圣维南方程组推导(Harry)
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
一个简洁的圣维南方程组推导过程
一个简洁的圣维南方程组推导过程作者：李占松师冰雪来源：《高教学刊》2016年第18期摘要：圣维南方程组是明渠非恒定渐变流基本微分方程组。
它是由连续性微分方程式和运动（能量）微分方程式所构成。
由于渐变流又是非恒定流，运动要素既随流程变化也随时间变化，推导连续性微分方程式时只考虑一阶微量项，直接忽略二阶微量项。
明渠流是水位变化产生的重力流。
运动（能量）微分方程式推导时，把水位看成是由底部高程和水深所构成，两者独立分析，分别得出重力和压力对流動的影响。
这样的推导过程简洁明了且概念清楚，易于教学。
关键词：水力学；明渠流；非恒定流；圣维南方程组中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）18-0097-02Abstract： The Saint-Venant equations are the basic differential equations of unsteady gradual flows in open channels. It consists of the continuous differential equation and motion （energy）differential equation. Because the gradually varied flow is unsteady and the movement elements changed with the changing of flow path and time， we can only consider the first order trace and neglect the second order trace when the continuous differential equation is derived. The open channel flow is a gravity flow resulted from the change of water level. When the motion （energy）differential equation derived， the water level is taken as consisting of the bottom elevation and the depth of the water， then the two parts are analyzed independently， differentiate the effect of gravity and pressure on the flow. This derivation is concise and clear and also easy for teaching.Keywords： hydraulics； open channel flow； unsteady flow； the Saint-Venant equations引言圣维南方程组是明渠非恒定渐变流基本微分方程组。
圣维南方程组修订版
圣维南方程组修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】简介描述水道和其他具有自由表面的浅水体中渐变不恒定水流运动规律的偏微分方程组。
由反映质量守恒律的连续方程和反映动量守恒律的运动方程组成。
1871年由法国科学家A.J.C.B.de圣维南提出，故名。
一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s 为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
什么是圣维南原理及如何证明
什么是圣维南原理及如何证明弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。
==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。
使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。
但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。
这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。
有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。
值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。
对于主要边界，圣维南原理不再适用。
例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。
Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。
圣维南方程组
圣维南方程组 Last updated on the afternoon of January 3, 2021简介一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
基本假定建立圣维南方程组的基本假定是：①流速沿整个过水断面（一维情形）或垂线（二维情形）均匀分布，可用其平均值代替。
戴维南定理的公式
戴维南定理的公式（原创版）目录1.戴维南定理的概念与背景2.戴维南定理的公式推导3.戴维南定理的公式应用4.戴维南定理的公式的局限性正文一、戴维南定理的概念与背景戴维南定理（Thevenot"s theorem）是数理统计学中的一个重要定理，由法国数学家皮埃尔·戴维南（Pierre Thevenot）在 19 世纪末提出。
该定理主要描述了在给定一组数据中，任意两个数之差的绝对值都不会超过一个固定值，这个固定值称为戴维南间隔。
戴维南定理为研究数据的离散程度提供了一个理论依据，同时也被广泛应用于数据挖掘、信号处理等领域。
二、戴维南定理的公式推导戴维南定理的公式表达如下：设 x1, x2,..., xn 是一组数据，M 为最大值与最小值之差，D 为极差（最大值与最小值之差），则对于任意的 i≠j，有：|xi - xj| ≤ D - M其中，xi 和 xj 分别表示数据集中的第 i 个和第 j 个数。
戴维南定理的推导过程较为简单，主要是通过极差分解和数学归纳法来证明。
在此，我们不再赘述。
三、戴维南定理的公式应用戴维南定理的公式在实际应用中有很多用处，下面举两个例子：1.数据去噪：在数据挖掘领域，戴维南定理可以帮助我们去除异常值。
假设我们得到的一组数据中，某个数值与其他数值的差的绝对值超过了戴维南间隔，那么我们可以判断这个数值可能是异常值，将其去除。
2.数据压缩：在信号处理领域，戴维南定理可以为数据压缩提供理论依据。
根据戴维南定理，我们知道数据中的任意两个数之差的绝对值都是有限的，因此可以将数据中的数值用有限个比特来表示，从而达到压缩的目的。
四、戴维南定理的公式的局限性虽然戴维南定理在很多领域有着广泛的应用，但它也存在一定的局限性。
首先，戴维南定理仅适用于数值型数据，对于类别型数据无法直接应用；其次，戴维南定理的公式只能描述数据中任意两个数之差的绝对值，对于数据的其他统计特征无法描述。
等截面柱体的弹塑性扭转
τ zx
=
∂ϕ ∂y
=
−
2MT y ， πab3
τ zy
=
− ∂ϕ ∂x
=
Байду номын сангаас
2MT x πa 3b
(7.2-2)
由(7.1-12)得合剪应力为
τ=
τ2 zx
+
τ
2 zy
= 2MT πab
x2 + y2 a4 b4
(7.2-3)
由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪应力分布有如下特点：
(1)在每一点，应力比值τ zx /τ zy = −(a 2 / b2 )( y / x) ，即沿任意半径方向各点具 有相同的比值。这意味着沿同一半径方向各点剪应力相互平行，如图 7.2 所示。
A
(e)
同理，第一个积分也可写为
∫∫A
x
∂ϕ ∂x
dxdy
=
−∫∫Aϕdxdy
(f)
将式(e)、(f)代入式(d)，最后得
M T = 2∫∫Aϕdxdy
(7.1-13)
上式表示，如在截面上每一点有一个ϕ(x, y) 值，则扭矩 M T 为ϕ 曲面下所包体积的 二倍。
由以上讨论得出，如能找到一个函数ϕ(x, y) ，其在边界上的值为零，在截面 内满足方程(7.1-10)，则截面的剪应力分布及扭矩 M T 就都可求得。
168
ε x = ε y = ε z = 0，
γ zx
= θ (∂ψ ∂x
−
y)，
γ xy = 0
⎫ ⎪
γ zy
= θ (∂ψ ∂y
+ x)⎪⎭⎬
(7.1-5)
3.广义虎克定律 对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
圣维南方程组
圣维南方程组文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-简介一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s 为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
基本假定建立圣维南方程组的基本假定是：①流速沿整个过水断面（一维情形）或垂线（二维情形）均匀分布，可用其平均值代替。
弹性力学授课-第06章Saint-Venant问题
• 绝热过程，等温过程
Adiabatic Process : U : Isothermal Process : H :
边界条件和圣维南原理
各向同性材料的胡克定律
线性弹性 各向同性
H H0 Cijklij kl ij Cijkl kl
第六章 圣维南问题（柱体的 拉压弯扭问题）
第六章 圣维南问题
• 问题的提法 • 问题的求解
– 半逆解法 – 位移的确定
• 简单分解问题
– 拉压 – 弯曲 – 扭转
• 若干例子
弹性力学的基本方程
• 物理方程/本构关系/应力应变关系
tr 1 2
1 E
1
tr
– 变换关系 ei a Rije j Cijkl a Rip Rjq Rks RltC pqrs
• 几种特殊的各向异性材料
• 正交群的子群： • 各向同性，半各向同性 • 一个对称面 • 正交异性 • 轴对称
示例1：竖直杆
• 各向异性材料
– Voigt对称性：主对称性，次对称性 Cijkl Cklij C jikl
– 变换关系 ei a Rije j Cijkl a Rip Rjq Rks RltC pqrs
• 几种特殊的各向异性材料
• 正交群的子群： • 各向同性，半各向同性 • 一个对称面 • 正交异性 • 轴对称
示例2：空心球壳
• 各向异性材料
– Voigt对称性：主对称性，次对称性 Cijkl Cklij C jikl
克拉伯龙定理
应变能
W
:d
C:: d
0
0
rangwala-rao方程的精确解
rangwala-rao方程的精确解
原始的Rangwala方程的精确解通常是很难计算的，因为它是一个带
有两个未知量的非线性方程，只有在特定条件下，才可能找到它的精确解。
但是，有许多数值解法，可以用来求解Rangwala方程，其中一个最常用
的解法是牛顿迭代法（Newton's Iteration Method），它可以使用不同
的初始条件来求解Rangwala方程的精确解。
牛顿迭代法通过在每次迭代
中逐步地近似极值点，最终达到极值点的正确位置。
使用牛顿迭代法来
求解Rangwala方程，可以从一组初始条件（x_{0}, y_{0}）开始，并在
以下方程中进行迭代：
x_n+1=x_n-f(x_n,y_n)/f_x(x_n,y_n)。
y_n+1=y_n-f(x_n,y_n)/f_y(x_n,y_n)。
其中，f(x_n, y_n)是Rangwala方程的右侧，f_x (x_n, y_n) 是Rangwala函数的关于x的偏导数，f_y (x_n, y_n) 是Rangwala函数的
关于y的偏导数。
在每一次迭代中，只要结果的差值小于特定阈值，就可
以认为找到了极值点，从而解决Rangwala方程的精确解。
圣维南方程组求解
>>水动力学圣维南方程组的求解发布时间：2012年06月23日分类：水动力学自从Stoker（1953）首次尝试将完整的Saint-Venant方程组用于Ohio河流的洪水计算以来，出现了大量的针对完整的Saint-Venant方程组的数学模型（动力波模型）。
求解圣维南方程组的数值方法很多，按离散的基本原理可分为特征线法、有限差分法、有限元法、有限体积法和有限分析法等。
有限差分法显式方法的先驱是Stoker（1953），其后有Liggett和Woolhiser（1967），Martin和DeFazio(l969)及Strelkoff（1970）等人，Dronkers（1969），Balloffet（1969）及Johnson （1974）将显式方法用于分析河口的潮汐运动，Garrison等(1969)，Johnson(1974)将显式方法用于模拟河道及水库的洪水，Liggett和Cunge(l975)给出了数种显式差分格式的表达式及分析结果。
对于每一计算时刻，关于计算断面的未知量，显式方法可直接从代数方程组中得出结果。
隐式方法的提出是出于显式方法由于计算的稳定性要求而存在时间步长限制的考虑。
隐式方法首先是由Isaacson等(1953)建议的，其后在六、七十年代很多学者在隐式方法进行了大量的研究工作。
隐式方法则要求解代数方程组。
代数方程组又分为线性和非线性两种，前者既可用直接法又可用迭代法求解，而后者要用迭代法求解。
在迭代法中，Newton-Raphson方法以其收敛速度快的特点而较为普遍地用于求解非线性代数方程组中，该方法首先由Amein和Fang(1970)应用于Saint-Venant方程组的数值解中，其后，国内外都有将这一方法用于河网水力数值模拟中。
直接法是用差商代替导数，将微分方程化为代数方程组，再求出区域网点上的解；而特征线法是首先将质量和动量方程进行等价变换，化为由四个常徽分方程构成的方程组，再用有限差分近似来求解。
圣维南方程组程序
圣维南方程组程序圣维南方程程序Option ExplicitOption Base 1Constnsr As Integer = 200Private ct, p, v, dtt As SinglePrivate ib As IntegerPrivate DXX(nsr), CNO(nsr), ZZ(nsr), QQ(nsr), PP(nsr), VV(nsr), SS(nsr), TT(nsr) As SinglePrivate n, l1, l2, ic As IntegerConst pi As Long = 3.1415926Private Sub Command1_Click()Dim de As LongDim delay As LongDim dx, cn, zu, x, zd, xx, yy As SingleDim mt, dt, i, j, k As IntegerOpen App.Path + "\resultsz.txt" For Output As #1Open App.Path + "\resultsq.txt" For Output As #2Open App.Path + "\inputdata.dat" For Input As #3Input #3, dt, ct, cn, nFor i = 1 To nDXX(i) = 1 * 1000CNO(i) = cnZZ(i) = 4 + 0.025 * (20 + 1 - i) QQ(i) = 0Next imt = 60 / dtdt = dt * 60dtt = 2 * dtl1 = 1l2 = nic = CInt(T ext1.Text)If ic = 1 Thenib = 0zu = 4.5ElseIfic = 2 Thenib = 1zu = 500ElseEnd IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12) If ic = 1 Thenp = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdDimmt,dt,i,j,kAsInteger；OpenApp.Path+"\resu；OpenApp.Path+"\resu；OpenApp.Path+"\inpu；Input#3,dt,ct,cn,n；Close#3；Fori=1Ton；DXX(i)=1*1000；CNO(i)=cn；ZZ(i)=4+0.025*(20+1-Dim mt, dt, i, j, k As IntegerOpen App.Path + "\resultsz.txt" For Output As #1 Open App.Path + "\resultsq.txt" For Output As #2 Open App.Path + "\inputdata.dat" For Input As #3 Input #3, dt, ct, cn, nClose #3For i = 1 To nDXX(i) = 1 * 1000CNO(i) = cnZZ(i) = 4 + 0.025 * (20 + 1 - i)QQ(i) = 0Next imt = 60 / dtdt = dt * 60dtt = 2 * dtl1 = 1l2 = nic = CInt(T ext1.Text)If ic = 1 Thenib = 0zu = 4.5ElseIfic = 2 Thenib = 1zu = 500Elseib = 1End IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12) If ic = 1 Thenp = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdCall back(l1, l2, ib)For k = 1 To nPrint #1, ZZ(k),Print #2, QQ(k),Next kPrint #1, Chr(13) + Chr(10); Print #2, Chr(13) + Chr(10); delay = 0For de = 1 To 200000delay = delay + 1Next deNexti；mt=60/dt；dt=dt*60；dtt=2*dt；l1=1；l2=n；ic=CInt(Text1.Text)；Ific=1Then；ib=0；zu=4.5；ElseIfic=2Then；ib=1；zu=500；Else；ib=1；EndIf；Fori=1To149；Forj=1T omt；x=i+j/mt；zd=4+1.5*Sin(pi*x/1Next imt = 60 / dtdt = dt * 60dtt = 2 * dtl1 = 1l2 = nic = CInt(T ext1.Text)If ic = 1 Thenib = 0zu = 4.5ElseIfic = 2 Thenib = 1zu = 500Elseib = 1End IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12) If ic = 1 Then p = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdCall back(l1, l2, ib)For k = 1 To nPrint #1, ZZ(k),Print #2, QQ(k),Next kPrint #1, Chr(13) + Chr(10);Print #2, Chr(13) + Chr(10);delay = 0For de = 1 To 200000delay = delay + 1Next dePicture1.ClsFor k = 1 To nxx = 0.1 + 0.5 * kyy = 8 - ZZ(k) / 1#If k = 1 ThenPicture1.PSet (xx, yy), RGB(0, 0, 255) ElsePicture1.Line -(xx, yy), RGB(0, 0, 255) End IfNext kPicture2.Clsib=1；zu=500；Else；ib=1；EndIf；Fori=1To149；Forj=1T omt；x=i+j/mt；zd=4+1.5*Sin(pi*x/12)；Ific=1Then；p=zu；v=0；ElseIfic=2Then；p=zu；v=0；Else；v=20000000#/dt；p=v*ZZ(l1)；EndIf；Callextern(l1,l2, ib = 1zu = 500Elseib = 1End IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12)If ic = 1 Thenp = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdCall back(l1, l2, ib)For k = 1 To nPrint #1, ZZ(k),Print #2, QQ(k),Next kPrint #1, Chr(13) + Chr(10); Print #2, Chr(13) + Chr(10); delay = 0For de = 1 To 200000delay = delay + 1Next dePicture1.ClsFor k = 1 To nxx = 0.1 + 0.5 * kyy = 8 - ZZ(k) / 1#If k = 1 ThenPicture1.PSet (xx, yy), RGB(0, 0, 255) Else Picture1.Line -(xx, yy), RGB(0, 0, 255) End If Next kPicture2.ClsFor k = 1 To nxx = 0.1 + 0.5 * kyy = 4 - QQ(k) / 200#If k = 1 ThenPicture2.PSet (xx, yy), RGB(0, 0, 255) Else Picture2.Line -(xx, yy), RGB(0, 0, 255) End If Next kNext jNext i。
一个简洁的圣维南方程组推导过程
一个简洁的圣维南方程组推导过程圣维南方程组（Saint-Venant equations）是水力学中最常用的一类描述流体运动的四维偏微分方程组，其形式如下：$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partialy}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$ $\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partialy}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$ $\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partialy}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g$ $\frac{\partial \rho}{\partialt}+u\frac{\partial \rho}{\partialx}+v\frac{\partial \rho}{\partialy}+w\frac{\partial \rho}{\partial z}=0$推导过程：首先，根据物理定义，可以写出速度的导数的表达式：$\frac{\partial u}{\partialt}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)=\frac{\partial^2x}{\partial t^2}$$\frac{\partial v}{\partialt}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)=\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$$\frac{\partial w}{\partialt}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)=\frac{\partial^2z}{\partial t^2}$其次，根据动量定理，可以得到加速度的表达式：$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partialy}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$ $\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partialy}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$ $\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partialy}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g$最后，根据质量定理，可以得到密度的变化的表达式：$\frac{\partial \rho}{\partialt}+u\frac{\partial \rho}{\partialx}+v\frac{\partial \rho}{\partialy}+w\frac{\partial \rho}{\partial z}=0$以上就是圣维南方程组的推导过程。
圣维南方程组
简介一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s 为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
基本假定建立圣维南方程组的基本假定是：①流速沿整个过水断面（一维情形）或垂线（二维情形）均匀分布，可用其平均值代替。
不考虑水流垂直方向的交换和垂直加速度,从而可假设水压力呈静水压力分布,即与水深成正比；②河床比降小，其倾角的正切与正弦值近似相等；③水流为渐变流动，水面曲线近似水平。
matlab圣维南方程
matlab圣维南方程Matlab圣维南方程Matlab圣维南方程是一种常见的非线性偏微分方程，描述了自然界中许多非线性现象的行为。
它广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
在本文中，我们将介绍Matlab圣维南方程的基本概念和求解方法。
一、Matlab圣维南方程的基本概念Matlab圣维南方程是一个描述动态系统行为的方程，它是由法国数学家圣维南提出的。
它的一般形式如下：∂u/∂t + u * ∂u/∂x = ν * ∂²u/∂x²其中，u是未知函数，t和x分别是时间和空间变量，ν是一个正常数。
这个方程描述了一个流体或粒子在一维空间中的运动行为。
二、Matlab圣维南方程的求解方法1. 数值方法由于Matlab圣维南方程是一个非线性偏微分方程，其解析解很难求得。
因此，我们通常采用数值方法来求解该方程。
常用的数值方法有有限差分法和有限元法。
有限差分法将偏导数转化为差分形式，通过离散化时间和空间变量，将方程转化为一个差分方程组。
然后，通过迭代求解该方程组，可以得到方程的数值解。
有限元法将求解区域划分为一系列小的单元，通过近似表示未知函数和偏导数，在每个单元上建立局部方程。
然后，通过组装这些局部方程，可以得到整个求解区域上的方程。
最后，通过求解得到的方程组，可以得到方程的数值解。
2. Matlab求解工具箱Matlab提供了许多专门用于求解偏微分方程的工具箱，如Partial Differential Equation Toolbox和Finite Element Method Toolbox。
这些工具箱提供了一系列用于求解Matlab圣维南方程的函数和工具，使得求解过程更加简单和高效。
三、Matlab圣维南方程的应用Matlab圣维南方程在许多领域都有广泛的应用。
1. 流体力学Matlab圣维南方程可以描述流体在一维空间中的运动行为。
通过求解该方程，可以得到流体的速度和压力分布，从而研究流体的运动特性和相应的物理现象。
MIKE 11 HD 理论基础
MIKE 11 HD 理论基础
克朗数条件（Courant Number）
一般情况下，认为克朗数小于1，模型不发散；HD水动力学模型对克朗数 要求不高，一般小于10，模型即会稳定计算。
判断模型计算时间步长：
克朗数的可以表示为一个因细微扰动所形成的波在一个时间步长内所传递的空间节点个数。
MIKE 11 HD 理论基础
Thank you
Your’s sincerely Harry Cai
© DHI
动量守恒方程：
（动量方程）
MIKE 11 HD 理论基础
动量方程的常用简化方式：
运动波 Kinematic Wave 扩散波 Diffusive Wave 全动力波 Fully Dynamic Wave
运动波方程假设阻力项与重力项平衡，适用于陡坡河道，不能用于有回水现象的计算 扩散波方程适用于相对稳定的回水现象或缓慢演进的洪水波，不能用于潮汐计算
MIKE 11 HD 理论基础
采用6点Abbott-Ionescu格式求解 隐式有限差分格式 连续方程离散
动量方程离散
MIKE 11 HD 理论基础
6点Abbott-Ionescu格式的优势
两个流量点之间采用连续方程求解； 两个水位点之间采用动量方程求解； 更高的计算稳定性，Crount Number>250 的情况下，误差率<2%. 更快的计算速度，比常规4点差分格式快56倍。
运动波kinematicwave运动波方程假设阻力项与重力项平衡适用于陡坡河道不能用于有回水现象的计算扩散波diffusivewave全动力波fullydynamicwave扩散波方程适用于相对稳定的回水现象或缓慢演进的洪水波不能用于潮汐计算mike11hd理论基础动量方程离散连续方程离散采用6点abbottionescu格式求解隐式有限差分格式连续方程动量方程mike11hd理论基础6点abbottionescu格式的优势更高的计算稳定性crountnumber250的情况下误差率2
圣维南原理静力等效时主矢量和主矩的正负号规定
《弹塑性力学II》论文题目：圣维南原理静力等效时主矢量和主矩的正负号规定姓名：××臻班级：土木研-14学号：20143121×011×圣维南原理静力等效时主矢量和主矩的正负号规定××臻（北方工业大学土木工程学院，北京 100041）摘要：本文对弹性力学的三大基本方程以及平面应力问题的应力函数解法的思想进行了简单的概述，并在此基础上结合本学期所学，提出了所解出的应力分量σx，σy，τxy与边界面上面力分量间的对应关系，以及边界面上面力分量与其面上主矢量和主距的对应关系，进而得出应力分量σx，σy，τxy与边界面上主矢量和主距的对应关系，最后对其对应关系进行总结，得出圣维南原理静力等效时主矢量和主矩的正负号规定规律，并结合实例对此规律进行了应用和检验。
关键词：基本方程；应力函数；应力分量；面力分量；主矢量和主矩；正负号规定又是一年六月时，研一的下半学期即将结束，很庆幸这半年能跟随宋老师学习弹塑性力学课程。
一方面，因宋老师深入浅出系统的教学方法，令人“谈虎色变”的弹塑性力学课程竟没那么难了；一方面，面对宋老师竟有朋友一般的感觉，少有惯常那种畏惧。
如此这般，获益之多，深感庆幸。
我深知对于弹塑性力学课程再换任何一个老师，自己都不会比现在更好。
这这里愿献上我对宋老师深深地敬意和感谢。
之前，也一直在课下向宋老师询问过很多问题，每次也都获益匪浅，之前在圣维南原理静力等效时主矢量和主矩的正负号规定这块儿也略有疑惑，不过因其涉及颇多，我自己也没有理清楚，所以还未来得及向老师询问，于是就借这次机会以书面形式在这儿论述一番，对知识做一番梳理，以更清楚地展示自己的问题。
1基础知识1.1 平衡微分方程无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题，所有物理量均与z无关。
一般而论，应力分量是位置坐标x和坐标y的函数，因此，作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。
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思路：
推导过程：
图2河流单元示意图
如图所示：
式中：
—水元素总重量沿河分量（ ）
其中：
式中：
—单位面积上的阻力（ ），可按Chazy公式计算
—湿周（ ）
综上：
ห้องสมุดไป่ตู้又：
式中：
—容重（ ），
—水深（ ）
—水力半径（ ）
原式整理得：
对于 右边，有：
因为 ，故令：
则原式：
综上，左边等于右边：
由数学知识易得 ，则简单移项有：
注意到： 为河深，高程 ， 为渠底高程，则：
式中：
一般地， ，故原式为：
（证毕）
P.S.利用能量方程推第二个方程，我还不太会；另外还有一些不懂的地方，希望多多指教！
、 —流量单元断面面积、宽（ 、 ）
— 内流过的路程（ ）
— 内的旁侧入流量（ ）
—水密度（ ）
、 —降水、蒸发量（ ）
左右两边同时除以 、 ，则有：
又令 ， ，则有：
通常地，忽略P、E，则得到证明方程：
（证毕）
2、动力方程：
方程为：一阶非线性双曲型偏微分方程，称之为动力方程、动量方程或能量方程，可见推导方法多样。
一维圣维南方程组简易推导
圣维南（SaintVenant）方程组：
圣维南方程组由水量平衡连续方程和动力方程构成，现推导如下：
1、水量平衡连续方程：
思路：质量守恒
推导过程：
图1流量平衡控制单元
由图所示，根据连续性原理（质量守恒定律）易知：图1-a与图1-b的质量m必定相等。则在时间间隔 中有：
以上各式中：