圣维南方程组推导(Harry)

一维圣维南方程组简易推导
圣维南（SaintVenant）方程组：
圣维南方程组由水量平衡连续方程和动力方程构成，现推导如下：
1、水量平衡连续方程：
思路：质量守恒
推导过程：
图1流量平衡控制单元
由图所示，根据连续性原理（质量守恒定律）易知：图1-a与图1-b的质量m必定相等。则在时间间隔 中有：
以上各式中：
、 —流量单元断面面积、宽（ 、 ）
— 内流过的路程（ ）
— 内的旁侧入流量（ ）
—水密度（ ）
、 —降水、蒸发量（ ）
左右两边同时除以 、 ，则有：
又令 ， ，则有：
通常地，忽略P、E，则得到证明方程：
（证毕）
2、动力方程：
方程为：一阶非线性双曲型偏微分方程，称之为动力方程、动量方程或能量方程，可见推导方法多样。
利用动量方法时，由于洪水波运动时，河流流速 同时是时间 的函数和河长 的函数，相应的动量需要考虑时间和空间的动量变化（局地动量和迁移动量），很容易出错且较难理解，这里采用一个简易的方法进行推导。
思路：
推导过程：
图2河流单元示意图
如图所示：
式中：
—水元素总重量沿河分量（ ）
其中：
式中：
—单位面积上的ห้องสมุดไป่ตู้力（ ），可按Chazy公式计算
—湿周（ ）
综上：
又：
式中：
—容重（ ），
—水深（ ）
—水力半径（ ）
原式整理得：
对于 右边，有：
因为 ，故令：
则原式：
综上，左边等于右边：
由数学知识易得 ，则简单移项有：
注意到： 为河深，高程 ， 为渠底高程，则：
式中：
一般地， ，故原式为：
（证毕）
P.S.利用能量方程推第二个方程，我还不太会；另外还有一些不懂的地方，希望多多指教！