[2020理数]第七章 第三节 基本不等式

[基本知识]

1．基本不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式

⎭

⎪⎬⎪⎫

(1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋a

b ≥2，ab >0；

(3)ab ≤⎝⎛⎭

⎫

a ＋

b 22

，a ，b ∈R ；(4)a 2

＋b 2

2≥

⎝⎛⎭⎫

a ＋

b 22

，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时

等号成立.

3．算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为

a ＋b

2

,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则：

(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是p 2

4

.(简记：和定积最大)

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( )

(2)函数f (x )＝cos x ＋

4

cos x

,x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0,y >0是x y ＋y

x ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0,则a 3＋1

a 2的最小值为2a .( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题

1．当x >0时,函数f (x )＝2x

x 2＋1

的最大值为________． 答案：1

2．已知a ,b ∈(0,＋∞),若ab ＝1,则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1,则ab 的最大值为________．

解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2,当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22

＝14,当且仅当a ＝b ＝1

2

时取到等号． 答案：2

1

4

3．若a ,b ∈R,ab >0,则a 4＋4b 4＋1

ab 的最小值为________．

解析：∵a ,b ∈R,ab >0,

∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋

1ab ≥2

4ab ·

1

ab ＝4,

当且仅当⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2＝2

b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧

a 2＝2

2，b 2＝24

时取得等号．

答案：4

4．已知a >0,b >0,a ＋2b ＝3,则2a ＋1

b

的最小值为________．

解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1,所以2a ＋1

b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝3

2时取等号． 答案：83

[全析考法]

考

法

一

通

过

拼

凑

法

利

用

基

本

不

等

式

求

最

值

利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．

[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0

2

C.34

D ．23

(2)(2019·南昌调研)已知函数y ＝x ＋

m

x －2

(x >2)的最小值为6,则正数m 的值为________． [解析] (1)∵0

4. 当且仅当x ＝1－x ,即x ＝1

2时等号成立．

(2)∵x >2,m >0,∴y ＝x －2＋m

x －2

＋2≥2(x －2)·m

x －2

＋2＝2m ＋2,当且仅当x ＝2＋

m 时取等号,又函数y ＝x ＋m

x －2

(x >2)的最小值为6,∴2m ＋2＝6,解得m ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值

[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋1

3y 的最小值是( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．2 3

(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x >0,y >0,x ＋2y ＝1,有2x ＋1

y ≥m 恒成立,则m 的最大值是

________．

[解析] (1)因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以x ＋3y ＝1,所以1x ＋1

3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4当且仅当3y x ＝x 3y ,即x ＝12,y ＝1

6

时取等号． (2)∵x >0,y >0,x ＋2y ＝1,∴2x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋2＋4y x ＋x y

≥4＋24y x ·x

y ＝8,当且

仅当x ＝12,y ＝14时取等号,∴2x ＋1y 的最小值为8,又2x ＋1

y ≥m 恒成立,∴m ≤8,即m 的最大值为

8.

[答案] (1)C (2)8 [方法技巧]

通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．

[集训冲关]

1.[考法一]已知x <0,则函数y ＝4

x ＋x 的最大值是( ) A ．－18 B ．18 C ．16

D ．－4

解析：选D ∵x <0,∴y ＝－⎣⎡⎦

⎤4

－x ＋(－x )≤－4,当且仅当x ＝－2时取等号．

2.[考法二]正数a ,b 满足1a ＋9

b ＝1,若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是________．