3.4基本不等式
3.4 基本不等式的证明
3.4 基本不等式的证明【知识网络】1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；2、证明不等式的方法及应用。
【典型例题】例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B 。
解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件。
（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<答案:D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b答案：B 。
解析：11111x y x y x ya x y x y x y x y+==+<+++++++++。
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .答案：mb ma b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． （5）设.11120,0的最小值，求且yxy x y x +=+>> ．答案： 223+。
高一数学必修五基本不等式
豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
小结：运用 ab a(ba0,b0)时要注意下面三条： 2
（1）一正：各项均为正数。
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误。
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
sixn
所以函数的6.最小值是
错。s因 in x为9
sin x
三相等
例 2 、若 x ,y 满 正 x 足 y 1 数 ,求 8 x的 y 最
解法 x 一 0,y： 0
xy2x即 y 2x y18
xy81
当且x仅 y当 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利a 用 b2ab
你还有其他的解法吗？
例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作 为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才 智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园 的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2
3.4基本不等式
6
1 12
上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
已知：0＜x
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
1 8
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12
如此解答行吗？
1 1 例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，
1 2 有最大值 S 4
否则会出现错误
1 的最小值为 2 ，此时x= 1 1、当x>0时， x x
2、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的最大值是
1 6
。
。
x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小 3、若实数
值是（ D ） A、10 B、 6 3 C、4 6 D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C）
1 (1 x 10) A、 x 5 B、y lg x lg x y ( x R , x 0) 5 x 1 x x (0 x ) C、y 3 3 ( x R) D、y sin x sin x 2
C
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b， 我们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 用 a和 b代替a、b 会得到什么？
如何证明?
基本不等式2：
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： 1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相
3.4基本不等式 (1)
重要不等式： 重要不等式： 2 +b2 a
≥ 2ab(a、 ∈R b ）
当且仅当a=b时，等号成立. 时 等号成立 当且仅当 基本不等式： 基本不等式：
当且仅当a 时 等号成立. 当且仅当 =b时，等号成立
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
注意： 注意：
适用范围不同 （1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 ）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当 ）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。
例题讲解
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水 其容积为4800m3,深为 深为3m,如果池底每 池,其容积为 其容积为 深为 如果池底每 平方米的造价为150元,池壁每平方米的的 平方米的造价为 元 池壁每平方米的的 造价为120元,怎样设计水池能使总造价最 造价为 元 怎样设计水池能使总造价最 最低总造价是多少? 低?最低总造价是多少 最低总造价是多少
2
动态演示 几何意义： 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗? 不等式的几何解释吗?
2.PQ与AO的大小关系怎样? 2.PQ与AO的大小关系怎样? 的大小关系怎样
a +b b 那 2.基本不等式 如 a > 0， > 0， 么 2 ≥ ab 基本不等式 果 均值定理） （均值定理） (当 仅 a = b ， " ="号 且 当 时 取 )
x+ y 由 ≥ xy可得：x + y ≥ 2 100 2 ∴ 2( x + y ) ≥ 40
等号当且仅当x = y时成立，
此时x = y = 10
因此这个矩形的长、宽都为10m时， 所用篱笆最短，最短篱笆是40m.
3.4基本不等式
基本不等式的几何解释： 基本不等式的几何解释： D
A
a
C
b
B
E
几何意义：半弦 不大于半径 几何意义：半弦CD不大于半径
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园， 1.用篱笆围一个面积为100m 矩形菜园， 用篱笆围一个面积为 问这个矩形的长、宽各为多少时， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 结论1 两个正数积为定值， 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 已知直角三角形的面积等于50 50， Ex1: 已知直角三角形的面积等于50， 两条直角边各为多少时， 两条直角边各为多少时，两条直 角边的和最小，最小值是多少？ 角边的和最小，最小值是多少？
高二数学
§3.4基本不等式: 3.4基本不等式 基本不等式:
a+b ab ≤ 2
ICM2002会标 会标
D
a2 + b2
D
a G A H F b E C A
a E(FGH) b C
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a 不等式： 一般地，对于任意实数 、b，我们有 ， 当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。 当且仅当
基本不等式： 基本不等式：
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。 当且仅当
注意： 注意： （1）两个不等式的适用范围不同。 ）两个不等式的适用范围不同。 （2） ）
ab
a +b 2
称为正数a、 的几何平均数 称为正数 、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。 称为它们的算术平均数。
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 用一段长为36m 菜园， 菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少 菜园的面积最大，最大面积是多少？ 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 结论2 两个正数和为定值， 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大 Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大 的矩形,应当怎样折? 的矩形,应当怎样折?
数学2课件：第三章 3.4 基本不等式：ab≤a+b2
[解析] 当建成 n 个球场时，每平方米的购地费用为12180×001n04＝1 2n80， 由题意，知 n＝5 时，f(n)＝400， 则 f(5)＝m1＋5－ 205＝400，所以 m＝400. 所以 f(n)＝4001＋n2－05＝20n＋300. 从而每平方米的综合费用为 y＝f(n)＋1 2n80＝20n＋6n4＋300
(2)年平均利润为ny＝－2(n＋4n9－20) ≤－2(2 n·4n9－20)＝12. 当且仅当 n＝4n9，即 n＝7 时上式取等号． 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．
利用基本不等式证明不等式 [典例] (本题满分 12 分)(1)已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：1a＋1b＋1c≥9； (2)已知 a，b>0，a＋b＝1，求证： a＋12＋ b＋12≤2.
2 x－3·x－4 3＋3＝7， 当且仅当 x－3＝x－4 3即 x＝5 时，f(x)取到最小值 7. (3)法一：∵x>0，y>0,2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y＝3＋xy＋2yx≥3＋2 xy·2yx＝3＋2 2， 当且仅当xy＝2yx，即 y＝ 2x 时，等号成立，
课时作业
第10课 罗密欧与朱丽叶(节选)
诗海探珠 生查子·独游雨
岩 辛弃疾 溪边照影行， 天在清溪底。 天上有行云， 人在行云里。 高歌谁和余？ 空谷清音起。
佳诗品韵清幽书香
【赏析】 这首词是作者在游雨岩的时候 写的。上片以溪为中心，用天、人、云来烘 托出一幅色调清雅的图画。下片写自己的清 傲孤独。“高歌谁和余？”这高歌不是一般的 歌，是正义的，抗金的歌。和者是“空谷清音 起。”从这里也看出作者寄情山水是迫不得已 的，但是倔强不渝的爱国决心，却从高歌中 唱了出来。词调轻快清新，景色如画。此词 上阕以写形为主，笔法自然平实，下阕以写
3.4 基本不等式
2
基本不等式
练习 . 求下列函数的最小值：
(1)设x, y R，且x y 2，求3 3 的最小值；
x y
2 8 ( 2)已知x 0, y 0，且 1，求xy的最小值； x y ( 3)已知x 0, y 0，x 2 y 2 xy 8,求x 2 y的 最小值；
y
最短篱笆是40m.
基本不等式
例1（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。 最大面积是多少？
解： 设矩形菜园的长为 x m,宽为y m 则2( x y) 36，即x y 18，矩形菜园的面积为 xy m2 x y 由 xy，得： 2 2 x y xy 81 2 当且仅当x y 9时，等号成立 这个矩形的长、宽都为 9m时，菜园的面积最大，
2
重要变形2
2
问题情境
有一个珠宝商人，很多人到他 那里买的东西回家一称发现分量都 有问题，于是向工商局投诉，工商 局派人去调查，商人承认他用的是 左右两臂长短有差异的天平，他向 人们提出一个调解方案： 左右各称一次,将两次所称重量 相加除以2作为物品的实际重量. 如果你是购买者，你接受他的 方案吗？
基本不等式
思考：
1 若x 0, 则函数f ( x ) x 有没有最值？ x
基本不等式
探究：
已知a , b都是正数，试探索： ab a b ， ab， ， 的大小关系， 1 1 2 2 a b 并证明你的结论。 2
2 2
基本不等式
例1.判断下列推理是否正确 ，并说明理由： 1 a 0 ( (1) f (a ) a 的最小值为2. a0 a
3.4基本不等式(共37张PPT)
，此时
16:23
19
练习：课本100页2,3,4
16:23
20
bc ac ab 7.已知 a, b, c R ，求证： 6. a b c
也可写成
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当 a=b 时“＝”号成 立 此不等式称为基本不等式
9
如果a>0,b>0 ，用 a , b 分别代替a,b.我 们将得到什么结果？
ab ab (a 0, b 0) 2
算术平均数 几何平均数
16:23
10
ab 若a 0, b 0, 则 ab . 2
解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym, 则2x+2y=36, 即x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2 结论2：两个正数 和为定值，则积 有最大值. 当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。 因此，这个矩形的长为9m、宽为9m时，菜 园的面积最大，最大面积是81 m2 。
16:23 17
最值定理：若x、y皆为正数，则
若a 0, b 0, 则a b 2 ab .
a≥0，b≥0
( a b ) 0 其中a,b∈R？
2
a R， a 0
2
a, b R, (a b) 0
2
a, b R, a 2 b2 2ab
16:23 11
证明:当
时,
.
ab 证明:要证 ab ① 2
2x y 40
等号当且仅当
x y
时成立,此时
x y 10
因此,这个矩形的长和宽都是10m时,所用的篱笆 最短,最短为40m 结论1.两个正数积为定值，则和有最小值
3.4 第1课时 基本不等式
例2
(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少？
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
2 2
因为 xy
9，得xy 81.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
【提升总结】 当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值 结论2 .
1 2 S . 4
两个正数和为定值，则积有最大值
ab , 则CD=＿＿
ab 半径为＿＿ 2 .
E
因为ACD ∽ DCB, 所以CD2 AC CB, 即CD ab.
CD小于或等于圆的半径 . 用不等式表示为
ab ab . 2
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b
时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
ab 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数.
3.4
基本不等式：
ab ab 2
第1课时 基本不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主 办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900 年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行，它的会标是什么？
第24届国际数学家大会
当考察底面的长与宽取什么值
基本不等式
2
刘海洋
ICM2002会标
赵爽：弦图
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
小结：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否 则会出现错误
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
a
ab
(3)(a b)(1 1) 4 ab
(4)a 2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,
3.4基本不等式
几何法:
代数法:
结论：
此不等式称为重要不等式
类 比 联 想 推 理 论 证
此不等式称为基本不等式
名词解释
算术平均数
几何平均数
基本不等式又称为均值定理
基本不等式的几何解释
均值不等式
(1)几何解释:半径不小于半弦;
(2)均值定理:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数; (3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项.
知识要点 1. 基本不等式：
2. 基本不等式变形：
应用举例
例3.某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池 底每平方米的造价为150元，池壁每平方 米的造价为120元，怎样设计水池能使总 造价最低？最低总造价是多少？
利用基本不等式应用条件探究
例1.
结论一: 用均值定理的两个数需为正数.
新课引入
如上(左)图是2002年在北京召开的第24届国际 数学大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵 爽的弦图(右)设计的.着色的明暗使它看上去像 一个风车,代表中国人民热情好客.
知识探究(一) 思考：这会标中含有怎样的 几何图形？ 思考：你能否在这个图案中 找出一些相等关系或不等关 系？
可以发现:
变式一: 变式二:
结论二: 用均值定理时,积定和最小,和定积最大
结论三:
一正 二定
积定和最小 和定积最大
三相等
重要变形
3.4基本不等式(均值不等式B5版)
3．4基本不等式：2ba ab +≤（均值不等式） 一、知识点：1．定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.故也叫均值不等式 说明：利用均值定理求最值时应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数; （2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在。
即：“一正二定三相等”这三个原则。
可分别在“正”“定”“相等”三处设题 2、常用不等式有： （12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 二、例题分析： 例1：已知)0(1≠+=x xx y ，求 y 的最值。
（直用）例2：已知x ＞45,求函数y=4x-2 +541-x 的最小值 （变形应用）变式1、求函数12++=x x xy （x >0）的值域。
变式2、当x 为何值时，28(1)1x y x x +=>-有最小值变式3、求函数41322++=x x y 的最小值。
例3：求函数2y =的最小值。
变式、求函数4sin sin y x x=+最小值（x ∈（0，900］）例4：当0＜x ＜4时，求y=x(9-2x) 的最大值。
（逆用）例5：若,x y R +∈，且2x+5y=20,求lg lg u x y =+的最大值。
（应用）变式、已知x+3y-2=0,求3271xy ++最小值。
例6：正数,x y 满足21x y +=，求y x 11+的最小值为。
（方法：“1”的代换）例7：已知x ＞0,y ＞0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值练习题 一、选择题1、设x,y 为正数，(x+y)(+x 1y4)的最小值为（ ） A ．6 B 9 C 12 D 15 2、已知正数,x y 满足1x y +=，则11x y+的最小值为（ ） .A 2 .4B .C 14 1.2D 3、若,x y 是正数，且191x y+=，则xy 有 （ ） .A ．最大值36 B ．最小值136 C ．最小值36 D ．最大值1364、在下列函数中，最小值是2的是（ ）.A 1(,y x x Rx =+∈且0x ≠） .B 2y =.C 22x xy -=+ .D 1s i n (0)s i n 2y x x x π=+<< 二、填空题5、若102x <<，则(12)y x x =-的最大值 。
3.4基本不等式1
B 则CD=＿a＿b,半径=＿＿＿2＿
E
半径大于等1）陶渊明打算用篱笆围一个面积为100m2的
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
a2 b2 2ab (a,b R)当且仅当a＝b时
a b 2 ab (a 0,b 0)当且仅当a＝b时
探究2：基本不等式
ab a b (a>0,b>0) 2
当且仅当 a b 时等号成立
X
利用基本不等式 a b ab求函数的最值时需要同时 满足以下三个条件：2
(1)a, b均为正数； (2)a b与ab有一个为定值； (3)等号必须取到；
6
【能力提升】
3、若实数 x, y ，且x y 5，则3 x 3 y 的最小
值是（ D ）
A、10
B、 6 3 C、4 6 D、 18 3
【课堂小结】
1.重要不等式和基本不等式 2.公式条件：一正二定三相等； 3.多角度下基本不等式； 4.实际应用：弄清题意,建立模型 5.构造“和定”或“积定”求最值。
3.4基本不等式:
ab a b 2
北京——第24届国际数学 家大会标． 根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
ICM2002会标
欣 赏 体 会
丰 富 自 我
探究1：重要不等式
A
D
a2 b2
b
G
F
a
C
HE
注意：两个不等式的适B 用范围不同;
（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多
第一部分 第三章 3.4 基本不等式：
法二：∵x，y∈R ，且 x＋y＝4， 1 3 x＋y 3x＋y y 3x ∴x＋ y ＝ 4x ＋ 4y ＝1＋(4x＋ 4y )≥1＋2 y 3x 4x· ＝1 4y
＋
3 y 3x ＋ 2 .当且仅当4x＝ 4y，即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时 取“＝”号． 1 3 3 ∴x＋ y的最小值为 1＋ 2 .
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证明：∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1， 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴a＋b＋ c＝ a ＋ b ＋ c b a c a c b ＝3＋(a＋b)＋(a＋ c)＋(b＋ c)≥3＋2＋2＋2＝9， 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号． 1 1 1 ∴a＋b＋ c≥9.
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b a 1 当且仅当a＝b，即 a＝b＝2时取“＝”号． 1 1 ∴(1＋a)(1＋b)≥9. 1 1 1 1 1 法二：(1＋a)(1＋b)＝1＋b＋a＋ab a＋b 1 ＝1＋ ab ＋ab.
返回
1 1 2 ∵a＋b＝1，∴(1＋a)(1＋b)＝1＋ab. a＋b 2 1 又∵a，b>0，∴ab≤( 2 ) ＝4. 1 1 ∴ab≥4，当且仅当 a＝b＝2时取“＝”号． 1 1 ∴(1＋a)(1＋b)≥1＋2×4＝9.
返回
[一点通]
在应用基本不等式解决实际问题时，应注
意如下思路和方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定 为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的
最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．
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7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万 元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则x＝________吨．
3.4基本不等式(共2课时)
三、利用基本不等式解应用题
例 4 ： （ 1 ）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy x y 2 100, 2 2( x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
作业反馈
第1课时作业： 课本：P 学案：课时（24） 第2课时作业： 课本：P 学案：课时（25）
ab ab 求函数的最值 二、利用基本不等式 2 3 例2：已知x > 0，求 f ( x) x 的最小值。
x
归纳：见和想积，乘积为定值，则和有最小值。 变式1：若x < 0，求
3 f ( x) x x
的最大值。
3 变式2：若x > 2，求 f ( x ) x 的最小值。 x2
a
b
思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
a b
2
2
a 2 + b2
2ab
一、两个基本的不等式 重要不等式： a² +b² ≥2ab（ a、b∈R ）
(当且仅当a=b时取“=”号)
你能给出它的证明吗？
基本不等式： a b 2 ab (a 0, b 0) (当且仅当a=b时取“=”号) 通常我们把上式写作：
ab 利用基本不等式 2 ab求函数的最值时需要同时
满足以下三个条件：
(1)a, b均为正数； (2)a b与ab有一个为定值； (3)等号必须取到；
简称为：一正二定三相等。
练习2:
1.判断以下解题过程的正 误: 1 (1) 已知x 0,求x 的最值; x 1 1 解 : x 2 x 2, 原式有最小值 2. x x
3.4基本不等式 课件(共43张PPT)
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
> S′ S____
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H F E
D
a 2 b2
a a
C
A
E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2Hale Waihona Puke §3.4 基本不等式（3）
ab ab 2
2 2 1、重要不等式 a + b ≥ 2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 a＋b 3、均值不等式： ab≤ 2
ab
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当
a＝b
时取等号．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c －1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2 2 a＋b 2 (5)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当
a＝b 时取等号．
5：用均值不等式求最值：已知 和x
必修五 3.4 基本不等式(新课)
a,b∈R a=b
ab a b 2
a>0,b>0
a=b
1、本节课主要内容？
基本不等式
ab a b 2
2、利用基本不等式求最值
（1）两种情况： 积定和最小，和定积最大 （2）三个条件： 一“正”
二“定” 三“相等”
思考题： 已知 x 0, y 0
且 2x 5y 20，则 lg x lg y
的最大值是多少？
作业： 课本P100习题3.4 A组 第2题
谢谢！
第三章 不等式
3.4 基本不等式:
ab a b 2
潮州市华侨中学 林素杏
第24届国际数学家 大会会标
会标中有哪些几何图 形？
在这个会标中隐含哪 些相等关系或不等关系？
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
a≠b
1.正方形ABCD的
面积S=—a—2——b—2—
C 2.四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
CD BC
所以CD图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上任意一点, AC=a,
BC=b. 过点C作垂直于AB的弦 DE,连接AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
D a OC b B
E
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
所以
ab
a
b
.
当且仅当a=b时, 等号成立.
2
基本不等式
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立
注意：
1. a, b是两个正数
2.等号成立的条件:当且仅当 a=b
高中必修5：基本不等式整理(三个课时)
（ 2 ） 已 知 ： a 0, b 0, 且 a b 1，
求证：
a
1
1 b
4.
举一反三： 若 a , b , c是 互 不 相 等 的 正 数 ， 求 证 :a
4
b c
4
4
4
a b b c c a
2 2 2 2 2
2 2
2
abc (a b c )
例3．求函数 f ( x )
2 x x 3
2
( x 0)
x
的最大
值，及此时x的值。
解：
f ( x) 1 (2 x
3 x ≥ 2 2x
3 x
3 x
)
，因为x>0，
所以 2 x 得
2 6
(2 x
3 x
)≤ - 2 6
因此f(x)≤ 1 2 6
1
a=b 大 ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）. 4 利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
s
2
一、利用基本不等式求函数的最值
例 ： 已知x 0,求x 1 (1)
( 2) 已知x 0,求x 1
1 x
的最值 ;
的最值 ;
1 x 3 ,当 x 为何值时，函数
练习：
做一个体积为32 m，高为2m的长方体纸盒，底面的长 与宽取什么 值时用纸最少？
3
解： 设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z m 根据题意，有 Z=2×
32 2
2
2 y 即xy=16
+4x+4y =32+4(x+y)
3
基本不等式
Q 1 (lg a lg b), R lg( a b)
2
2
，则（
B）
A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
应用二：解决最大（小）值问题
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x y 时，
和 x y 有最小值2 P
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行，才有金屋，而且别人偷也偷 不走。 ? 《青年文摘》2007、9 惭 愧 惭愧是一个人在事实的镜子里，看见自己面容的丑陋之后的赧然。 ? ? 惭愧者势必在某一段时间内高估了自己的能力，然后为能力不逮而开始恨自己。 ? ?惭愧的前身一般叫做冲动。冲动是那种不计后果与不了解规则的竞技。它在满足了热血沸腾 之后，立刻就宣告失败。 惭愧的人眼界不是太宽，判断事物太过绝对。为什么老年人不容易惭愧？因为他们尽管弱骨支离，但见闻广博。并不是说只有渊博的人才不惭愧，其实比学识更重要的是襟怀。一个人即使不断学习，仍然会有知识盲区，但谦虚的态度可使人免遭惭愧。 惭愧的 人还是有良知的人。一个人惭愧，明他判别善恶的机制还起作用。如果“原谅”作为宽厚的关怀可以经常使用的话，那么不妨去原谅那些惭愧的人。“知耻近乎勇”，是就一个负疚的人表现出的承认错误的态度而言的。如果占上风的人揪着惭愧者的过失
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基本不等式应用
一．基本不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2≥+ (2)若R b a ∈,，则2
22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2
)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一 求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2
·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x
）≤－2x ·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧：
技巧一：凑项
例
2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45
x x --不是常数， 所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝
⎭231≤-+= 当且仅当15454x x
-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值， 此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=
为定值，
故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离
例4. 求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用基本不等式，
不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时
,59y ≥=（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++） 当,即t =时
,59y ≥=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()
A y mg x
B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。
例5
：求函数
25x y +=的值域。
(2)t t =≥
，则2y =
1(2)t t t =
=+≥ 因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231,(0)x x y x x
++=> （2）12,33
y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x
π=+∈ 2．已知01x <<
，求函数y =
的最大值.； 3．203
x <<
，求函数y .
条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是 .
变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
例6、已知0,0x y >>，且191x y
+=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求y
x 11+的最小值
(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值
应用二 利用基本不等式证明不等式
例7、已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又
111a b c a a a -+-==≥
解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。
∴111a b c a a a -+-==≥11b -≥，11c -≥。
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
111221118ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
当且仅当13a b c ===时取等号。
1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
2.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
应用三 基本不等式与恒成立问题 例8、已知0,0x y >>且191x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y
+=， 99 1.x y x y kx ky
++∴+= 1091y x k kx ky
∴++= 10312k k ∴-
≥⋅ 16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞
应用四 均值定理在比较大小中的应用 例9、若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>， 则R Q P ,,的大小关系是 .
分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a
2
1=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg( ∴R >Q >P 。