人教版选修2-3学案：离散型随机变量学生版(无答案)

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人教新课标版数学高二人教A版选修2-3离散型随机变量的分布列导学案

2．1．2离散型随机变量的分布列一、【学习目标】知识目标1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念。

2．掌握离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质。

能力目标1．在具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列；2．培养学生独立思考问题的能力．情感、态度与价值观1加强师生情感交流，营造和谐课堂。

2在教学过程中让学生体会数学在生活的应用。

3充分发挥非智力因素在教学中的作用，增强学生对数学学习的兴趣二、【重点难点】重点：1.离散型随机变量概率分布列的概念。

2. 离散型随机变量分布列的表示方法和性质；难点：1.确定离散型随机变量的取值、随机变量所对应的概率2. 随机变量在某个范围内取值的概率的计算考点：1离散型随机变量及其分布列的概念2离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质3具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列三、【知识链接】.1.随机变量的概念：如果____________________可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母__________________等表示2. 离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按__________________，这样的随机变量叫做离散型随机变量3.对立事件定义.:其中必有一个发生的两个______叫做对立事件是,一种特殊的互斥事件4.互斥事件事件定义：A与事件B在任何一次试验中__________________四、【合作探究】引入对于一个随机试验，仅仅知道试验结果的取值是不够的，还要把握每一个结果发生概率的大小。

还要研究这些结果取值的平均数，这些结果取值的波动状态等等。

实例引入：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.X能取那些值，X 取每个值的概率分别是多少？解：X的取值有1、2、3、4、5、6则列成表格形式X 1 2 3 4 5 6P归纳小结：该表不仅列出了随机变量X的所有取值．而且列出了X的每一个取值的概率．这样，我们就从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，为进一步研究随机现象奠定了基础，这就是今天我们要学习的内容——离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列定义：一般地，设离散型随机变量X可能取的不同值为：,X取每一个x（ｉ=1，2，……）的概率,P（X=xｉ）=Ｐｉ.，以表格的形式表示如下：X …………P P P……P……此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X 的分布列也可用P(X=xｉ）=P i=1,2,3 …n表示X的分布列合作探究1分布列的构成:⑴列出随机变量ξ的所有取值;⑵给出ξ的每一个取值的概率注：在具体问题中关键是要搞清楚什么是随机变量，随机变量能取哪些值，随机变量取值的概率是什么2分布列的性质:（1）请同学们思考随机变量概率的取值有什么特点呢(2) 请同学们思考P1+P2+…+Pn=？为什么（3）随机变量在某个范围内取值的概率等于随机变量在这个范围内取各个值得概率的和。

人教版数学高二A版选修2-3学案离散型随机变量的均值

课堂导学三点剖析一、离散型随机变量均值的求法【例1】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数.（1）求X 的分布列；（2）求X 的均值；（3）求“所选3人中女生人数X≤1”的概率. 解析：（1）X 可能取的值为0，1，2.P （X=k)=36342C C C k k -•,k=0,1,2.（2）由（1），X 的均值为 EX=0×51+1×53+2×51=1.（3）由（1），“所选3人中女生人数X≤1”的概率为 P （X≤1)=P(x=0)+P(X=1)=54 温馨提示做这类的题目，首先要确定随机变量的分布列，然后再去求它的均值. 二、离散型随机变量的均值的应用【例2】 A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，A 队队员是A 1,A 2,A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员的胜率 B 队队员的胜率A 1对B 1 3231 A 2对B 2 5253 A 3对B 3 5253 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A ，B 两队最后所得总分分别为ξ，η.（1）求ξ，η的概率分布；（2）求两队各自获胜的期望.解析：（1）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0，ξ=3表示三场A 队全胜，P （ξ=3）=32·52·52=758，ξ=2表示三场中A 队胜两场，有三种可能. ∴P （ξ=2）=32·52·(1-52)+32(1-52)·52+(1-32)·52·52=7528.ξ=1表示三场中A 队胜一场，也有三种可能：P （ξ=1）=32·53·53+31·52·53+31·53·52=52，ξ=0表示三场A 队全负.P （ξ=0）=31·53·53=253.依题意可知：ξ+η=3，∴P （η=0）=P （ξ=3）=758，P(η=1）=P （ξ=2）=7528，P （η=2）=P （ξ=1）=52，P （η=3）=P （ξ=0）=253；（2）Eξ=3×758+2×7528+1×52+0×253=1522.∵ξ+η=3.∴Eη=3-Eξ=1523.故甲队获胜的期望是1522，乙队获胜的期望是1523.三、与其他知识的交汇题【例3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求ξ的分布及数学期望；(Ⅱ)记“函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［2，+∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （Ⅱ）因为f(x)=(x-23ξ)2+1-49ξ2，所以函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［23ξ，+∞)上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤34. 从而P （A ）=P(ξ≤34) =P(ξ=1)=0.76. 温馨提示该题考查概率的分布列、期望、随机变量ξ在某一范围内的概率，考查函数的单调性.但是它并没有直接给出ξ的范围，而是通过函数的单调性间接地给出ξ的范围，把函数的单调性和概率结合起来了. 各个击破【类题演练1】若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为32，乙解出该题的概率为54，设解出该题的人数为ξ，求Eξ. 解析：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B.ξ可能取值为0，1，2， P （ξ=0）=P （A ）P （B ）=(1-32)(1-54)=151； P （ξ=1）=P （A B ）+P （A B ）=P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）=(1-32)×54+32 (1-54)= 52；P （ξ=2）=P （A ）P （B ）=32×54=158.故Eξ=0×15+1×5+2×15≈1.467. 【变式提升1】已知随机变量X 的概率分布列为：P （X=k)=q k-1p(k=1,2,…,0＜p ＜1,q=1-p),求证：EX=p1. 证明：∵P （X=k)=q k-1p, ∵EX=1×p+2×qp+3q 2p+…+kq k-1p+… =p(1+2q+3q 2+…+kq k-1+…)令S=1+2q+3q 2+…+kq k-1+(k+1)q k +…① Sq=q+2q 2+3q 3+…+kq k +(k+1)q k+1+…② ①-②得：S-Sq=1+q+q 2+…+q k +… 即S （1-q)=q-11 ∵S=221)1(1p q =-∴EX=pS=p×21p=p 1【类题演练2】某儿童商品专卖商场统计资料表明，每年六一国际儿童节商场内促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如不遇雨天可获得经济效益12万元.若促销活动遇到雨天则带来5万元的经济损失.5月30日气象台预报六一儿童节当天有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？解析：设该商场六一儿童节在商场外的促销活动获得的经济效益为ξ万元，则由天气预报知P （ξ=12）=0.6，P （ξ=-5）=0.4，∴Eξ=12×0.6+(-5)×0.4=5.2(万元).即在六一儿童节当地有雨的概率是40%的情况下，在商场外的促销活动的经济效益的期望是5.2万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益2.5万元.故商场应选择商场外的促销活动.【变式提升2】某寻呼台共有客户3 000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%，问寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都能得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？解析：设来领奖的人数ξ=k(k=0,1,2,…,3 000),所以P （ξ=k)=kC 3000(0.04)k (1-0.04) 3 000-k ,可见ξ—B （3 000，0.04)，所以Eξ=3 000×0.04=120(人）＞100（人）. 答：不能都发出邀请，至少应准备120份礼品. 【类题演练3】某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.解析：ξ的取值分别为1，2，3，4. ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （ξ=1）=0.6. ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P （ξ=2）=（1-0.6)×0.7=0.28. ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 P （ξ=3）=（1-0.6)×(1-0.7）×0.8=0.096.ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 P （ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024.∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为1-（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）（1-0.9）=0.997 6.【变式提升3】某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变设每售出一台电冰箱，电器商可以获利300元，如果售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解析：设x 为月初电器商购进的电冰箱的台数，只需考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收益为η元，则η是随机变量ξ的函数，且 η=⎩⎨⎧<--≥xx xx ξξξξ),(100300,300电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为Eη=300x （P x +P x+1+…+P 12）+［300-100（x-1）］P 1+［2×300-100（x-2）］P 2+…+［300（x-1）-100］P x-1=300x （12-x+1）×121+121［300×2)1(-⨯x x -100×2)1(-⨯x x ］=325（-2x 2+38x ）. 由于x ∈N +，所以当x=9或10时，即电器商每月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.。

人教版选修2-3 2.1.1 离散型随机变量导学案

2.1.1《离散型随机变量》导学案制作王敬审核高二数学组2016-05-27【学习目标】1．通过实例了解随机变量的概念，理解离散型随机变量的概念．2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．【重点难点】重点：离散型随机变量的概念．难点：离散型随机变量的意义．【预习导航】1．一个试验如果满足下列条件：(1)试验可以在相同的情形下__________进行；(2)试验的所有可能结果是__________的，并且不只一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的__________，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随着__________变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示．3．______________________的随机变量，称为离散型随机变量．【问题整合】【问题1】一个正四面体玩具，四个面分别涂有红、黄、绿、黑，投掷一次观察落地一面的颜色，有多少种可能的结果？这些结果可以用数字表示吗？【问题2】在一块地里种了6棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？【探究活动一】随机变量及其取值的意义例1写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的值所表示的随机试验的结果．(1)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ；(2)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(3)电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ(min)．方法规律总结跟踪训练1100件产品中，含有5件次品，任意抽取4件产品，其中含有的次品数为ξ，抽取产品的件数为η，ξ、η是随机变量吗？【探究活动二】离散型随机变量例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④【方法规律总结】【方法规律总结】跟踪训练3盒中有9个正品和3个次品共12个零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.(1)写出X的所有可能取值．(2)写出X＝2所表示的事件．(3)求X＝2的概率．跟踪训练2下列随机变量中不是离散型随机变量的是()A．盒子里有除颜色不同，其他完全相同的红球和白球各5个，从中摸出3个球，白球的个数XB．小明回答20道选择题，答对的题数XC．某人早晨在车站等出租车的时间XD．某人投篮10次投中的次数X【探究三】离散型随机变量的取值及其概率写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.【总结概括】本节课的收获：【课后作业】必做题：课本习题2.1A组1，2题选做题：同步练习册知能提升。

2.1.1离散型随机变量(学生学案)

2．1．1离散型随机变量（学生学案）例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由。

（1）昨天我校办公室接到的电话的个数.（2）标准大气压下，水沸腾的温度.（3）在一次比赛中，设一二三等奖，你的作品获得的奖次.（4）体积64立方米的正方体的棱长.（5）抛掷两次骰子,两次结果的和.（6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数.函数与随机变量的异同点：例2：下列变量中是离散型随机变量的________．(1)下期《星光大道》节目中冠军的人数；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(3)在泉州至福州的高速铁路线上，每隔50 m有一电线铁塔，从泉州至福州的高速铁路线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)福州市闽江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位．课堂练习1：（课本P45练习NO：1）课堂练习2：1、袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为ξ，则ξ所有可能值的个数是____ 个；{ }表示．2、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问:(1) {ξ>4}表示的试验结果是什么? (2) P (ξ>4)=?3、写出下列各随机变量可能的取值.（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数ξ．（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数ξ．（3）抛掷两个骰子，所得点数之和ξ．（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数ξ．4、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；5、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为ξ；(2)某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；(3)一天内的温度为ξ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分。

人教版选修2-3 第二章离散型随机变量及其分布列同步教案

离散型随机变量及其分布列辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修2-3 第二章离散型随机变量及其分布列同步教案教学目标知识目标：理解离散型随机变量的概念，并会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

能力目标：通过对离散型随机变量的学习认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受学习的乐趣。

教学重点与难点离散型随机变量的分布列的概念及求法。

教学过程（一）离散型随机变量知识梳理1．离散型随机变量的定义如果对于试验的样本空间中的每一个样本点，变量都有一个确定的实数值与之对应，则变量是样本点的实函数，记作．我们称这样的变量为随机变量．若随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量。

2．离散型随机变量的表示方法离散型随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示．例题精讲【题型一、随机变量的表示方法】【例1】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η【方法技巧】随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示，对于离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出。

【题型二、随机变量的表示意义】【例2】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？【方法技巧】在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．【题型三、随机变量应用题】【例3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【方法技巧】若ξ是随机变量，baba,,+=ξη是常数，则η也是随机变量巩固训练1．随机变量为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数，求的可能取值2.某射手有五发子弹，射一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求随机变量的可能取值3.随机变量X 是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y 是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站 1小时内的旅客流动人数.这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( )A ．只有X 和ξB ．只有YC ．只有Y 和ξD ．只有ξ（二）离散型随机变量的分布列知识梳理 1．分布列设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为()i iP x p ξ==，则称表ξ x1 x2 … xi …[来源:P P1[来源:] P2 … Pi …为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 .2．分布列的两个性质任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P1+P2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ .【方法技巧】一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k mC --===其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列X1…mP0nM N Mn N C C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．【题型三、互斥事件的概率】【例3】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【方法技巧】 “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．。

人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案离散型随机变量

2.1.1 离散型随机变量学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系．知识点一随机变量思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？思考2 在一块地里种10棵树苗，棵数为x ，则x 可取哪些数字？梳理随机变量(1)定义(2)表示表示—⎪⎪⎪⎪随机变量常用大写字母表示—也可以用希腊字母ξ，η，…表示知识点二离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能____________，则称X为离散型随机变量．知识点三随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种映射区别随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域类型一随机变量的概念例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．反思与感悟随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．跟踪训练1掷均匀硬币一次，随机变量为()A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和类型二离散型随机变量的判定例2下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④C．①③D．②④反思与感悟“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．(2)由条件求解随机变量的值域．(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．跟踪训练2下列不是离散型随机变量的是()A．掷一枚骰子出现的点数B．投篮一次的结果C．某同学在12：00到12：30到校的时刻D．从含有10件合格品、10件次品共20件产品中任取3件，其中的合格品件数类型三用随机变量表示随机试验的结果例3写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.引申探究例3(2)中，若将“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．1．下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3．下列叙述中，是离散型随机变量的为()A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．5．甲、乙两队队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．答案精析问题导学知识点一思考1可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．思考2x＝0,1,2,3， (10)梳理(1)变量X试验的结果随机变量(2)X，Y，…知识点二一一列举出来题型探究例1解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，因此是随机变量．跟踪训练1B例2C跟踪训练2C例3解(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4；X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.引申探究解X＝1表示取出的球的编号为1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5或1,4,5.X＝2表示取出的球的编号为2,3,4；2,3,5；2,4,5.X＝3表示取出的球的编号为3,4,5.跟踪训练3解(1)ξ可取0,1,2,3，ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.175．解根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．。

人教版高中数学选修2-3教案：2.1.2离散型随机变量的分布列

2． 1．2离散型随机变量的分布列【教学目标】1. 知道概率分布列的概念。

2. 掌握两点分布和超几何分布的概念。

3. 回求简单的离散型随机分布列。

【教学重难点】教学重点：概率分布列的概念；教学难点：两点分布和超几何分布的概。

【教学过程】一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:若是随机变量，是常数，则也是随机变量. 并且不改变其属性（离散型、连续型） .请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表 x i P为随机变量2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 .即 .3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令如果针尖向上的概率为，试写出随机变量 X 的分布列．ξb a b a ,,+=ξηη()i i P x p ξ==1)(0≤≤A P ⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.p解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称=P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．，，，．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为。

高中人教A数学选修2-3学案：2.1.1 离散型随机变量含答案

第二章随机变量及其分布2019年射箭世锦赛在荷兰赫托根博什举行，一次射箭成功击中十环的可能性究竟有多大？你买过福利彩票吗，七乐彩30个号码选7个，7个全中的机会有多大？在我们的周围现实世界中存在着大量的随机现象，随机现象的不确定性和大量重复试验中的统计规律性就是本章我们重点学习的内容．学习本章要注意体会随机现象的统计规律性和随机模拟思想，体会概率模型的作用和概率思想的基本特征．2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量自主预习·探新知情景引入在2020年射击世界杯北京站射击比赛中，统计某运动员的射击结果知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环，8环，9环，10环的概率依次成等差数列．你知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？新知导学1．一个试验如果满足下列条件：(1)试验可以在相同的情形下__重复__进行；(2)试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不只一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的__一个__，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随着__试验结果__变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示．3．__所有取值可以一一列出__的随机变量，称为离散型随机变量．预习自测1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(B)A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…[解析]依题意知最多取7次一定能取到白球，故选B．2．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(B)A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位HC．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X[解析]水位在(0,18]内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量，故选B．3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是__{6,3,0，－3}__．[解析]三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值构成的集合为{6,3,0，－3}．4．某次产品的检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取5件，设其中含有次品的件数为X，求X的可能取值及其意义．[解析]含有次品件数是0件、1件、2件、3件、4件、5件．所以X的取值范围为{0,1,2,3,4,5}．X＝0表示抽取的5件产品中含有0件次品，X＝1表示抽取的5件产品中含有1件次品，X＝2表示抽取的5件产品中含有2件次品，X＝3表示抽取的5件产品中含有3件次品，X＝4表示抽取的5件产品中含有4件次品，X＝5表示抽取的5件产品中含有5件次品．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶随机变量的概念典例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．[解析](1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．『规律总结』(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．┃┃跟踪练习1__■指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(4)某个人的属相随年龄的变化．[解析](1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．命题方向❷随机变量的判定典例2(2020·山东泰安第一中学检测)有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是(C)A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②④[思路分析]判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．[解析]随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．『规律总结』判断一个变量是否为离散型随机变量的步骤(1)根据题意分析变量是否为随机变量．(2)求随机变量的值域．(3)判断变量的取值能否按一定顺序列举出来，若能，则是离散型随机变量．┃┃跟踪练习2__■指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)小明回答20道选择题，答对的题数；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(4)武汉市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X．[解析](1)小明回答的题数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．学科核心素养离散型随机变量的取值典例3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X．[思路分析]明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果．[解析](1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．『规律总结』因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此要准确写出随机变量的所有取值，就必须弄清楚所有试验的结果．还要注意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果．┃┃跟踪练习3__■写出下列随机变量ξ的所有可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ．[解析](1)ξ的所有可能取值为2,3，4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．易混易错警示离散型随机变量的可能取值搞错致误典例4小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．[错解]X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．X＝0表示一关没过；X＝1 000表示只过第一关；X＝3 000表示只过第二关；X＝6 000表示只过第三关．[辨析]①对题目背景理解不准确：比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6 000元．[正解]X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．X＝0表示“第一关就没有通过”；X＝1 000表示“第一关通过，而第二关没有通过”；X＝3 000表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；X＝6 000表示“三关都通过”．[误区警示]理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能取值是本章学习的重要基本功．课堂达标·固基础1．下列变量中，不是随机变量的是(B)A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数[解析]标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B．2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为(A)A．0B．1C．2D．3[解析]由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X 不可能取0.故选A．3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__300,100，－100，－300__．[解析]可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．4．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是__前3次未击中目标，第4次击中目标__．[解析]由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k －1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．5．同时掷两枚质地均匀的硬币．(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？(2)X<2和X>0各表示什么？[解析](1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．。

数学人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案(2.2.1条件概率)

2．2．1条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。

过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 ()3 P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =. 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅.并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+U .更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=Y 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω. (2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω. (3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===. 例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A =U 表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。

人教版选修2 3第二章离散型随机变量教案(2.3.2离散型随机变量的

人教版选修2 3第二章离散型随机变量教案（2.3.2离散型随机变量的人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案（2.3.2离散型随机变量的2.3.2离散随机变量的方差教学目标：知识和技能：了解离散随机变量的方差和标准差的意义，能够根据离散随机变量的分布列计算方差或标准差。

2过程和方法：了解方差公式“d（aξ+b）=adξ”和“如果”ξ～β（n，P），则dξ=NP（1-P）”，并将使用上述公式计算相关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散随机变量的方差和标准差教学难点：比较两个随机变量的期望值和方差，解决实际问题。

教具准备：多媒体和物理投影仪。

2教学假设：理解方差公式“d（aξ+b）=adξ”和“如果”ξ～β（n，P），那么dξ=np（1―P）”并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

课程类型：新课程安排：2学时教具：多媒体、物理投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据方差的概念：在一组数据x1，X2，。

，xn，每个数据和它们的平均值之间的差值x的平方是（x1？x）2，（x2？x）2，。

，（xn？X）2，然后是s？21[（x1？x）2＋n（x2？x）2＋…＋（xn？x）2]叫做这组数据的方差教学过程：一、回顾介绍：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.分布列:x2...xi...pp2...pi...6.分布列的两个性质：⑴pi≥0，i＝1，2，...；⑵p1+p2+ (1)ξx1p1kkn？k7。

人教版高中数学选修(2-3)-2.3《离散型随机变量的均值》参考教案3

离散型随机变量的均值一、基本说明1、教学内容所属模块：普通高中课程标准试验教科书《数学选修2－3》2、年级：高二3、所用教材出版单位：人民教育出版社(A版)4、所属的章节：第二章《随机变量及其分布》2.3《随机变量的均值与方差》5、学时数：45分钟二、教学设计1、教学目标：知识与技能：了解加权平均的意义，理解离散型随机变量的均值（期望）的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望。

理解公式“E（aξ+b）=a Eξ+b”以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值（期望）。

过程与方法：经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。

情感、态度与价值观：通过创设情境激发学生学习数学的情感，在学生分析问题，解决问题的过程中培养其积极探索的精神，并感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。

2、内容分析：本节内容是离散型随机变量的均值（期望），是在前面学习完离散型随机变量的分布列的基础上进行研究的，同时又为下一节要研究的离散型随机变量的方差奠定基础，在知识上起到了承前启后的作用.本节课学习过程中，注意要培养学生总结归纳两种求均值的方法：定义法和公式法（两点分布和二项分布），并会简单的应用，体会由特殊到一般的思想方法。

教学重点：（1）离散型随机变量的均值（数学期望）的理解及其计算；（2）两点分布及二项分布的均值计算公式及其应用。

教学难点：（1）离散型随机变量的均值（数学期望）的理解；（2）二项分布均值公式的证明。

3、学情分析：学生在《数学必修3》，已熟知了一组数据的平均数的求法及意义，还会根据频率分布直方图估计样本数据的平均值。

有了这些知识做铺垫，学生要理解离散型随机变量的均值还是不难的。

教材以形象的混合糖果的定价问题的解释为例，引出了离散型随机变量的均值的定义，其中涉及到了“加权平均”，根据我的学生的知识水平，对于加权平均数理解存在问题，故在教学中应该加以注意。

高中数学选修2-3优质学案8：2.1.1 离散型随机变量

2.1.1 离散型随机变量预习导引1．随机变量(1)定义：随着________变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示法：随机变量常用字母____________表示．预习交流1随机变量与函数有何区别与联系？2．离散型随机变量所有取值可以________的随机变量，称为离散型随机变量．预习交流2(1)离散型随机变量有什么特点？(2)下列不是离散型随机变量的是()．A．某水站观察到一天中长江的水位B．某立交桥一天经过的车辆数C．110报警中心一天内接到的报警电话个数D．从编号为1,2,3,4的卡片中任取一张，取出的卡号课堂探究问题导学一、随机变量的概念活动与探究1判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球半径长．思路分析：判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．迁移与应用将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为()．A．第一次出现的点数B．第二次出现的点数C．两次出现的点数之和D．两次出现相同点的种数名师指导在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源．二、离散型随机变量的判定活动与探究2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)一天内气温的变化值X；(4)丁俊辉在2012世锦赛中每局所得的分数X.思路分析：看一个变量是否为离散型随机变量时，首先明确是否是随机变量，再看变量的取值是否一一列出．迁移与应用下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________．①某地车展中，预订各类汽车的总人数X；②北京故宫某周内每天接待的游客人数；③正弦曲线上的点P到x轴的距离X；④小麦的亩产量X；⑤王老师在一次英语课上提问的学生人数X.名师指导判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．三、离散型随机变量的取值活动与探究3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)在2013年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X.思路分析：明确随机变量X的意义，写出X的所有取值及每个值对应的试验结果，要列举全面．迁移与应用抛掷两枚骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()．A．一枚是3点，一枚是1点B．两枚都是2点C．两枚都是4点D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点名师指导解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．当堂检测1．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的是()．A．1 B．2 C．3 D．42．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()．A．5 B．9 C．10 D．253．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为()．A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．前4次均击中目标4．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人，用0,1,2,3分别表示O型，A型，B型，AB型，现任抽一人，其血型是随机变量ξ，则ξ的可能取值为__________．5．下列随机变量中是离散型随机变量的有__________．①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5公斤以上的条数X；②直线y＝x上的整点个数X；③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X.——★参考答案★——预习导引1．(1)试验结果(2)X，Y，ξ，η，…预习交流1：提示：联系：两者均是特殊的映射．区别：随机变量把试验的结果映射为实数，而函数是把一个非空数集映射到另一个非空数集上．2．一一列出预习交流2：(1)提示：①随机变量的取值能一一列出，这是判定随机变量是否为离散型随机变量的关键．②离散型随机变量的取值可以是有限个，如取值1,2,3，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….(2)提示：A课堂探究问题导学活动与探究1：解：(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．迁移与应用：[[答案]]C[[解析]]A，B，D中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量．活动与探究2：解：(1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．(4)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．迁移与应用：[[答案]]③④[[解析]]③中X的值在[－1,1]内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量；④中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．①②⑤是离散型随机变量．活动与探究3：解：(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i，表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)X可取0,1,2.X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.(3)X可取3,4,5.X＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. 迁移与应用：[[答案]]D当堂检测1．[[答案]]C[[解析]]①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．2．[[答案]]B[[解析]]X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．故选B.3．[[答案]]C4．[[答案]]0,1,2,35．[[答案]]①②④[[解析]]③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X可以一一列举，且②中的X是无限的．。

人教版高中数学选修2-3教学案：2.1.1离散型随机变量

2． 1． 1失散型随机变量预习课本P44～ 45，思虑并达成以下问题1．随机变量和失散型随机变量的观点是什么？随机变量是怎样表示的？2．随机变量与函数的关系？[新知初探 ]1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，跟着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母 X， Y，ξ，η等表示．2．失散型随机变量假如随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为失散型随机变量．3．随机变量和函数的关系随机变量和函数都是一种映照，随机变量把随机试验的结果映照为实数，函数把实数映照为实数．在这两种映照之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．[小试身手 ]1．判断以下命题能否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 随机变量的取值能够是有限个，也能够是无穷个．(2) 手机电池的使用寿命X 是离数型随机变量．(答案： (1) √ (2) ×)()2．以下变量中，是失散型随机变量的是()A．到 2016 年 5 月 1 日止，我国被确诊的爱滋病人数B．一只刚出生的大熊猫，一年此后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10 次，可能投中的次数答案： D3．袋中有大小相同的红球6 个，白球 5 个，从袋中无放回的条件下每次随意拿出一个球，直到拿出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则 X 的可能取值为()A． 1,2，⋯， 6B． 1,2，⋯，7C． 1,2，⋯， 11D． 1,2,3，⋯答案： B4．在考中，需回答三个，考定：每回答正确得100 分，回答不正确得－ 100 分，名同学回答三个的得分ξ的所有可能取是________．答案： 300, 100, － 100,－ 300随机量的观点[典例 ] (1) 抛一枚平均硬一次，随机量A．抛硬的次数B．出正面的次数C．出正面或反面的次数D．出正面和反面的次数之和(2)6 件品中有 2 件次品， 4 件正品，从中任取()1 件，能够作随机量的是()A．取到的品个数B．取到的正品个数C．取到正品的概率D．取到次品的概率[解 ](1)抛一枚硬一次，可能出的果是正面向上或反面向上．以某一个准，如正面向上的次数来描绘一随机，那么正面向上的次数就是随机量ξ，ξ的取是0,1，故B．而 A 中抛次数就是1，不是随机量； C 中准不明； D 中，出正面和反面的次数之和必定事件，前便知是必定出的果，也不是随机量．(2) 由随机量的定知，随机量是随机的果，清除 C 、 D，又取到的品个数是一个确立，清除 A ．故 B ．[答案 ](1)B(2)B判断一个是不是随机，依照是个能否足随机的三个条件，即(1)在相同条件下能否可重复行；(2)的所有可能的果是不是明确的，并且的果不只一个；(3)每次的果恰巧是一个，并且在一次前没法知出哪个果．[活学活用 ]指出以下哪些是随机量，哪些不是随机量，并明原因：(1)某人射一次命中的数；(2)一枚地平均的骰子，出的点数；(3)某个人的属相随年的化．解： (1)某人射一次，可能命中的所有数是0,1，⋯，10，并且出哪一个果是随机的，所以命中的数是随机量．(2)一枚骰子，出的果是 1 点， 2 点， 3 点， 4 点， 5 点， 6 点中的一个且出哪一个果是随机的，所以出的点数是随机量．(3)一个人的属相在他出生就确立了，不随年的化而化，所以属相不是随机量．失散型随机量的判断[典例 ]指出以下随机量是不是失散型随机量，并明原因．(1)湖南矮寨大面一每隔 30 米有一路灯，将所有路灯行号，此中某一路灯的号 X；(2) 在一次数学中，一、二、三等，小明同学参加得的次X；(3)丁俊在 2016 年世中每局所得的分数．[解 ] (1)面上的路灯是可数的，号X 能够一一列出，是失散型随机量．(2)小明等次 X 能够一一列出，是失散型随机量．(3)每局所得的分数 X 能够一一列出来，是失散型随机量．判断失散型随机量的方法(1)明确随机的所有可能果．(2)将随机的果数目化．(3)确立果所的数能否能够一一列出，如能一一列出，随机量是失散型随机量，否不是．[活学活用 ]以下随机量中不是失散型随机量的是________(填序号 )．①广州白云机候机室中一天的游客数目X；②广州某水文站察到一天中珠江的水位X；③某工厂加工的某种管，外径与定的外径尺寸之差X；④虎大一天的数X．分析：①④中的随机量X 的所有取，我都能够依照必定的序次一一列出，所以它是失散型随机量，②中的随机量X 能够取某一区内的全部，但没法按必定次序一一列出，故不是失散型随机量．③中X 的取某一范内的数，没法所有列出，不是失散型随机量，故不是失散型随机量．答案：②③用随机量表示的果[典例 ]写出以下随机量可能取的，并明些所表示的随机的果．(1) 袋中有大小相同的球10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，取后不放回，直到拿出的球是白球止，所需要的取球次数．(2) 从有数字 1,2,3,4,5,6的 6 卡片中任取 2 ，所取卡片上的数字之和．[解 ](1)所需的取球次数X,X＝ 1,2,3,4，⋯， 10,11， X ＝ i 表示前 (i－ 1)次取到的均是球，第 i 次取到白球，里 i＝ 1,2,3,4，⋯， 11．(2) 所取卡片上的数字之和X,X＝ 3,4,5，⋯， 11．X＝ 3,表示“拿出有1,2的两卡片”；X＝ 4,表示“拿出有1,3的两卡片”；X＝ 5,表示“拿出有2,3或 1,4 的两卡片”；X＝ 6,表示“拿出有2,4或 1,5 的两卡片”；X＝ 7,表示“拿出有3,4或 2,5 或 1,6 的两卡片”；X＝ 8,表示“拿出有2,6或 3,5 的两卡片”；X＝ 9,表示“拿出有3,6或 4,5 的两卡片”；X＝ 10, 表示“拿出有4,6 的两卡片”；X＝ 11, 表示“拿出有5,6 的两卡片”．[一多 ]1．[条件 ]若本例 (2)中条件不，所取卡片上的数字之差的随机量ξ，ξ有哪些取？此中ξ＝ 4 表示什么含？解：ξ的所有可能取有：1,2,3,4,5．ξ＝ 4 表示“拿出有 1,5 或 2,6 的两卡片”．2．[条件，法 ]甲、乙两行球打比，定采纳“七局四制”，用X 表示需要比的局数，写出X 所有可能的取，并写出表示的果．解：依据意可知X 的可能取4,5,6,7．X＝ 4 表示共打了 4 局，甲、乙两人有 1 人 4 局．X＝ 5 表示在前 4 局中有 1 人了一局，最后一局这人出．X＝ 6 表示在前 5 局中有 1 人了 2 局，最后一局这人出．X＝ 7 表示在前 6 局中，两人打平，后一局有 1 人出．解答用随机量表示随机的果的关点和注意点(1)关点：解决此的关是明确随机量的所有可能取，以及取每一个应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要遗漏某些试验结果．层级一学业水平达标1．给出以下四个命题：①15 秒内，经过某十字路口的汽车的数目是随机变量；②解答高考数学乙卷的时间是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口散场的人数是随机变量．此中正确的个数是()A． 1B． 2C． 3D． 4分析：选D由随机变量的观点能够直接判断①②③④都是正确的．2．随机变量 X 是某城市 1 天之中发生的火警次数，随机变量 Y 是某城市 1 天以内的温度．随机变量ξ是某火车站 1 小时内的游客流感人数．这三个随机变量中不是失散型随机变量的是 ()A． X 和ξB．只有 YC． Y 和ξD．只有ξ分析：选 B某城市1天以内的温度不可以一一列举，故不是失散型随机变量，应选B．3．投掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()A．两颗都是 2 点B．一颗是 3 点，另一颗是 1 点C．两颗都是 4 点D．一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点分析：选 Dξ＝4表示两颗骰子的点数和为4．4．袋中有大小相同的 5 个钢球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码．在有放回地抽取条件下挨次拿出 2 个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是() A． 25B． 10C． 9D． 5分析：选C第一次可取1,2,3,4,5中的随意一个，因为是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10．应选C ．5．对一批产品逐一进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝ k 表示的试验结果为()A．第 k－ 1 次检测到正品，而第k 次检测到次品B．第 k 次检测到正品，而第k＋ 1 次检测到次品C．前 k－ 1 次检测到正品，而第k 次检测到次品D．前 k 次检测到正品，而第k＋ 1 次检测到次品分析：选 D ξ就是检测到次品前正品的个数，ξ＝ k 表示前 k 次检测到的都是正品，第k＋ 1 次检测到的是次品．1，记甲击中目标的次数为X，则 X 的可能6．甲进行 3 次射击，甲击中目标的概率为2取值为 ________．分析：甲可能在 3 次射击中，一次未中，也可能中1次，2次，3次．答案： 0,1,2,37．在 8 件产品中，有 3 件次品， 5 件正品，从中任取 3 件，记次品的件数为ξ，则{ξ<2}表示的试验结果是 ________．分析：应分ξ＝ 0和ξ＝ 1 两类．ξ＝ 0表示取到 3件正品；ξ＝ 1 表示取到 1 件次品、 2件正品．故 {ξ<2} 表示的试验结果为取到 1 件次品、 2 件正品或取到 3 件正品．答案：取到 1 件次品、 2 件正品或取到 3 件正品8．一袋中装有 6 个相同大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6．现从中随机拿出 3 个球，以ξ表示拿出的球的最大号码，用( x， y， z)表示拿出的三个球编号为x， y， z(x<y<z)，则ξ＝ 5表示的试验结果构成的集合是____________________________________________________ ．分析：从 6 个球中选出 3 个球，此中有一个是 5 号球，其他的 2 个球是 1,2,3,4 号球中的随意 2 个．∴试验结果组成的会合是{(1,2,5) ， (1,3,5) ， (1,4,5) ， (2,3,5) ， (2,4,5) ， (3,4,5)} ．答案： {(1,2,5) ， (1,3,5) ， (1,4,5)， (2,3,5) ， (2,4,5) ， (3,4,5)}9．某车间三天内每日生产10 件某产品，此中第一天，次日分别生产了 1 件次品、2件次品，而质检部门每日要在生产的10 件产品中随机抽取 4 件进行检查，若发现有次品，则当日的产品不可以经过．若厂内对车间生产的产品采纳记分制，两天全不经过检查得0 分，经过一天、两天赋别得 1 分、 2 分，设该车间在这两天内得分为ξ，写出ξ的可能取值．解：ξ的可能取值为0,1,2．ξ＝ 0 表示在两天检查中均发现了次品．ξ＝ 1 表示在两天检查中有 1 天没有检查到次品， 1 天检查到了次品．ξ＝ 2 表示在两天检查中没有发现次品．10．已知在10 件产品中有 2 件不合格品，现从这10 件产品中任取 3 件，这是一个随机现象．(1)写出随机象所有可能出的果．(2)用随机量来描绘上述果．解： (1)从10 件品中任取 3 件，所有可能出的果是：“不含不合格品”“恰有 1 件不合格品”“恰有 2 件不合格品”．(2) 令 X 表示拿出的 3 件品中的不合格品数． X 所有可能的取取 3 件品所有可能出的果．即“X ＝ 0”表示“不含不合格品”；0,1,2，着任“X ＝ 1”表示“恰有 1 件不合格品”；“X ＝ 2”表示“恰有 2 件不合格品”．二能力达1．①某亭内的一部 1 小内使用的次数②某人射 2 次，中目的数之和X；③ 量一批阻，阻在950 Ω～ 1 200 Ω之；X；④一个在数上随机运的点，它在数上的地点X ．此中是失散型随机量的是 ()A．①②B．①③C．①④D．①②④分析：A①②中量X 所有可能取是能够一一列出来的，是失散型随机量，而③④中的果不可以一一列出，故不是失散型随机量．2．抛两枚骰子，第一枚骰子出的点数与第二枚骰子出的点数之差ξ，“ξ>4”表示的果是()A．第一枚 6 点，第二枚 2 点B．第一枚 5 点，第二枚 1 点C．第一枚 2 点，第二枚 6 点D．第一枚 6 点，第二枚 1 点分析：D只有D 中的点数差6－ 1＝ 5>4，其他均不是，D．3．袋中装有10 个球， 5 个黑球，每次随机抽取一个球，若获得黑球，另一个球放回袋中，直到取到球止，若抽取的次数X，表示“放回 5 个球”的事件() A．X＝ 4B．X＝5C．X＝ 6D．X≤4分析：C第一次取到黑球，放回 1 个球，第二次取到黑球，共放回2个球⋯，共放了五回，第六次取到了球，止，故X＝ 6．4．袋中有大小相同的 5 个球，分有球号之和y， y 所有可能的个数是(1,2,3,4,5 五个号，随意抽取)2 个球， 2 个A． 25B． 10C． 7D． 6分析：C∵y 表示拿出的 2 个球的号之和，又1＋ 2＝ 3,1＋ 3＝ 4,1＋ 4＝ 5,1＋ 5＝6,2＋ 3＝ 5,2＋ 4＝ 6,2＋ 5＝ 7,3＋ 4＝ 7,3＋ 5＝ 8,4＋ 5＝ 9，故 y 的所有可能取3,4,5,6,7,8,9 ，共 7个．5．一串匙有 5 把，只有一把能翻开，挨次，打不开的抛弃，直到找到能开的匙止，次数X 的最大可能________．分析：由意可知X 取最大只剩下一把匙，但此未翻开，故次数4．答案： 46．一用在打忘了号的最后四位数字，只得最后四位数字两两不一样，且都大于 5，于是他随机最后四位数字(两两不一样 )，他到所要号共的次数ξ，随机量ξ的所有可能取的种数________．分析：因为后四位数字两两不一样，且都大于5，所以只好是6,7,8,9 四位数字的不一样排4答案： 247．写出以下随机量可能取的，并明随机量所取的表示的随机的果．(1) 一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，此中所含白球的个数ξ；(2) 抛甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y．解： (1)ξ可取 0,1,2．ξ＝ i，表示拿出的 3 个球中有i 个白球，3－ i 个黑球，此中i＝ 0,1,2．(2) Y 的可能取2,3,4 ，⋯， 12．若以 (i， j)表示抛甲、乙两枚骰子后骰子甲得i 点且骰子乙得j 点， {Y＝ 2}表示 (1,1)；{Y＝ 3}表示 (1,2)，(2,1)；{Y＝ 4}表示 (1,3) ，(2,2)，(3,1)；⋯；{Y＝ 12}表示 (6,6)．8．写出以下随机量可能的取，并明随机量所表示的随机的果．在一个盒子中，放有号分 1,2,3 的三卡片，从个盒子中，有放回地先后抽得两卡片的号分 x， y，ξ＝ |x－ 2|＋ |y－ x|．解：因 x， y 可能取的1,2,3，所以 0≤|x－ 2|≤1,0≤|x－ y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取0,1,2,3，用 (x， y)表示第一次抽到卡片号x，第二次抽到卡片号y，随机量ξ取各的意：ξ＝ 0 表示两次抽到卡片号都是2，即 (2,2)．ξ＝ 1 表示 (1,1) ， (2,1)， (2,3)， (3,3)．ξ＝ 2 表示 (1,2) ， (3,2)．ξ＝ 3 表示 (1,3) ， (3,1)．。

人教B版高中数学高二选修2-3学案离散型随机变量

2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系.(易混点)3.会用离散型随机变量描述随机现象.(难点)教材整理离散型随机变量阅读教材P40练习以上部分，完成下列问题.1.随机变量(1)定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.(2)表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示.2.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量.()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量.()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值.()(5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值.()【解析】(1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个.(2)√因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.(3)√因为由随机变量的定义可知，该说法正确.(4)√因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确.(5)√因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个.【答案】(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长.【精彩点拨】利用随机变量的定义判断.【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量.(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量.随机变量的辨析方法1.随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.2.随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量.1.(1)下列变量中，不是随机变量的是()A.一射击手射击一次命中的环数B.标准状态下，水沸腾时的温度C.抛掷两枚骰子，所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率【解析】(1)B中水沸腾时的温度是一个确定值.(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.【答案】(1)B(2)C离散型随机变量的判定指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【精彩点拨】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【自主解答】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量.(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量.(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举.“三步法”判定离散型随机变量1.依据具体情境分析变量是否为随机变量.2.由条件求解随机变量的值域.3.判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量.2.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.【导学号：62980032】(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.【解】(1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球，2个黑球取得2个白球，1个黑球取得3个白球(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量.随机变量的可能取值及试验结果探究1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果.这种试验结果能用数字表示吗？【提示】可以.用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.探究2在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？【提示】X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.探究3抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？【提示】“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.【精彩点拨】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”.用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点1.关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.2.注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.3.写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示.【解】(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标.1.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的.故选D.【答案】 D2.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是()A第5次击中目标B.第5次未击中目标C.前4次均未击中目标D.第4次击中目标【解析】 {ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.【答案】 C3.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是________.【导学号：62980033】【解析】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个.故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种.【答案】 94.甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________.【解析】甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次.【答案】 0,1,2,35.写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，取出的球的编号为X ；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X .【解】 (1)X 的可能取值为1,2,3， (10)X ＝k (k ＝1,2，…，10)表示取出第k 号球.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4.X ＝k 表示取出k 个红球，4－k 个白球，其中k ＝0,1,2,3,4.(3)X 的可能取值为2,4,6,8,10,12.X ＝2表示(1,1)；X ＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X ＝12表示(6,6).X 的可能取值为2,4,6,8,10,12.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A.两次掷得的点数B.两次掷得的点数之和C.两次掷得的最大点数D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差【解析】两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数.【答案】 A2.一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为()A.6B.5C.4D.2【解析】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.【答案】 B3.抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是()A.一枚是3点，一枚是1点B.两枚都是2点C.两枚都是4点D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点【解析】ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点.【答案】 D4.抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为()A.0≤X≤5，X∈NB.－5≤X≤0，X∈ZC.1≤X≤6，X∈ND.－5≤X≤5，X∈Z【解析】两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z).【答案】 D5.袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为()A.X＝4B.X＝5C.X＝6D.X≤4【解析】第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.【答案】 C二、填空题6.(2016·广州高二检测)下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号).①某宾馆每天入住的旅客数量是X；②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数是X.【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.【答案】②7.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________.【解析】可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分.【答案】300,100，－100，－3008.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个.【解析】后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A34＝24(个).【答案】24三、解答题9.盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出{ξ＝1}所表示的事件.【解】(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品.10.某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量.(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果.【解】(1)ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次.(2)η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分.1.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A.20B.24C.4D.18【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A44＝24种.【答案】 B2.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()【导学号：62980034】A.1,2,3，…，6B.1,2,3，…，7C.0,1,2，…，5D.1,2，…，5【解析】由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.【答案】 B高中数学-打印版3.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种.【解析】{ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C12·C35＝20种.【答案】204.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值，并说明这些值所表示的试验结果.【解】ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.“ξ＝0”表示第1盏信号灯就停下；“ξ＝1”表示通过了1盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；“ξ＝2”表示通过了2盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；“ξ＝3”表示通过了3盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；“ξ＝4”表示通过了4盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.校对打印版。

人教新课标版数学高二人教B版选修2-3学案离散型随机变量的分布列

2．1.2 离散型随机变量的分布列[对应学生用书P21]离散型随机变量的分布列1．投掷一颗骰子，所得点数为X . 问题1：X 可取哪些数字？提示：X ＝1,2,3,4,5,6问题2：X 取不同的值时，其概率分别是多少？提示：都等于16.2．一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码．问题3：随机变量X 的可能取值是什么？提示：X ＝3,4,5.问题4：试求X 取不同值的概率分别是什么？提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？提示：可表示为：X 3 4 5 P1103106101．分布列的定义设离散型随机变量X 所有可能取的值为x 1，x 2，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率p 1，p 2…，p n 则称表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n为离散型随机变量X 的概率分布列． 2．分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； (2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.二点分布战士打靶比赛命中得2分，不中得0分，命中概率为0.6. 问题1若用“X ”表示“打靶得分”，X 可能取哪些值？提示：0,2问题2：打靶得分的分布列是什么？提示：X 2 0 P0.60.4二点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0 Ppq其中0<p <1，q ＝1－p ，则称X 服从参数为p 的二点分布．1．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．由于随机变量的各个取值之间彼此互斥，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[对应学生用书P22]分布列及其性质的应用设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ia (i ＝1,2,3,4)，求：(1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率．(1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，∴a ＝10，则P (X ＝1或X ＝2) ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)由a ＝10，可得P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .1．若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P4a －13a 2＋a求常数a 解：由分布列的性质可知 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤4a －1≤1，0≤3a 2＋a ≤1，4a －1＋3a 2＋a ＝1，解得a ＝13.随机变量X 的分布列为X 0 1 P13232.某射手射击所得环数X X45678910P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22求此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率．解：根据射手射击所得的环数X 的分布列，有P (X ＝7)＝0.09，P (X ＝8)＝0.28，P (X ＝9)＝0.29，P (X ＝10)＝0.22. 所求的概率为P (X ≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.二点分布问题袋内有10个白球、5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红.求X 的分布列．X 只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X ＝0的概率，然后根据二点分布的特点求出X ＝1的概率，最后列成表格的形式即可．由题设可知X 服从二点分布， P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，∴P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1－221＝1921.∴X 的分布列为X 0 1 P2211921注意二点分布的几个特点：(1)二点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)二点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由对立事件的概率公式可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X 来描述次品出现的情况，即X ＝0表示产品为合格品，X ＝1表示产品为次品，则X 的分布列为X 0 1 P解析：X ＝0表示取到一个合格品，概率为95%；X ＝1表示取到一个次品，概率为5%.答案：0.95 0.054．若随机变量X 只能取两个值0,1，又知X 取0的概率是取1的概率的3倍，写出X 的分布列．解：由题意及分布列满足的条件知P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝3P (X ＝1)＋P (X ＝1)＝1，所以P (X ＝1)＝14，故P (X ＝0)＝34.所以X 的分布列为X 0 1 P3414求离散型随机变量的分布列 (10分)放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．要写出随机变量X 的分布列，首先要列出X 所有可能的取值，其次要确定X 的每一个取值所对应的概率，最后才能写出随机变量X 的分布列．设黄球有n 个，则由题意知绿球有2n 个，红球有4n 个，球的总数为7n 个．X 的可能取值为－1,0,1.P (X ＝－1)＝2n 7n ＝27，(4分) P (X ＝0)＝n 7n ＝17，(6分) P (X ＝1)＝4n 7n ＝47.(8分)所以从该盒中取出一球所得分数X 的分布列为X －1 0 1 P27 17 47(10分)求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； (2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；(3)按规范形式写出分布列．5．某商场经销某种商品，根据以往材料统计，顾客采用的分期付款期数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.13期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，Y 表示经销一件该商品的利润．求Y 的分布列．解：依题意，得Y 的可能取值为200,250,300，则P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，所以随机变量Y 的分布列为Y 200 250 300 P0.40.40.26．某班有学生4512人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列．解：将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4，则X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 110C 145＝29，P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845，P (X ＝4)＝C 115C 145＝13.故其分布列为X 1 2 3 4 P2941584513求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：(1)确定离散型随机变量X 的分布列的关键是要搞清X 取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X 取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X 的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．[对应课时跟踪训练(十)]1．若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P2a3a则a ＝( )A.12 B.13C.15D.110解析：由分布列的性质可知2a ＋3a ＝1，解得a ＝15.答案：C2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52等于( ) A.12 B.19 C.16D.15解析：P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：D3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( )A.421 B.921C.621D.521解析：P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.答案：D4．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P23232233234235236237238239mA.239B.2310 C.139 D.1109解析：由分布列的性质∑i ＝1np i ＝1，得23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1，所以P (X ＝10)＝m ＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋233＋…＋239 ＝1－2×13⎝⎛⎭⎫1－1391－13＝139.答案：C5．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，随机变量X 的概率分布列如下：则x 1，x 2，x 3的值分别为________________．解析：X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1,0.6,0.36．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的分布列为由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 7．(重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.8．旅游公司为3个旅游团提供了甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．(1)求3个旅游团选择3条不同线路的概率； (2)求恰有2条线路没有被选择的概率； (3)求选择甲线路的旅游团个数X 的分布列．解：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为 P 1＝A 3443＝38.(2)恰有2条线路没有被选择的概率为P 2＝C 24C 23A 2243＝916. (3)由题意知，选择甲线路的旅游团个数X 的所有可能取值是0,1,2,3，于是P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764，P (X ＝2)＝C 23×3143＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164.所以X的分布列为。

2019-2020学年度最新人教B版高中数学-选修2-3教学案-离散型随机变量

2019-2020学年度最新人教B版高中数学-选修2-3教学案-离散型随机变量．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量[对应学生用书P19]问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为X，则X取什么数字？提示：X＝0,1,2,3 (10)1．随机变量的概念及其表示(1)定义：随着试验结果的不同而变化的变量称为随机变量．(2)表示：常用字母X，Y…等表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．1．对随机变量的认识：(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．2．离散型随机变量的特征：(1)可用数值表示；(2)试验之前可以判断其出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出．[对应学生用书P19][例1](1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数；(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长．[思路点拨]根据随机变量、离散型随机变量的定义判断．[精解详析](1)接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量．(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm，为定值，不是随机变量．[一点通]判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y() A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．可能是定值D．一定是离散型随机变量解析：若X是离散型随机变量，根据函数的性质，则Y必是离散型随机变量．答案：D2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析：A中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B、D也是一个定值．而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．答案：C[例2](1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X是一个随机变量．(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数Y是一个随机变量．[思路点拨]先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量的取值表示的事件．[精解详析](1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝0，表示“抽取0件次品”；X＝1，表示“抽取1件次品”；X＝2，表示“抽取2件次品”；X＝3，表示“抽取3件次品”；X＝4，表示“抽取4件次品”；(2)随机变量Y的可能取值为0,1,2,3.Y＝0，表示“取出0个白球，3个黑球”；Y＝1，表示“取出1个白球，2个黑球”；Y＝2，表示“取出2个白球，1个黑球”；Y＝3，表示“取出3个白球，0个黑球”．[一点通]解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些实验结果．3．抛掷两颗骰子，设所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是________．解析：抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6，而X 表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，所以X ＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2表示的随机试验结果是一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点．答案：一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以X 表示取出的球的最大号码，则“X ＝6”表示的试验结果是________．答案：(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X .(1)写出X 的所有可能取值；(2)写出X ＝1所表示的事件；(3)求X ＝1的概率．解：(1)X 可能取的值为0,1,2,3.(2)X ＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品．(3)P (X ＝1)＝3×912×11＝944.1．随机变量可将随机试验的结果数量化．2．随机变量与函数的异同点：一定次序一一列出．[对应课时跟踪训练(九)]1．下列变量中，不是随机变量的是( )A ．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两颗骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数解析：B中水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变量．答案：B2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是() A．5B．9C．10 D．25解析：两个球的号码之和可为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．答案：B3．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950～1 200 Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④解析：①②中变量X所有可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．答案：A4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标D．第4次击中目标解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C.答案：C5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．解析：X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．答案：176．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为X，则随机变量X的可能取值共有________个．解析：后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A34＝24种，故X的取值为1,2,3， (24)答案：247．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．解：X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.X＝0，表示第一关就没有通过；X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过；X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；X＝6 000，表示三关都通过．8．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X；(2)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.解：(1)X可能取值为1,2,3，…，10.X＝n表示第n次能打开房门．(2)因为x，y可能取的值为1,2,3，所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，所以0≤X≤3，所以X可能的取值为0,1,2,3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量X取各值的意义为：X＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)；X＝1表示(1,1)(2,1)(2,3)(3,3)；X＝2表示(1,2)(3,2)；X＝3表示(1,3)(3,1)．。

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秋季班讲义离散型随机变量题型一、对离散型随机变量及其分布列概念的理解【例1】下列随机变量中，不是离散随机变量的是（）A ．从10只编号的球（0号到9号）中任取一只，被取出的球的号码B ．抛掷两个骰子，所得的最大点数C ．[]0,10区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值D ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数【例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．【例3】抛掷两颗骰子,记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数之差为ξ,则”4ξ>“表示的试验结果是( )A ．第一颗6点,第二颗2点B ．第一颗5点,第二颗1点C ．第一颗1点,第二颗6点D ．第一颗6点,第二颗1点【例4】如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是（）A ．ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B ．ξ取所有可能值的概率之和为1；C ．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D ．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【例5】设随机变量X 的分布列是ξξξξ求（1）()1P X =；（2）()13P X <≤．【例6】设随机变量X 只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则()8P X >＝________．()614P X <≤＝________．【例7】若随机变量X 的分布列如下表，则x 等于（）A ．18B ．9C ．9D ．20题型二、两点分布【例8】在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下.，如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布．【例9】设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则()0P X =的值为________．题型三、超几何分布【例10】盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【例11】在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于46781015C C C 的是( )A ．()2P X =B ．()2P X ≤C ．()4P X =D ．()4P X ≤【例12】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X 的概率分布．【例13】某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求答对试题数ξ的概率分布．【例14】盒中的零件有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布．【例15】在15人的数学兴趣小组中，有5名三好学生,现从中任意选8人参加”希望杯”数学竞赛，一定有三好学生参加的概率为________．题型四、二项分布【例16】已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于．【例17】甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（）A ．827B ．6481C ．49D ．89【例18】从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例19】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（2）求中奖人数ξ的分布列.【练1】某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2 1.2m n +=，则2nm -的值为（）A ．0.2-B ．0.2C ．0.1D ．0.1-随堂练习【练2】设随机变量X的概率分布列为则(31P X-==________．【练3】某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，已知使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50名教师中随机选出2名，求这2名教师使用的版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设其中使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列．【练4】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列.课后作业【题1】甲､乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分);若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是__________．【题2】袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（）A．5 B．9 C．10 D．25【题3】设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数,则()0Pξ=的值为( )A．1 B．12 C．13D ．15【题4】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X的概率分布．【题5】一袋中装有编号为123456，，，，，的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．（1）求X的概率分布；（2）求4X>的概率．第二部分离散型随机变量的期望与方差题型一选择填空【例20】下面说法中正确的是( )A．离散型随机变量ξ的期望()Eξ反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差()Dξ反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望()Eξ)反映了ξ取值的平均水平Dξ反映了ξ取值的概率的平均值D．离散型随机变量ξ的方差()【例21】投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【例22】已知随机变量X的分布列为则()D XA．0B．0.8C．2 D．1【例23】随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若.3E ξ=则D ξ的值是．【例24】样本共有五个个体，其值分别为0123a ，，，，若该样本的均值为1,则样本方差为（）AＢ．65Ｄ．２【例25】某射手射击所得环数ξ的分布列如下:已知ξ的期望()E ξ=的值为________．题型二、综合题【例26】编号123，，的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X ． ⑴ 求随机变量X 的概率分布； ⑵ 求随机变量X 的数学期望和方差．【例27】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()E X．【例28】某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0．6，答对第二题的概率是0．5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（I）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【例29】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例30】某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．【例31】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（2）求η的分布列及期望E η．【例32】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．（1）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（2）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（3）设X 表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X 的概率分布及数学期望EX ．【例33】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：（1）X 的概率分布；（2）X 的期望．【例34】A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：ξη，．求ξη，的期望．【例35】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【例36】甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.【练5】某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．1223X 随堂练习（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【练6】某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.【练7】在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.【练8】一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；（Ⅲ）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.B ．I AB =C ．()I I B A = ðD ．()II A B = ð【题6】同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ= ，D ξ=__________．【题7】已知离散型随机变量X 的分布如下表．若()0E X =,()1D X =,则a =________,b =________．【题8】在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．课后作业【题9】口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列及数学期望．。