 或3=x ，则0322<++-x x 的解集，即0322>--x x 的解集为()()+∞-∞-,31, . 二、忽视分母的符号导致错误【例2】不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(][)+∞∞-,40, 错解：选D 由224-≤-x x ，得4)2(2≥-x ，即22≥-x 或22-≤-x ，解得4≥x 或0≤x .剖析：不等式两边同乘2-x ，忘记讨论2-x 的符号导致错误。
正解一：选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.，即20<≤x 或4≥x . 正解二：选B 由224-≤-x x ，得024)2(2≥---x x ，即02)4(≥--x x x ，即⎩⎨⎧≠-≥--020)4)(2(x x x x ，解得20<≤x 或4≥x .三、忽视原式隐含的取值范围导致错误【例3】解不等式7122->+x x错解：两边平方，得7122->+x x ，即0822<--x x ，解得2-<x 或4>x ，即。
一元二次不等式符号变号法则
一元二次不等式符号变号法则
摘要：
一、一元二次不等式符号变号法则的定义
二、符号变号法则的应用场景
三、符号变号法则的实践操作步骤
四、注意事项及常见问题解答
正文：
一、一元二次不等式符号变号法则的定义
一元二次不等式符号变号法则，是指在解一元二次不等式时，通过对不等式中的变量进行符号变换，从而简化不等式的求解过程。
符号变号法则包括了两种情况：
1.当不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。
2.当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向也需要改变。
二、符号变号法则的应用场景
1.当一元二次不等式的系数为负数时，可以利用符号变号法则将不等式转化为系数为正数的不等式，从而简化求解过程。
2.在一元二次不等式的求解中，当需要对不等式进行平方根运算时，可以利用符号变号法则确定平方根的正负性。
三、符号变号法则的实践操作步骤
1.分析不等式，确定可以应用符号变号法则的情况。
2.根据符号变号法则，对不等式进行相应的变换。
3.将变换后的不等式进行求解，得到最终结果。
四、注意事项及常见问题解答
1.应用符号变号法则时，需确保所乘或所除的数为负数，否则不等号方向不变。
2.在进行符号变换时，需要注意符号的变化，避免因忽略符号而导致的错误。
3.符号变号法则仅适用于一元二次不等式的求解过程，不适用于其他类型的一元不等式。
通过掌握一元二次不等式符号变号法则，我们在解决相关数学问题时可以更加灵活地运用公式和性质，简化求解过程，提高解题效率。
不等式常见错误归纳与分析
不等式中常见错误归纳与分析在高中阶段，不等式是形式上相对比较灵活，内容上比较丰富的一章节，与此同时也相应出现了千奇百怪的错误。
我在教育实习期间，协助老师批改作业，了解了学生常见错误的第一手资料，并对其进行了归纳和分析。
现整理如下：第一类错误：本末倒置。
这类错误主要出现在学生刚刚学习不等式的证明时，属低级错误。
举例说明：求证：a2+b2+2≥2(a+b)错证：由上式得：a2+b2+2-2(a+b)≥0∴a2-2a+1+b2-2b+1≥0∴(a-1)2+(b-1)2≥0∴a2+b2+2≥2(a+b)分析：学生会出现这种情况的原因主要是学生对不等式证明这一概念还模糊不清，才会出现这种从“结论——结论”的错解。
解决问题的方法：要和学生反复强调何所谓证明，让他们对不等式证明有明确的认识。
第二类错误：无证驾驶。
这类错误主要体现在学生对某些解题工具的适用条件，不清楚，滥用一气。
举例说明：已知x,y∈R+，且x+y=1，求证：xy≤1/4错证：由基本不等式，得：x+y≥2(xy)1/2∴xy≤[(x+y)/2]2=1/4分析：学生会犯这种错误，关键在于对知识停留在浅薄的层面，而没有进行深层次的理解，许多学生对基本不等式的认识仅为x+y≥2(xy)1/2，而忽略了基本不等式的大前提是x,y是正数，学生之所以会忽略前提条件x,y是正数，是因为他们对基本不等式的本质没有吃透。
x+y=[(x)1/2]2+[(y)1/2]2≥2(xy)1/2,二次根式下x,y非负。
若x,y取0，显然成立，无很大的价值，从而约束条件，变为x,y∈R+。
解决问题的方法：从本质上介绍基本不等式的证明；反复强调x,y是正数，对学生进行强化。
正证：证一：若x,y∈R+，x+y≥2(xy)1/2 ∴xy≤1/4若x,y∈R-，∵x+y=1, ∴不可能若x,y中一个大于等于0，一个小于等于0，则xy≤0<1/4证二：1=(x+y)2=x2+y2+2xy≥2xy+2xy=4xyxy≤1/4第三类错误：功亏一篑。
追根溯源析错因 诊断反思促教学——从学生解题的几处常见错误谈起
追根溯源析错因诊断反思促教学——从学生解题的几处常见错误谈起郭源源【期刊名称】《《中国数学教育（初中版）》》【年(卷),期】2019(000)007【总页数】5页(P57-61)【关键词】学生错误; 错因剖析; 诊断反思【作者】郭源源【作者单位】江苏省南京市金陵中学西善分校【正文语种】中文一、问题提出错误作为一种具有特殊意义的教学资源，它的价值往往不在于错误本身，而在于师生从错误原因剖析、错误纠正、错误反思活动中获得新的认知和发现.对教师来说，通过错误背后的问题诊断，反思对应知识处理中存在的不足，能促进有效教学.对学生来说，通过寻找错因，明晰算理，纠正自己的错误，可以从自己的错误中积累经验，从而更加高效地学习.甚至可以针对错因，弥补漏洞，打开新的解题思路，从而提升思维空间.笔者作为一线的数学教师，每天面对大量的学生作业.由于学生的思维水平不同，思考问题的方式不同，会发现作业中存在各式各样的错误.但在这些错误中，有一些错误是因为教师在教学中对知识或解题方法处理的不完整造成的学生认知上的欠缺.这样的错误具有很好的纠错价值，一旦纠正就会有“纠一个、通一片”的效果.下面笔者结合近一轮教学的实践所得，以学生的几处常见错误为例，通过错因分析，反思教学中存在的问题，与同仁交流、分享.二、诊断分析案例1：方程“原理不清”下的错误反思.例1 在学习解一元二次方程时，有这样一道题：解方程=x+2.部分学生直接将原方程化为3x=1,解得x教师纠正：这是一元二次方程，不能同时除以x+2,应该移项，用因式分解法解方程，即将原方程化为=0.解得x1=-2,用因式分解法解此方程固然没有问题，但站在学生的角度，为什么不能将方程两边同时除以x+2呢？若以后遇到方程3x(,难道不能同时除以x2+2吗？学生有这种疑问，是由于教师没有将解方程的原理揭示清楚.“同时除以”依据的原理是等式的基本性质，即等式两边同时除以同一个不为0的式子，等式依然成立.而在不确定x+2是否为0的情况下，是不能冒然同除的，这才是错因.若弄清楚原理，学生就可能产生新的解法——分类讨论.当x≠-2时，解得当x=-2时，等式也成立.所以原方程的解为因此，教师教学时要注重分析学生错误的根源，揭示原理，这样也许就能激发学生产生新的思路，变教“解法”为教“如何思考”，这样的教学则更加灵动.例2 在学习解分式方程时，由于刚学完分式加减运算，个别学生对方程的左边进行通分运算.教师纠正：第一步就错了，这是分式方程，不是分式加减运算，应该先去分母，得1+解得x=2.经检验：x=2是原方程的增根.所以原方程无解.学生由之前的分式运算的经验想到先通分，这难到不对吗？难道通分不能解此题吗？将原式通分得即2=0. 故原方程无解.通分不仅可以解分式方程，还能避免检验，同时也是高中分式不等式的解法原理.故在初中，此法不应该回避，而是弄清楚原理后优化成“去分母”解法.若教师追问学生“分式方程和分式运算从形式上有何不同？”，让学生发现方程是等式，从而关注到等式具备的特殊性即等式的基本性质，从而得出等式下的“去分母”解法.故“去分母”不是学生已有经验，而是等式特殊性下的解法优化结果，这样给学生的知识方法结构才算完整.学生之所以学完解分式方程，再写分式运算时会产生很多“去分母”的错误，就是因为机械的技能训练，没重视方法中的原理.【评析】数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段，而明确算理是学生运算能力得以发展的前提.为了发展运算，教学中不断让学生重复运算，训练运算的速度和准确性，强化各种运算方法，就会缺少对算理的重视.因为不同的算理可能生成不同的方法，带着算理去运算，才能脉络清晰，方法多样，避免混淆，使解题越算越明了.案例2：二次函数“模式僵化”下的错误反思.判断二次函数与x轴的交点情况，是二次函数知识中常考查的问题之一.在平时教学中，若学生所做题目形式单一，往往留给学生的印象是遇到判断二次函数与x轴的交点问题，就不分青红皂白立刻开始b2-4ac的模式.这种模式僵化的想法，在解决中考试题时一定会露出弊端.下面列举两道例题.例3 （2013年江苏·南京卷）已知二次函数y=a·（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.（2）略.例4 （2018年江苏·南京卷）已知二次函数y=2(x-1)(x -m-3)（m为常数）. （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点.（2）略.学生错误：转化成a(=0后，开始展开整理，试图通过计算b2-4ac来证明.结果计算时因字母多、计算量大，最后耗时费力，且正确率低.判断一元二次方程根的情况有两种方法：一种是用b2-4ac来判断；另一种是直接解方程判断.很多学生模式化的认为用b2-4ac判断一元二次方程的根比解方程简单，认为只要是判断根的情况就用b2-4ac.难道b2-4ac一定比解方程简单吗？对于方程解得x1=m，x2=m+1.所以方程总有两个不相等的实数根，即函数的图象与x轴总有两个公共点.这样的解法则更快捷.教师教学是点燃学生思维的过程，切不可把“活”的方法教“死”了.对学生思维的培养是从固化到优化的过程，而不是形成僵化的模式.【评析】二次函数的关系式类型通常有三种：一般式、顶点式和交点式.出现y=a(x -m)2-a(x -m)这种形式，学生若能发现式子结构的直观特征，一定能发现提取公因式后转化成交点式更易解决问题；若能结合二次函数抛物线的形结构的直观特征，也许能发现此抛物线就是y=ax2-ax向右平移m个单位长度所得，故只需要判断y=ax2-ax与x轴的交点即可.这也就是为什么有经验的教师，告诉学生读完题后不要立刻动笔，而是寻找“最近联想区”.因为，此时思维对信息的辨别也许就在悄无声息地发生着变化.案例3：统计概率“认识不足”下的错误反思.在计算等可能条件下的概率时，学生采用列表或画树状图的方法，可以有条理且更加直观地显示一个试验所有可能的结果.故教学时，有的教师专注于教学生列表和画树状图法来求概率，而忽略了直接枚举法的重要性.如果题目中试验的结果不容易画树状图或列表，该怎么办呢？请看如下中考试题.例5 （2016年江苏·南京卷）某景区7月1日—7月7日一周天气预报如下表所示，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率. （1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴.某景区一周天气预报日期7月1日7月2日7月3日7月4日7月5日7月6日7月7日天气晴晴雨阴晴晴阴学生错误：在解决第（2）小题时，看成两步试验，但无法画出或很难画出树状图，更不好列表.学生凭借仅有的树状图和列表经验，无从下手，陷入被动.画树状图、列表、直接枚举，哪一个思维容量更高呢？应该是直接枚举法.如有一些思维很活跃、很聪明的学生，无需列表、画图就可以直接给出试验的所有结果.故枚举法才是这块教学的统领，树状图和列表只不过是为了不重不漏、更有条理的枚举罢了，可以理解成是一种有规律、形式特殊的枚举.还有很多的试验结果，是没有规律的且有很多限制条件的，是没有办法列表或画树状图的，所以在教学中也应该让学生充分重视直接枚举法.例如，此题第（2）小题中，连续两天可能出现的结果有6种，且出现的可能性相等，恰好连续两天都是晴的结果有2种，所以P=若学生没学列表和画树状图也许会求，学了之后反而不会求了，这就是方法认识不足的结果.笔者认为要想学生学得深，教师先要教得透.教学中切勿被知识表面技能所牵累，要抓“根”找“头”，即抓住一棵大树的根，带动树叶和树枝；一团大绳先找头，捆在一起牵着走.只有这样，知识才能在一个框架内慢慢积累起来，才会成体系，学生的认知才会充分、充足.【评析】对于此题，为什么学生没学列表和画树状图也许会求，学了之后反而不会求了？因为方法认识不足下的列表和画树状图，会使思维陷入到一种追求套方法而不是追求解决问题的模式.直接枚举法就是最直观、最好的体现，是联想思维的起点，也是分析问题的重要方法，更是平时有意识的经验积累的结果.案例4：几何图形“探究不深”下的错误反思.在学习探索三角形全等的条件时，教师引导学生探究出“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”的判定方法，但很多时候对“SSA”的探究并没有充分重视，只是让学生简单画个图.甚至有的教师直接给出反例，让学生记住“SSA”一定是错的，绝对不能用.这种停留表面层次的探究会给学生的认知带来隐患.例6（2014年江苏·南京卷）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.（1）略.（2）略.（3）如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，试用尺规在图2中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.（不写作法，保留作图痕迹.）图1图2（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？试直接写出结论：在△ABC 和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF.学生错误：由于对“SSA”的片面认识，很多学生不了解“SSA”的错因，画不出反例，更不知道“SSA”在什么条件下是正确的.“SSA”一定是错的吗？在什么条件下“SSA”画不出反例呢？“SSA”的反例错因在哪里？要想弄清楚这些问题，就必须回到探究画图中，认清“SSA”的作图所产生的问题.如图3，第一步，作∠B′=∠B;第二步，在∠B′的一边上截取B′C′=BC.这两步都没有问题，问题出在第三步，以点C′为圆心，CA长为半径画弧，想在角的另一边上找到点A′的位置，使得C′A′=CA.但画出来的却有两个交点，这就意味着有两个位置满足C′A′=CA，其中一个是全等，另一个就是反例.此时教师应引导学生，若第三步能让弧与角的另一边只有一个交点，则“SSA”就没有反例了，让学生尝试能否画出第三步只有一个交点的“SSA”三角形，从而总结发现这种三角形满足的特征.图3如图4，若AC＞BC，即在两个“S”中，角的对边“S”大于邻边“S”时，则一定只有一个交点，此时“SSA”是正确的.这也解释了为什么当∠B为直角和钝角时，“SSA”就一定正确，因为此时∠B所对的边是最长边，以最长边为半径画弧时，一定只有一个交点.笔者认为既然是探究教学，就决不能蜻蜓点水、走马观花，遵循学生认知的探究才是真实的探究，注重思维提升的探究才是有深度的探究.图4【评析】教学过程中，在注重知识应用的同时，更要注重知识的生成过程.这个过程是暴露学生思维和想法的过程，承载着对知识本质的理解，也是数学的魅力所在.归根到底，数学教学的本质就是思维教学的过程，是展示和发展思维的过程，所以既然要探究，就要有真实思维含量的探究，这才是有价值的探究.三、几点思考1.错之有因——追根溯源，以误换“悟”错误是学生学习过程中的伴随产物，而错误的产生又来源于学习活动本身，是学生直观认识的一种表现.它就像病痛一样，症状只是呈现的形式，背后的病根才是重点，每一种错误，细细梳理、追根溯源就一定能找到错误的缘由，或是计算原理不清，或是知识理解不深，或是方法选择不当，又或是内涵认识不足，等等.错误只有剖析到其错因的部分，才算抓住根、找到源，才能唤起学生的自我反思意识，也才能让学生用错误换得感悟.对于学生的错误解答，因其错因的种类不同，教师需要对错因进行归纳和整理，然后分析.根据笔者的经历，这个归纳、整理、分析的过程的工作量还是挺大的，但只有做了，方能有所悟，这是最能触及学生理解本质的方式，也是最有效果的分析方式.错因唤醒的是学生曾经的解题过程，呈现的是解题的一种“再经历”，仔细想想，学生经历过程中的找错、辨错、认错、改错，不就是思维习惯逐步养成的过程吗？笔者认为错误作为一种宝贵的教学资源，教学中只有追根溯源地剖析错误产生的缘由，并不断地挖掘其背后的价值，引导学生比较方法之间的差异，弄清楚算理，完善认知结构，换得学生的真正的“悟”，这样的错才是宝贵的，有价值的. 2.纠之有道——诊断反思，以错定“措”教学实践表明，只有关注学生问题的教学，才是面向学生的教学，才是具有针对性、实效性的教学.笔者教学的起初几年，面对学生各种类型的错误答案，都是课堂上统一给出正解解法，学生订正后便以为大功告成.一段时间后发现，对于同样的问题，错过的学生还是会错，效率很低，事倍功半.仔细反思，自己的纠错方式只是为了订正而订正，为了完成任务，没有明晰错因，没有立足于学生的想法.这样的纠错是得不到学生认同的，最多是图个心安而已.对于学生来说，很多时候对错解的题并不是一窍不通，而是因为某个点错误才导致错解，需要教师关注学生的解答，立足于学生的想法，肯定错解中合理的部分，纠正导致错误的点，这样的纠错才是有效的，是高效的.首先，因为以学生的真实错误为情境，不需要另起炉灶，学生更容易进入状态；其次，纠错建立在错误的基础上推进，能使学生的学习能力伴随着问题的解决而自然提升；最后，很多新方法的发现是源于尝试错误、纠正错误的过程，基于自身的错误，学生若能修正其中的错误点，就有可能生成新的解法.这样的过程可以加深学生对解题方法科学性、合理性的认识，激发学生进行更深层次的思考和探究，是学好数学的内驱力.对于教师来说，用学生的错误诊断反思自己的教学，或多或少能从教学中找到一些错误的“影子”.例如，上述案例中的种种错误，都是教师在教学中对知识处理不妥善，导致学生的知识建构不完善，对学生以后的解题埋下了“隐患”.所以纠错不仅纠的是学生的错，还有教师的自我诊断反思.教师对教学问题的准确剖析才有以错引“措”的可能.若是原理不清，纯粹机械模仿导致的错误，需回到算理上去，追问和寻找出解法的依据.若是方法认识不足或选择不当导致的错误，不应强制学生改变方法，而是一题多解，学生比较方法之间的差异，总结归纳并优化自己的认识.若是模式僵化或探究不深导致的错误，教师应当从平时教学中做改变，因为思维的灵活、方法的多样和探究的过程，恰恰是数学的魅力所在.故笔者认为纠错就必须结合学生出错的想法和教学问题的反思来定措施，即以错定“措”.最后，不是说出现“错”很精彩，而是指利用“错”引出“措”更灵动.教师要用自己的错因分析、诊断反思处理学生的错，以学生的发展为本，用真正富有生命价值的气息浸润正在发展中的学生，让错误发挥其蕴含的价值，促进有效的解题教学.【相关文献】［1］刘婷.从学生的错误中寻找合理的成分：以一道高考题学生的错解为例［J］.数学教学，2016（11）：11-14.［2］赵银仓.注重答卷情况诊断疑难问题专题突破［J］.中国数学教育（初中版），2013（11）：22-25.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由以上几种一元二次不等式的错误解法，我想，归根结底是学生们没有很好地结合二次函数的图象来解二次不等式所带来的后果。若是同学们能在解一元二次不等式的新授课时，能好好地掌握用图象法来解二次不等式，而且有一解二次不等式就画图的习惯，哪怕是画出相应二次函数的草图，上述几种问题就会避免。
因此，我觉得，高中的学生要想解好一元二次不等式，初学者必定要用图象法来解，而且必须得切切实实掌握好四看，一看开口，二看判别式，三看根，四看图，最后写解集。事实上这也是重点让学生理解数形结合的思想，并由此归纳出图象法解一元二次不等式题的基本步骤：求根--画图--找解三步曲。当然在非常熟悉的情况下，学生可省略第二步，但也应做到"成图在胸"。教学中我们要防止单一地教给学生去背口诀"小于取中间，大于取两边"这一"教条"，而学生却未能真正理解口诀的意义，最终导致思维疆化而出现各种错误。
解一元二次不等式常见错误分析
数学科：唐剑萍
一元二次不等式是高中数学不等式教学的重点与难点，也是中学阶段解不等式的核心。它既是初中一元一次不等式知识的延伸与发展，又是二次函数的图象与性质的运用与巩固。而二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体，通过图象法解一元二次不等式，可以反映二次方程，二次函数，二次不等式三者之间内在联系和相互转化，其中并蕴含了转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力和概括能力。
4、
错解：原不等式可化为：即，
得：，所以原不等式解集是
错因：与前面解不等式3的错误类似，非正数与负数之区别，并注意到特殊与一般关系，而非，是的特殊情况，故原不等式解集应是。
5、
错解：因为所以方程无实数根，
所以原不等式解集是
错因：联想错误。学生只是由二次方程在Δ<0的前提下，方程没有实数根的结论，联想到相应的二次不等式当然无解了，所以不管是哪种类型的二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a>0），只要Δ=<0，学生常会误认为不等式的解集就是空集。
解不等式：1、
错解：原不等式可化为：x2>4,所以
错因：类比错误，将解二次方程与解二次不等式混同起来。
学生由解方程得套用到此解该不等式得，同样解一样也会犯得错误解法。
2、
错解：因为方程的两根为，
所以不等式的解集为（－1，2）
错因：忽略a<0而犯错！ 必修五教材上解一元二次不等式的表格中，列出了不等式ax2+bx+c<0（a>0）在Δ>0即方程ax2+bx+c＝0有不同两根的情况下，不等式的解集是在两根之内即。尽管教师们一再强调在a<0时，只需在不等式的两边同乘以-1，把二次项系数变为正便可。例如：解不等式，学生很明显地知道，此类不等式是a<0型，可能会记得将二次项系数化正。但是一旦出现此类型的不等式，恰好隐蔽a<0，学生往往会因忽略a<0而出现上述解法错误。而且在学生的脑海中，常有先入为主a>0的这种定向思维，一看不等号方向是小于符号，学生常会毫不犹豫地写出是
两根之内的错误解集。
错解一：原不等式可化为：,所以2，解得
错解二：原不等式可化为：,所以原不等式解集为。
错因：初中基础没有过关，错误一将与等同起来，误以为两者是等价的，事实上是成立的必要不充分条件。错误二是中学阶段学生们常犯的一种概念性的错误，将正数与非负数概念模糊，误认为是恒成立的，却忽略了时的特殊情况。