动态规划初入门
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
dp入门
dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + v[i]);
}
}
i\j
j=0
i=0
0
j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
0
00000i=10
3
6
9
12 15 18
i=2
0
3
6
10
13 16 20
17
多重背包
有n种物品，每种最多可以取x[i]个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大的 价值是多少 代码如下： for (int i = 1; i <= n; ++i) {
} } 注意此时j一定是倒序产生
16
完全背包
有n种物品，每种最多可以取无数个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大 的价值是多少
01背包中第二维改成正向即可：
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = c[i]; j <= m; ++j) {
}
10
数字三角形
线性DP解法 for(int i=m-1;i>0;i--) {
for(int j=0;j<=i;j++) { a[i-1][j]+=max(a[i][j],a[i][j+1]);
} }
11
数字三角形
暴力递归搜索解法： int dfs(int i, int j) {
if (i == n) return a[i][j]; return max(dfs(i+1,j), dfs(i+1,j+1)) + a[i][j]; }
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
信息学奥赛NOI动态规划入门(C++)培训讲学
思想：从上向下思考，从底向上计算
24
16
23
8
13
21
数字三角形
方法1：递推计算
void solve () {
int i , j; for(j = 1; j <= n; j ++) d[n][j ] = a[n][j];
for(i = n -1; i >= 1; i - -) for( j = 1; j <= i; j ++)
2.递归需要很大的栈空间，而动规的递推法不需要栈 空间；使用记忆化搜索比较容易书写程序。
思考： 还有一种思考方法，从下
向上考虑，观察不同状态如何转 移的。从格子（i，j）出发有两 种决策。
d(i,j)为：取d(i-1,j) 和d(i-1,j-1)中 较大的一个加上a(i,j)的和。
思考：边界情况：？？
设计状态
和
状态转移方程
最长上升子序列（LIS）NOI 1759
最长上升子序列（LIS）NOI 1759
样例输入： 7 1735948
样例输出： 4
上升子序列： 1, 7 3, 4, 8
1234567 a1735948
…
最长上升子序列： 如何划分阶段？
1, 3, 5, 9
以从左向右数的个数为阶源自1, 3, 5, 8给定k个整数的序列{A1,A2,...,Ak }，其任意连续子 序列可表示为{ Ai, Ai+1, ...,Aj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大连续子序列是所有连续子序中元 素和最大的一个。
例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最 大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即 为20。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
运筹学——动态规划
优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过 程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状 态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是 有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以 下三个特征：
20
2021/7/26
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的 状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态 转移，还是有一定规律可循的。
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(六) 指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各 子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题 ，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润 、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
7
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（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特 定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称 为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变 量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需 要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态 可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出 状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初 始状态。
动态规划问题的基本要素和最优化原理ppt课件
选择变量既要能确切描述过程演变又要满足无后效性， 而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态变量 的选择是从过程演变的特点中寻找。
3、确定决策变量及允许决策集合
通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时要 给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。
精品课程《运筹学》
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4、确定状态转移方程
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变 量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动 态规划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是指 从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优值， 最后写出动态规划基本方程。
f1(s1)
最优目标函数值
V 1 * ,n V 1 * ,n (s 1 * ,u 1 * 子, 从策略k ,的到s 最终n * 优点,u 目最n * 标优)函策数略值
fs ov ps tu s
, , ,
k k
k ,n k k
uu , ,
k
n
n 1
精品课程《运筹学》
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§2.2 动态规划的基本思想
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样 的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面 的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构 成最优子策略。”也就是说，一个最优策略的子策 略也是最优的。
精品课程《运筹学》
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§2.3 建立动态规划模型的步骤
1、划分阶段
划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一步， 在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，将过程划 分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋予 “时间”概念，以便划分阶段。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
动态规划-动态规划
过程指标函数是指过程所包含的各阶段的状 态和决策所产生的总效益值，记为
Vkn (sk , Pkn ) Vkn (sk , dk (sk ), sk1, dk1(sk1), , sn , dn (sn ), sn1) k 1, 2, , n
动态规划所要求的过程指标函数应具有可分 离性，即可表达为它所包含的各阶段指标函数的 函数形式。
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一 类特殊的多阶段决策过程，即状态具有无后效性 的多阶段决策过程。
无后效性(马尔可夫性)：是指如果某阶段状 态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受 这个阶段以前各段状态的影响；构造动态规划 模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求； 状态变量要满足无后效性的要求；如果状态变 量不能满足无后效性的要求，应适当改变状态 的定义或规定方法。
3、决策（decision）
决策：在某一阶段，当状态给定后，往往可以 作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种 决定称为决策。
决策变量：描述决策的变量。dk(sk) ：第k阶段 的决策变量（状态变量sk的函数）。
允许决策集合：决策变量的取值范围。常用 Dk(sk)表示。显然dk(sk)∈Dk(sk)。
3 3*
3
4
6 决策点为D1
第二阶段，由Bj到Ci分别均有三种选择
f2
B1
min
B1C1 B1C2
B1C3
f3 f3 f3
C1 C2
C3
min
7 6 4 7* 6 6
11决策点为C2
f2
B2
min
BB22CC21
f3 f3
C1 C2
min
3 6* 2 7*
min
4
dp入门讲解
时间复杂度：O(n2) 空间复杂度：O(n)
例题2：最长上升子序列
演示代码
例题3：区间dp（POJ 3280）
给定一个长度为n（n <= 1000）的字符串A，求插入最少多少个字 符使得它变成一个回文串。
例题3：区间dp
演示代码
例题4：状压dp（TSP）
对于一个节点数<=15的图，要求找到一条路径能够遍历每一个节点 一次后返回出发点(Hamiltonian path)，并且路径距离最短。
例题4：状压dp
对于一个节点数n<=15的完全图，要求找到一条路径能够遍历每一个节点后返回出发点 ，并且路径距离最短。d[a][b]表示a到b的距离
状态转移:
8
4 7 3
5 4
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + val[i][j]
1
2
例题1：数字三角形
自顶而下(记忆化搜索)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + val[i][j]
例题1：数字三角形
复杂度？
➔ 时间复杂度：状态数*状态转移数
➔ 空间复杂度：状态数？
例题所有代码仅做演示，肯定是过不 了题的。（虽然专题好像没有例题）
例题1：数字三角形
3 1 2 6 7 1 6
4 7 3
5 4
8 1
2
• 从上往下走，每次可 以向左下或右下走一 个，直到最下行，问 经过数字的和最大是 多少？
动规
【输入文件】
输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。
（2）三要素法
仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同：
先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告）
先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。
先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告）
一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。
下面举个例子：
要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
问题分析：
如果前i-1个数中用到ak (ak>ai或ak<=ai)构成了一个的最长的序列加上第I个数ai就是前i个数中用到i的最长的序列了。那么求用到ak构成的最长的序列有要求前k-1个数中……
从上面的分析可以看出这样划分问题满足最优子结构，那满足无后效性么？显然对于第i个数时只考虑前i-1个数,显然满足无后效性，可以用动态规划解。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
初中数学动态规划教案
初中数学动态规划教案教学目标：1. 了解动态规划的基本概念和应用。
2. 学会使用动态规划解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 动态规划的基本概念。
2. 动态规划的应用。
教学难点：1. 动态规划的推导过程。
2. 灵活运用动态规划解决实际问题。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学案例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：介绍动态规划在生活中的应用，如最优路径问题、背包问题等。
2. 提问：同学们听说过动态规划吗？动态规划是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解动态规划的基本概念：动态规划是一种数学方法，用于解决最优化问题。
它通过将问题分解为子问题，并自底向上地解决子问题，最终得到原问题的最优解。
2. 讲解动态规划的四个要素：状态、状态转移方程、边界条件和最优解。
3. 通过实例讲解动态规划的推导过程：以最短路径问题为例，讲解如何使用动态规划求解。
三、案例分析（15分钟）1. 给出案例：两个人从同一地点出发，分别经过不同的城市，要求每人至少经过一个城市，求两人经过的城市数之和的最大值。
2. 引导学生分组讨论，尝试使用动态规划解决案例。
3. 每组汇报解题过程和结果，师生共同点评。
四、练习与拓展（15分钟）1. 给出练习题：使用动态规划解决背包问题。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
3. 讲解练习题的解题思路和技巧。
五、总结与反思（5分钟）1. 引导学生总结动态规划的基本概念和应用。
2. 提问：通过本节课的学习，你们觉得动态规划有什么优点和不足之处？教学反思：本节课通过讲解动态规划的基本概念和应用，让学生了解动态规划的方法和步骤。
通过案例分析和练习题，让学生亲身体验动态规划的解题过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生理解动态规划的四个要素，掌握动态规划的推导方法。
同时，要关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
经典的动态规划入门练习题
动态规划入门练习题1.石子合并在一个圆形操场的四周摆放着N堆石子(N<= 100),现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分.编一程序,由文件读入堆栈数N及每堆栈的石子数(<=20).(1)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最小;(2)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最大;输入数据:第一行为石子堆数N;第二行为每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔.输出数据:从第一至第N行为得分最小的合并方案.第N+1行是空行.从第N+2行到第2N+1行是得分最大合并方案.每种合并方案用N行表示,其中第i行(1<=i<=N)表示第i次合并前各堆的石子数(依顺时针次序输出,哪一堆先输出均可).要求将待合并的两堆石子数以相应的负数表示.输入输出范例:输入:44 5 9 4输出:－４５９－４－８－５９－１３－９２２４－５－９４４－１４－４－４－１８２２最小代价子母树设有一排数，共ｎ个，例如：22 14 7 13 26 15 11.任意2个相邻的数可以进行归并,归并的代价为该两个数的和,经过不断的归并,最后归为一堆,而全部归并代价的和称为总代价,给出一种归并算法,使总代价为最小.输入、输出数据格式与“石子合并”相同。
输入样例：412 5 16 4输出样例：－１２－５１６４１７－１６－４－１７－２０３７2.背包问题设有ｎ种物品，每种物品有一个重量及一个价值。
但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为ＸＫ，今从ｎ种物品中选取若干件（同一种物品可以多次选取），使其重量的和小于等于ＸＫ，而价值的和为最大。
输入数据：第一行两个数：物品总数Ｎ，背包载重量ＸＫ；两个数用空格分隔；第二行N个数,为Ｎ种物品重量；两个数用空格分隔；第三行N个数,为N种物品价值; 两个数用空格分隔；输出数据：第一行总价值；以下N行，每行两个数，分别为选取物品的编号及数量；输入样例：4 102 3 4 71 3 5 9输出样例：122 14 13.商店购物某商店中每种商品都有一个价格。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
动态规划的基本概念和基本原理
史的一个完整总结。只有具有无后效性的多阶段决策过程
才适合于用动态规划方法求解。
2 A1
3
5 B1 4
7
6
B2
5
3
2
C1 2 5 6
C2 3
2
C3 1
D3
1
E 5 D
2
B3 2
3.决策（decision）
C4 7
当各阶段的状态选定以后可以做出不同的决定（或选择）从
而确定下一个阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策。
5.状态转移方程（state transfer equation） 设第k阶段状态为sk，做出的决策为uk（sk），则第k+1阶段 的状态sk+1随之确定，他们之间的关系可以表示为：
sk+1=Tk（sk，uk） 表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的方程称为状态 转移方程，它反映了系统状态转移的递推规律。
f3
(C3
)
min
d d
3 3
(C3 (C3
, ,
D1) D2 )
f4 (D1) f4 (D2 )
2 3
min1
5
5
u3（C3）=D1
f3（C4）= d3（C4，D2）+ f4（D2）=7+5=12
u3（C4）=D2
5
C1 2
2
A
1
3
B1 4
7
6
B2
5
3
2
5 6 C2 3 2
C3 1
D1 3
4.策略（policy）
当各个阶段的决策确定以后，各阶段的决策形成一个决策序 列，称此决策序列为一个策略。
noip动态规划讲解课件
用f[x,i,j]表示走到第x步时，第1条路线走到横坐标为i的地方，第2条路线走到了横坐标为j的地方。这样，我们只要枚举x，i，j，就能递推出来了。
For x:=3 To m+n Do For i:=1 To Min(x,n) Do For j:=1 To Min(x,n) Do Begin f[x,i,j]:=Max(f[x-1,i,j],f[x-1,i-1,j],f[x-1,i,j-1],f[x-1,i-1,j-1]); If i=j Then Inc(f[x,i,j],a[i,x-i]) Else Begin Inc(f[x,i,j],a[x-i,i]); Inc(f[x,i,j],a[x-j,j]); End; End;
动态规划实质：
枚举
+
递推
状态
状态转移方程
Sample Problem1
1
3
5
9
1
从树的根到树的叶节点，最多能取多少数？
贪心：答案错误
暴力搜索：如果数据大会超时
我们先将NOIp里的动态规划分分类：
最长不降子序列 背包 方格取数 石子归并 状态压缩 数学递推 顺序递推
合唱队形（NOIp2004） 【问题描述】 N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK， 则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。 你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。 【输入文件】 输入文件第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高。 【输出文件】 输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
动态规划初探及什么是无后效性？（转）
动态规划初探及什么是⽆后效性？（转）对于动态规划，我是这样理解的：把待解决的问题分为⼀个规模较原问题⼩的⼦问题、然后要考虑的就是如何更具这个⼦问题如何得到原问题的解以及如何解决这个⼦问题当然、原问题和⼦问题需要有相同的解决⽅式、它们只有问题规模的区别。
这样讲有点抽象、⽤⼀个简单的图来说明下：可以简单的这样理解、把原问题划分为⼩的问题（能组合成原问题的，⼩的问题再划分、持续下去，找到简单解反⽅向计算回来（记下每⼀步结果）最后就能得到解。
听起来似乎不难，但是要作⽐较深⼊的理解还是得通过实例说话有向⽆环图的最长简单路径：对于⼀般的图，求最长路径并不向最短路径那样容易，因为最长路径并没有最优⼦结构的属性。
但DGA例外问题描述：给⼀个带权有向⽆环图G=（V，E），找出这个图⾥的最长路径。
说实话初学者直接给出这个图会看蒙的、再看看问题，不知道从何下⼿。
好了，对上图做个简单的处理：现在看起来是不是清晰多了呢⽤dilg(v)表⽰以点结尾的最长路径，现在考虑dilg(D), dilg(B), dilg(C)dilg(D)=max{dilg(B)+1, dilg(C)+3}来解释⼀下：点D的⼊度边有CD、BD。
以D结尾的最短路径必定经过C、B中的⼀点；如果是C点，则以dilg(C)+3(权值)定会⼤于等于dilg(B)+1(权值)如果没能看懂，请注意dilg(V)的定义对于任意的点V可以有如下表达式：dilg(v)=max{dilg(u)+w(u, v)，(u,v)∈E}这样、问题dilg(V)就会被转化为较⼩的⼦问题dilg(U)（当然，U是连⼊V的点）任何⼀个问题都可以⽤这样的⽅式转化、变⼩。
但总不能⽆限变⼩啊，最后回成为最简单的问题。
当有两个点，且其中的⼀个点⼊度为0的时候如图中的S-->C他们的最长距离就是权值2。
⼊门篇中说过，思考⽅向是从复杂到简单，⽽计算⽅向是从简单到复杂。
算法如下Initialize all dilg(.) values to ∞;1.Let S be the set of vertices with indegree=0; ////设集合S，⾥⾯的是⼊度为0的点2.For each vertex v in S do dilg(v)=0;3. For each v∈V\S in Topological Sorting order do //对于V中除S外的点、按照拓扑排序的顺序，依次求出最长路径并保存好 dilg(v)=max{dilg(u)+w(u, v)，(u,v)∈E} //拓扑排序可以简单的理解为从起点到终点的最短路径4. Return the dilg(v) with maximum value.现在是找到最长路径的⼤⼩了、但是如何得到最长路径呢？只需做点⼩⼩的改动：Let S be the set of vertices with indegree=0;for each vertex v in S dodist(v)=0;4. For each v∈V\S in Topological Sorting order dodilg(v)=max(u,v)∈E{dilg(u)+w(u, v)}let (u,v) be the edge to get the maximumvalue;dad(v)=u;5. Return the dilg(.) with maximum value.每⼀步都记下V的⽗节点、最后根据dad()数组即可得到路径。
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动态规划初入门
1．LCS
问题描述：给定两个字符串a和b，请求出其最长公共子序列。
(设a、b的长度分别是m、n)
如：a = "abcfb" b = "abfcab" result = "abcb"
设状态c[I, j]表示a的前i个字符和b的前j个字符所求得的最长公共子序列长度
设s[I,j]表示状态c[I,j]是由哪个状态转移的，
0表示c[i-1,j-1]，1表示c[i-1,j]，2表示c[I,j-1]。
则状态转移方程为：
c[I,j] = 0; if I = 0 or j = 0 边界条件
c[I,j] = c[I-1,j-1] + 1; if I, j > 0 and a[i] = b[j]
c[I,j] = max(c[I, j-1], c[i-1, j]); if I, j > 0 and a[i] != b[j]
s[I,j] 无意义 if I = 0 or j = 0
s[I,j] = 0 if I, j > 0 and a[i] = b[j]
s[I,j] = 1; if I, j > 0 and a[i] != b[j] and c[i-1,j] > c[i,j-1]
s[I,j] = 2; if I, j > 0 and a[i] != b[j] and c[i,j-1] > c[i-1,j]
当求出所有状态后c[m,n]就是最长序列的长度，
而且我们可以从s[m,n]逆推出最长公共子序列。
时间复杂度O(n^2)
2．石子合并
问题描述：N堆石子排成一列。
现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
请你选择一种合并石子的方案，使得做N－1次合并，得分的总和最小。
比如有4堆石子： 4 4 5 9
则最佳合并方案如下：4 4 5 9 score: 0
8 5 9 score: 8
13 9 score: 8 + 13 = 21
22 score: 8 + 13 + 22 = 43
首先我们做一下预处理，令w[I,j]表示第i堆到第j堆石子的石子总数，
如w[0,3]=13。
w[I, i] = num[i]
w[I, j] = w[I, j-1] + num[j] I < j
我们定义状态f[I, j]表示将第i堆至第j堆石子合并到一起的总得分，自然有：f[I, j] = 0 if I = j
f[I, j] = min(f[I, k] + f[k + 1, j] && I <= k < j) + w[I, j] if I < j 则f[0, n-1]则是最后答案，时间复杂度O(n^3)。
3．最长上升序列
问题描述：给定N（N <= 1000000）个数，请在其中找出最长的一个上升链（严格上升）。
例：1 10 2 9 3 8 4 7 5 6
其中最长上升序列长度为6，是：1 2 3 4 5 6。
算法1：
我们令f[i]表示前i个数中找到的以第i个数num[i]结尾的最长链的长度。
那么，很容易列出方程
f[0] = 0;
f[i] = max(f[j] | j < I and num[j] < num[i]) + 1 (1 <= I <= N)
最后结果是：ans = max(f[i] | 1 <= I <= N)
上述算法的复杂度是O(N^2)，类似第一题，
引入s[i]表示f[i]是由哪个状态转移过来的，则可逆推出最长升链。
现在我们再看一下这个问题的一个变形：请你用最少的不上升序列覆盖这N个数。
上面的例子最少要用6条非升链覆盖：
1
2
3
4
5
10 9 8 7 6
再举一个例子(N = 11)：100 89 99 89 76 75 92 83 54 90 1
要用3条非升链：
100 89 89 76 75 54 1
99 92 83
90
而我们再观察一下它的最长升链，其中一条是：75 83 90，长度也为3！
这是巧合还是必然？
这是必然！！！可以证明非升链覆盖问题和最长升链问题是同解的。
同样，升链覆盖、降链覆盖、非降链覆盖和最长非升链、最长非降链、最长降链同解。
口诀：前面加“非”字~
大家可以想象证明，等大家了解了算法2，就自然明白了。
算法2：
由于N的规模，算法一是在太慢了。
这里介绍一种O(nlogn)的算法。
首先定义数组D：D[i]（1 <= I <= N）表示目前为止，所有长度为i的升链中，最后一个元素的最小可能值。
如当前找到两个长度为3的升链：2 3 4；1 3 9 那么D[3] = 4。
显然，对于同样长度的升链，结尾越小越容易拓展成更长的升链。
并且可知D是一个严格升链（若其中D[i+1] <= D[i]，则去i+1链中第i个元素赋给D[i]）
我们还设置一个变量s表示目前为止找到最长链的长度。
初始s=0, D赋正无穷。
然后依次扫描数列中的每一个数。
譬如现在扫到第i个数，
首先在D中二分查找num[i]可以放置的位置p，
满足D[p] >= num[i] and (p = 0 or D[p –1] < num[i])。
将num[i]写入D[p]，如果p>s，说明找到更长的链，更新s。
例如：1 3 2 5 4 5
initial s = 0
step1 s = 1 D[1] = 1
step2 s = 2 D[1] = 1 D[2] = 3
step3 s = 2 D[1] = 1 D[2] = 2
step4 s = 3 D[1] = 1 D[2] = 2 D[3] = 5
step5 s = 3 D[1] = 1 D[2] = 2 D[3] = 4
step6 s = 4 D[1] = 1 D[2] = 2 D[3] = 4 D[4] = 5
显然这个算法是O(nlogn)的。
同样这个算法证明了前面讨论的变形的正确性。
首先，本算法实际上构造出了用最长升链长度（MAXL）条非升链覆盖这N个数的一组解。
我们只需要证明至少要用MAXL条非升链才能完成覆盖即可，
显然，最长升链就需要MAXL条降链覆盖。
证毕.。