初三上学期数学期中测试题,九年级上册数学期中考试试卷及答案解析
九年级第一学期期中考试数学试卷(含参考答案)
九年级第一学期期中考试数学试卷（含参考答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1.在下列方程中是一元二次方程的是（）A.x2-2x y+y2=0B. x2-2x=3C. x（x +3）= x2-1D. x + =02.将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A.y=(x- 2)2+1B.y= (x +2)2+1C. (x- 2)2-1D.y= (x +2)2- 13.一元二次方程x2-2x +5=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断4.对于二次函数y= - (x- 2)2-3，下列说法正确的是（）B A.当x >0时，y随x的增大而增大 B.当x =2时，y有最大值- 3C.图象的顶点坐标为（-2，-7）D.图象与x轴有两个交点5.用配方法解方程x2- 6x- 3=0时，原方程应变形为（）A. (x +3)2=3B. (x +3)2=12C. (x- 3)2=3D. (x- 3)2=126.已知函数y=(x- 1)2+2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A x <1 B. x >1 C. x >-2 D. - 2< x <47.若x1，x2是一元二次方程2x2- 9x +4=0的两根，则x1+ x2的值是（）A. - 2B.2C.D. - 28.二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（）A. x <-1B. x >3C. -1< x <3D. x <-1 或x >3第8题图第10题图9.某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175 亿元，二月、三月平均增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A.50(1+x)2=175B.50+50(1+x)+50(1+x)2=175C.50 (1+x) +50(1+x)2= 175D.50+50(1+x)2=17510.已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，对称轴为直线x=2.则下列结论中正确的是（）A a bc>0 B.4a-b=0 C.9a+3b+c<0 D.5a+c>0二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.方程x2= x的解是____________12.当k______时，y=( k +3)x2- k x+2是关于x的二次函数.13.抛物线y=2(x +1)2-3，的顶点坐标为________，对称轴为直线______14.已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则a-b+2023=_____15如图，一段抛物线：y=-x（x -2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C6，若P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m的值为=____三、解答题（一）：本大题共3小题，第16 题10分，第17、18题7分，共24分.16.计算：用适当方法解方程：（1）(x +1)2=5x+5 （2）x2- 4x- 5=017.某次聚会上，同学们互相送照片，每人给每个同学一张照片，一共送出90张照片，问一共有多少位同学参加了聚会？18.已知抛物线y= x2- 2x- 3.（1）求抛物线与两坐标轴的交点坐标（2）求它的顶点坐标。
九年级(上)期中数学试卷答案解析版
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10题，每小题4分，共40分）1．（4分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）方程x2=2x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±3．（4分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°4．（4分）二次函数y=（x+3）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7）B．（3，7） C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）5．（4分）如图，⊙O是△AB C外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（4分）兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.87．（4分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm28．（4分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：29．（4分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，0）关于原点O对称的点的坐标是．12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值是．13．（4分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=．14．（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为m．15．（4分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周长为cm．16．（4分）如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），将△AB C绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）19．（8分）在一个箱子中放有三张完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1，2，3．从箱子中任意取出一张卡片，用卡片上的数字作为十位数字，放回后搅匀，再取出一张卡片，用卡片上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）组成的两位数是偶数的概率是多少？20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：无论m取何值方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．21．（8分）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．=10，求点E的坐标．（2）点E在线段CD上，S△ABE22．（10分）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？23．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线AE，BD相交于M，点O在AB边上，以OB为半径的圆恰好经过点M，且与AB相交于另一点F．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）当BC=4，cosC=，求⊙O的半径．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=1，点E是AD上的一动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF、BF、EF，过点GF⊥AF交AD于点G．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，求AE的长；（3）若△FCG为直角三角形，求AE的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10题，每小题4分，共40分）1．（4分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．2．（4分）方程x2=2x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=0，分解因式得：x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．3．（4分）下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A选项错误；B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，故B选项错误；C、明天会下雨，是随机事件，故C选项错误；D、度量一个三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件，故D选项正确．故选：D．4．（4分）二次函数y=（x+3）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7）B．（3，7） C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）【解答】解：∵二次函数y=（x+3）2+7是顶点式，∴顶点坐标为（﹣3，7）．故选：A．5．（4分）如图，⊙O是△AB C外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：根据圆周角定理，得∠BOC=2∠A=80°∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB==50°．故选：C．6．（4分）兴化市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选：C．7．（4分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．8．（4分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF ：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选：B．9．（4分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得D点坐标为（1，1）．每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），故选：B．10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，0）关于原点O对称的点的坐标是（﹣3，0）．【解答】解：点（3，0）关于原点O对称的点的坐标是：（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．12．（4分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值是8．【解答】解：∵在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，∴=，解得n=8．故答案为：8．13．（4分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=22°．【解答】解：解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=44°，在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣44°）=68°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣68°=22°．故答案为：22°．14．（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为10.5m．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故答案为10.5．15．（4分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周长为36cm．【解答】解：∵tan∠EFC=，∴设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k，∴DC=AB=8k，∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=tan∠EFC=，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，在Rt△AFE中由勾股定理得AE===5，解得：k=1，故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm，故答案为：36．16．（4分）如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为2．【解答】解：设M点的坐标为（a，），则C（m﹣，）、D（a，m﹣a），∵直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，∴A（0，m）、B（m，0），∴AD•BC=•=a•=2．故答案为：2．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：．【解答】解：原式=﹣1+3﹣=2．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）【解答】解：图象如右图．在RT△ABC中，∵AB=2，AC=3，∴BC==，∴线段BC旋转过程中所扫过的面积==．19．（8分）在一个箱子中放有三张完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1，2，3．从箱子中任意取出一张卡片，用卡片上的数字作为十位数字，放回后搅匀，再取出一张卡片，用卡片上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）组成的两位数是偶数的概率是多少？【解答】解：（1）画树形图得：∴能组成的两位数有：11，12，13，21，22，23，31，32，33；（2）∵组成的两位数是偶数，一共有3个：12，22，32；又∵数据总个数是9个，∴组成的两位数是偶数的概率是=．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：无论m取何值方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该等腰三角形的腰为1、底边为3时，∵1+1＜3∴构不成三角形；②当该等腰三角形的腰为3、底边为1时，等腰三角形的周长=3+3+1=7．21．（8分）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．=10，求点E的坐标．（2）点E在线段CD上，S△ABE【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，连接AE，BE，则S△ABE =S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=10，解得：x=3，则E（3，0）．22．（10分）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？【解答】解：（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则，解得．故函数关系式为y=﹣2x+112；（2）依题意有w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+648，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m千克，则≤30﹣5，解得：m≤1300．故一次进货最多只能是1300千克．23．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线AE，BD相交于M，点O在AB边上，以OB为半径的圆恰好经过点M，且与AB相交于另一点F．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）当BC=4，cosC=，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OM．∵AC=AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE=BE=BC，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC，又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵cosC=，∴cosB=，∵CE=BE=BC=2，∴=，∴AB=6，设⊙O的半径为R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△B EA，∴=即=，解得R=，∴⊙O的半径为．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=1，点E是AD上的一动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF、BF、EF，过点GF⊥AF交AD于点G．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，求AE的长；（3）若△FCG为直角三角形，求AE的长．【解答】解：（1）由对称知，AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AF，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG；（2）如图1，当点F落在AC上时，由对称知，BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DAC，∴，∵AB=DC，∴AB2=AD•AE，∵AB=1，AD=4，∴AE=（3）AD=4，AB=1，如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=1，∴当点F落在矩形内部时，且AE＜1∵点G在AD上，∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°，∵△FCG为直角三角形，∴①当∠CFG=90°时，∵∠AFG=90°，∴点F落在AC上，如图1，由（2）知，AE=，②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DGC，∴，∴AB•DC=DG•AE，即：DG•AE=1，由（1）知，AE=EG，∴DG=AD﹣AE﹣EG=AD﹣2AE=4﹣2AE，∴（4﹣2AE）×AE=1，∴AE=（舍）或AE=．。
人教版九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析(共6套)
人教版九年级上学期期中考试数学试卷（一）一.选择题1、下列关于 X 的方程：①ax2+bx+c=0:②x'+ •!二6；③x—0；④x=3x2（5）（x+l ）（x・1） =XMX中，一元二次方程的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列标志既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）©c©D⅛⅛3、已知关于X的一元二次方程（a - 1） X2 - 2x÷l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a>2B、a<2C、a<2 且D、&V ・ 24、若（2, 5）、（4, 5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）B、x=lC、x=2DX x=33、一个等腰三角形的两条边长分别是方程X2 - 7x÷10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A、12B、9C、13D、12 或 96、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地ABCD ±修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为78cm',那么通道宽应设计成多少m?设通道宽为xm,则由题意列得方程为（）B、(30 - 2x) (20 - 2x) =78C、(30∙2x) (20 ・ x) =6X78D、(30∙2x) (20 ・ 2x)二6X787、如图，∆ABC为OO的内接三角形，ZAOB=IOO o ,则ZACB的度数为(C、150°D、160°8、如图，在OO中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A、 AB丄CDB、ZAOB=4 ZACDC、AD= BDD、 Po二PD9、已知抛物线y二∙x'+2x∙3,下列判断正确的是（）A、开口方向向上，y有最小值是・2B、抛物线与X轴有两个交点C、顶点坐标是（■ 1, -2）D、当x<l时，y随X增大而增大10、有下列四个命题中，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②等弦所对的弧相等；③圆心角相等所对的弦相等；④半径相等的两个半圆是等弧.A、4个B、3个C、2个D、1个11、将抛物线y二3x：向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A、y=3 （x+2）2+3B、y二3 （X ・ 2）2+3C、y二3 （x+2）2- 3D、y二3 （x・2）2- 312、下列说法正确的是（）A、弦是直径B、平分弦的直径垂直弦C、长度相等的两条弧是等弧D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个13、已知抛物线y=a X=+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2,・3）,那么该抛物线有（）A、最小值・3B、最大值・3C、最小值2D、最大值2二、填空题14、钟表的时针匀速旋转一周需要12小时，经过2小时，时针旋转了 _______ 度.15、___________________________________________ 一元二次方程x'・4x+6二O实数根的悄况是_____________________________ .16、如图，在RtΔABC 中，ZBAC二90° , ZB二60° , ΔAB, C,可以由 AABC 绕点A顺时针旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点）, 连接CC',则ZCC' B'的度数是____________ .17、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、18、已知二次函数y=aX=+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论，Φabc<0;②2a+b=0:③b'∙4dc<0;④d+b+c>O;⑤a - b+c<O.其中正确的结论有20、某商店四月份的利润为6. 3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的白分比下降，至六月份利润为5. 4万元.设下降的白分比为X,由题意列出方程21、__________________________________________________________ 已知In 是关于X的方程X2 - 2X- 3=0的一个根，则2m: - 4m= _______________ •22、下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有_______ (填序号)23、如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF. HMNo均为矩形，EF二b,NH=c,则b与C之间的大小关系是b ________ C (填＜、二、＞)三.解下列方程24、解下列方程(1)X2÷6X - 1=0(2)(2x+3) 2 - 25=0.四、解答题25、在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将AABO绕点0按顺时针方向旋转90° ,得ZU' B Z 0.(1)画岀旋转后的图形；(2)写出点A' , B,的坐标.26、如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm, 水的最大深度为2c∏b求该输水管的半径是多少？27、如图，在RtΔABC中，ZACB二90, AD平分ZBAC,过A, C, D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.(2)若AC=6, CB=8,求Z∖ACD的外接圆的直径.28、如图，已知抛物线与X交于A ( - 1, 0)、E (3, 0)两点，与y轴交于点B(1)求抛物线的解析式：(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.29、某体育用品丿占购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为X(X$60)元，销售量为y套.(1)求出y与X的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？答案解析部分—、＜b ＞选择题〈/b＞1、【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：①当沪O时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程；②X2+ ≥=6 是分式方程；③x'=()是一元二次方程；④x=3x'是一元二次方程⑤(x÷l) (x・1) =X Mx,整理后不含X的二次项，不是一元二次方程.故选：B.【分析】依据一元二次方程的定义求解即可.2、【答案】A【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形.故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.故选：A.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可.3、【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解：△二4 - 4 (a - 1)二8 ・ 4a>0得：a<2.又a・l≠0Λa<2 且 &H1.故选C.【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出&的取值范围. 4、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：因为点(2, 5)、(4, 5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴X=故选D.【分析】由已知，点(2, 5)、(4, 5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点, 所以只需求两对称点横坐标的平均数.5、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：X2- 7x÷10=0,(X ・ 2) (x ・ 5) =0,X ・ 2=0, X ・ 5=0,Xι~2, x：=o >①等腰三角形的三边是2, 2, 5V2+2<5,・・・不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2, 5, 5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5二12；即等腰三角形的周长是12.故选：A.【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可.6、【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设道路的宽为xm,由题意得：(30 ・ 2x) (20 ・ x)二6X78,故选C.【分析】设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为(30∙2x) m, 宽为(20・x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30・2x) (20・x)二6X78. 7、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在优弧AB上取点D,连接AD, BD,V ZAOB=IOO O ,Λ ZD= 4 ZAOB=50° ,・•・ZACB=I80° ・ ZD二130° .【分析】首先在优弧AB上取点D,连接AD, BD,然后由圆周角定理，求得ZD 的度数，乂山圆的内接四边形的性质，求得ZACB的度数.8、【答案】D【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：TP是弦AB的中点，CD是过点P的直径，・・・AB丄CD,兄沪云方，ZiAOB是等腰三角形，・•・ ZAoB二 2 ZAOP,Y ZAOP二 2 ZACD,・•・ ZAoB二 2 ZAOP二2 × 2 ZACD二4 ZACD.故选D.【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答.9、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：y- ■ x'+2x - 3= - (X-I) ^ - 2,a二・1,抛物线开口向下，对称轴为直线X二1,顶点坐标为(1, -2) , △二4・12二・8<0,抛物线与X轴没有交点，当x<l时，y随X的增大而增大. 故选：D. 【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可.10、【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：①圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故本选项错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；④半径相等的两个半圆是等弧，故本选项正确；其中正确的有1个；故选D.【分析】根据轴对称图形的概念和弧、弦和圆心角之间的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案.11、【答案】A【考点】二次函数图象与儿何变换【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y二3x'向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3:IJI “左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3 (x+2) 2+3.故选A.【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.12、【答案】D【考点】垂径定理【解析】【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；C、能重合的两个弧是等弧，选项错误；D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确.故选D.【分析】根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义即可作出判断.13、【答案】B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,所以该抛物线有最大值・3.故选B.【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,可直接做出判断.二、＜b ＞填空题＜∕b＞14、【答案】60【考点】生活中的旋转现象【解析】【解答】解：Y钟表上的时针匀速旋转一周的度数为360。
人教版九年级上册数学期中考试试卷及答案解析
人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若关于x 的一元二次方程2420x x a -+=有两个相等的实数根，则a 的值为（）A ．2B ．-2C ．4D ．-43．下列函数：①23y =;②22y x =;③(35)y x x =-;④(12)(12)y x x =+-,是二次函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列语句中正确的是（）A ．长度相等的两条弧是等弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为()21100x -=B ．22740x x --=化为2781416x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为()2+4=25x D ．23-420x x -=化为221039x ⎛⎫-=⎪⎝⎭7．如图，将ABC ∆绕着点C 按顺时针方向旋转20︒，B 点落在'B 位置，A 点落在'A 位置，若''AC A B ⊥，则BAC ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒8．如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是A ．3B ．2.5C ．2D ．19．如图，正方形ABCD 的边长为5，点E 是AB 上一点，点F 是AD 延长线上一点，且BE =DF .四边形AEGF 是矩形，则矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数关系式为（）A ．=5−B ．=5−2C ．=25−D ．=25−210．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＞0；②当x≥1时，y 随x 的增大而减小；③2a+b=0；④b 2-4ac ＜0；⑤4a-2b+c ＞0，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，O 是ABC 的外接圆，连结OA 、OB ，且点C 、O 在弦AB 的同侧，若50ABO ∠= ，则ACB ∠的度数为（）A ．50B ．45C ．40D ．3012．关于x 的一元二次方程9x 2-6x+k=0有两个不相等的实根，则k 的范围是（）A ．k 1<B ．k 1>C ．k 1≤D ．k 1≥二、填空题13．⊙O 的半径为3cm ，点O 到点P 10cm,则点P_________.14．某工厂第一年的利润是40万元,第三年的利润是y 万元,则y 与平均年增长率x 之间的函数关系式是___________.15．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD=1，，则BC 的长为____．16．如图,平面直角坐标系中,□OABC 的顶点A 坐标为(6,0),C 点坐标为(2,2),若经过点P(1,0)的直线平分□OABC 的周长,则该直线的解析式为_______________.三、解答题17．按要求解下列一元二次方程（1）24870x x +-=（用配方法）（2）2+52=0x x -（用公式法）18．如图，AB ＝AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DM ⊥AC 于点M.求证：DM 与⊙O 相切．19．要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．(1)求围栏的长和宽；(2)能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．20．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？21．如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D．(1)求证:BE=CF;(2)请探究旋转角等于多少度时,四边形ABDF为菱形,证明你的结论;(3)在(2)的条件下,求CD的长.22．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△C ；平移△ABC ，若A 的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△；（2）若将△C 绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在轴上有一点P ，使得PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．23．如图，四边形ABCD 内接于O ，AD ，BC 的延长线交于点E ，F 是BD 延长线上一点，1602CDE CDF ∠=∠=︒．()1求证：ABC 是等边三角形；()2判断DA ，DC ，DB 之间的数量关系，并证明你的结论．24．二次函数2y x bx c =++的图象经过点(1，－8)，(5，0)．(1)求b ，c 的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．25．已知抛物线2y x bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为()1,0A -，与y轴的交点坐标为()0,3C -．（1）求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）根据图象回答：当x 取何值时，0y <？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA PB +的值最小时的点P 的坐标．参考答案1．C 【解析】试题解析：∵从左往右第二个图形不是中心对称图形，但是轴对称图形；第一、三、四个既是中心对称又是轴对称图形，∴四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有三个，故选C ．2．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出a 的值.【详解】解：∵一元二次方程2420x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(4)4120a ∆=--⨯⨯=，解得：2a =；故选择：A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.3．C 【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.【详解】解：①23y =是二次函数，正确；②22y x =不是二次函数，错误；③(35)y x x =-整理得253y x x =-+，是二次函数，正确；④(12)(12)y x x =+-整理得214y x =-，是二次函数，正确；∴一共有3个二次函数；故选择：C.【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.4．D 【详解】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．详解：A 、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B 、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D 、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D ．点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．5．D 【分析】根据选项中的二次函数图象和一次函数图象，判断a 和b 的正负，选出正确的选项．【详解】A 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足0ab >，故错误；B 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、二、四象限，0a <，0b >，不满足ab>0，故错误；C 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足ab>0，故错误；D 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过二、三、四象限，0a <，0b <，满足ab>0，正确故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．6．C 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．【详解】A 、由原方程，得22990x x --=，等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得()21100x -=；故本选项正确；B 、由原方程，得22740x x --=，等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，2781416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故本选项正确；C 、由原方程，得2890x x ++=，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x ＋4）2＝7；故本选项错误；D 、由原方程，得3x 2−4x ＝2，化二次项系数为1，得x 2−43x ＝23等式的两边同时加上一次项系数−43的一半的平方169，得221039x⎛⎫-=⎪⎝⎭；故本选项正确．故选：C．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7．C【分析】由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，据此可进行解答.【详解】解：由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，由AC⊥A’B’可得∠BAC=∠A’=90°-20°=70°，故选择C.【点睛】本题考查了旋转的性质.8．C【解析】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2，∴x=2，∴CD=2，故选C．点睛：本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．9．D【解析】∵BE=DF,BE=x(已知)；∴DF=x；又∵AD＝AB＝5(已知)，AF＝AD+DF，AE＝AB＝BE（由图可得）；∴AF＝5+x,AE=5-x；∴S 长方形AEGF ＝AE ╳AF ＝(5+x)(5-x)＝25－x 2；故选D 。
九年级(上)期中数学试卷附答案解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=02．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：25．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=5127．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=cm．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、不是整式方程，故错误．C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、方程含有两个未知数，故错误；故选A．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，故选B．3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%【考点】频数与频率．【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．故选：D．4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行解答即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），∴AC=AB，∴AC：AB=（﹣1）：2．故选：C．5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形B．菱形 C．矩形 D．正方形【考点】中点四边形．【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH 为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．【解答】解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=BD，AC=BD，∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．∴800（1﹣x%）2=512．故选C．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴EC=2AE=8，∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．故选D．8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处C．Q处 D．M处【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE ∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC ∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE ∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是16．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，则相似比是3：6=1：2，根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，则8：x=1：2，解得：x=16．即后一个六边形的最大边长为16．故答案为16．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为4cm．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4cm．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC=6cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，∴AC=2BD=2×3=6cm．故答案为：6．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB．（只要写出一种）【考点】相似三角形的判定．【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，∵AE=AB，∴BE=PE=2AE，∴∠APE=30°，∴∠PEF=∠BEF=60°，∴∠EFB=∠EFP=30°，∴EF=2BE，PF=PE，∴①正确，②不正确；又∵EF⊥BP，∴EF=2BE=4EQ，∴③不正确；又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，∴△PBF为等边三角形，∴④正确；所以正确的为①④，故答案为：①④．三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2；（2）2（x+1）2﹣8=0，2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，x+1+2=0，x+1﹣2=0，x1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x1=3，x2=1；（4）（2x+1）2=3（2x+1），（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣3）=0，2x+1=0，2x+1﹣3=0，x1=﹣，x2=1．18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；故答案为：；（2）根据题意列表如下：2 5 52 （2，2）（4）（2，5）（7）（2，5）（7）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，∴P（数字和为7）=P（数字和为10），∴游戏对双方公平．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AE=CD，又∵AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=EC；（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，∴平行四边形ADCE为菱形；（3）∵四边形ADCE为平行四边形，∴AC与ED互相平分，∴点O为AC的中点，∵AD是边BC上的中线，∴点D为BC边中点，∴OD为△ABC的中位线，∴，∵AB=AO，∴，即的值为．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【解答】解：设每件童装应降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF ⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形理由：如图1，∵AD：AB=1：1，∴AD=AB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，即∠BAF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，∴△AEF为等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴△ABF∽△ADE，∴．∵，∴，即AF=2AE；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∵△AEG是等边三角形，∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，∴AG=FG．∵AB=3，AD：AB=k，∴AD=3k．在Rt△ADE中由勾股定理，得DE=k，AE=2k，∴AG=FG=2k，∴BG=k．∵AB=3，∴GB=3﹣2k，∴k=3﹣2k，解得：k=，∴DE=1．答：k=，DE=1．。
九年级(上)期中数学试卷含解析
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C． +x=2 D．x3﹣3x+8=02．（3分）方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10 D．3和103．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C．D．5．（3分）抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四6．（3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α•β的值为（）A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣20178．（3分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．9．（3分）方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=010．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）将方程化为一般形式：2x2﹣3x=3x﹣5是．12．（3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1y2．（用＞、＜、=填空）．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0根的判别式等于．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则另一根为．三、解答题．（共52分）17．（10分）解方程．（1）x2﹣3x﹣4=0（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3）18．（8分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．19．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；（2）当m=2时，求方程的根．21．（8分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地的边长．22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C． +x=2 D．x3﹣3x+8=0【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：A．2．（3分）方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10 D．3和10【解答】解：3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为3，﹣8，故选：B．3．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：A．4．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A． B． C．D．【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选：D．5．（3分）抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点坐标为：x=﹣=2，y==﹣9，即（2，﹣9），∵2＞0，﹣9＜0，∴顶点在第四象限．故选：D．6．（3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•=0，∴原方程有两个相等的实数根．故选：B．7．（3分）若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α•β的值为（）A．2017 B．2 C．﹣2 D．﹣2017【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，∴α•β=﹣2017．故选：D．8．（3分）二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．【解答】解：由二次函数的解析式可知此函数的最小值是2．故选：A．9．（3分）方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=0【解答】解：x2=x，移项得x2﹣x=0，提公因式得x（x﹣1）=0，解得x1=1，x2=0．故选：D．10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＜0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①正确；∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③正确；∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，所以④错误．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）将方程化为一般形式：2x2﹣3x=3x﹣5是2x2﹣6x+5=0．【解答】解：2x2﹣3x=3x﹣5是一般形式是2x2﹣6x+5=0，故答案为：2x2﹣6x+5=0．12．（3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为﹣3．【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．13．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1＞y2．（用＞、＜、=填空）．【解答】解：∵二次函数y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上的两点，﹣7＞﹣8，∴y1＞y2．故答案为：＞．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=2．【解答】解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得，代入ax2+bx=0得，﹣x2+2x=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．15．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0根的判别式等于8．【解答】解：由题意得：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8，故答案为：8．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则另一根为﹣3．【解答】解：根据题意可得x1+x2=﹣=﹣m，x1x2==﹣3，∵x1=1，∴1+x2=﹣m，x2=﹣3，∴m=2．故答案为：﹣3三、解答题．（共52分）17．（10分）解方程．（1）x2﹣3x﹣4=0（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3）【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4=0，（x﹣4）（x+1）=0，x﹣4=0，x+1=0，x1=4，x2=﹣1；（2）（x﹣3）2=3x（x﹣3），（x﹣3）2﹣3x（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3﹣3x）=0，x﹣3=0，x﹣3﹣3x=0，x1=3，x2=﹣1.5．18．（8分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．【解答】解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；（2）由题意得：（x+2）2﹣25=0，（x+2）2=25，x+2=±5，x+2=5或x+2=﹣5，解得：x1=3，x2=﹣7．19．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为：直线x=1，二次函数的最大值是4．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；（2）当m=2时，求方程的根．【解答】解：（1）对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根，利用如下：∵△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．（2）当m=2时，原方程为x2﹣2x﹣2=0，此时△=m2+8=12，∴x1=1﹣，x2=1+．21．（8分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=2，x2=3．经检验，x=2不符合题意，舍去答：原正方形的边长3m．22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【解答】解：设房价为（180+10x）元，则定价增加了10x元，此时空闲的房间为x，由题意得，y=（180+10x）（50﹣x）﹣（50﹣x）×20=﹣10x2+340x+8000=﹣10（x ﹣17）2+10890故可得当x=17，即房间定价为180+170=350元的时候利润最大．答：房间定价为350元时，利润最大．11。
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 有下列四个数：-1, 0, 1, √2，其中无理数是（）A. -1B. 0C. 1D. √2答案：D解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数，√2无法表示为两个整数的比，故选D。
2. 下列各数中，与-3的平方相等的是（）A. 3B. -3C. 9D. -9答案：C解析：-3的平方为9，故选C。
3. 已知a = 2，b = -3，则a² - 2ab + b²的值为（）A. 25B. -25C. 1D. -1答案：A解析：将a和b的值代入a² - 2ab + b²，得(2)² -22(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25，故选A。
4. 下列等式中，正确的是（）A. (a²)³ = a⁶B. (a³)² = a⁶C. (a²)³ = a⁹D. (a³)² = a⁹答案：B解析：幂的乘方规则，(a³)² = a³² = a⁶，故选B。
5. 已知|a| = 5，且a < 0，则a的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -10答案：B解析：绝对值表示一个数的非负值，|a| = 5表示a的绝对值为5，由于a < 0，所以a = -5，故选B。
6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 1答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，y = x³满足这个条件，故选B。
7. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x² < 0B. x² ≤ 0C. x² > 0D. x² ≥ 0答案：D解析：任何数的平方都是非负数，所以x² ≥ 0对所有的x都有解，故选D。
九年级数学上册期中考试试卷(含答案)
九年级数学上册期中考试试卷初三数学初三( )班学号_________ 姓名_________ 成绩________一、填空题(每空2分，共22分)1．方程x2－5x=0的根是______________．2．若a2－2a－3=0，则2a2－4a=_______________．3．若关于x的方程x2－(m+1)x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为________．4．二次函数y=－x2+2x+3的图象开口向_________，顶点坐标是_________．5．若将抛物线y=3x2－1向左平移1个单位后，则得到的新抛物线解析式为__________．6．若抛物线y=ax2+4ax－3与x轴的一个交点为A(－1，0)，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为______________．7．若抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过两点(－1，y1)，(－2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2．(填“>”，“<”或“=”)8．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m(即MO=6m)，小孔顶点N距水面4．5 m(即NC=4．5m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的平面直角坐标系，则此时大孔的水面宽度EF为_________m．9．抛物线y=ax2－3x+a2－1的一部分如图，则a的值是__________．10．若抛物线y=x2+(m－1)x+m－2与x轴的两个交点之间的距离为2，则m=________．二、选择题(每小题3分，共30分)题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案11．若关于x的一元二次方程(m－1)x2+5x+m2－3m+2=0的一个根为0，则m的值为( ) A．0 B．1或2 C．1 D．212．关于x的一元二次方程x2+bx－1=0的根的情况为 ( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定13．某外贸公司受全球金融危机影响，今年五月份销售额为450万元，从六月份起经济有所复苏，销售额逐月上升，七月份销售额达到648万元．则该公司六、七两月份销售额平均增长率为 ( )A．10％ B．20％ C．19％ D．25％14．用配方法将二次函数y=3x2－4x－2写成形如y=a(x+m)2+n的形式，则m，n的值分别是( )A．23m=，103n= B．23m=-，103n=- C．m=2，n=6 D．m=2，n=－215．抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则下列关系式不正确．．．的是 ( ) A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c>0 D．b2－4ac>016．已知函数y=x2－2x－2的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是 ( )A ．－1≤x ≤3B ．－3≤x ≤1C ．x ≥－3D ．x ≤－1或x ≥3 17．对于二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的 零点．．，则二次函数232y x mx m =-+-的零点．．的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．不能确定 18．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2+bx 的图象 可能为 ( )19．抛物线y=x 2－4x －5与x 轴交于点A 、B ，点P 在抛物线上，若△PAB 的面积为27，则满足条件的点P 有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：x … －1 0 1 3 … y…－3131…则下列判断中正确的是 ( ) A ．抛物线与y 轴交于负半轴 B ．抛物线开口向上C ．当x=4时，y>0D ．方程ax 2+bx+c=0的正根在3与4之间 三、解答题(本题共8小题，共48分) 21．解下列方程(每小题3分，共6分) (1)2x 2－x －1=0 (2)212111x x x -=--22．根据下列条件，求二次函数的解析式(每小题3分，共6分) (1)图象的顶点为(2，3)，且过点(3，1)：(2)图象经过点(1，－2)、(0，－1)、(一2，－11)．23．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k －2)x+k －3=0有两个不相等的实数根，试求实数 k 的取值范围．(本题5分)24．若关于x 的一元二次方程x 2－(2m+1)x+m 2+m －2=0的两个实数根x 1，x 2满足：12112x x +=，求m 的值． (本题5分)25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴的负半轴相交于点C，若点C的坐标为(0，－3)，且BO=CO．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当y<0时，x的取值范围．(本题6分)26．如图，长方形鸡场的一边靠墙(墙长18m)，墙对面有一个2m宽的门：另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m．(1)若鸡场面积为150m2，求鸡场的长和宽各为多少m?(2)求围成的鸡场的最大面积．(本题6分)27．某公司经销某品牌运动鞋，年售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a元．(1) a=___________；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并请回答广告费x(万元)在什么范围内，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增大而增多?(注：年利润S=年销售总额－成本费－广告费) (本题7分)28．如图，已知抛物线与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)．(1)试求抛物线的解析式；(2)设点D是该抛物线的顶点，试求直线CD的解析式：(3)若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段．．．．．．试探究：抛物线向上最多可平移多少个．．．．．．．EF．．总有公共点单位长度? 向下最多可平移多少个单位长度? (本题7分)。
人教版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解
人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的解为（）A ．x 1＝2，x 2＝﹣3B ．x 1＝﹣2，x 2＝3C ．x 1＝﹣2，x 2＝﹣3D ．x 1＝2，x 2＝33．二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠的图像经过点（0，2），则a+b 的值是（）A ．-3B ．-1C ．2D ．34．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为()A ．B ．4C ．D ．55．如图，ABC 和111A B C 关于点E 成中心对称，则点E 坐标是（）A ．() 3,1--B ．() 3,3--C ．()3,0-D ．()4,1--6．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：x …-10245…y 1…01356…y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．已知如图，PA 、PB 切O 于A 、B ，MN 切O 于C ，交PB 于N ；若7.5PA cm =，则PMN 的周长是（）A ．7.5cmB ．10cmC ．15cmD ．12.5cm8．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转40°得到△A'B'C ，CB'与AB 相交于点D ，连接AA'，则∠B'A'A 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°9．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ．F 分别在BC 和CD上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线AC=1+，其中正确的序号是（）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④10．已知二次函数2y x bx 1=-+，当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是()A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动二、填空题11．若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．12．将抛物线y ＝x 2＋1向下平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为__________.13．由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为_____．14．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的的圆心P 在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ，以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么与直线CD 相切时，圆心P 的运动时间为_____．15．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是_____．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 在CD 上，1DE =，点F 在边AB 上一动点，以EF 为斜边作Rt EFP ∆.若点P 在矩形ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF 的值是__________．三、解答题17．解下列方程（1）2450x x --=（2）()22(3)33x x -=-18．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB 的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．（1）在图①中，以线段AB 为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；（2）在图②中，以线段AB 为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.19．为响应“美丽台州，美化环境”的号召，某校开展“美丽台州，清洁校园”的活动，该校经过精心设计，在绿化工作中设计一块170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍长3m ，则这块矩形场地的长和宽各是多少米？20．如图，已知AB 是⊙O 中一条固定的弦，点C 是优弧AB 上一个动点(点C 不与A ，B 重合)．（1）设∠ACB 的角平分线与劣弧AB 交于点P ，试猜想点P 在弧AB 上的位置是否会随点C 的运动而发生变化？请说明理由；（2）如图②，设A′B′=8，⊙O 的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP 的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围．21．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.(2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.22．如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 在AC 上（且不与点A ，C 重合），在△ABC 的外部作△CED ，使∠CED=90°，DE=CE ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．（1）请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；（2）将△CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论．23．如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．（1）如图①，求证：OP∥BC；（2）如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．24．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为()()1010x xyx x⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数21 42y x x=-+-．①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数21 42y x x=-+-的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣12，1），（92，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数24y x x m =-++的相关函数的图象有两个公共点时m 的取值范围．答案与详解1．C 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．D 【分析】利用因式分解法解方程．解：（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，∴x 1＝2，x 2＝3．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．C 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点（0，2）直接代入解析式即可得到答案．【详解】∵二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠的图象经过点（0，2），∴22(01)a b =⋅-+，∴2a b +=．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4．A 【详解】试题解析：连接OA ，OB ．45,C ∠=︒ 90AOB ∴∠=︒，∴在Rt AOB △中，OA OB ==点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.5．A【分析】先求出△ABC和△A1B1C1中对应的两点坐标，连接此两点坐标则E点必在其中点上，求出其中点坐标即可．【详解】由图可知：因为B、B1点的坐标分别是：B（-5，1）、B1（-1，-3），所以BB1的中点坐标为（512--，132-），即（-3，-1），则点E坐标是（-3，-1），故选A．【点睛】本题考查了坐标与图象变化-旋转，用到的知识点是图形旋转对称的性质等，图形旋转后时，其旋转中心必是其对应点连线的中点坐标．6．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．C【分析】已知MN、PA、PB是⊙O的三条切线，于是可得MA=MC、NC=NB、PA=PB；从而可得△PMN的周长用AP、BP来表示，代入数值即可求解.【详解】∵直线PA、PA、MN分别于圆相切于点A、B、C，∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，∴△PMN的周长=PM+PN+MN=PM+AM+PN+BN=PA+PB=7.5+7.5=15.故选C.【点睛】考查圆的切线的性质定理，关键是掌握切线长定理；8．C【分析】先确定旋转角∠A′CA，根据旋转的性质A′C=AC，可求∠AA′C，∠B′A′C要求的∠B′A′A=∠B′A′C-∠AA′C即可．【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，∴∠A′CA=40º，∵A′C=AC，∴∠AA′C=180-40=702︒︒︒，∵∠BAC=∠B′A′C==90°，∴∠B′A′A=∠B′A′C-∠AA′C=90º-70º=20º．故选择：C ．【点睛】本题考查图形旋转的性质和等腰三角形的性质等问题，掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，会找旋转角，会利用等腰三角形求∠AA′C ，找到∠B′A′A 与∠AA′C 的关系是解题关键．9．A【分析】根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD=BC=DC ，∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB AD AE AF =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ，AE=AF ，∵BC=DC ，∴BC-BE=CD-DF ，∴CE=CF ，故①正确；∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于G 点，∵AE=AF，CE=CF，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，故③错误；∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC⊥EF，∴EG=FG=1，∴AG=AE•sin60°3232=⨯=CG=112EF=，∴31；故④正确．综上，①②④正确故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．10．C【分析】先分别求出当b=-1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．【详解】当b=-1时，此函数解析式为：y=x2+x+1，顶点坐标为：13 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，；当b=0时，此函数解析式为：y=x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b=1时，此函数解析式为：y=x2-x+1，顶点坐标为：13 24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．11．1【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把x=1代入方程220x ax +-=得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．y =x 2﹣2【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．【详解】抛物线y =x 2+1向下平移3个单位得到的解析式为y =x 2+1﹣3，即y =x 2﹣2．故答案为y =x 2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．13．20%．【分析】设平均每次下调的百分率为x,则第一次下调后的关税为4000(1-x),第二次下调的关税为40002(1)x -,根据题意可列方程为40002(1)x -=2560求解即可.【详解】解：设平均每次下调的百分率为x,根据题意得:(1)x =2560，40002解得:1x=0.2=20%,2x=1.8=180%(舍去),即:平均每次下调的百分率为20%.故答案是:20%.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据已知条件列出方程是解题的关键.14．4秒或8秒【分析】⊙P与CD相切应有两种情况，一种是在射线OA上，另一种在射线OB上，设对应的圆的圆心分别在M，N两点．当P在M点时，根据切线的性质，在直角△OME中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得OM的长，进而求得PM的长，从而求得由P 到M移动的时间；根据ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移动的时间．【详解】①当⊙P在射线OA上，设⊙P于CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．∵⊙P与直线CD相切，∴∠OEM=90°，∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°，∴OM=2ME=2cm，则PM=OP-OM=6-2=4cm，∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，∴⊙P移动4秒时与直线CD相切；②当⊙P的圆移动到直线CD的右侧，同理可求ON=2则PN=6+2=8cm．∴⊙P移动8秒时与直线CD相切．故答案为：4秒或8秒．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．15．4.8【详解】设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8．故答案为：4.8．考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理16．0或1113AF <<或4【详解】【分析】在点F 的运动过程中分别以EF 为直径作圆，观察圆和矩形矩形ABCD 边的交点个数即可得到结论.【解答】当点F 与点A 重合时，以EF 为斜边Rt EFP ∆恰好有两个，符合题意.当点F 从点A 向点B 运动时，当01AF <<时，共有4个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1AF =时，有1个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1113AF <<时，有2个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当113AF =时，有3个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1143AF <<时，有4个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当点F 与点B 重合时，以EF 为斜边Rt EFP ∆恰好有两个，符合题意.故答案为0或1113AF <<或4【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.17．（1）1251x x ，==-；（2）12932x x ==，【分析】（1）利用因式分解法解方程得出答案；（2）移项变形，利用因式分解法解方程得出答案．【详解】（1）2450x x --=，因式分解得：()()510x x -+=，解得：1251x x ，==-；（2）()22(3)33x x -=-，移项得：()22(3)330x x ---=，因式分解得：()()3290x x --=，∴30x -=或290x -=，解得：12932x x ==，．【点睛】本题主要考查了因式分解法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）作AB 的垂直平分线，垂直平分线在端点处的点即为顶点；（2）如下图所示，满足面积条件和直角条件；（3）以AB 为对角线，绘制平行四边形即可【详解】（1）如下图，过线段AB 作垂直平分线，与网络交于格点C ，则点C 为等腰直角三角形顶点根据勾股定理，可求得，根据勾股定理逆定理，可得△ABC 是直角三角形，满足条件（2）图形如下：根据勾股定理，可求得：10，2，BC=22根据勾股定理逆定理，可判断△ACB是直角三角形面积=122×22=2，成立（3）平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，图形如下：(答案不唯一)【点睛】本题考查格点问题，解题过程中，一方面需要结合几何特征，另一方面，还要敢于尝试19．这块矩形场地的长是23米、宽是10米．【分析】阅读试题，理解含义，分清题意，找出等量关系设矩形场地的宽为x米，则矩形场地的长为（2x+3）米，利用面积得：x(2x+3)=170，解方程要检验，负根舍去，最后作答即可．【详解】设这块矩形场地的宽为x米，则矩形场地的长为（2x+3）米，由面积得：x(2x+3)=170，因式分解得：(2x+17)(x-10)=0，∴x=10，x=-172(舍)，∴2x+3=23，答：这块矩形场地的长是23米、宽是10米．【点睛】本题考查面积问题应用题，抓住矩形的长比宽的2倍长3m 来设元，抓住一块170m 2的矩形场地列方程是解题关键，掌握列方程解应用题的步骤与要求，分析题意，恰当设元，列出方程，解方程，检验，作答．20．（1）不变化，理由见详解；（2）8<S 四边形A′C′B′P′≤40【分析】（1）由∠ACP=∠BCP 得 AP BP=，P 为 AB 的中点，P 在弧AB 上的位置不动，p 点不变化，（2）四边形ACBP 的面积不是定值，连接OA ，OB ，OP ，OP 交AB 于D ，由 AP BP =，OP 为半径，由垂经定理知OP ⊥AB ，AB=BD ，由勾股定理得OD=，进而S △APB =12AB DP ，当PC 为直径时，S △ABC 最大=12AB DC 则0<S △ABC ≤32即可求出S 四边形ACBP =S △ABC +S △PAB =S △ABC +8的范围，即S 四边形A′C′B′P′的范围．【详解】（1）∵∠ACB 的角平分线与劣弧AB 交于点P ，∴∠ACP=∠BCP ，∴ AP BP=，∴P 为 AB 的中点，∴P 在弧AB 上的位置不动，为此不随点C 的运动而发生变化，P 点不变化．（2）四边形ACBP 的面积不是定值，连接OA ，OB ，OP ，OP 交AB 于D ，由 AP BP=，OP 为半径，∴OP ⊥AB ，AB=BD=4，OA=5，∴由勾股定理得3==，∴DP=OP-OD=5-3=2，∴S △APB =1182822AB DP =⨯⨯= ，当PC 为直径时，交AB 于点D ，则CD=PC-PD=10-2=8，S △ABC 最大=11883222AB DC =⨯⨯= ，0<S △ABC ≤32，S 四边形ACBP =S △ABC +S △PAB =S △ABC +8，8<S 四边形ACBP ≤40，即8<S 四边形A′C′B′P′≤40．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形面积，勾股定理等内容，熟练掌握圆周角定理是解题关键．21．（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析：(1)根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3650a c =-=.∴抛物线的表达式是23650y x =-+.(2)可设N (5,N y )，于是2356 4.550N y =-⨯+=.从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3)设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.22．（1）AE ；（2）AE ，证明见解析.【详解】解：（1）如图①中，∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB=DF ，∵AB=AC ，∴AC=DF ，∵DE=EC ，∴AE=EF ，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE ．（2）如图②中，连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE ，∵∠DKC=∠C ，∴DK=DC ，∵DF=AB=AC ，∴KF=AD ，在△EKF 和△EDA 中，{EK DKEKF ADE KF AD=∠=∠=，∴△EKF ≌△EDA ，∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE．23．（1）证明见详解；（2）36º或1807︒．【分析】(1)连接PC ，由 AP PC=得AOP COP ∠=∠，利用△AOP ≌△COP ，得出∠APO=∠CPO ，由OA=OP 得∠APO=∠OAP ，由∠PCB=∠OAP 得∠PCO=∠PCB 即可；（2）如图，△OCD 是等腰三角形①当OD=CD 时，连接BC ，OP ，设∠BOC=∠DCO=xº,∠BDC=∠BOC+∠DCO=2xº,由（1）知OP ∥BC ，∠POD=∠OBC ，易证△POD ≌ΔOBC ，BC=OD=CD ，∠OBC=∠OCB=∠CDB=2xº，∠BAC+∠OBC+∠OCB=180º即x+2x+2x=180；②当OC=CD 时由OP ∥BC ，∠OPC=∠DCB ，由OP=OC ，∠OCP=∠OPC=∠DCB ，设∠OCP=∠OPC=DCB=yº，∠OCB=∠OCD+∠DCB=2xº，∠OBC=∠OCB=2xº，∠ODC 是ΔCDB 的外角，得∠COD=∠ODC=3xº，由∠OCD+∠COD+∠ODC=180º即x+3x+3x=180．【详解】(1)连接PC ，∵ AP PC =，∴AOP COP ∠=∠，在△AOP 和△COP 中，,,,OP OP AOP COP OA OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOP ≌△COP ，∴∠APO=∠CPO ，∵OA=OP ，∴∠APO=∠OAP ，又∵∠PCB=∠OAP ，∴∠PCO=∠PCB ，∴OP ∥BC，（2）如图，△OCD 是等腰三角形，①当OD=CD 时，连接BC ，OP ，设∠BOC=∠DCO=xº,∠BDC=∠BOC+∠DCO=2xº,由（1）知OP ∥BC ，∴∠POD=∠OBC，∵OP=OC，∴∠OPD=∠OCD=BOC=xº，∴△POD≌ΔOBC，∴BC=OD=CD，∴∠OBC=∠OCB=∠CDB=2xº，∠BAC+∠OBC+∠OCB=180º，x+2x+2x=180，x=36，∠PAB=∠PCB=36º，②当OC=CD时由OP∥BC，∠OPC=∠DCB，OP=OC，∠OCP=∠OPC=DCB，设∠OCP=∠OPC=DCB=yº，∠OCB=∠OCD+∠DCB=2xº，∠OBC=∠OCB=2xº，∠ODC是ΔCDB的外角，∠ODC=∠DCB+∠DBC=3xº，∠COD=∠ODC=3xº，在ΔOCD中，∠OCD+∠COD+∠ODC=180º，x+3x+3x=180，x=1807，∴∠PAB=∠PCB=1807︒，综合∠PAO=36º或1807︒．【点睛】不本题考查园中平行与等腰三角形中角度问题，掌握圆心角、圆周角、弧的关系，会利用全等三角形证相关的结论，会证等腰三角形，利用内角与外角关系，求角的度数，本题是一道有关圆的综合应用题，作出恰当的辅助线是解答本题的关键．24．（1）1；（2）①m =2m或m =2﹣；②最大值为432，最小值为﹣12；（3）﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【分析】（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将然后将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3求解即可；（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+-，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x ≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3得：5a +3=8，解得：a =1．（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩；①当m ＜0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+得213422m m -+=，解得：m=2+（舍去）或m =2当m ≥0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+-得：213422m m -+-=，解得：m=2+或m =2．综上所述：m =2m或m =2．②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+，抛物线的对称轴为x =2，此时y 随x 的增大而减小，∴此时y 的最大值为432．当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，抛物线的对称轴为x =2，当x =0有最小值，最小值为﹣12，当x =2时，有最大值，最大值y =72．综上所述，当﹣3≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值为432，最小值为﹣12；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x =2时，y =1，即﹣4+8+n =1，解得n =﹣3．如图2所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线24y x x n =-++与y 轴交点纵坐标为1，∴﹣n =1，解得：n =﹣1，∴当﹣3＜n ≤﹣1时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线24y x x n =-++经过点（0，1），∴n =1．如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线24y x x n =--经过点M （﹣12，1），∴14+2﹣n =1，解得：n =54，∴1＜n ≤54时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．。
初三上数学期中试卷带答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，哪个数是负数？A. -3B. 3C. 0D. -5/22. 如果a=2，那么2a等于：A. 4B. -4C. 1D. 03. 下列哪个数是偶数？A. 3.14B. 4C. 5D. 0.54. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 长方形B. 正方形C. 等边三角形D. 等腰梯形5. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，它的面积是多少平方厘米？A. 30B. 40C. 50D. 806. 下列哪个函数是线性函数？A. y = x^2 + 3B. y = 2x + 5C. y = 3/xD. y = √x7. 下列哪个方程的解是x=2？A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 2 = 8D. 5x - 3 = 98. 下列哪个数是无理数？A. √4B. √9C. √16D. √259. 一个等腰三角形的底边长是10cm，腰长是6cm，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？A. 24B. 30C. 36D. 4010. 下列哪个图形是圆？A. 矩形B. 正方形C. 圆形D. 三角形二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数是正数，它的相反数是______。
12. 2的平方根是______。
13. 一个等边三角形的边长是5cm，它的面积是______平方厘米。
14. 下列函数中，______是反比例函数。
15. 下列方程中，______的解是x=3。
16. 下列数中，______是有理数。
17. 一个圆的半径是4cm，它的直径是______cm。
18. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，那么它的斜边长是______cm。
19. 下列图形中，______是平行四边形。
20. 下列方程中，______的解是y=2。
三、解答题（每题10分，共40分）21. （10分）计算下列各题：a. 3 + 4 - 2 × 5b. -2 × (-3) ÷ 4 + 522. （10分）解下列方程：2x - 5 = 1123. （10分）计算下列各题：a. 3a^2 - 2a + 5，其中a=2b. (3x - 2y) + (2x + y)，其中x=3，y=224. （10分）证明下列命题：如果一个三角形的一边长是5cm，另外两边长分别是3cm和4cm，那么这个三角形是直角三角形。
2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷答案解析版
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．
故选C．
12.【答案】B
【分析】首先判断出从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=x（0≤x≤1）；然后判断出从点C到点D，△ABP的底AB的高一定，高都等于BC的长度，所以△ABP的面积一定，y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=1（1≤x≤3），进而判断出△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致是哪一个即可．
【详解】解：（1）由题意得， = = ；
（2）P= = = ，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得 =6000，
解得 ， ，
∵抛物线P= 的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，
所以x1=x2=2.
23.【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
是等边三角形，
．
，
．
，
．
．
．
于点 ．
点 在 上，
是 的切线；
（2）解：如图2，连接 ， ，
为 直径，
．
， ．
是等边三角形，
， ．
，
．
．
24.【答案】（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
【详解】解：从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=x（0≤x≤1）；
因为从点C到点D，△ABP的面积一定：2×1÷2=1，
九年级(上)期中数学试卷(答案解析版)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（）A．4 B．±2 C．2 D．﹣22．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=65．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣3C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140° D．120°7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3 10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=度．12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为．13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转度可以和原来的图形重合．14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是．16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是m．三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）画出△AB′C′；（2）求点C′的坐标．四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．（1）求证：△BCE≌△B1CF；（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（）A．4 B．±2 C．2 D．﹣2【解答】解：x2﹣4=0，∴x2=4，开平方得：x=±2．故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故选：A．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；D、是中心对称图形，也是轴对称图形．故选：B．4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，配方得（x﹣2）2=2．故选：A．5．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣3C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；C．其最小值为1，故此选项正确；D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：C．6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140° D．120°【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选：A．8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，故选：B．9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+3．故选：D．10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，故BE=CF=AG=2﹣x；故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x．则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；故y=S△ABC ﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（3x2﹣6x+4）．故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=35度．【解答】解：∵∠AOB=70°，∴∠C=∠AOB=35°．故答案为：35．12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为x（x﹣1）=132．【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：x（x﹣1）=132，故答案为：x（x﹣1）=132．13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转60度可以和原来的图形重合．【解答】解：∵正六边形的中心角==60°，∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转60°可以和原来的图形重合．故答案60．14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为110°．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣3，x2=1．【解答】解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则=﹣1，解得x=1，∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣3，x2=1．故答案为：x1=﹣3，x2=1．16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是250m．【解答】解：设半径为r，则OD=r﹣CD=r﹣50，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB，在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，即r2=（×300）2+（r﹣50）2=22500+r2+2500﹣100r，r=250m．答：这段弯路的半径是250m．三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．【解答】解：分解因式得：（x+3）（x﹣4）=0，可得x+3=0或x﹣4=0，解得：x1=﹣3，x2=4．18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则AC=BC=AB∵AB=8cm，OC=3cm∴BC=4cm在Rt△BOC中，OB==5cm即⊙O的半径是5cm．19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）画出△AB′C′；（2）求点C′的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求；（2）由（1）可知，点C′的坐标为（﹣2，5）．四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，根据题意得：（20﹣2x）（10﹣2x）=56，整理得：（x﹣3）（x﹣12）=0，解得：x=3或x=12，经检验x=12不合题意，舍去，∴x=3，则剪去小正方形的边长为3cm．21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．（1）求证：△BCE≌△B1CF；（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．【解答】（1）证明：由题意得，BC=B1C，∠B=∠B1=60°，又∵∠BCE+∠ECF=90°，∠B1CF+∠ECF=90°，∴∠BCE=∠B1CF，在△BCE和△B1CF中，，∴△BCE≌△B1CF（ASA）；（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由如下：证明：∵∠ECF=30°，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，得∠A1EO=60°，又∵∠A1=30°，∴∠A1EO=60°，即AB与A1B1垂直．22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？【解答】解：连接OA、OC，∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD=20cm，∴CG=CD=10cm，在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2=CG2+OG2，OC2=102+（OC﹣2）2，解得：OC=26（cm），则OE=26cm﹣2cm﹣2cm=22cm，∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，∴262=222+AE2，∴AE=8，∵OE⊥AB，OE过O，∴AB=2AE=16cm．五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax 2+2ax +c （a ＞0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为（1，0），OC=3OB ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值； （3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OC=3OB ，B （1，0），∴C （0，﹣3）．把点B ，C 的坐标代入y=ax 2+2ax +c ，得a=1，c=﹣3，∴抛物线的解析式y=x 2+2x ﹣3．（2）由A （﹣3，0），C （0，﹣3）得直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣3，如图1，过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M ，N ．设M （m ，﹣m ﹣3）则D （m ，m 2+2m ﹣3）， DM=﹣m ﹣3﹣（m 2+2m ﹣3）=﹣m 2﹣3m=﹣（m +）2+，∴﹣1＜0，∴当x=时，DM 有最大值，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =×4×3+×3×DM ，此时四边形A BCD 面积有最大值为6+×=．（3）存在．讨论：①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x 轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3∴x1=0，x2=﹣2．∴P1（﹣2，﹣3）．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C（0，﹣3），∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，此时存在点P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3），综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据题意得：x（40﹣2x）=200，解得：x1=x2=10，∴40﹣2x=20．答：鸡场平行于墙的一边长为20m．（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据题意得：y（40﹣2y）=250，整理得：y2﹣20y+125=0．∵△=（﹣20）2﹣4×1×125=﹣100＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．【解答】解：（1）由旋转的性质知AP′=AP=6，∠P′AB=∠PAC，∴∠P′AP=∠BAC=60°，∴△P′AP是等边三角形，∴PP′=6；（2）∵P′B=PC=10，PB=8，∴P′B2=P′P2+PB2，∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB=90°，∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°．。
九年级(上)期中数学试卷(解析版)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B． C．D．2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0（a≠0）的一个根是x=﹣1，则2017﹣a+b的值为（）A．2011 B．2023 C．2013 D．20183．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠04．（3分）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．s=2t2﹣2t+1 B．y=ax2+bx+c C．y=3x﹣1 D．y=6．（3分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（2，4） B．（3，﹣4）C．（3，4） D．（﹣2，4）7．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=，且经过点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则y1和y2的大小为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1≥y28．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=55°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．55°9．（3分）已知正六边形的边心距为，则它的半径为（）A．2 B．4 C．2 D．410．（3分）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则在平面直角系中二次函数y=ax2+bx的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）将一元二次方程2（x+2）2+（x+3）（x﹣2）=﹣11化为一般形式为．12．（3分）已知点P（3，1﹣b）关于原点的对称点Q的坐标是（a，﹣1），则a b的值是．13．（3分）若二次函数y=mx2+（m+1）x+m的图象都在x轴的下方，则m的取值范围是．14．（3分）把抛物线y=（x+2）2﹣3向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为．15．（3分）一个扇形的弧长是10πm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是．三、解答题（本题8个小题，满分75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2+8x+15=0；（2）3x2+x﹣5=0．17．（9分）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为A（6，﹣3）、B（0，﹣5）．（1）画出△OAB绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；（3）猜想：∠OAB的度数为多少？不必说明理由．19．（9分）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．20．（9分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD 于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．22．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？23．（11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；=32，求此时P点的坐标．（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S△PAB参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0（a≠0）的一个根是x=﹣1，则2017﹣a+b的值为（）A．2011 B．2023 C．2013 D．2018【解答】解：把x=﹣1代入方程得：a﹣b+6=0，即a﹣b=﹣6，则原式=2017﹣（﹣6）=2023，故选：B．3．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．4．（3分）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°得到△A′B′C，∴∠ACA′=35°，∠A=∠A′，∵∠A′DC=90°，∴∠A′=90°﹣35°=55°，∴∠A=55°．故选：C．5．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．s=2t2﹣2t+1 B．y=ax2+bx+c C．y=3x﹣1 D．y=【解答】解：A、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故A正确；B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；C、y=3x﹣1是一次函数，故C错误；D、y=x2+不是二次函数，故D错误；故选：A．6．（3分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（2，4） B．（3，﹣4）C．（3，4） D．（﹣2，4）【解答】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4），故选：C．7．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=，且经过点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则y1和y2的大小为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1≥y2【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=，∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，又∵﹣3＜﹣1＜，∴y1＞y2．故选：A．8．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=55°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．100°B．90°C．80°D．55°【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=45°，∵∠D=∠C=55°，∴∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠D=80°．故选：C．9．（3分）已知正六边形的边心距为，则它的半径为（）A．2 B．4 C．2 D．4【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG=，∠AOG=30°，∴OA=OG÷cos 30°=÷=2；故选：A．10．（3分）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则在平面直角系中二次函数y=ax2+bx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴二次函数y=ax2+bx的图象的开口向上，对称轴在y轴的右侧，且过原点．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）将一元二次方程2（x+2）2+（x+3）（x﹣2）=﹣11化为一般形式为3x2+9x+13=0．【解答】解：一元二次方程2（x+2）2+（x+3）（x﹣2）=﹣11化为一般形式为3x2+9x+13=0；故答案为：3x2+9x+13=0．12．（3分）已知点P（3，1﹣b）关于原点的对称点Q的坐标是（a，﹣1），则a b的值是1．【解答】解：∵点P（3，1﹣b）关于原点的对称点Q的坐标是（a，﹣1），∴a=﹣3，1﹣b=1，解得b=0，所以，a b=（﹣3）0=1．故答案为：1．13．（3分）若二次函数y=mx2+（m+1）x+m的图象都在x轴的下方，则m的取值范围是m＜﹣．【解答】解：由题意可得出：，解得：m＜﹣．故答案为：m＜﹣．14．（3分）把抛物线y=（x+2）2﹣3向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为y=（x+6）2﹣1．【解答】解：抛物线y=（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），∵向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，∴﹣2﹣4=﹣6，﹣3+2=﹣1，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（6，﹣1），∴所得抛物线的解析式为y=（x+6）2﹣1．故答案为：y=（x+6）2﹣1．15．（3分）一个扇形的弧长是10πm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是150°．【解答】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S=Rl，即60π=×R×10π，解得：R=12，∴S=60π=，解得：n=150°，故答案为：150°．三、解答题（本题8个小题，满分75分）16．（8分）解下列方程：（1）x2+8x+15=0；（2）3x2+x﹣5=0．【解答】解：（1）∵（x+3）（x+5）=0，∴x+3=0或x+5=0，解得：x=﹣3或x=﹣5；（2）∵a=3、b=1、c=﹣5，∴△=1﹣4×3×（﹣5）=61＞0，则x=，即x1=、x2=．17．（9分）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4，解得：x1=（不符合，舍去），x2=．答：配色条纹宽度为米．（2）条纹造价：×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1﹣）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为A（6，﹣3）、B（0，﹣5）．（1）画出△OAB绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；（3）猜想：∠OAB的度数为多少？不必说明理由．【解答】解：（1）△OA1B1如图所示；（2）△OA2B2如图所示；（3）∠OAB=45°．理由如下：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（6，﹣3），B（0，﹣5），∴，解得，∴y=x﹣5，当x=﹣3时，y=×（﹣3）﹣5=﹣6，∴点A1在直线AB上，∵OA=OA1，∠AOA1=90°，∴△AOA1是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°．19．（9分）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【解答】（1）证明：如图，∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF；（2）解：如图，∵四边形ABDF为菱形，∴DF=AF=2，DF∥AB，∴∠1=∠BAC=45°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴CF=AF=2，∴CD=CF﹣DF=2﹣2．20．（9分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD 于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=1寸，CD=10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴（x﹣1）2+52=x2．解得：x=13，∴⊙O的直径为26寸．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即BA⊥AE．∴AE是⊙O的切线．（2）连接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π．22．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）由题意可得：S=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000依题意：x≤40×1.9，即x≤76，对于二次函数S=﹣10（x﹣80）2+16000，当x≤80时，s随x的增大而增大，故当x最大为76时，s最大为15840元．23．（11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；=32，求此时P点的坐标．（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S△PAB【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣2或x=6，∴﹣2+6=﹣b，﹣2×6=c，∴b=﹣4，c=﹣12，∴二次函数解析式是y=x2﹣4x﹣12．（2）∵y=x2﹣4x﹣12=（x﹣2）2﹣16，∴抛物线的对称轴x=2，顶点坐标（2，﹣16）．（3）设P的纵坐标为|y P|，=32，∵S△PAB∴•AB•|y P|=32，∵AB=6+2=8，∴|y P|=8，∴y P=±8，把y P=8代入解析式得，8=x2﹣4x﹣12，解得，x=2±2，把y P=﹣8代入解析式得，﹣8=x2﹣4x﹣12，解得x=2±2，又知点P为y轴右侧抛物线上一个动点，即x=2±2（负值舍去）或x=2±2（负值舍去），综上点P的坐标为（2+2，8）或（2+2，﹣8）．。
2023-2024学年人教新版九年级上册数学期中复习试卷(含解析)
2023-2024学年人教新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（ ）A．7℃B．﹣70℃C．3℃D．﹣3℃2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（ ）A．a8÷a4＝a2B．4a5﹣3a5＝1C．a3•a4＝a7D．（a2）4＝a6 4．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC．若∠1＝40°，则∠ABC的大小为（ ）A．20°B．40°C．70°D．80°5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣m＝0的一个解，则m的值是（ ）A．1B．﹣2C．2D．﹣16．将抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A．y＝（x+3）2+3B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+37．如图，直径为AB的⊙O中，＝2，连接BC，则∠B的度数为（ ）A．35°B．30°C．20°D．15°8．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC的长为（ ）A．3B．4C．6D．249．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）A．B．C．D．10．如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C 三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（ ）A．6B．5+C．6.5D．7二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．某市去年前三季度全市生产总值约21630亿元，把数21630用科学记数法表示为 ．12．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则t的范围是 ．13．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．14．一组数据：5，5，5，5，5，计算其方差的结果为 ．15．四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝85°，则∠D＝ °．16．一年级共有87名学生，其中58名是三好学生，63名是少先队员，49名既是三好学生又是少先队员．那么，不是少先队员又不是三好学生的人数是 ．三．解答题（共9小题，满分72分）17．计算：（1）（﹣1）2﹣+（3﹣）+|﹣1|；（2）+|﹣3|﹣（π﹣3.14）0+（﹣1）2021．18．先化简，再求值：[4（x﹣2）2+12（x+2）（x﹣2）﹣8（x﹣3）（x﹣2）]÷[4（x﹣2）]．其中x为最小的正整数．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请在线段BC上找一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AC＝6，BC＝8，则CD的长度为 ．20．2023年3月15日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征十一号运载火箭，成功发射试验十九号卫星．2023年，中国航天已开启“超级模式”，继续探秘星辰大海：实践二十三号卫星发射升空、“圆梦乘组”出舱首秀、中国空间站准备选拔国际航天员……某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识知识竞赛，赛后发现所有学生的成绩均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的竞赛成绩作为样本进行整理，并绘制了如下统计表．组别分数段（成绩为x分）频数组内学生的平均竞赛成绩/分A50≤x＜602055B60≤x＜706065C70≤x＜807072D80≤x＜904085E90≤x≤1001098（1）本次所抽取的这200名学生的竞赛成绩的中位数落在 组；（2）求本次所抽取的这200名学生的平均竞赛成绩；（3）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计该校参加这次竞赛的2000名学生中成绩为“优”等的有多少人？21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，将线段BE绕着点E顺时针旋转180°到EF，连接AF，CF．（1）求证：四边形ADCF为矩形；（2）若AD＝BC，AB＝，求BF的长．22．某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（2）要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？23．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．（1）求证：△BFG≌△DCG；（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为该抛物线的顶点，连接AC．（1）如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和△ACD的面积；（2）如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC 于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QD|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QD|取得最大值时，点M为直线x＝﹣2上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点D、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图，直线y＝2交y轴于点A，点B（m，2）（其中m＞0）在直线y＝2上运动．以线段AB为斜边向下作Rt△ABC．（1）若m＝5，且点C恰好落在x轴上，则点C的坐标为 ；（2）若有且仅有一个点C恰好落在x轴上．①此时m的值为 ；②如图2，以AB为直径作半圆，将线段AB绕点A顺时针旋转，使点B落在x轴正半轴上，则半圆里未被线段AB扫过的部分（即弓形AMH）面积为 ；（3）若点C不会落在x轴上，则m的取值范围为 ．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：根据题意得：5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃）．故选：A．2．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．3．解：A．a8÷a4＝a4，故本选项不合题意；B．4a5﹣3a5＝a5，故本选项不合题意；C．a3•a4＝a7，故本选项符合题意；D（a2）4＝a8，故本选项不合题意；故选：C．4．解：由题意得：AC＝AB，∴∠ABC＝∠ACB，∵l1∥l2，∠1＝40°，∴∠BAC＝∠1＝40°，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ABC+∠ABC+40°＝180°，解得：∠ABC＝70°．故选：C．5．解：将x＝1代入x2﹣m＝0，∴m＝1，故选：A．6．解：将抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为：y＝（x﹣1﹣4）2+3，即y＝（x﹣5）2+3．故选：D．7．解：如图，连接OC，∵＝2，∴∠BOC＝2∠AOC．又∵∠AOC+∠BOC＝180°．∴∠AOC＝60°．∴∠B＝∠AOC＝30°．故选：B．8．解：∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE＝3，∴BC＝2DE＝6．故选：C．9．解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选：D．10．解：∵点B在直线y＝kx+2k上，∴k（x+2）＝0，∴x+2＝0．，∴x＝﹣2∴A（﹣2，0），∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），在x轴上方作等边△AOF，∵∠CAB＝∠FAO＝60°，∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，又∵CA＝BA，AF＝AO，∴△AOB≌△AFC（SAS），∴∠AFC＝∠AOB＝90°，∴点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，∴CD+CE＝CD+CE'，∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：21630＝2.163×104．故答案为：2.163×104．12．解：抛物线的对称轴为直线x＝1，因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，因为t＜x＜5时，y随x的增大而减小，所以1≤t＜5．故答案为：1≤t＜5．13．解：由题意建立直角坐标系，如图，∵该圆弧所在圆的圆心是弦AC、AB的垂直平分线的交点O′，∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）．14．解：＝×（5+5+5+5+5）＝5，S2＝×[（5﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2]＝0，故答案为：0．15．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝85°，∴∠D＝180°﹣85°＝95°，故答案为：95．16．解：是三好学生而不是少先队员的人数是：58﹣49＝9人；是少先队员而不是三好学生的人数是：63﹣49＝14人；则只是三好学生和只是少先队员的人数是：9+14＝23人．∴既不是少先队员又不是三好学生的人数有：87﹣49﹣23＝15人．故答案为：15．三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：（1）（﹣1）2﹣+（3﹣）+|﹣1|＝1﹣2+3﹣+﹣1＝1；（2）+|﹣3|﹣（π﹣3.14）0+（﹣1）2021＝3+（3﹣）﹣1﹣1＝3+3﹣﹣1﹣1＝4﹣．18．解：原式＝（x﹣2）+3（x+2）﹣2（x﹣3）＝x﹣2+3x+6﹣2x+6＝2x+10，当x＝1时，原式＝2+10＝12．19．解：（1）如图所示：所以点D为所求；（2）过点D作DE⊥AB于E，设DC＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝＝10，∵点D到边AC、AB的距离相等，∴AD是∠BAC的平分线，又∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝x，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，∴BE＝4，在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，由勾股定理得DE2+BE2＝BD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．答：CD的长度为3．故答案为：3．20．解：（1）由题意知，中位数为第100、101位数据的平均值，∵20+60＝80＜100，20+60+70＝150＞100，∴中位数落在C组，故答案为：C．（2）由题意知，本次所抽取的这200名学生的平均竞赛成绩为：（分），答：本次所抽取的这200名学生的平均竞赛成绩为72.1分．（3）（人），答：估计该校参加这次竞赛的2000名学生中成绩为“优”等的有500人．21．（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵将线段BE绕着点E顺时针旋转180°到EF，∴BE＝EF，∠BEF＝180°，∴点B，点E，点F三点共线，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（SAS），∴AF＝DB，∠AFB＝∠FBD，∴AF＝BD＝CD，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD⊥BC，∴四边形ADCF是矩形；（2）解：∵AD＝BC，BD＝CD，，∴AD＝2BD，∵AD⊥BC，∴AB2＝AD2+BD2∴，解得：BD＝1或BD＝﹣1（不符合题意，舍去），∴BC＝AD＝2BD＝2，∵四边形ADCF是矩形，∴CF＝AD＝2，∠FCD＝90°，∴．∴BF的长为．22．解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（60，400），（50，500）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y＝﹣10x+1000（30≤x≤100）；（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝11250，整理得：x2﹣130x+3600＝0，解得：x1＝40，x2＝90（不符合题意，舍去）．答：销售单价应定为每千克40元．23．解：（1）∵D是的中点，∴＝，∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，∴＝，∴＝，∴BF＝CD，又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，∴△BFG≌△DCG（AAS）；（2）如图，连接OD交BC于点M，∵D为的中点，∴OD⊥BC，∴BM＝CM，∵OA＝OB，∴OM是△ABC的中位线，∴OM＝AC＝5，∵＝，∴＝，∴OE＝OM＝5，∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，∴EF＝DE＝＝12，∴BF＝＝＝4；24．解：（1）如图1中，连接OD．∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴点D（﹣1，4），令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得到y＝3，∴C（0，3），∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3．（2）如图2中，延长PE交OA于H．∵OA＝OC＝3∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∵PE∥y轴，∴∠AHE＝90°，∴∠AEH＝∠PEF＝45°，∵PF⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∵直线AC的解析式为y＝x+3，∴E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴m＝﹣时，△PEF的周长最大，此时P（﹣，），∵D（﹣1，4），∴PD＝＝，∵|QP﹣QD|≤PD，∴|QP﹣QD|≤，∴|QP﹣QD|的最大值为，此时P，D，Q共线，∵直线PD的解析式y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣9，∴Q（﹣9，0）．（3）如图3中，由（2）可知，Q（﹣9，0），D（﹣1，4），则DQ＝＝4．当DQ是菱形的边时，DM＝DQ＝4，设M（﹣2，t），则12+（4﹣t）2＝80，解得t＝4±，∴M1（﹣2，4+），M2（﹣2，4﹣），∵DN与MQ互相平分，∴N1（﹣10，），N2（﹣10，﹣），当点N在直线DM的右侧时，同法可得N（6，8+）或（6，8﹣），当DQ是菱形的对角线时，设M（﹣2，n），∵MQ＝MD，∴72+n2＝12+（4﹣n）2，∴n＝﹣5，∴M3（﹣2，﹣5），∵DQ与MN互相平分，∴N3（﹣8，9），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣10，）或（﹣10，﹣）或（﹣8，9）或（6，8+）或（6，8﹣）．25．解：（1）∵直线y＝2交y轴于点A，点B（m，2）（其中m＞0）在直线y＝2上运动．∴A（0，2），当m＝5时，B（5，2），设C（c，0），∵△ABC为直角三角形，线段AB为斜边，AB＝5﹣0＝5，∴AC2＝c2+22＝c2+4，BC2＝（c﹣5）2+22＝c2﹣10c+29，AC2+BC2＝AB2，即c2+4+c2﹣10c+29＝52，整理得：c2﹣5c+4＝0，解得：c＝1或c＝4．∴C（1，0）或（4，0），故答案为：（1，0）或（4，0）；（2）①若有且仅有一个点C落在x轴上，设C（c，0），A（0，2），B（m，2），∵△ABC为直角三角形，线段AB为斜边，AB＝m，∴AC2＝c2+22＝c2+4，BC2＝（m﹣c）2+4，AC2+BC2＝AB2，∴c2+4+（m﹣c）2+4＝m2，整理得：2c2﹣2mc+8＝0，当c有且仅有一个解满足上述关于c的二元一次方程，则Δ＝（﹣2m）2﹣4×2×8＝0，解得m＝士4，∵m＞0，∴m＝4．即若有且仅有一个点C恰好落在x轴上，此时m＝4，故答案为：4；②如图2，设半圆的圆心为G，连接GH，BH，过点G作GN⊥AB′于N，∵AB'＝AB＝4，AO＝2＝AB'，∴∠AOB'＝90°，∴AB∥OB'，∴∠OB'A＝∠BAH＝30°，∵AB为直径，∴∠AHB＝90°，∴GH＝AG＝BG＝AB＝2，BH＝AB＝2，∠ABH＝60°，∴∠AGH＝120°，AH＝2，∵GN⊥AB′，∠AHB＝90°，∴GN∥BH，∵AG＝BG，∴GN是三角形AHB的中位线，∴GN＝BH＝1，∴S弓形AMH＝S扇形AGH﹣S△AGH＝﹣×2×1＝﹣，故答案为：﹣；（3）设C（c，0），A（0，2），B（m，2），由（2）②得关于c的方程2c2﹣2mc+8＝0，若点C不会落在x轴上，则Δ＝（﹣2m）2﹣4×2×8＜0，解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4，∵m＞0，∴0＜m＜4．故答案为：0＜m＜4．。
九年级(上)期中数学试卷(答案解析版)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分共30分）1．下列图形中即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0.53．抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣2，﹣7）4．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（）A．7 B．5 C．D．5或5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张6．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．菱形7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．8．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=8009．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④二、填空题（每题3分共24分）10．点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．11．将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是度．13．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．有一个班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，这个班的人数是．15．如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．16．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为度．17．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为．三、解答题（共66分）18．解下列方程（1）y2﹣2y+3=0（2）4（x﹣1）2=5（3）3（x﹣1）2=x（x﹣1）（4）x2﹣x+=0．19．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式．21．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a 的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m=0的两个根，求m的值．23．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．24．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分共30分）1．下列图形中即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合所给图形的特点进行判断即可．【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；综上可得符合题意的有2个．故选：B、D．【点评】本题考查了轴对称及中心对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0.5【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】先把x=0代入方法求出a的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x=0代入方程得a2﹣1=0，解得a=1或﹣1，由于a﹣1≠0，所以a的值为﹣1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．3．抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣2，﹣7）【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点公式（﹣，）解题．也可以用配方法求顶点坐标．【解答】解：∵x=﹣=﹣=1，y===5．∴顶点坐标为（1，5）．故选B．【点评】熟练运用顶点公式进行解题．4．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（）A．7 B．5 C．D．5或【考点】勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．【专题】分类讨论．【分析】求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边即可．【解答】解：x2﹣7x+12=0，（x﹣3）（x﹣4）=0，x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1=3，x2=4，即直角三角形的两边是3和4，当3和4是两直角边时，第三边是=5；当4是斜边，3是直角边时，第三边是=，即第三边是5或，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，注意：解此题时要进行分类讨论．5．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张【考点】中心对称图形．【专题】压轴题．【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义即可求解．【解答】解：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张．故选A．【点评】当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的，有变化的时候，旋转的便是有变化的．6．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形；等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形；菱形是中心对称图形，是轴对称图形；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得：AB=2cm．故选：C．【点评】注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂径定理．8．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=800【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×（1+x），∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，故选D．【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；②由于当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，由此即可判定a﹣b+c的符号；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，由此即可判定此结论是否正确；④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0；②∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，∴a﹣b+c＜0；③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，∴当x＜﹣1，y＜0；④从图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标都大于﹣1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．故错误的有①③．故选C．【点评】此题主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如：当x=1时，y＞0，a+b+c＞0；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0．二、填空题（每题3分共24分）10．点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】点关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，据此知道（x，y）关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【点评】本题主要是通过作图总结规律，记住，然后应用．11．将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是y=6（x+2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y=6x2先向左平移2个单位得到解析式：y=6（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=6（x+2）2+3．故答案为：y=6（x+2）2+3．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=50°，则∠OAC的度数是25度．【考点】圆周角定理．【分析】先求出∠ACB的度数，圆周角∠ACB等于圆心角∠AOB的一半，再根据平行，得到内错角∠OAC=∠ACB．【解答】解：∵AO∥BC，∴∠OAC=∠ACB．又∠AOB与∠ACB都是弧AB所对的角，∴∠ACB=∠AOB=25°，∴∠OAC的度数是25°．故答案为：25．【点评】本题利用了圆周角定理和两直线平行内错角相等求解．13．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是60°，要计算它所对的圆周角，应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是30°；当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是150°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，∴先AB所对的圆心角=60°，①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．∴圆周角的度数为30°或150°．【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的．14．有一个班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，这个班的人数是40．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这个班的人数是x，则每人需送出（x﹣1）张照片，共送出x（x﹣1）张，结合题意即可列出方程，进而求出答案．【解答】解：设这个班的人数是x，根据题意得：x（x﹣1）=1560，解得x1=40，x2=﹣39（舍去）答：这个班的人数是40．故答案为：40．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．15．如图，⊙O的半径OA=10cm，设AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为6cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】动点型．【分析】根据垂线段最短，可以得到当OP⊥AB时，点P到圆心O的距离最短．根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：根据垂线段最短知，当点P运动到OP⊥AB时，点P到到点O的距离最短，由垂径定理知，此时点P为AB中点，AP=8cm，由勾股定理得，此时OP==6cm．【点评】本题利用了垂线段最短和垂径定理及勾股定理求解．16．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为15度．【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据量角器的读数，可求得圆心角∠AOB的度数，然后利用圆周角与圆心角的关系可求出∠1的度数．【解答】解：∵∠AOB=70°﹣40°=30°；∴∠1=∠AOB=15°（圆周角定理）．故答案为：15°．【点评】本题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．17．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为﹣2．【考点】二次函数的定义；二次函数的性质．【分析】先依据二次函数的定义知，系数1﹣m一定不为0，1﹣m＞0，再得出m 2﹣2=2，求出m的值即可．【解答】解：由题意：∴1﹣m≠1，1﹣m＞0，m＜1，m 2﹣2=2，解得：m=±2，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据性质得出m的值是解题关键．三、解答题（共66分）18．解下列方程（1）y2﹣2y+3=0（2）4（x﹣1）2=5（3）3（x﹣1）2=x（x﹣1）（4）x2﹣x+=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程；（3）先移项得到3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程．【解答】解：（1）（y﹣3）（y﹣1）=0，y﹣3=0或y﹣1=0，所以y1=3，y2=1；（2）（x﹣1）2=，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（3）3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣3﹣x）=0，x﹣1=0或3x﹣3﹣x=0，所以x1=1，x2=；（4）x2﹣x+（）2=0，（x﹣）2=0，所以x1=x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．19．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，弦AD=BC，则弧AD=弧BC，则弧AB=弧CD，则AB=CD．【解答】证明：∵AD=BC，∴=，∴+=+，即=．∴AB=CD．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），设解析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式．【解答】解：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得，①+③得，8a+2c=8，即4a+c=4④，①+②×2得6a+3c=0⑤，④×3﹣⑤得，6a=12，即a=2，把a=2代入④得，c=﹣4，把a=6，c=﹣4代入②得，b=2，故．∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．【点评】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．21．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．【解答】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．【点评】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a 的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m=0的两个根，求m的值．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即△=0，由△=0可以得到一个关于a，c的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+x+c﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=1﹣4×（c﹣a）=0，整理得4a﹣4c+1=0 ①，∴a≠c，又∵3cx+2b=2a的根为x=0，∴a=b ②，∴△ABC为等腰三角形；（2）a，b是方程x2+mx﹣3m=0的两个根，∴方程x2+mx﹣3m=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×（﹣3m）=0，即m2+12m=0，∴m1=0，m2=﹣12．当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），∴m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】（1）根据等腰三角形性质和平行线性质推出∠BAC=∠OAC即可；（2）根据平行得出相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵AB∥OC，∴∠C=∠BAC．∵OA=OC，∴∠C=∠O AC．∴∠BAC=∠OAC．即AC平分∠OAB．（2）解：∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB=1．又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，∴∠OAE=60°．∴OE=AB•cos60°=2×=．【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．24．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据图象可得出A、B两点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出对称轴和顶点坐标．（3）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值，P，Q关于抛物线的对称轴对称，那么两点的纵坐标相等，因此P点到x轴的距离同Q到x轴的距离相等，均为m的绝对值．【解答】解：（1）将x=﹣1，y=﹣1；x=3，y=﹣9，分别代入y=ax2﹣4x+c得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6．（2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，﹣10）．（3）将（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6，得m=m2﹣4m﹣6，解得m1=﹣1，m2=6．∵m＞0，∴m1=﹣1不合题意，舍去．∴m=6，∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6．【点评】本题考查二次函数的有关知识，通过数形结合来解决．。
九年级上册期中数学考试试卷及答案解析
九年级上册期中数学考试试卷及答案解析一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值()A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的C．不变D．不能确定2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为()A．10m B．25m C．100m D．10000m3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是()A.∥,∥B．＝，＝C．＝D.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°,已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为() A．a B．2a C．a D．a5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD=()A．2：3B．4：9C．2：5D.6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有()A.△AED∽△BEDB.△BAD∽△BCDC.△AED∽△ABDD.△AED∽△CBD二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=..化简：9．已知线段AB ＝2，P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＜PB ），那么PB =.10．已知，，且与的方向相反，则＝.（用表示）11．如果在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（2，2），射线OP 与x 轴的正半轴所夹的角为α,那么α的余弦值等于.12．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 是边CD ，BC 边的中点，若，，则=.（结果用，表示）13．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若DE ：EC ＝2：3，则S △ABF ：S △DEF =.14．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线且∠ACD =∠B ，AB ＝2，则AC =.15．如图，AD ∥BE ∥FC ，AB ＝2，AC ＝5，DF ＝7.5，则EF =.16．如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，其中D 、G 分别在边AB ，AC 上，点E 、F 在边BC 上，DG ＝2DE ，AH 是△ABC 的高，BC ＝20，AH ＝15，那么矩形DEFG 的周长是.17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，CE 是AB 边上的中线，AD 与CE 交于点F ，点G 是△ACD 的重心，AB ＝10，AD ＝8，则点F 与点G 的距离是.8=.18．在Rt△ABC中，∠C＝90°,sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB 上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′=.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长.22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长.23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE.（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值.24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高.（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF.25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC 的延长线于点H．设AD＝x.（1）BG＝；CH＝；（用x的代数式表示BG、CH）（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长.参考答案一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值()A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的C．不变D．不能确定【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案.解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.故选：C.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键.2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为()A．10m B．25m C．100m D．10000m【分析】设A、B两地间的实际距离为xm ，根据比例线段得＝，然后解方程即可.解：设A、B两地间的实际距离为xm，根据题意得=,解得x＝100.所以A、B两地间的实际距离为100m.故选：C.【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是()A .∥,∥B.=,C.D.【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可.解：A 、由于∥,所以、的方向相同，由于∥,故、的方向相同，所以∥,故本选项正确；==B、因为＝，所以和的方向相同，由于＝，所以、、的方向相同，所以∥,故本选项正确；C、因为＝，所以、的方向相反，故∥的，故本选项正确；D、因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，故本选项错误.故选：D.【点评】本题考查的是向量平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°,已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为() A．a B．2a C．a D．a【分析】根据直角三角形的边角关系进行计算即可.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°,∵tanA＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C.【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提. 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD=()A．2：3B．4：9C．2：5D．E【分析】先证明Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质求解即可.解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°,又∠CAD=∠BAC，∠ACB＝90°,∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴=,∵BC ：AC ＝2：3，∴CD ：AD ＝2：3，故选：A .【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.6．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且，AE ＝BE ，那么有()A .△AED ∽△BED B .△BAD ∽△BCD C .△AED ∽△ABD D .△AED ∽△CBD【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED ∽△CBD .解：∵AD ：AC ＝1：3，∴AD ：DC ＝1：2；∵△ABC 是正三角形，∴AB ＝BC ＝AC ；∵AE ＝BE ，∴AE ：BC ＝AE ：AB ＝1：2∴AD ：DC ＝AE ：BC ；∵∠A =∠C ＝60°,∴△AED ∽△CBD ；故选：D .【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质.二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=【分析】已知，设a ＝k ，b ＝3k ，代入求值的代数式化简即可.解：∵,设a ＝k ，b ＝3k，.∴===﹣.故答案为：﹣.【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确设出a 和b 的值进行化简.8．化简：G 2G ＝+4.【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号法则.解：＝3+6﹣2﹣2＝+4.故答案为：+4.【点评】此题考查了平面向量的加减运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是关键.9．已知线段AB ＝2，P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＜PB ），那么PB =【分析】直接根据黄金分割的定义求出PB 的长即可.解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＜PB ，AB ＝2，∴PB ＝AB =﹣1，故答案为：﹣1.【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.10．已知，，且与的方向相反，则=﹣.（用表示）【分析】根据两个向量的模的数量关系和方向解答即可.解：∵,,∴||＝||，∵与的方向相反，∴=﹣.故答案为：﹣.【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量是既有大小，又有方向的.11．如果在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（2，2），射线OP 与x 轴的正半轴所夹的角为α,那么α的余弦值等于【分析】如图，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ．证明∠POH ＝45°,可得结论.解：如图，过点P 作PH ⊥x 轴于点H .∵P （2，2），∴OH ＝PH ＝2，﹣1..∴∠POH＝45°,∴α=45°,∴cosα=,故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是记住特殊角的三角函数值.12．在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC 边的中点，若，，则= .（结果用，表示）【分析】根据平行四边形法则得出，再根据三角形中位线定理得出求解.解：如图，连接DB，EF ＝，即可∵,,∴,∵点E，F是边CD，BC边的中点，∴EF =,∴,故答案为：.【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键.13．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若DE ：EC ＝2：3，则S △ABF ：S △DEF ＝25：4.【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，即可证得△DEF ∽△BAF ，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴△DEF ∽△BAF ，∴=()2，∵DE ：EC ＝2：3，∴DE ：CD ＝DE ：AB ＝2：5，∴S：S ＝25：4.故答案为：25：4.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.14．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线且∠ACD =∠B ，AB ＝2，则AC =【分析】根据中线的定义得出AD ＝DB ＝AB ＝1，证明△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质解答即可.解：∵CD 是边AB 上的中线，AB ＝2，∴AD ＝DB ＝AB ＝1，∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴=,∴AC 2＝AD •AB ，∴AC 2＝2，△ABF △DEF .∵AC＝或AC=﹣（舍去），故答案为：.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.15．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，则EF＝ 4.5.【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，代入可求得答案.解：∵AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，∴=,即=,解得EF＝4.5.故答案是： 4.5.【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.16．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F 在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是36.【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论.解：∵DG∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，∴,即，∴DE＝6，∴DG＝2DE＝12，∴矩形DEFG的周长＝2×（6+12）＝36.故答案为：36.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是2.【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得CD＝6，由重心的性质即可得到，DH＝3，进一步证明△AFG∽△ADH，得,即可求解.解：设直线AG与BC的交点为H，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADB＝90°,D是BC的中点，∴BD＝CD＝＝＝6，∵CE是AB边的中点，AD是BC边中点，∴点F是△ABC的重心，∴AF：FD＝1：2，∴AF：AD＝2：3，∵点G是△ADC的重心，∴DH＝DC＝3，，∴,又∵∠FAG=∠DAH，∴△AFG∽△ADH，∴,∴FG＝DH＝2，故答案为2.【点评】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于能熟练重心的性质.18．在Rt△ABC中，∠C＝90°,sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB 上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝2或.【分析】设AB＝5a，BC＝3a，由锐角三角函数和勾股定理可求AC＝4a，由旋转的性质可求A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB=∠A'C'B＝90°,分两种情况讨论，求出A'C'的长，即可求解.解：∵∠C＝90°,sinA==,∴设AB＝5a，BC＝3a，∴AC＝＝4a，∵将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，∴A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB=∠A'C'B＝90°,如图1，当点C落在线段AB上时，则AC'＝AB﹣BC'＝2a，∴tan∠BAA′＝＝2，如图2，当点C落在线段AB的延长线上时，则AC'＝AB+BC'＝8a，∴tan∠BAA′==,故答案为：2或.【点评】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案.解：原式====3+2.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】首先利用平面向量的运算法则，将原式化简，即可得原式＝2﹣;然后利用三角形法则，即可求得2﹣.解：原式=,=.作法：①作＝2②连接AC ，则即为所求，即=,=2﹣.【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握平面向量的运算法则.21．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB ＝6，BC ＝4，求DF的长.,【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°,∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B＝90°,∴△ABE∽△DFA；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE=,∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DFA，∴,∴.【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似.22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长.【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长.（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB 的长，然后即可得出BE的长.解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴,∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴,∴DE＝9.（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴,∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴,∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11.【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE.（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值.【分析】（1）解直角三角形求出AB，BE，可得结论；（2）根据余切值的定义求出，CH，EH，可得结论.解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3，∵AC＝CB，∠ACB＝90°,∴∠A=∠B＝45°,∵DE⊥AB，在Rt△DEB中，cosB==,∴BE=,在Rt△ACB中，AB＝AC＝4，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣=.（2）过点E作EH⊥AC于H.在Rt△AHE中，cosA==,∴AH=×=,∴CH＝AC﹣AH＝4﹣=,∴EH＝AH=,在Rt△CHE中，cot∠ECH==.【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高.（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF.【分析】（1）通过证明△AEC∽△FEB，根据相似三角形的性质可得结论；（2）通过证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得结论.【解答】证明：（1）∵BD和CE分别是边AC、AB上的高，∴∠AEC=∠BDA＝90°,∴∠A+∠ACE＝90°=∠A+∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，又∵∠AEC=∠BEF＝90°,∴△AEC∽△FEB，∴=;（2）如图，连接AF，∵△AEC∽△FEB，∴=,∴=,又∵∠AEC=∠FEB＝90°,∴△AEF∽△CEB，∴=,∴AF•BE＝BC•EF.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC 的延长线于点H．设AD＝x.（1）BG＝2x；CH＝2x；（用x的代数式表示BG、CH）（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长.【分析】（1）可证得△ADE∽△GBE，△ADF∽△HCF，进而得出结果；（2）作DM⊥CB于M，过点N作NQ⊥BC于Q，交AD于P，根据勾股定理得出DM 的值，证明△ADN∽△HBN，从而求得PN的值，进一步得出结果；（3）分为△ADN∽△HFG和△ADN∽△HGF．当△FCG∽△HFG时，可推出△FCG∽△HFG，从而得出FG2＝CG•CH，从而求得x的值；当△ADN∽△HFG时，可推出△CFG∥△CDB，进而求得x的值.解：（1）∵AD∥CB，∴△ADE∽△GBE，△ADF∽△HCF，∴器器，，∵BD＝DC＝15，DE＝DF＝5，∴BE＝CF＝10，∴,,∴BG＝2x，CH＝2x，故答案为：2x，2x；（2）如图1，作DM⊥CB于M，过点N作NQ⊥BC于Q，交AD于P，∵BD＝CD＝15，BC＝18，∴BM＝CM＝CB＝9，∴PQ＝DM ＝＝＝12，∵AD∥CB，∴△ADN∽△HBN，∴,∴=,∴,∴PN =,∴==,∴y ＝（0＜x≤9）；（3）如图2，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠H，∠ADB=∠DBC，∵BD＝DC，∴∠BDC=∠DCB，∴∠ADN=∠DCB，当△ADN∽△HGF时，∠FGH=∠ADN，∴∠FGH=∠FCG，∴∠FCG=∠DBC，∴FG∥BD，∴,∴,∴x＝3，如图3，当△ADN∽△FHG，此时∠ADN=∠HFG，∴∠DCB=∠GFH，∵∠FGH=∠CGF，∴△GFC∽△GHF，∴,∴,∴CG=,∴18﹣2x=,∴x=,∴AD=,综上所述：AD＝3或.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是转化相似三角形.。
九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
九年级（上）期中数学试卷一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=122．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣13．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+24．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：36．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣167．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y18．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞011．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是，对称轴是．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是（注：只需写出一个正确答案即可）．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为；S2=；S n=．（用含n的代数式表示）三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x 轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△AOC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．34．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n的值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值．（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择（每小题3分，共33分）1．已知=，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案．【解答】解：由=，得4m=3n．A、4m=3n，故A正确；B、4m=3n，故B错误；C、m=，故C错误；D、4m=3n，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键．2．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【考点】反比例函数的性质．【分析】如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）【解答】解：∵反比例函数y=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴m+1＞0，解得m＞﹣1．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A．y=（x+1）2+2 B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），根据顶点式可确定抛物线解析式．【解答】解：由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），又平移不改变二次项系数，∴得到的二次函数解析式为y=（x+1）2﹣2．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】若D、E是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线；∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）∴△ADE∽△ABC；（故②正确）∴，即；（故③正确）因此本题的三个结论都正确，故选A．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，证明AD∥BC，AD=BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC=AD=2DE，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；∴△DEF∽△BCF，∴；∵点E是边AD的中点，∴BC=AD=2DE，∴．故选B．【点评】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键．6．将y=x2+6x+7化为y=a（x﹣h）2+k的形式，h，k的值分别为（）A．3，﹣2 B．﹣3，﹣2 C．3，﹣16 D．﹣3，﹣16【考点】二次函数的三种形式．【分析】将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，从而得出h，k的值．【解答】解：∵y=x2+6x+7=x2+6x+9﹣9+7=（x+3）2﹣2，∴h=﹣3，k=﹣2．故选：B．【点评】此题考查二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．如果点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，∴y1==﹣3，y2=，y3==1．∵﹣3＜1＜，∴y1＜y3＜y2．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到=，代入可求得CD．【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴=，即=，∴CD=2，故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x＜，y随x的增大而减小B．函数有最小值C．a+b+c＜0 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；观察当x=1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．【解答】解：A、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；B、由图象可知函数有最小值，故正确；C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；D、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之间的联系．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】本题形数结合，根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象位置，可判断a、b、c的符号；再由一次函数y=ax+b，反比例函数y=中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，a＜0；与y轴交于正半轴，c＞0；对称轴x=﹣＜0，故b＜0；于是直线y=ax+b过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限．故选B．【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．二、填空题（12-23题每空2分，24题前两空每空1分，最后一空2分共30分）12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；开放型．【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为﹣2即可．【解答】解：根据题意得：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一），故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．13．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是m＜1．【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．14．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2．【考点】二次函数的性质．【分析】利用抛物线的顶点式，直接写出顶点坐标与对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+1，∴顶点坐标是（2，1），对称轴是x=2．故答案为：（2，1），x=2．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．15．抛物线y=﹣+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线的形状与|a|有关，开口方向与a的正负有关．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，∴二次项系数的绝对值相等，都为；∵开口方向相反，∴二次项系数互为相反数，即y=ax2中，a=．故答案为：．【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．17．如图，点P在反比例函数y=的图象上，且PD⊥x轴于点D．若△POD的面积为3，则k的值是﹣6．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义即可直接求解．【解答】解：S△POD=|k|=3，又∵k＜0，∴k=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于1：9．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+DB=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=1：9．故答案为1：9．【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．19．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】判别式法．【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=0，∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；∴m=8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．20．如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D（注：只需写出一个正确答案即可）．【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】已知一组角对应相等，要使△ABC∽△ADE，则可补充∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知∠DAB=∠CAE，则∠DAE=∠BAC，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D 或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．【点评】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．21．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=或．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．22．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是﹣1．【考点】二次函数的图象．【分析】由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．【点评】主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2﹣1=0，利用这两个条件即可求出a的值．23．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=﹣4．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题；图表型．【分析】由表格可知，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（﹣1，﹣4）即可．【解答】解：观察表格可知，当x=0或2时，y=﹣2，根据二次函数图象的对称性，（0，﹣2），（2，﹣2）是抛物线上两对称点，对称轴为x==1，顶点（1，﹣2），根据对称性，x=3与x=﹣1时，函数值相等，都是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，对称轴，利用二次函数的对称性解答．24．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则点P1的坐标为（1，8）；S2=；S n=．（用含n的代数式表示）【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】规律型．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到P1（1，8），P2（2，4），P3（3，），P4（4，2），再利用矩形的面积公式分别计算出S1=，S2=，S3=，观察面积的值得到分子为8，分母为序号数和比序号数大1的数的积，由此得到Sn=．【解答】解：当x=1时，y==8，则P1（1，8）；当x=2时，y==4，则P2（2，4）；当x=3时，y==，则P3（3，）；当x=4时，y==2，则P4（4，2）；S1=1×（﹣）=，S2=1×（﹣）=，S3=1×（﹣）=，…，所以Sn=．故答案为（1，8），，．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题25．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式．（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8）．（2）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0），B（3，0），且经过点C（0，6）．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线顶点式解析式为y=a（x﹣4）2﹣8，然后把点（6，0）代入进行计算即可得解；（2）设抛物线交点式解析式y=a（x+2）（x﹣3），然后把点（0，6）代入计算即可得解．【解答】解：（1）设y=a（x﹣4）2﹣8，则a（6﹣4）2﹣8=0，解得a=2，则y=2（x﹣4）2﹣8；（2）设y=a（x+2）（x﹣3），则a（0+2）（0﹣3）=6，解得a=﹣1，则y=﹣（x+2）（x﹣3）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．26．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；（2）运用相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．（1分）∴∠B=∠AFD=90°．（2分）又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．（3分）∴△ABE∽△DFA．（4分）（2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=10．（6分）∵△ABE∽△DFA，∴=．（7分）即=．∴DF=7.2．（8分）【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．27．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB=AF•CE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件很容易就可推出△ECD∽△DAF，求出对应边的比例式，根据CD=AB，进行相关线段的等量代换即可．【解答】证明：在▱ABCD中，因为AB∥DC，所以∠CDE=∠BFE=∠AFD，又因为∠A=∠C，所以△ECD∽△DAF，所以=，又CD=AB，所以=，故AD•AB=AF•CE．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关键是证明△ECD和△DAF相似，根据平行四边形的性质找到相等关系，进行等量代换．28．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．（3）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）不等式＞kx+b的解集就是：对于相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分自变量的取值范围；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵A（m，3），B（﹣3，n）两点在反比例函数y2=的图象上，∴m=2，n=﹣2．∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）．根据题意得：，解得：，∴一次函数的解析式是：y1=x+1；（2）根据图象得：0＜x＜2或x＜﹣3．（3）∵一次函数的解析式是y1=x+1；∴直线AB与y轴的交点为（0，1），∴S△AOB=+=．【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．29．已知二次函数y1=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），与y轴交于点C，与x 轴另一交点交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）求点C、点D的坐标；（3）画出二次函数的图象；（4）若一条直线y2，经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）．【专题】计算题．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y1=ax2+bx﹣3得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；（2）计算自变量为0所对应的函数值即可得到C点坐标，计算函数值为0所对应的函数值即可得到D点坐标；（3）把解析式配成顶点式，然后利用描点法画出二次函数图象；（4）观察函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得．所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3）；当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则D（3，0）；（3）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），如图，（4）当x＜﹣1或x＞3时，y1＞y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．30．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．【解答】解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x∴=∴x=（2）假设两三角形可以相似情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有=解得x=，经检验，x=是原分式方程的解．此时AP=cm，情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有=解得x=5，经检验，x=5是原分式方程的解．此时AP=20cm．综上所述，AP=cm或AP=20cm．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．31．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．【解答】解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得，y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．32．已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数（1，m）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数C（n，1）的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数AB⊥CD的图象上，求△AOC面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．。
九年级(上)期中数学试卷(有答案解析)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根为（）A．x1=0，x2=﹣1 B．x1=0，x2=1 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=22．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠13．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（）A．35°B．55°C．70°D．110°5．点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2大大小关系为（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．无法判断6．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜08．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是．10．已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为．11．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是．12．已知点A（2a+2，﹣3）与点B（0，3b+6）关于坐标原点对称，则a+b的值是．13．如图，已知圆周角∠ACB的度数为100°，则圆周角∠D的度数等于．14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=．15．已知点（﹣3，2），（﹣1，2）在二次函数y=﹣x2﹣4x﹣1的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标为．16．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是．三、解答题（共10小题，满分102分）17．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．18．已知x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2=0的另个实数根，且（x1+1）（x2+1）=8．求k的值．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列各问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）画出的△A1B1C1和△A2B2C2有什么样的位置关系？20．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离．（2）求∠APB的度数．21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．22．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 经过x轴上的点A，B．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．23．某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．24．某公司销售一种进价为每个20元的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元）的变化如表：价格x/元…30 40 50 60 …销售量y/万个… 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的x与y之间对应关系，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元）的函数表达式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元）的函数表达式，并说明销售价格定为多少元时，净利润最大？最大值是多少？25．已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：．（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：．并证明你的结论．（3）运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是cm2．26．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根为（）A．x1=0，x2=﹣1 B．x1=0，x2=1 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故选B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．2．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．【解答】解：∵a=1﹣k，b=﹣2，c=﹣1，方程有两个不相等的实数根．∴△=b2﹣4ac=4+4（1﹣k）=8﹣4k＞0∴k＜2又∵一元二次方程的二次项系数不为0，即k≠1．∴k＜2且k≠1．故选C．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．4．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（）A．35°B．55°C．70°D．110°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=35°，∴∠ABC=180°﹣90°﹣35°=55°，∴∠ADC=∠ABC=55°．故选B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．5．点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2大大小关系为（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．无法判断【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右面y随x的增大而增大，∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，2＜3，∴y1＜y2．故选C．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键6．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，∴∠C′CA=∠CAB=70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x=﹣=1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，所以abc＞0．故A选项错误；B、∵x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0．故B选项错误；C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．故C选项错误；D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．故D选项正确；故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．8．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选：B．【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是﹣3．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根．【解答】解：∵方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，设另一个为a，∴2a=﹣6，解得：a=﹣3，则方程的另一根是﹣3．故答案为：﹣3【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．10．已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为﹣1．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把x=﹣a代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a，即可得出答案．【解答】解：把x=﹣a代入方程得：（﹣a）2﹣ab+a=0，a2﹣ab+a=0，∵a≠0，∴两边都除以a得：a﹣b+1=0，即a﹣b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程的解的应用，解此题的关键是理解一元二次方程的解的定义，题型较好，难度适中．11．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是（0，1）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】压轴题．【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．【解答】解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．故答案为（0，1）．【点评】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，关键是对旋转性质的把握．12．已知点A（2a+2，﹣3）与点B（0，3b+6）关于坐标原点对称，则a+b的值是﹣2．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得2a+2=0，3b+6=3，解出a、b的值，然后可得a+b的结果．【解答】解：由题意得：2a+2=0，3b+6=3，解得：a=﹣1．b=﹣1，a+b=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．13．如图，已知圆周角∠ACB的度数为100°，则圆周角∠D的度数等于80°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接⊙O，∴∠D+∠BCA=180°，∴∠D=180°﹣∠ACB=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，属于基础题，直接利用定理即可求解．14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=125°．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，∵D是BC弧的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．15．已知点（﹣3，2），（﹣1，2）在二次函数y=﹣x2﹣4x﹣1的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，3）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的顶点坐标公式，可得答案．【解答】解：y=﹣x2﹣4x﹣1的顶点横坐标为﹣=﹣=﹣2，纵坐标为==3，y=﹣x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（﹣2，3）故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用了二次函数的顶点坐标公式：y=ax2+bx+c的顶点横坐标为﹣，纵坐标为．16．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是x1=1，x2=2．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故答案是：x1=1，x2=2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．三、解答题（共10小题，满分102分）17．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：原方程化为配方得即开方得∴，．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．已知x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2=0的另个实数根，且（x1+1）（x2+1）=8．求k的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2和x1x2的值，再把（x1+1）（x2+1）=8整理，代入数据进行计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2=0的另个实数根，∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2+2，∵（x1+1）（x2+1）=8，∴x1x2+（x1+x2，）+1=8，∴2（k+1）+k2+2+1=8，解得k1=﹣3，k2=1，当k=﹣3时，得方程x2+4x+11=0，△=42﹣4×11＜0，舍去；当k=1时，得方程x2﹣4x+3=0，△=（﹣4）2﹣4×3＞0，∴k的值为1．【点评】本题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，掌握根与系数的关系是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列各问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）画出的△A1B1C1和△A2B2C2有什么样的位置关系？【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征分别写出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）然后网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对称点A2、B2、C2，则△A2B2C2为所作；（3）根据中心对称的定义进行判断．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标的坐标为（2，﹣4）；（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为（﹣2，4）；（3）△A1B1C1和△A2B2C2关于原点中心对称．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．20．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离．（2）求∠APB的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．【分析】（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△QAB，可得△PAC≌△P′AB，PA=QA，旋转角∠QAP=∠BAC=60°，所以△APQ为等边三角形，即可求得PQ；（2）由△APQ为等边三角形，得∠APQ=60°，在△PQB中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠QPB=90°，可求∠APB的度数．【解答】解：（1）连接PQ，由题意可知BQ=PC=10，AQ=AP，∠PAC=∠QAB，而∠PAC+∠BAP=60°，所以∠PAQ=60度．故△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=AQ=4；（2）因为PA=3，PB=4，PC=5，利用勾股定理的逆定理可知：PQ2+BP2=BQ2，所以△BPQ为直角三角形，且∠BPQ=90°可求∠APB=90°+60°=150°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余∴∠BCD=∠BAC．（3分）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠ACO=∠BCD．（5分）（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，CE=CD=×24=12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）解得R=13，∴2R=2×13=26cm．答：⊙O的直径为26cm．（10分）【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．22．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 经过x轴上的点A，B．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【分析】（1）在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD∥AB且CD=AB=4，且C的纵坐标与D相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出；（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再在次抛物线基础上平移，即抛物线的对称轴不变．根据抛物线的性质特点，可设平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+8+k，平移后抛物线经过D点，将D（0，8）代入解析式，求出即可．【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD=AB=4，点D的坐标是（0，8），∴点C的坐标为（4，8）（1分）设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH=BH=2，（2分）∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8）．（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（4，8），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+8，（5分）把A（2，0）代入上式，解得a=﹣2．（6分）设平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+8+k，把（0，8）代入上式得k=32，（7分）∴平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+40，（8分）即y=﹣2x2+16x+8．【点评】考查二次函数顶点，对称轴的性质，以及抛物线上下平移时的特征．23．某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；销售问题．【分析】（1）题中有一个等量关系：12月份的销售额×（1+每个月销售额的增长率）2=1月份的销售额+24，根据等量关系列方程，求出解．（2）把所求结果代入（1）中方程的任何一边，可以求出答案．【解答】解：设每个月销售额的增长率为x，由题意得：（1）100（x+1）2=100（x+1）+24，解得：x1=﹣1.2（不合题意舍去），x2=0.2=20%．故所求百分数为20%．（2）2月份的销售额：100×1.22=144万元．【点评】题目根据二月份的销售额不变列方程，找等量关系是解应用题的关键．24．某公司销售一种进价为每个20元的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元）的变化如表：价格x/元…30 40 50 60 …销售量y/万个… 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的x与y之间对应关系，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元）的函数表达式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元）的函数表达式，并说明销售价格定为多少元时，净利润最大？最大值是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据z=（x﹣20）y﹣40得出z与x的函数关系式，求出即可．【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣x+8；（2）根据题意得出：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40=﹣x2+10x﹣200，=﹣（x2﹣100x）﹣200=﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣（x﹣50）2+50，故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．25．已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：相等．（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：相等．并证明你的结论．（3）运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是22.5cm2．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】综合题．【分析】（1）由于当E点旋转到DA的延长线上时，根据图形和三角形的面积公式容易得到△ABE 与△ADG的面积关系；（2）相等．如图延长BA到点P，过点E作EP⊥BP于点P；延长AD到点Q，过点G作GQ⊥AQ 于点Q，由此得到∠P=∠Q=90°，而四边形AGFE，ABCD均为正方形，根据正方形的性质可以得到AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，这样得到∠1=∠3，然后就可以证明△APE≌△AQG，接着得到EP=GQ，然后利用三角形的面积公式即可证明题目的问题；（3）根据（2）的几个可以得到三个阴影部分的面积都和三角形ABC的面积相等，而AB=5cm，BC=3cm，若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形ABC的面积最大，则其是直角三角形即可求解．【解答】解：（1）相等；（2）相等，证明：如图，延长BA到点P，过点E作EP⊥BP于点P；延长AD到点Q，过点G作GQ⊥AQ于点Q．∴∠P=∠Q=90°∵四边形AGFE，ABCD均为正方形∴AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△APE≌△AQG（AAS）∴EP=GQ又∵S△ABE=AB•EPS△AGD=AD•GQ∴S△ABE=S△AGD（7分）（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形ABC的面积最大，∴△ABC是直角三角形，∠B是直角，∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×3×5÷2=22.5cm2，故答案为：相等；相等；22.5．【点评】此题分别考查了旋转的性质、正方形的性质及全等三角形的判定与性质，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．26．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；探究型．【分析】（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3），可以求得抛物线的表达式；（2）根据函数的解析式可以求得点B的坐标，从而可以求得直线BC的解析式，设出点P、D的坐标从而可以表示出△BDC的面积，从而可以得到点P的坐标；（3）根据题意可知AC可能为平行四边形的边，也可能为对角线，从而可以分为两种情况，从而可以分别求得点E、F的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），点C（0，3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴解得b=2，c=3．即抛物线的表达式是y=﹣x2+2x+3；（2）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∵点A（﹣1，0），∴点B的坐标为（3，0）．设过点B、C的直线的解析式为：y=kx+b，解得k=﹣1，b=3．∴过点B、C的直线的解析式为：y=﹣x+3．设点P的坐标为（a，﹣a+3），则点D的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∴PD=（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）=﹣a2+3a．∴S△BDC=S△PDC+S△PDB===．∴当a=时，△BDC的面积最大，∴点P 的坐标为（）．（3）存在．当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或﹣3，∵E是抛物线上的一点，∴将y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2；将y=﹣3代入y=﹣x2+2x+3，得．∴．则点．当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，∵E是抛物线上的一点，∴将y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2；即点E4（2，3）．则F4（﹣3，0）．由上可得，点E 的坐标为：，E4（2，3），与之对应的点F 的坐标是：，F4（﹣3，0）．【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是根据题意找出其中的相关联的量，利用分类讨论的数学思想解答各个问题．第21页（共21页）。
九年级(上)期中数学试卷(答案解析)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣22．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=253．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣14．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=25．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．16．观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、a=0，ax2+bx+c=0是一元一次方程，故A错误；B、（）2+﹣2=0是分式方程，故B错误；C、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故C正确；D、2x2+3x=2x2﹣2是一元一次方程，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据根的判别式，令△＞0即可求出根的判别式．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×m＞0，∴4﹣4m＞0，解得m＜1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．9．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【考点】圆周角定理．【专题】几何图形问题．【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＜0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3．【考点】根与系数的关系．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，解得：a=3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=﹣或1．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为（4，2）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】几何变换．【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．【解答】解：AB旋转后位置如图所示．B′（4，2）．【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE 的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE===5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．16．观察下列图形规律：当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型．【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是多少即可．【解答】解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；n=2时，“●”的个数是6=3×2；n=3时，“●”的个数是9=3×3；n=4时，“●”的个数是12=3×4；∴第n个图形中“●”的个数是3n；又∵n=1时，“△”的个数是1=；n=2时，“△”的个数是3=；n=3时，“△”的个数是6=；n=4时，“△”的个数是10=；∴第n个“△”的个数是；由3n=，可得n2﹣5n=0，解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．故答案为：5．【点评】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：﹣（2015+π）0=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用十字相乘法因式分解得到（2x﹣3）（x﹣2）=0，推出2x﹣3=0，x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：2x2﹣7x+6=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，∴2x﹣3=0，x﹣2=0，x1=，x2=2，【点评】此题主要考查了解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．【考点】根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β和αβ，再把α2+β2变形（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可；（2）把化为，再代入计算即可．【解答】解：（1）∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11；（2）∵α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴===﹣11．【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】数形结合．【分析】根据A点坐标得到OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB 绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，根据旋转的性质得到A′C=AB=3，OC=OB=4，再写出A′点的坐标．【解答】解：AB⊥y轴于B，A′C⊥x轴于C，如图，OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，则A′C=AB=3，OC=OB=4，所以点A′的坐标为（4，﹣3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）根据∠AOD=∠BOE可知=，再由=即可得出结论；（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE的度数，再由BE=CE可得出∠BOE=∠COE，根据补角的定义即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠AOD=∠BOE，∴=．∵=，∴=，∴BE=CE；（2）解：∵∠B=50°，OB=OE，∴∠BOE=180°﹣50°﹣50°=80°．∵由（1）知，BE=CE，∴∠COE=∠BOE=80°，∴∠AOC=180°﹣80°﹣80°=20°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋转的性质得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判断△APP′是等腰直角三角形；（2）根据等腰直角三角形的性质得PP′=PA=，∠APP′=45°，再利用旋转的性质得PD=P′B=，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定义计算∠BPQ 的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴PD=P′B=，在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=，∵（）2+（2）2=（）2，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2015年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：3（1+x）2=6.75，解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），∴x=0.5=50%，即每年市政府投资的增长率为50%；（2）∵12（1+50%）2=27，∴2015年建设了27万平方米廉租房．【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2|，∴A B2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意联立抛物线和直线的解析式，化为一元二次方程，运用△＞0即可求出a的取值范围和交点的坐标；（2）根据轴对称性质表示出点P的坐标并代入抛物线，求出a的值，用△ACP的面积减去△ADC 的面积即可求出△PCD的面积．【解答】解：（1）由题意联立，整理得：2x2+5x﹣4a=0，由△=25+32a＞0，解得：，∵a≠0，∴且a≠0，当x=0时，y=a，∴A（0，a），∵y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+a+1，∴M（﹣1，a+1）．（2）设直线MA为：y=kx+b，代入A（0，a），M（﹣1，a+1）得，，解得：，所以直线MA为y=﹣x+a，联立，解得，所以：N（，），∵点P是N关于y轴的对称点，∴P（﹣，），代入y=﹣x2﹣2x+a，得，解得：a=，或a=0（舍去），∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+，直线BC为y=﹣，当x=0时，y=﹣，∴C（0，﹣），A（0，），M（﹣1，），∴|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△DAC=|AC|×|x p|﹣|AC|×|x D|=××3﹣××1=．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会求函数图象的交点和三角形的面积是解题的关键．。
九年级(上)期中数学试卷(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=94．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．65．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3 8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=209．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x=．12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=．13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程．14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了度．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是．17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点．20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为．三．解答题（本大题共8个小题，共60分）21．（12分）解方程（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣2x﹣3=0．22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE 的最大面积及E点的坐标．参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个．故选B．2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选：B．3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B．4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．6【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2=5．故选：B．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：旋转后得到的点A′与点A成中心对称，旋转后A′的坐标为（﹣2，﹣3），所以在第三象限．故选：C．6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【解答】解：∵∠BOC=60°，∴∠BAC=∠BOC=30°．故选：D．7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3【解答】解：抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（﹣1，3），所以平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：A．8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×=20．故选：B．9．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，∴CE=DE，即AB为CD的垂直平分线，∴AC=AD；∴选项B、C正确；∵OC=OD，OE⊥CD，∴∠COE=∠DOE，∴选项A正确；故选：D．10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2即s=x2+（1﹣x）2．s=2x2﹣2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=．∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选：B．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x=﹣2．【解答】解：由对称轴公式：对称轴是直线x=﹣=﹣=﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=1．【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，∴x1•0=k﹣1，解得k=1．13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程7800（x+1）2=9100．【解答】解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：7800（x+1）2=9100．故答案为：7800（x+1）2=9100．14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了270度．【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60=6°，那么45分钟，分针旋转了45×6°=270°．故答案为：270．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为cm．【解答】解：连接AC，则∠ACB=90°．∵E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥CD，CD=BD=BC=×8=4cm．设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r．故OB2=OD2+BD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得：r=5．故AB=2r=2×5=10cm．在Rt△ABC中，AC===6cm．在Rt△ADC中，AC=6cm，CD=4cm，故AD===2（cm）．16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是（4，5）．【解答】解：∵x=﹣=﹣=1．∴P（﹣2，5）关于对称轴的对称点Q的坐标是（4，5）．故点Q的坐标是（4，5）．故答案为：（4，5）．17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：∵a=k﹣1，b=﹣4，c=﹣5，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16﹣4×（﹣5）×（k﹣1）=20k﹣4＞0，∴k＞，又∵二次项系数不为0，∴k≠1，即k≥且k≠1．18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，∴弦AB所对的圆心角=60°，①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．∴圆周角的度数为30°或150°；故答案为：30°或150°．19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有n2﹣n+1个点．【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；则第n个图中有n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1个点．20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为x1＜a＜b＜x2．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x ﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：x1＜a＜b＜x2，故答案为：x1＜a＜b＜x2．三．解答题（本大题共8个小题，共60分）21．（12分）解方程（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣2x﹣3=0．【解答】解：（1）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，x﹣2=0或3x﹣6﹣x=0，所以x1=2，x2=3；（2）（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1．22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【解答】（1）证明：∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵△=1＞0，∴AB≠AC，∴AB、AC中有一个数为5．当x=5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣9k+20=0，解得：k1=4，k2=5．当k=4时，原方程为x2﹣9x+20=0，∴x1=4，x2=5．∵4、5、5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意；当k=5时，原方程为x2﹣11x+30=0，解得：x1=5，x2=6．∵5、5、6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意．综上所述：k的值为4或5．23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）如图，A''B''C''即为所求；（3）如图，P'（2.5，0）．24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？【解答】解：由题意，得（350﹣10x）（x﹣21）=400，解得：x1=25，x2=31．∵x＜21（1+20%），∴x＜25.2．∴x=31应舍去．∴x=25．答：每件衣服的售价为25元．25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，∴DF是⊙O的直径所在的直线，∴DF⊥DE，又∵AC∥DE，∴DF⊥AC，∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）（2）证明：由（1）知：AG=GC，又∵AD∥BC，∴∠DAG=∠FCG；又∵∠AGD=∠CGF，∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）∴AD=FC；∵AD∥BC且AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴FC=CE；（5分）（3）解：连接AO，∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm；在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2﹣AG2=52﹣42=9，∴GD=3；（6分）设圆的半径为r，则AO=r，OG=r﹣3，在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，有：r2=（r﹣3）2+42，解得r=，（8分）∴⊙O的半径为cm．26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，解得：m=﹣，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．。