§1-4球面波和柱面波

此式较复杂不便应用，实际中往往进行近 似处理。
§1-4球面波和柱面波


三、 柱面波的波函数： 柱面波是由无限长同步线状振动源（同步 线源）产生的波动。 所谓同步线源是指这样一种振动源：在整 条直线上所有点都是一个点源，各个点源 的振动完全相同，在简谐振动下各点的初 位相，频率和振幅完全相同。 在光学上可以用平面波照亮一个极细的长 缝来获得近似的柱面波。
§1-4球面波和柱面波


前次课内容回顾及平面波的波函数： 一 、球面波的波函数: 二、球面波的复振幅： 三、柱面波的波函数：
§1-3平面电磁波
前次课内容回顾：
1.波动方程的平面波解：
E
2
B
2
z
2

1 E
2
v
2
1 B
2 2
t
2
0 0
(1)
E f1 ( z vt) f 2 ( z vt)
§1-4球面波和柱面波


由于对称性,可将波动方程转化为球坐标下 的方程。选择振动源作为坐标原点,则知： 波函数A(r,t)只与r有关，与方位无关 可以证明：这样的波函数 A(r,t)满足下式：
A( r , t )
2
1
2 2
r r
2
rA(r , t )
1 v
2


标准波动方程 变为： 1
1 2
此即为球面波波函数的一般形式。 其中B1,B2为任意函数。
§1-4球面波和柱面波

显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形 式。 则： A(r , t ) a coskr t r 假定源点振动的初位相为零，对于电矢量 （此时可看作标量）即0=0 则有：
0

写成复数形式： E r exp i(kr t ) 可以看出，球面波的振幅不再是常量，它 与离开波源的距离r成反比，其等相面为： r=常数的球面。



一 、球面波的波函数: 点状振动源的振动向周围空间均匀的 传播形成球面波. 从对称性考虑,这个波的等相面是球面， 并且其上的振幅处处相等. 由于随着考察点远离振动源,等相面的 曲率半径逐渐增大,最后接近于平面． 所以，平面波是球面波的一种特殊形式 ．
§1-4球面波和柱面波



严格的点状振动源是不存在的,从而理 想的球面波或平面波是不存在的. 在光学上,当光源的尺寸远小于考察点至 光源的距离时，往往把该光源称为点光源. 由它发出的波可以近似当作球面波处理.
3
e
i ( kr t )
§1-5光波的辐射
r是电偶极子到P点的距离 是r与电偶极子轴线之间的夹角。 式中 1 ＝ 是电磁波的传播速度 是波的角频率, 与电偶极子的振荡角频率相同

显然，上式为一球面波，但与标准球面波不同 的是，电偶极子辐射的球面波的振幅随角而 变。
§1-4球面波和柱面波


2.
位相：
kr kvt 0 球面波的位相是 即仅仅是r的函数，并指出了v的含义
v
dr dt
d 0

说明v是沿球面径向的位相传播速率。 当等相面自球心向外传播时v>0,称为发散球面波， 当等相面向球心会聚时v<0，称为会聚球面波。

E
1 1 2 3 E E D E ( J / m ) 2 2
§1-5光波的辐射

磁场的能量密度为 ：
m
1 1 2 3 H B B (J / m ) 2 2
E B 1 c

在电磁波情况下：由E和B的数量关系 ： 及
n 1 1 2 3 E E D E ( J / m ) 2 2 B B
E A cos( k r t ) E A exp i (k r t )


4.平面简谐波的复振幅：
~ E A exp( ik r )
§1-3平面电磁波


5.平面波的性质
（1）电磁波是横波： E 0 k E 0 1 （2）Ｅ和Ｂ互相垂直 k E B B k E

A

2
A
2
t

2 2
r r
rA(r , t )
1 A( r , t )
2
2
t
2
§1-4球面波和柱面波

上式亦可写为： r rA(r , t )
2

2
1
2
2
rA(r , t )
t
2
若将ｒＡ（ｒ，ｔ）看成一体，这个方程 和一维波动微分方程有完全相同的形式。 它的解为： rA(r , t ) B1 (r vt) B2 (r vt) 1 或 A(r , t ) r B (r vt) B (r vt)
r ( x x0 ) ( y y0 ) z0
2 2


2

1 2
§1-4球面波和柱面波

由 0 时复振幅的表示式知： 在z=o平面上的振幅分布为：
0
~ E
( x x )
0
A1
2
( y y0 ) z 0
2
2

2 2 2 exp ik ( x x0 ) ( y y0 ) z0
§1-5光波的辐射


振荡电偶极子辐射的电磁场： 可由 MAXSWELL方程组计算，在经典的电动力 学著作中均可找到，我们只给结果。 1.作简谐振动的电偶极子在距离很远的P点辐 射的电磁场的数值为：
E B
p0 sin
2
4 r
2
e
i ( kr t )
p0 sin
2
4 r
§1-4球面波和柱面波

K仍为波数：
k
2

代表发散波和会聚波。
由于球面波振幅随r增大而减小， 故严格说来： 球面波波函数不成现严格的空间周期性，



§1-4球面波和柱面波

3。简谐球面波在平面上的近似表达式 ：
在光学中，通常要求解球面波在某个平面 上的复振幅分布。例如，在直角坐标系xyz 中波源s坐标为x0,y0,z0我们来求解它发出的球 面波在z＝0平面上的复振幅分布。 由于s到z=0平面上任意点p(x,y)的距离为
2
1
B (J / m )
2
3
§1-5光波的辐射

考虑到传播方向，可以定义波印廷矢量S
1 S EB



S的方向表示电磁波的传播方向， S的 大小表示电磁波所传递的能流密度。 所以 S又可以叫做能流密度矢量。
§1-5光波的辐射

对于光波来说B和E都随时间快速变化， 所以S的大小也随时间快速变化。在可见光 14 区E和B的频率达 ，故S的频率为 5 10 HZ 15 数量级。 10 HZ 目前任何接收器都来不及反映这样高频 的能量变化，通常把S在接收器能分辨的时 间间隔内的平均值叫做电磁波的强度I。
§1-5光波的辐射


最为简单的振荡电偶极子是电偶极距随时间 作简谐变化的电偶极子，此时电偶极距 可 it 表示为 p p0 e p 是振幅， 是角频率。
0

既然原子是一个振荡电偶极子，它必定在周 围空间产生交变电磁场，即辐射出光波。 由图1－4所示，振荡电偶极子振动一个周期， 称电磁场将向外传播一个空间周期，即电磁 场分布有一定的空间周期，这就是电磁波的 波长 。
§1-5光波的辐射

一、电偶极子辐射模型： 二．辐射能： 三 对实际光波的认识：
§1-5光波的辐射


一、电偶极子辐射模型：
光波是电磁波，光源发光就是物体的辐 射电磁波的过程。大部分物体发光属于 原子发光类型，因此我们只研究原子发 光的情况。 经典电磁场理论认为：原子发光是原子 内部运动过程形成的电偶极子的辐射。
（3）Ｅ和Ｂ同相:
B k 0 E E 1 v B
§1-4球面波和柱面波
除平面波外,球面波和柱面波也是两种 常见的波。在光学中他们分别由点光源和 线光源产生。 一 、球面波的波函数: 二、球面波的复振幅： 三、柱面波的波函数：


§1-4球面波和柱面波
§1-5光波的辐射


每段波列，其振幅在持续时间内保持不变 或缓慢变化，前后各段波列之间没有固定 的位相关系，光矢量的振动方向也不相同。 <2> 普通光源辐射的光波，没有偏振 性，其发出的光波的振动具有一切可能的 方向（在垂直于传播方向的平面内各个方 向都是可能的）,它可以看作是具有各个可 能振动方向的许多光波的和，在各个可能 振动方向上没有一个振动方向较之其它方 向更占优势。这样的光波称微自然光。即 普通光源是自然光。
r
E
A1
cos( kr t )
A1
§1-4球面波和柱面波


二、球面波的复振幅 ：
A1 ~ E exp( ikr ) r
称 为球面简谐波的复振幅， 并简单的以它代表一个球面简谐波 。 注： 简谐球面波的参量特点： 1. 振幅a/r不是一个常量，它随r 增加而减 小；但在r相同的球面上，振幅是均匀的。A1 是一个常量，代表r=1处的振幅，表征振动源 的强弱，称为源强度。

§1-5光波的辐射


原子由带正电的原子核和带负电的绕核运 转的电子组成。 在外界能量的激发下，由于原子核和电子 的剧烈运动和相互作用，原子的正电中心 和负电中心常不重合，且正、负中心的距 离在不断的变化，从而形成一个振荡的电 偶极子。如图1-13所示： 该系统的电偶极距为